第二章 文獻探討
第二節 數學與生活、兒童學習情境之關連
從第一節各國數學課程中與「察覺」主題相關內容的分析探討後，發 現各國均強調數學是來自於生活中且應用於生活中，那麼究竟在我們的生 活中有哪些與數學相關的情境呢？研究者將自社會中、校園中、學童生活 中各個角度出發進行分析，敘述如下：
壹、 社會中各行各業使用的數學：
人類社會生活的進步奠立在數學基礎上，數學不可避免地深植於全球 文化中。人們並非總能夠了解數學對其生活有多大的影響，理由是它被人 盡可能藏在幕後（Ian Stewart 著，葉李華譯，1996），因為人們經常將它當 作是職業中的一種工具（Strength K.Stein 著，葉偉文譯，1999）。由此可 知，在我們的生活周遭處處充滿了數學。究竟有哪些數學充滿在我們的生 活各行各業中呢？在美國職業調查完全手冊中提出以下內容：
一、基本算術：加減乘除四則運算、度量單位如杯、公升、英尺、磅等。
二、分數與小數：含小數及分數的運算、計算比率和百分率、製作和解釋長條圖。
三、商用數學及代數：計算利率、折扣、收益、損失、佣金、漲價、比率、比例、
百分率、求面積與體積，能處理變數、多項式、平方根等，能處理平面與立 體圖形、求角的特性。
四、代數、三角與幾何：處理基本函數（線性、二次），解方程式及不等式、處理 對數、三角函數與反函數、極限與連續、機率與統計推論，求公理、平面與 立體以及座標。
五、解析幾何、微積分與統計：指數、數學歸納法、二項式定理、排列、代數函 數的微分與積分、機率分布、常態曲線、變異數分析、相關分析、卡方檢定、
取樣理論、因數分析等。
六、微積分、抽象代數、統計學：極限、連續性、隱函數定理、微分方程、無窮 級數、複變數、群、環、場、線性代數、實驗設計、統計推論、計量經濟等。
曹亮吉（2003）強調數學是身邊事，我們週遭的自然與社會環境中，
到處可見數與形，可見數學與生活息息相關。而數學的視野與技術的基本 素養也是終身學習的利器（教育部，2001），再則數學為科學之母，是國
家競爭力的基石，因此全民數學的提昇，將是社會理性發展的原動力（教 育部九年一貫數學學習領域綱要修訂小組，2003）。英國 Dunee 大學課程 設計的主導教授 Mark Chaplain 認為數學將是一門促使當前生活科學有所 突破的學科，他說：「不論在手術室、高科技生產線或是電腦遊戲中隨處 可見數學的影子」（陳碧雲，2002）。
由上所述，足證數學隨時隨地伴隨在人類社會生活中，因此察覺數學 概念及其應用是學習數學極重要的一件事。
貳、 國小學童日常活動相關的數學：
對學生的數學學習過程而言，數學的學習須自學生的日常生活經驗開 始，和學校所欲學的數學結合，然後再應用到日常生活問題的解決上（蔡 文煥，2001）。學生在日常所從事的活動中，其實也隱含了很多的數學概 念，如：
一、堆積木：幾何概念（如形狀的辨識；空間的能力）；測量概念（如體積大小、
面積大小）。
二、家家酒：幣值的應用；總額；找錢；1000 以內的計算。
三、大富翁：六位數以內的合成分解；幣值的認識與使用；以多單位（百、一）
為計算單位。
四、象棋：空間能力；發現規則性；非數字大小的比較、解決問題的能力。
五、撲克牌：撿紅點：10 的合成與分解、配對；200 以內的合成；分類能力。
六、撲克牌：釣魚：兩數的大小比較。
七、撲克牌：心臟病：13 以內的唱數；數詞與數字表徵的對應；觀察力。
八、撲克牌：十點半：10 以內幾個數的合成（特別是追加型）；雙倍的意義。
九、撲克牌：大老二：與 3 的大小比較；分類能力；數的順序。
十、撲克牌：排七：數的順序；數的累加；分類能力。
十一、跳繩：單人跳：數數。
十二、跳繩：跳高：高度的概念及比較（蔡文煥，2001）。
十三、買賣活動：幣值的認識與使用；2000 以內的合成與分解，兩數的比較大小。
十四、躲避球：50 以內的合成與分解；時間的概念。
十五、賽跑：時間的概念；速率。
在學生生活中有如此多包含了數學概念的活動，教師若能適時地將其
與教學題材相結合，透過兒童有興趣的遊戲方式來進行教學，將數學知識 與生活連結起來，則可提高兒童學習的意願與效率。
參、童話數學：
所謂童話數學是利用兒童耳熟能詳的童話故事，將數學的問題融入童 話故事中，讓兒童從童話情節的發展與情境插畫的閱讀，進行相關的數學 問題思考（黃幸美，2001）。
學生是喜歡閱讀童話故事的，教師若能利用故事內容、人物角色、插 圖等與生活經驗連結，創造出適當的教學情境與數學問題，再讓學生進行 解題工作，如此，不但能將數學概念與生活經驗產生結合，更能提高學生 的學習興趣，也能讓學生察覺故事情境中的數學概念、數學的意義及用處。
肆、校園中的數學學習—數學步道：
從八十二年課程標準開始，數學課程重視建構的精神及認知的發展，
因此運用既有經驗和情境結合以建構新知，是課程規劃的首要（鍾靜，
1998）。黃敏晃和朱建正為提倡此理念，利用台大校園規劃了「椰林裡的 秘密」之數學步道，帶領台北地區的一些學童與家長，從校園環境的探索 中去尋找數學相關知識。國立台北師院附屬實驗小學及台北市萬福國小基 於以上之理念，亦規劃了自己校園內的數學步道。「數學步道」的學習情 境是利用校園中的情境，結合數學概念設計規劃出一連串可以讓學生自行 探索、推理、實作、嬉戲中求其解答的活動與場景（張武藤，1998）。在 這樣的設計中，校園的情境或許沒有什麼多大的改變，不過學生卻動起來 了，他們可以從操作中察覺原來諸如時間、面積、體積、容量等的數學概 念不僅是書本中的知識，而是真實存在於生活中，也在生活中處處需要運 用。將小朋友帶出室外，從生活情境中汲取新知，打破傳統數學的窠臼，
使數學的學習活動既生動又活潑，也更能讓學生了解到數學在生活中的意 義，吸引學生的學習興趣而主動學習。
由此我們可以知道，數學理論如果能結合情境將可使學生產生概念而 且可彰顯學校本位課程，更能提升學生學習興趣，達到全方位的學習效能。
伍、小結
既然在我們的生活週遭充滿了如此多的數學，同樣也有很多的情境應 用到數學知識來解決問題，那麼將數學課堂和真實情境相結合讓數學學習 更加有趣與具有實用性，就顯得格外重要。在教學內涵和活動情境的改變 當中，讓學習者能夠察覺到數學概念與知識的重要性，也就是它與生活的 關連性及應用性，而不只是課本裡枯燥無味的單一學問罷了！讓學習者察 覺到原來生活中的許多事物都有數學概念的存在，也有很多問題是可以應 用數學知識來解決的，才能夠引起學習者的學習興趣，進而有學習的意願 去建構更多新知。因此，察覺對於學生學習數學概念是極重要的，應該在 教師教學過程中適當引導學生「察覺」，並數學與生活真正連結起來，更 將數學與其他知識統整起來，讓學生的數學學習變成為有意義的趣事。因 此，本研究中的教學活動設計就本此理念，將學生熟悉的生活情境與他們 日常生活中經常從事的活動結合，使學童能夠真正從生活中、其他科目與 文化活動中察覺數學的存在，進而培養學童數學學習的察覺能力。
第三節 教學相關活動與察覺能力培養之關係
學童察覺能力的培養與教師佈題、學生擬題、解題、數學寫作等活動 有密切關係，分別說明如下：
壹、教師佈題
一、教師佈題的意義：
「問題是數學的心臟。」這是美國當代數學家（
P. R. Halmos
）所提出 的，而從許多數學的歷史發展研究中也印證了此一理論。因此，在數學課 堂中，「問題」佔了非常重要的地位。根據梁淑坤（1994）對數學問題的 定義「教師設計題目以配合種種教學目標，稱之為『佈題』」，而我國的數 學課堂中，以教師佈題為問題的主要來源。二、教師佈題的重要性：
既然問題是一堂數學課程的核心，那麼一個好的數學問題就要能夠傳 達教師所欲傳達之數學概念，除此之外還要能夠吸引學生的注意力，如此 才能夠達到事半功倍的卓越成效，誠如鄔瑞香所認為「佈題的功能在於製 造一個有趣的情境，誘發學生思考、討論、辨證、進而建構自己的數學概 念。」（鄔瑞香，1999）又如林文生研究所發現「教師佈題的能力與技巧，
其實才是決定數學課程運作成敗的關鍵」（林文生，1996）。從學者們的研 究中我們可以發現一個問題會在課堂中引發不同的成效，可能是一連串有 意義的討論、可能只是知識概念的無意義堆積，為了要達到良好的教學成 效，教師就必須要能佈一道漂亮的好問題，讓學生願意熱情參與，更能得 到正確的數學概念及經歷各種不同的解題歷程，因此要提出問題是很容易 的，但是要提出一個好問題卻是困難的（Kilpatrick，1987，引自林文生、
鄔瑞香，民 88），一位經驗豐富的老師就必須精熟課本中的數學概念及所
欲達成之目標，再配合學生的生活經驗，在問題中更要以學生能夠理解的 生活語言、生活事物與經驗來構築，如此才能達到幫助學生建構數學概念 的目的。（林文生、鄔瑞香，1999）
三、教師佈題與察覺的相關性
從以上佈題的意義及其重要性中，發現教師佈題是希望教師從數學概 念出發配合相關情境來設計問題，達成建構學生數學概念的目的。而如何
從以上佈題的意義及其重要性中，發現教師佈題是希望教師從數學概 念出發配合相關情境來設計問題，達成建構學生數學概念的目的。而如何