六年級學童數學學習察覺能力教學之個案研究

國立台中師範學院數學教育系碩士論文

指導教授：劉 好 教授

六年級學童數學學習察覺能力

教學之個案研究

研究生： 陳美娟 撰

中 華 民 國 九十四 年 六 月

摘 要

本研究針對國小六年級學童數學學習察覺能力表現進行研究分析，以期能了 解學童對於所學得的數學概念是否能夠與生活、與其他學習科目、與文化活動產 生連結，並希望學童能因為察覺到數學概念與生活、其他學習領域科目以及文化 活動是相關且連結的，能夠將數學概念應用於生活情境中且幫助學習。 研究結果發現：教學前，對於熟悉的概念學童的察覺表現較佳，對於不熟悉 或新的概念察覺表現較差。而學童的生活經驗影響學童察覺表現的廣度。許多學 童雖然能察覺到相關事物，卻無法說明相關性，或說不清楚相關性，顯見學童的 察覺能力只達到粗淺的定義階段未達心理學層面之察覺表現。教學中，學童透過 討論溝通解題過程，數學概念得以澄清，且能察覺到相關事物，也能明白並說明 相關性所在。教學後，幾乎所有學童均能察覺到相關事物，部分學童尚能從經驗 中找出規律性，並將這些知識內蘊化為自己的知識體系，更能將自己的想法藉由 轉化為數學語言與他人討論溝通並應用，未能達到內蘊化境界的學童，亦透過教 學活動的學習，察覺表現有顯著進步。顯見學童的生活經驗與教學活動的安排對 於學童察覺能力的培養均有相當大的影響。 經過本研究之後研究者發現教學活動如果讓學童有更多動手操作、親身經歷 與討論溝通的過程，不但學童上課參與度提高，對於察覺能力的培養有著極大的 幫助。 關鍵字：察覺能力、數學學習、連結、教學、個案研究

The case study in teaching perceptibility of six-grade elementary

school students in learning mathematics

Abstract

This study mainly focuses on the analysis of the perceptibility of six-grade

elementary school students in learning mathematics. Ideally, students should be able to well perceive that the mathematical concepts that they have learned are correlated and connected with their daily lives, other subjects at the school, and various cultural activities, so that they can apply these concepts in their daily life scenarios to learning. The core objective of the study is basically to explore if the connection can be

achieved by education.

The findings of the study show that prior to teaching students usually

demonstrate better perceptibility in familiar concepts than in unfamiliar or new ones, that the width of perceptibility is significantly affected by their daily life experiences. As a matter of fact, many students can observe different events and things in their lives, but not identify the clear relationship among their observations. It indicates that the perceptibility at this stage is superficial and doest not reach a deeper psychological level yet. During teaching periods, students can gradually clarify the mathematical concepts through discussion and problem-solving processes, and clearly describe the relationships among the events and things they have perceived. Afterwards almost all the students can reach a certain level of perceptibility. Moreover, some of them are able to induce several rules from their experiences and internalize these rules as their own knowledge. They can also transform such a comprehension into mathematical languages for further discussion and application. For those who are not capable of

internalizing, they can make a significant progress in perceptibility through a series of teaching activities. It indicates that fostering students’ perceptibility will be greatly affected by their life experiences and efficient arrangements of teaching activities.

In addition, more practical manipulation, self-experiencing, and discussions being involved into teaching activities can remarkably enhance students’ class participation and their perceptibility.

目 次

第一章 緒論. . . 1 第一節 研究動機與目的. . . 1 第二節 名詞定義. . . 5 第三節 研究限制. . . .6 第二章 文獻探討. . . .. . . .7 第一節 各國數學課程與「察覺」相關內容之研究. . . .. . . .7 第二節 數學與生活、兒童學習情境之關連. . . .37 第三節 數學相關活動與察覺能力培養之關係·. . . .. . .41 第三章 研究方法. . . .. . . . 55 第一節 理論根據與架構. . . .. . . .55 第二節 研究程序. . . .. . . .57 第三節 研究場域. . . .. . . .59 第四節 研究工具的設計與發展. . . .. . . .62 第五節 資料蒐集與分析. . . .. . . .67 第四章 研究結果與討論. . . .. . . .74 第一節 學童學習「形體的性質」單元察覺能力的表現情形. . . .. .74 第二節 學童學習「分數的加減」單元察覺能力的表現情形. . .. .159 第三節 綜合討論. . . 250

第五章 結論與建議. . . .. . . .256 第一節 研究結論. . . .. . . . 256 第二節 建議. . . .. . . 274 參考文獻. . . .. . . .277 中文部分. . . 277 英文部分. . . .282 附錄. . . .284 附錄一. . . 284 附錄二. . . .. . . 298 附錄三. . . 310 附錄四. . . .. . . 311 附錄五. . . .. . . 312 附錄六. . . 313

表 次

表 2-1 翰林版第十冊數學教科書第六單元「體積」活動三「以立方厘米和立方 米為單位的計算」教學活動. . . .. . . .13 表 2-2 南一版第十一冊數學教科書第六單元「小數」教學活動一「認識三位以 上小數」. . . .. . . .17 表 2-3 康軒版第十一冊數學教科書第三單元「分數的加減」活動一「最簡分數」 的一段及活動二「通分」中的一段. . . .. . . .19

表 2-4 Curriculum & Evaluation 中 Mathematical Connection 與九年一貫課 程綱要數學領域中之察覺主題內容對照. . . .. . . .24

表 2-5 Principles and Standards 中 Connection 內容與九年一貫課程 綱要數學領域中之察覺主題內容對照. . . .. . . 26 表 2-6 英國數學課程. . . .. . . .28 表 2-7 「使用及應用數學」各層次所要達成之成就目標內容. . . .29 表 2-8 四個學習階段階段「使用與應用數學」內容與察覺主題之對. . .30 表 2-9 大陸數學課程標準「實踐與綜合應用」與察覺主題之對照. . .. ..32 表 2-10 荷蘭小學階段數學跨學科目標與「察覺」能力指標之對照. . . . .33 表 2-11 荷蘭小學階段數學課程一般性目標與「察覺」能力指標之對. .. .33 表 2-12 Polya 的解題歷程表. . . .. . . .46 表 2-13 Mayer 的解題歷程與知識的關係. . . .. . . .48 表 3-1 訪談學生名單. . . .. . . .59 表 3-2 形體的性質單元教學活動設計內容分析. . . .. . . .63

表 3-3 分數的加減教學活動設計內容分析. . . .64 表 3-4 質性資料編碼代表號與意義對照表. . . .72 表 4-1-1 學童在學習「形體的性質」單元之前概念描述資料統計表. . . ..75 表 4-1-2 學童在學習「形體的性質」單元之前察覺各項概念與生活情境相關與應 用情況調查問卷資料統計表. . . .. . .77 表 4-1-3 學童在學習「形體的性質」單元之前察覺各項概念與數學以外其他科目 相關與應用情況調查問卷資料統計表. . . .88 表 4-1-4 學童在學習「形體的性質」單元之前察覺各項概念與以人類文化活動相 關與應用情況調查問卷資料統計表. . . ..99 表 4-1-5 學童在學習「形體的性質」單元之後概念描述資料統計表. . ..117 表 4-1-6 學童在學習「形體的性質」單元之後察覺各項概念與生活情境相關與應 用情況調查學習單資料統計表. . . .119 表 4-1-7 學童在學習「形體的性質」單元之後察覺各項概念與數學以外其他科目 相關與應用情況調查學習資料統計表. . . .. .133 表 4-1-8 學童在學習「形體的性質」單元之後察覺各項概念與人類文化活動相關 與應用情況調查學習單資料統計表. . . .146 表 4-2-1 學童在學習「分數的加減」單元之前概念描述資料統計表. . ..160 表 4-2-2 學童在學習「分數的加減」單元之前察覺各項概念與生活情境相關與應 用情況調查問卷資料統計表. . . .. .161 表 4-2-3 學童在學習「分數的加減」單元之前察覺各項概念與數學以外其他科目 相關與應用情況調查問卷資料統計表. . . .174 表 4-2-4 學童在學習「分數的加減」單元之前察覺各項概念與人類文化活動相關 與應用情況調查問卷資料統計表. . . .187

表 4-2-5 學童在學習「分數的加減」單元之後概念描述資料統計表. .. .206 表 4-2-6 學童在學習「分數的加減」單元之後察覺各項概念與生活情境相關與應 用情況調查學習單資料統計表. . . .. . . .206 表 4-2-7 學童在學習「分數的加減」單元之後察覺各項概念與數學以外其他科目 相關與應用情況調查學習單資料統計表. . . .. . . .221 表 4-2-8 學童在學習「分數的加減」單元之後察覺各項概念與人類文化活動相關 與應用情況調查學習單資料統計表. . . .. . . . .236

圖 次

圖 2-1 知識形成過程. . . .8 圖 2-2 傳統觀點：解題建立在基礎技巧之上. . . .. . . . .. . . .49 圖 2-3 傳統觀點：解題建立在基礎技巧之上. . . .. . . .49 圖 2-4 數學解題流程圖. . . .. . . .50 圖 3-1 研究架構圖. . . .56 圖 3-2 研究流程圖. . . .. . . .58 圖 4-1-1 研究者教學模式. . . .111 圖 4-2-1 研究者教學模式. . . .201

第一章 緒論

第一節 研究動機和目的

壹、研究動機 「學數學做什麼？」、「學數學有什麼作用？」、「學了這麼多，平時又 用不到，學它何用？」在實際從事教學工作這些年來，經常聽到學生發出 如此的疑問。顯示大多數的學生在學習數學的過程中，並未察覺數學與其 日常生活中各種活動的密切相關性，以及數學在其解決各種問題時所扮演 的重要角色。究竟數學只是學校課堂中的一門科目？還是日常生活中可以 運用到的知識技能？究竟數學只是科學家的事？還是存在於你我的日常 生活中呢？亦或只是學生們在學校非學不可的學科罷了？這些問題正是 我國當前教育與課程改革所重視的問題。 曹亮吉（1998）在數學年夜飯的序二——「每位學生都可以是英雄」 中，提到過去大部分教師的數學教學重點往往擺在正確的答案，較忽略求 取答案的過程；這是數學教育最該檢討的地方。又說「答案至上的教學， 常迫使教師選取一條求得答案的捷徑，而強加在學生身上。學生用強記， 題目雖然做得快，但就失去了自行探索的樂趣，遇到稍有變化的題目也往 往束手無策。」這就表示我們的數學教學重視的是學童計算技巧與熟練度 的培養，而不重視與生活情境之察覺與應用能力的培養，也就是說在傳統 數學教學之下學生察覺能力是較為欠缺的。若能「掌握了少數探索的原 則，就可以面對眾多的挑戰，這就是數學的樂趣。」、「對國中小學生來說， 數學要有趣，題目要與日常生活相連結——日常生活實際發生的狀況，不 是虛擬其境的日常生活。」從數學史的觀點來看，數學是因應人類生活需 求而產生的一門學問（王懷權，1992），因此讓數學能真正和生活產生結 合以驅使人們學習它、追求它的動力是解決因社會需要而直接提出的問

題，如商業和金融、航運、建築、戰爭、…等，數學能對這些問題提出完 美的解決（M.KLINE 著，張祖貴譯，1995），也就是說數學是一個活生生的 科目，它是用來找出一個深入我們生活周圍及內心的了解模式（謝如山等 譯，2002）。 數學除了用於日常生活的計算之外，最重要的是能訓練心智邏輯思考 能力，而這樣的能力就必需要能察覺日常生活中是否具有數學概念的存在 了。因為數學不是抽象枯燥的課本知識，而是充滿魅力與靈性，與現實生 活息息相關的活動（蔡聰池，2000）。因此我們的數學教育不應該只是對 學生做一味的知識灌輸，應該讓學生真正地參與討論與鑽研，在解出答案 後得到發現規律與模組的快樂與喜悅（謝如山等譯，2002），進而引發一 連串的求知慾望，因此我們可以說數學是一個變化知識的主體，也是一條 通往獨立思考的途徑。在目前資訊化的社會中，數學資訊廣泛的被應用， 人們需要透過對數與形的訊息瞭解才能認識環境，國民需要培養分析資 料，形成臆測、驗證與判斷的能力，如此才能提昇生活品質、改善生活環 境，而多元社會中國民必須有開放尊重的特質，數學的討論過程激勵多樣 化的獨立思維方式，尊重各種不同的合理觀點，故而是理性的、是多元開 放的（謝豐瑞，2000）。要培養這些特質，就要靠察覺能力的培養，而且 證明數學與生活之相關性是如此密不可分。因此學校的數學教育應該採取 與學習者生活息息相關之經驗內容為主，讓學童察覺數學與其生活的關連 與重要性，以增進學習者活用所學於日常生活上，進而提昇其學習意願與 興趣，並激發其自我學習、主動探索課題、解決生活問題之能力。 整個學校數學的教學重心即是——問題，如何將數學課堂中的問題設 計得活潑有趣能夠吸引學生的注意力又能正確地傳達數學知識與概念，應 該是現在教師所要具備的重要能力，也就是建構主義所主張的教師要從知 識的「傳授者」轉變為問題的「佈題者」。為了習得正確的數學概念，教 師在課堂中藉由解題來達成這樣的目的，而學生要正確地解出一道數學問

題，首先就是要了解題目、察覺問題中各語句所描述的意義及彼此之關 係，再將其利用數學的語言表示出來，也就是要將其轉換成數學符號表徵 模式，才能順利進行解題的工作。而學生在了解題目的過程中如果教師能 夠從學生現有的經驗中來引導，將所欲傳達的數學概念與學生原有的生活 經驗相結合，運用其本身的數學想法與正規數學概念相配合（游自達， 2001），將之運用數學模式表徵出來以進行解題，加上教師適時從旁引導 與提問，讓學生再次經驗、察覺與反思（甯自強，1993），才能真正理解 數學概念。而美國數學課程與評量標準（Curriculum and Evaluation Standard for School）中也曾明白指出如果學生的數學要學得好，學生 們必須連結各種能力與運用不同方法解決生活情境中的問題（NCTM， 1989）。

許多研究證據顯示：未受過教育的人亦能利用自己的發明策略去解決 與日常生活有關的數學問題，只是這些策略和那些受過學校教育的人相較 有很大的不同而已（Carraher,Carraher & Schliemann，1985，1987； Ginsburg，1978；Lave，1988；Lave,Murtaugh & de la Rocha，1984； Saxe，1988；Scribner，1984，引自蔡文煥）。Madell（1985）更加強調 「日常生活數學」有助於「學校數學」學習的理論，他認為方法的創造發 明是奠定學校學習數學的良好基礎。例如巴西的學校數學課程是以兒童日 常生活數學為基礎設計，這些計劃課程實施後學生非常熱烈參與各項活 動，一改以往教學的被動和重複練習，師生很積極地主動參與，學生變得 有自信心，有能力討論、辯證主要的數學觀點（黃敏晃譯，1991；蔡文煥， 2001）。丹麥的數學課程計劃中，採用日常生活情境出發連結各領域的知 識與技巧於整個問題解題策略中，例如「能量」這單元中學生在用餐前要 先將食物秤重並計算熱量，並進行比較不同食物熱量多寡會有不同，學生 除了要有數學的估算能力之外，又必須要有熱量的概念及不同量的糖量會 造成熱量不同等概念（Ole Skovsmose，1994），在課程中自然能讓學生體

會到數學與其他課程領域也是息息相關的。 從以上種種學理及文獻中研究者發現了加強數學思維，有助於個人生 涯中求進一步的發展，那麼究竟要如何才能在教學過程中增進學生在日常 生活方面的數學素養呢？如何引導學生使他們能察覺到日常生活中的數 學並將之與教室中的數學產生關聯？這是頗值得研究探討的部分。因此， 研究者擬嘗試探討六年級學童在這部分的表現情況。 貳、研究目的 本研究之主要目的在從研究者的教學中實際觀察以期瞭解以下各項 情況： 一、學童察覺生活中與數學相關情境的情形。 二、學童察覺數學與其他領域之間連結與使用情形。 三、學童察覺數學與人類文化活動相關的情形。

第二節 名詞定義

本研究中的重要名詞定義如下： 壹、九年一貫課程 本研究所指九年一貫課程，是教育部於民國八十七年九月三十日公告 之國民教育階段九年一貫課程總綱綱要之連貫國民中、小學課程。「各學 科課程暫行綱要」於民國八十九年九月公布後，在民國九十年起正式實 施。從民國九十年逐年實施起，至現在九十三學年度已經有國小一至六年 級、國中一至三年級適用此九年一貫課程。 貳、數學領域 九年一貫課程綱要中強調以課程統整（curriculum integration） 取代傳統分科教學，因此提出七大學習領域－－「語文」、「數學」、「社會」、 「自然與科技」、「健康與體育」、「藝術與人文」、「綜合活動」等。在以往 課 程 中 的 「 數 學 科 」 在 九 年 一 貫 課 程 中 改 稱 為 「 數 學 學 習 領 域 」。 叁、連結 教育部民國九十年出版國民中小學課程暫行綱要數學學習領域內容 中，將數學內容分為數與量、圖形與空間、統計與機率、代數、連結等五 大主題。本研究中之連結乃指此五大主題中的連結。 肆、察覺 察覺的意義可分三方面來說：第一「字典」——由觀察而感覺到。第 二「心理學」——學習者在解題過程中的認知變化情形及從舊經驗中尋求 規律。第三「課程」——透過情境注意到該關係或意義及數學外部的連結。

教育部民國九十年出版國民中小學課程暫行綱要數學學習領域內容 的「連結」主題分為五個步驟：察覺、轉化、解題、溝通、評析。本研究 僅針對九年一貫數學領域連結主題中的第一步驟「察覺」進行探討。而「察 覺」所要達成的目標有「C-R-1 能察覺生活中與數學相關的情境。」、「C-R-2 能察覺數學與其他領域之間有所連結。」、「C-R-3 能瞭解其他領域中所使 用到的數學知識與方法。」、「C-R-4 能察覺數學與人類文化活動相關。」。

第三節 研究限制

本研究是個案研究，結果深受個案所處環境脈絡的影響。因此，所得 結果不能通則化。本研究的研究範圍與限制為： 一、 為方便本研究進行及研究時間的限制，乃以研究者教學的班級為對 象，因此在結果的推論上將有所限制。 二、 在研究倫理的考量下，對於研究對象，所有的教室觀察、訪談事先都 經過研究對象的同意。因此，研究對象在上課及訪談時的表現上，可 能和平時輕鬆活潑、開玩笑的態度有所差異。 三、 本研究是針對研究者的教學情境作探討，其主觀性是顯而易見的，但 為避免陷入個人偏執的思考觀點，請一位老師參與觀察，以增廣研究 觀察的角度以及提高效度，但其主觀性仍然存在。

第二章 文獻探討

本章將探討與察覺相關的文獻資料，包括第一節各國數學課程與「察 覺」相關內容之研究，第二節數學與生活及兒童學習情境之關連，第三節 教學相關活動之研究。

第一節 各國數學課程與「察覺」相關內容之研究

壹、 我國數學課程與「察覺」相關之內容： 一、「察覺」的闡釋： 根據五南出版社國語活用辭典的說法，「察覺」就是「由觀察而感覺 到。」是從字面來解釋「察覺」的意義。教育部重編國語辭典中，「察覺」 為觀察到、感覺到。從數學的學習來看，「察覺」是學習及應用數學知識 的基本能力。 甯自強曾以根本建構主義的觀點加以詳細說明（甯自強，1993）： 「經驗」——是指在一個解決數學問題的情境中，進行一個新而有效的數 學解題活動而言，此時教學者只能對教學者的反應加以推 論，提出修正意見。 「察覺」——指兒童不但能從已有的經驗類型中選出有效的解題活動類 型，並且能在缺乏感官材料的情境中，自行供給所需材料的 表徵以進行解題的活動。此階段兒童只知如何做，卻無法知 道何以這樣做是有效的。 「瞭解」——兒童不但能以再表現的方式解決問題，並且能以在表現中的 活動的組織成分來說明，為何其解題活動是有效的，也就是 說此階段中，解題者不僅知道如何做，也知道為何如此做是 有效的。 甯自強在此處所提到的「察覺」是以心理學的層面來解釋，注意到兒

經驗 察覺 規律 童在接觸題目時，整個心理思考的過程，從已有的基模中尋找可用的方法 進行解題活動。 黃敏晃（1994）也曾經對「察覺」下過一番註解，他認為知識並不是 客觀存在，而是依附在人身上的。換句話說，學習者，一定要主動將資訊 做某種處置，知識才會在他腦中形成。知識形成的過程大概是如下的：經 驗→察覺→理解→內蘊化，如圖 2-1 所示。 屢試不爽 知道為什麼 不需每次重 一定會這樣 新打開概念 圖 2-1 知識形成過程 他說我們一般人認為知識是由經驗開始的，經驗累積足夠多了，我們 才會開始察覺到一些規律。譬如說，5、6 歲小還在數一堆由 3 個白色花片 和 5 個紅色花片組成的集合時，他先數白的再數紅的得到 8，下一次他先 數紅的再數白的也得到 8。頭一次可能是巧合，但每次都這樣就有點奇怪 了，這裡是不是有個規律存在？當他開始懷疑時，他就有了「察覺」。由 此可知，他所說的「察覺」是由經驗中發現到規律的存在。 曹亮吉（2003）曾提出以下例子說明「察覺」的意義， 一位西裝筆挺的先生上了公車，問駕駛員：「有沒有到新生南路口？」 駕駛員：你要到哪裡？ 乘 客：新生南路口！ 駕駛員：我們現在就走在新生南路上，你要到信義路口？金華街口？和平 東路口？辛亥路口？羅斯福路口？ 乘 客：我要在新生南路口下！ … 曹亮吉認為：駕駛員「察覺」到這是個數學問題，將問題情境「轉化」成 數學語言，也就是一條線（新生南路）要找另一條線（××路）相交，如何 理解 內蘊化

來「解題」呢？所以他和乘客進行「溝通」，駕駛員在詢問「你要到哪裡？」 後，仍無法「解題」，於是，他再問：「我們現在就走在新生南路上，你要 到信義路口？金華街口？和平東路口？辛亥路口？羅斯福路口？」，前後 兩種不同的問話，這便是駕駛員經過「評析」後所表現出的結果。 所以，曹亮吉認為的「察覺」是在生活情境中發現數學相關情境，再 找出適當的規律。 從以上這些對於「察覺」的定義與解釋發現，甯自強所說的「察覺」 是從心理學的角度來定義，重視的是學習者在學習解題過程中的認知變化 情形。而黃敏晃和曹亮吉所說的「察覺」則是從操作及經驗當中發現事物 的規律。雖然，他們定義解釋的切入點不同，但均是從學習者學習的角度 出發，強調從學習者舊有的基模當中尋求經驗作為新學習的出發點，幫助 新學習的進行。 二、八十二年版課程標準： 在八十二年版課程標準中也曾對「察覺」這個名詞做過一番註解，不 過在解釋此名詞之外，尚必須連帶提出兩個名詞「經驗」、「瞭解」，這兩 者與「察覺」在課程中是具有相關性的。其註解如下： 「經驗」——僅出現該關係或意義之情境，此時仍視為獨立之事實。 「覺察」——透過某些情境注意到該關係或意義。 「瞭解」——在任何情境中都能發現該關係或意義，並應用該關係或意義 解題（教育部，1992）。 此處所提到的「察覺」是僅從情境中注意到該事物的意義或具有哪些 關係存在，將這些意義和關係釐清並說明出來即可。 我國教育部於民國八十二年所公佈的小學課程標準中，數學部分之目 標為：國民小學數學教育目標，在於輔導兒童從日常生活經驗中，獲得有 關數學知識，進而培養有效運用數學的方法，以解決實際問題的態度及能

力。在總目標中提到「養成主動地從自己的經驗中，建構與理解數學的概 念」、「養成從數學的觀點考慮週遭事物，並運用數學知識與方法解決問題 的能力。」、「養成在日常生活中善用各種工具從事學習及解決問題的習慣」 以上各點都是意涵「察覺」能力的培養。在領域目標的第二部分「需要養 成的習慣、態度與理想」中，「對日常生活的事象能從數理的觀點使之理 想化、抽象化、條件化加以考察和處理。」、「能以數學的方式與別人溝通、 討論、講道理」、「能從數學觀點批判事物的合理性」。在教學方法中提到 「教師可依教科書所規範的單元目標，配合當地環境和兒童的實際生活， 選擇適當而有趣的題材做為教材。」這些要點皆意涵著學習數學要與生活 連結，其中也涵蓋察覺能力。可見從八十二年版課程標準開始，就已經重 視學童「察覺」能力的培養，只是未將之獨立列為目標項目而已。 所以在此階段教師教學時應與學生的生活經驗相結合，讓兒童觀察討 論等活動，引導學生察覺數學與生活、其他領域的連結與相關性，以利教 學活動進行時引發學生的學習興趣，並能產生有效的學習。 三、九年一貫課程綱要： 數學起源於人類的需要，它經過淬練，儼然自成一個體系。不過對大 多數人而言，要能與生活連結、要能與其他領域連結，所學數學才能落實， 才能有助於終身學習（教育部，2001）。 九年一貫課程數學領域暫行綱要中，期望學生達成「培養日常生活所 需的數學素養。」、「發展形成數學問題與解決數學問題的能力。」、「發展 以數學作為明確表達、理性溝通工具的能力。」、「培養數學的批判分析能 力。」、「培養欣賞數學的能力。」這些目標，並將數學內容分為數與量、 圖形與空間、統計與機率、代數、連結等五大主題。在此列入的「連結」 這個主題包括貫穿前四個主題的數學內部連結，強調的是解題能力的培 養；數學外部的連結則強調生活及其他領域中數學問題的察覺、轉化、解

題、溝通、評析等能力的培養。而連結的第一步即為「察覺」，察覺生活 以及其他領域的某些情境中有數學的要素，可藉助數學觀點的切入，使情 境的情景變得清晰，可見得「察覺」在數學學習中的重要性。為達成此目 標，所以特別要求教師教學時要從學生的生活經驗出發，引導學生察覺數 學與生活、其他學習領域的相關性，更引導學生察覺數學是真正落實於生 活當中的，強調的是數學外部的連結即是生活及其他領域中數學問題的察 覺（R）能力的培養。具備這些能力，一方面增進學生在日常生活方面的 數學素養，能廣泛應用數學，提高生活品質，另一方面也能加強其數學式 的思維，有助於個人在生涯中求進一步的發展（教育部，2001）。其所欲 達成之目標如下： 察覺： C-R-1：能察覺生活中與數學相關的情境。如：要到阿里山旅行，知 道查看火車及客運車時刻表。 C-R-2：能察覺數學與其他領域之間有所連結。如：知道城市中的地 址設置有某些數學式的想法。 C-R-3：能瞭解其他領域中所使用到的數學知識與方法。如：能瞭解 理化中以代數的等式表示壓力、體積與氣溫之間關係。 C-R-4：能察覺數學與人類文化活動相關。如：各民族帶狀裝飾的設 計往往具有對稱的性質。 在九年一貫的課程標準中發現其與社會需求的配合愈加緊密，除了傳 統認知中的數學計算之外，更重視合作解題以及對日常生活中問題敏感度 與解決問題能力及應用於各領域能力之培養；除此之外，在教學方法上更 是明顯的轉變，由以前教師講授式的被動學習轉換成以學生為主體的學習 方式，期能培養學生解決問題面對多元社會的能力。 從以上分析後發現八十二年版的課程中雖然已經開始重視與生活的 連結，但是其對於察覺部分的內容呈現均隱含於各個標準當中，而九年一

貫課程卻相當明顯地將這些部分標示出來希望大家能夠重視他們；雖然如 此，依然能夠感受到從八十二年課程標準到九年一貫課程暫行綱要對於數 學領域部分的要求，不再只是單純數學知識概念的強調，而是數學能力的 真正應用。 四、九年一貫課程數學教科書中的「察覺」相關學習活動的處理 「察覺」主題是在九年一貫課程中首次列入課程綱要中，而且在九十 三學年度時，國小部分已經有一至六年級學童依九年一貫課程綱要規劃之 課程授課，因此本研究針對以九年一貫課程暫行綱要為編輯依據，且在全 國使用率較高的三個版本教科書的數學課程編輯理念及教學活動內容加 以分析如下： （一）翰林版數學教材 此版本教科書內容著重學生概念的了解與能力的培養，教材架構依學 童的認知編排，期望學童發展出一套隨身攜帶且終生能用的數學工具。因 此，此套教材在編輯時採用螺旋式編輯。所設計的教學模式為教師佈題、 學生自發解題、學生發表討論、在教師引導下學生達成共識且符合數學的 傳統、教師另佈新題、…。這個教學歷程就是九年一貫課程綱要的第五主 題：「連結」所欲達成的目標——察覺、轉化、溝通、評析。（翰林，2003）。 下面摘錄此版本第十冊教學指引第六單元「體積」活動三「以立方厘米和 立方米為單位的計算」，如表 2-1，加以分析。

表 2-1 翰林版第十冊數學教學指引第六單元「體積」 活動三「以立方厘米和立方米為單位的計算」教學活動 引導活動 學習活動 評量與能力指標 給親師的建議 1.教師布題： 「一個面紙盒長 20 厘 米、寬 9 厘米、高 10 厘米，體積是幾立方 厘米？」 2.「桌上有兩個蛋糕， 小光吃了甲蛋糕，姐 姐吃了乙蛋糕，誰吃 的蛋糕比較多？」（課 本中有圖：甲蛋糕長 6 厘米、寬 3 厘米、高 4 厘米；乙蛋糕長 5 厘 米、寬 2 厘米、高 7 厘米） 3.「一個小羊羹長 9 厘 米、寬 3 厘米、高 2 厘米，7 個小羊羹合起 來是幾立方厘米？」 4.「一條土司長 24 厘 米、寬 10 厘米、高 10 厘 米 ， 平 均 切 成 12 片，每一片土司的體 ․學生可能回答： （1）長方體體積等於 長×寬×高。 （2）其他。 ․學生可能算法： （1）20×9×10=1800 體積是 1800 立方 厘米。 （2）其他。 ․學生可能回答： （1）分別算出兩個蛋糕 的體積，再比較大 小。 （2）其他。 ․學生可能算法： （1）6×4×3=72 甲的體積 72 立方 厘米。 5×2×7=70 乙的體積 70 立方 厘米。 72＞70，所以甲蛋 糕 的 體 積 比 較 大。 （2）其他。 ․學生可能回答： （1） 先算出 1 個小羊 羹的體積，再算 7 個核起來的體積。 （2） 其他。 ․學生可能回答： （1）先算出土司的體 積，再除以 12。 （3） 把長除以 12，再 ․能以公式求長方體的 體積。（N-2-13） ․能以公式求長方體的 體積。（N-2-13） ․會比較體積的大小。 （N-2-9，C-R-1） ․能利用公式求長方體 的體積。（N-2-13） ․能計算以立方厘米為 單 位 的 乘 法 。 （N-2-11、C-R-1） ․能計算以立方厘米為 單 位 的 除 法 。 （N-2-11） ․能瞭解一個數學問題 ․要求學生以體積公式 解題，如發現有學生 無法直接以公式求體 積，可再利用堆疊或 分割的方法加深學生 的印象。 ․同單位體積的比較活 動。 ․體積的乘法。 ․體積的除法練習，教 師需引導學生瞭解兩 種解法。解法一先乘 再除，先算整條土司

積是幾立方厘米？」 5.「蓋房子，用混凝土 打地基，兩棟房子分 別用了 245 立方米和 193 立 方 米 的 混 凝 土，總共用了幾立方 米的混凝土？」 6. 「 蓋 房 子 還 需 要 砂 子，一棟用了 430 立 方米，另一棟用了 246 立方米，兩棟房子用 的 砂 子 相 差 幾 立 方 米？」 7.「蓋一棟房子要用 215 立方米的混凝土，蓋 18 棟相同的房子，總 共用了幾立方米的混 凝土？」 8. 「 建 築 工 地 挖 地 下 室，產生廢土 336 立 方米，一輛砂石車每 次最多載 12 立方米的 廢土，至少要載幾次 才能載完？」 算一小片土司的體積。 ․學生發表。 ․學生可能算法： 245+193=438 ․學生發表。 ․學生可能算法： 430-246=184 ․學生發表。 ․學生可能算法： 215×18=3870 ․學生發表。 ․學生可能算法： 336÷12=28 有 不 同 的 解 法 。 （C-S-5、C-R-1） ․能正確計算以立方米 為 單 位 的 加 法 。 （N-2-11） ․能正確計算以立方米 為 單 位 的 減 法 。 （N-2-11） ․能正確計算以立方米 為 單 位 的 乘 法 。 （N-2-11） ․能正確計算以立方米 為 單 位 的 除 法 。 （N-2-11） 的體積，再除以 12。 解法二先除再乘，將 長除以 12，直接算出 每片土司的體積，不 計 算 整 條 土 司 的 體 積。 ․利用蓋房子的情境， 以三位整數加三位整 數，進行以立方米為 單位的加法。 ․以三位整數減三位整 數，進行以立方米為 單位的減法。 ․以三位整數乘以二位 整數，進行以立方米 為單位的乘法。 ․佈題中出現「18 棟相 同的房子」，目的在強 調每棟都要用 215 立 方米的混凝土。 ․以三位整數除以二位 整數，進行以立方米 為單位的除法。 從以上摘錄的活動中，我們可以發現其引導活動的佈題是以學生生 活經驗——生活中常用到的面紙、常吃到的蛋糕等為題材，並要求學生上 台發表自己的算法，在這個過程中學生要能仔細聆聽同學的發表，這就與 「語文領域」相結合；在解題過程中，學生能夠運用感官或現成工具去度 量，並認識家庭常用的物品——面紙、蛋糕等利用科技方式生產出來的產

品，能夠與「自然與生活科技」相連結。學習數學最重要的是能將數學概 念、方法、邏輯關係等應用於生活中，而非只是單純學習計算技巧罷了， 所以在教科書中的題目中，也引導學生將此數學概念應用於生活中。從以 上的分析中可以發現，此版本教科書的編輯力求呼應「察覺」主題的四個 能力指標，運用學生日常生活事物、情境、文化活動為主題進行數學概念 的教學。 （二）南一版數學教材 此版本教材的設計理念在於我們的文化及其社會情境脈絡下，根據兒 童的學習方式和思考特徵，設計適宜、活潑的教學遊戲活動，促使師生進 行有感覺、有思考的教學，讓兒童主動、快樂進行有意義的學習。基於數 學教學活動必須生活情境化的理念，此版本教科書的內容是生活化數學， 也就是 MIT（Mathematics In Taiwan），希望教師能在進行教學時，能 重視兒童的先前原有的知識、經驗和自然想法，配合兒童的認知發展，結 合兒童熟悉的生活情境，選擇有趣活潑的遊戲活動，運用資訊科技和教學 用具，以營造有利的學習環境（南一，2004）。下面摘錄此版本第十一冊 教師手冊第六單元「小數」活動一「認識三位以上小數」——從單位小數 進一步認識三位小數，如表 2-2，加以分析。

表 2-2 南一版第十一冊數學教科書第六單元 「小數」教學活動一「認識三位以上小數」 布題與引導 互動歷程 教學評鑑 連結 ◎ 活動 1：認識三位以上小數 ○1 公尺是多少公里？ ․布題 1：1 公里等於 1000 公尺， 1 公尺是多少公里？ ․用分數怎麼記？ ․用小數怎麼記？怎麼讀？ ․2 公尺是幾個 0.001 公里？3 公 尺呢？9 公尺呢？ ․10 個 0.001 公里是多少公里？ 怎麼記？怎麼讀？ ․布題 2：阿得每天上學需走 760 公尺，760 公尺和幾公里一樣 長？ ․兒童分組討論、鼓勵發 表。如：1 公里平分成 1000 段，就是把 1000 公尺分成 1000 等份， 每 1 份是 1000÷1000=1 （公尺），所以 1 公尺 就是 1000 1 公里。 ․兒童分組討論、鼓勵發 表。如： 公里可以 用小數記成「0.001 公 里」，讀作「零點零零 一公里」。 ․兒童各自解題、鼓勵發 表。如： 12 公尺就是 2 個 0.001 公里，就是 0.002 公 里； 23 公尺就是 3 個 0.001 公里，就是 0.003 公 里； 39 公尺就是 9 個 0.001 公里，就是 0.009 公 里。 ․兒童各自解題、鼓勵發 表。如：10 個 0.001 公里就是 0.010 公里， 記成「0.01 公里」，讀 作「零點零一公里」。 ․兒童分組討論、鼓勵發 表。如 1 公尺是 1000 1 ․能清楚的說出解題過 程與結果。 ․能說出答案為「 1000 1 公里」。 ․能說出正確答案。 ․能說出正確答案。 ․能說出正確答案。 ․能清楚的說出解題過 程與結果。 ․C-C-3 C-S-4 ․C-S-2 ․C-S-2 ․C-T-1 C-T-2 ․C-S-2 ․C-R-1 C-C-6 C-S-4

․練習題： ․8 公尺是幾公里？5 公尺是幾公 里？用小數怎麼記？怎麼讀？ ○1 毫公升是多少公升？ ․布題 3：1 公升等於 1000 毫公 升，1 毫公升是多少公升？ ․用分數怎麼記？ ․用小數怎麼記？怎麼讀？ ․2 毫公升是幾個 0.001 公升？ 也就是幾公升？3 毫公升呢？9 毫公升呢？ ․用小數記記看？讀讀看。 公里，就是 0.001 公 里。760 公尺是 760 個 0.001 公 里 ， 也 就 是 0.760 公里，可以記成 「0.76 公里」，讀作「零 點七六公里」。 ․兒童各自解題、指名發 表。如：8 公尺是 0.008 公里；5 公尺是 0.005 公 里 ， 用 小 數 記 成 「 0.008 公 里 」 和 「0.005 公里」，讀作 「零點零零八公里」和 「零點零零五公里」。 ․兒童分組討論、鼓勵發 表。如：1 公升=1000 毫公升，把 1 公升分成 1000 等份，所以 1 毫公 升 和 1000 1 公 升 一 樣 多。 ․兒童分組討論、鼓勵發 表。如： 1000 1 公升用 小 數 記 成 「 0.001 公 升」，讀作「零點零零 一公升」。 ․兒童各自解題、發表。 如： 12 毫 公 升 是 2 個 0.001 公升，就是 0.002 公升，讀作「零點零零 二公升」。 23 毫 公 升 是 3 個 0.001 公升，就是 0.003 公升，讀作「零點零零 ․能清楚的說出解題過 程與結果。 ․能說出答案是「 1000 1 公升」。 ․能說出正確答案。 ․能說出正確答案。 ․能說出正確答案。 ․C-R-1 C-C-6 C-S-4 ․C-S-2 ․C-S-2 ․C-T-1 C-T-2 ․C-S-2

․布題 4：小楊早上都喝 500 ㏄的 鮮奶，500 ㏄是多少公升？ ․ 用 分 數 怎 麼 記 ？ 用 小 數 怎 麼 記？ ․練習題： ․做自然實驗時，先將 7 毫公升 的純水倒入量杯中，7 毫公升是 幾公升？再加入 4 毫公升的 油？4 毫公升是幾公升？合起 來是多少公升？ ․用小數怎麼記？怎麼讀？ 三公升」。 39 毫 公 升 是 9 個 0.001 公升，就是 0.009 公升，讀作「零點零零 九公升」。 ․兒童分組討論、鼓勵發 表。如：1 毫公升和 0.001 公升一樣多，也 和 1 ㏄一樣多；所以 1 ㏄就是 0.001 公升。500 ㏄是 500 個 0.001 公 升，也就是 0.500 公 升 。 用 分 數 記 成 「 1000 500 」公升，用小 數記成「0.5」公升。 ․兒童分組討論、各自解 題、指名發表。如：7 毫公升是 7 個 0.001 公 升，4 毫公升是 4 個 0.001 公升，就是 0.004 公升。合起來是 7+4=11 毫公升，11 毫公升是 11 個 0.001 公升，就是 0.011 公升。 ․兒童各自解題、指名發 表。如：用小數可以記 成 0.011 公升，讀作「零 點零一一公升」。 ․能清楚的說出解題過 程與結果。 ․能說出正確答案。 ․能清楚的說出解題過 程與結果。 ․能說出正確答案。 ․C-R-1 C-C-6 C-S-4 ․C-S-2 ․C-R-1 C-C-6 C-S-4 ․C-S-2 從以上活動中，我們可以發現其教學活動中的布題活動，是以學童每 天上學時從家中到學校的行走距離為題材進行小數記法的認識，每天行走 運動有益身體健康與「健康與體育」產生連結；要求學童要先了解題意， 這就與「語文領域」產生連結；解題完成後要求學童發表，與「語文領域」、 「自然與生活科技」、「十大基本能力」——能夠發表自己的想法均產生相

關。從這一小部份的教材分析中，研究者發現書中所設計用來傳達數學概 念的數學問題均以生活情境為依據，強調數學與生活的連結，此版本教科 書的編輯也朝著「察覺」主題的四個能力指標在努力，運用學生日常生活 事物、情境、文化活動為主題進行數學概念的教學。 （三）康軒版數學教材 此版本教材的發展是以生活為中心，配合各階段學生身心與思考的發 展，提供適合他們能力與興趣的學習方式，並據以發展數學學習活動，以 引導其動手作數學，培養數學思考、數學溝通、數學連結與數學評析的能 力（康軒，2004）。並以現實生活的題材為中心，讓學生從中掌握數、量、 形的概念與關係，並培養欣賞數學的能力。強調與九年一貫課程各主題間 的關連性，同時也加強與生活資訊和其他領域之間的連結。下面摘錄此版 本第十一冊教師手冊第三單元「分數的加減」活動一「最簡分數」中的一 段及活動二「通分」中的一段，如表 2-3，加以分析。 表 2-3 康軒版第十一冊數學教科書第三單元「分數的加減」 活動一「最簡分數」的一段及活動二「通分」中的一段 問話舉例與互動歷程 學習指導說明 評量參考 【活動一】最簡分數 1 意珊用 12 4 公尺長的緞帶包裝禮物。 ․想想看，和 12 4 一樣大的分數有哪些？ ․說說看，你是怎麼算的？還有不同的答案嗎？ ․教師佈題，學生解題。 ․學生可能算法： （1） 用擴分的方法找，如： 12 4 = 2 12 2 4 × × = 24 8 （2）用約分的方式找，如： ․教師行間巡視，觀察學生解 題情形。 ․學生如沒有出現圖示，教師 可仿課本線段圖，幫助學生討 論約分和擴分的意義。 ․學生說明算法時，應該說明 算式中數字及符號的意義。 ․ 能 找 出 12 4 的 等 值 分 數。 ․能說明自己 的 解 題 策 略，並判斷別 人 的 說 法 是 否合理。

12 4 = 2 12 2 4 ÷ ÷ = 6 2 （3）圖示：利用線段圖或其他表徵形式，重新 對 12 4 切割或拼湊。 （4）其他。 ․ 24 8 、 6 2 、 36 12 、 3 1 ……都和 12 4 一樣大，可以 用等號記成 12 4 = 24 8 ＝ 6 2 ＝ 36 12 ＝ 3 1 ＝…… ․教師板書於黑板上，並做統整。 2.想想看，（）內要填上什麼數，才能使這些分數 都相等？ ․ 24 8 ＝

( )

4 ＝

( )

48＝

( )

72＝

( )

1 。 ․說說看，你怎麼知道的？ ․教師一邊口述佈題，一邊板書於黑板。 ․教師指名學生上台說明自己的算法。 3.做做看。 ․想想看， 36 27 =

( )

48時，（）內要填上什麼數？ ․說說看，你怎麼知道的？ ․教師一邊口述佈題，一邊板書於黑板。 ․學生可能算法： 1 先將 36 27 約分，找到分母可以擴分成 48 的等值 分數。 2 其他。 【重新佈題】 4 一盒鳳梨酥 36 個，已經吃掉 36 24 盒鳳梨酥。 ․教師的統整說明中，應包含 每個等值分數與原分數的關 係。 ․學生解決 48 16 ＝

( )

72時，較容 易遇到困難，這時，教師可提 示學生： 1 回到原來的分數 24 8 思考。 2 讓學生在等式中找到可提供 解題資訊的等值分數。 ․如果學生不知如何解題，教 師應該提醒學生前面的解題 經驗。 ․教師行間巡視，觀察學生解 ․能寫出正確 答案。 ․能說明自己 解 題 的 方 法。 ․能求出正確 答 案 並 說 出 自 己 的 解 題 策略。

․用約分的方式找找看，和 36 24 一樣大的分數有哪 些？ ․說說看，你是怎麼算的？ ․教師佈題，學生解題。 ․想想看，哪些數可以把 36 24 的分子和分母同時整 除？ 【活動二】通分 1.李爺爺家後院有一塊地，其中 7 3 塊地種空心菜， 7 4 塊地種大白菜。請問種哪一種菜的面積比較 大？ ․說說看，你是怎麼知道的？ ․把比較的結果記下來。 ․教師佈題，學生解題。 ․學生可能做法： 1.從圖像表徵觀察。 2.以平分份數的觀點來看。 3.由單位分數累成真分數。 4.其他。 2.想想看，只比較分子的 3 和 4，就可以知道答案 嗎？ 題。 ․學生如未出現最簡分數，教 師宜詢問「能不能平分成更小 的分數？」直到找到最簡的分 數。 ․教師提問的目的是希望學生 能發現：能同時整除分子和分 母的數，就是分子和分母的公 因數。 ․學生如只回答 7 4 塊地比 7 3 塊地大，教師應繼續追問學生 如何知道。 ․教師可提問學生分子中的 3 和 4 各代表什麼意義？ ․能用約分的 方 式 找 到 等 值分數。 ․能說明解題 過程。 ․能知道同時 整 除 分 子 和 分母的數，就 是 分 子 和 分 母 的 公 因 數。 ․能回答 7 4 塊 地 比 7 3 塊 地 大。 ․能說明得到 答 案 的 解 題 過程。 ․能討論及判 斷 別 人 的 說 法 是 否 合 理。 ․ 能 記 成 7 3 7 4〉 。 ․能說明只比 較 分 子 大 小 就 能 決 定 同 分 母 分 數 的 大小。 注意事項：以 18 90 約成最簡分數為例，學生可能出現的答案有 1 5 或 5，教師都應接受，但仍需指 導學生通常都記成 5。 從這個活動設計中可以發現該活動設計從包裝禮物送人的人與人之

間的互動出發進行最簡分數的教學活動，和「綜合活動」領域相結合；而 種植植物又與「自然與生活科技」相結合；同時中國以農立國，耕種活動 又與人類文化活動相結合。 從以上分析發現教學活動中所設計用來傳達數學概念的數學問題均 以生活情境或其他領域的學習情境為依據，強調數學與生活、其他學習領 域及人類文化活動的連結，除此之外，此版本教科書中另外還強調數學不 同概念間內部的連結，如：分數約分時與公因數概念相結合。顯然此版本 教科書的編輯已注意配合「察覺」主題的四個能力指標規劃，運用學生日 常生活事物、情境、文化活動為主題進行數學概念的教學。 （四）小結 從以上的分析中可以發現，九年一貫課程教科書的編輯有呼應「察覺」 主題的四個能力指標，運用學生日常生活事物、情境、文化活動為主題進 行數學概念的教學。不管是那個版本的教科書，在編輯時都能以生活題材 為命題的依據，以便達成「察覺」第一點要求與生活的連結；各版本教科 書在編輯時，也考量到了數學知識是活用的而非死的知識，因此相當注重 數學知識與其他領域知識的連結。九年一貫課程各版本教科書的編輯已盡 力配合課程綱要，做合宜的設計，以供教師教學參考。 本研究中，研究者根據學校選用的教科書版本為主要參考依據，並參 考其他版本教科書相關內容，配合學校當地的特色及學童的舊有經驗，設 計出教學活動進行教學，期能培養出學童良好的察覺能力。

貳、國外數學課程中「察覺」相關內容之探討 世界各國的課程也經常在修正改革，許多先進國家比我國更早重視數 學與生活、與其他領域的連結，下面就一些國家的課程中的察覺能力培養 情況做一些說明。 一、美國數學課程 美國在最近十幾年來已經進行了兩次的課程改革，從兩次改革中可以 發現他們對數學實用性、應用性的重視，讓數學不只是教室內的單一知識 而已，而是真正的實用知識，是生活的一部分。現在將兩次課程與察覺有 關部分分述如下： （一） 1989 年的課程與評量：

1989 年 National Council of Teachers of Mathematics（簡稱 NCTM）在課程與評量（Curriculum & Evaluation）中提出美國數學課程 的五大目標：1、了解數學的價值；2、對自己的數學能力有信心；3、具 備解決數學問題的能力；4、學會數學交流；5、學習數學推理。雖然在 這些條列出來的目標中未見「察覺」的字面說明，但如要達成這些目標， 除了培養學生數學內部的連結能力之外，培養學生數學外部連結的能 力——學會數學交流也相當重要，也就是說其中意涵著察覺能力的培養。 其中各階段列出的課程與評量中（NCTM，1989），並未明確出現「察 覺」的字眼，但是卻有「察覺」的意涵存在，而且在其「數學連結 （Mathematical Connection）」主題中具有「察覺」意涵的標準是採各 階段分開敘述，且每個階段有其不同的達到標準，例如：在 K-4 年級時 只要求在其他課程領域中使用數學，並未要求使用何種層次的數學；但 在 5-8 年級中，很明確的指出要應用數學的思考及模式來解決其他領域 的問題。反觀我國在九年一貫課程暫行綱要中對於「察覺」的能力要求

卻是獨立列出，且是採取不分年段的方式來編寫，在各年級中均要求學 童要適當具備這些能力並具體落實於學習各種知識的情境中。現在將美 國課程與評量中的「數學連結」主題中具有「察覺」意涵的標準與我國 九年一貫課程暫行綱要中之「察覺」相比較，見表 2－4： 表 2－4 課程與評量中數學連結與九年一貫課程綱要 數學領域中之察覺主題內容對照 課程與評量中之「數學連結」 對應九年一貫課程綱要 數學領域「察覺」能力指標 K~4 年級： ◎將概念上和程序上的知識連結。 ◎在其他課程領域使用數學。 ◎在日常生活中能使用數學。 ◎數學與其他領域的連結。 ◎數學與生活的連結。 C-R-1 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-R-2 能察覺數學與其他領域之間有所連 結。 C-R-3 能瞭解其他領域中所用到的數學知識 與方法。 5~8 年級： ◎以全部整合的觀點來看數學 ◎使用圖形的、數字的、自然科學的、代數的、 和口頭的、數學模式或表示法來探索問題並 描述結果。 ◎能應用數學思考及模式來解決出現在藝 術、音樂、心理學、科學和商業領域等方面 的問題。 ◎在我們的文化及社會中，數學角色的價值。 ◎數學與其他領域的連結。 ◎數學與生活的連結。 C-R-1 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-R-2 能察覺數學與其他領域之間有所連 結。 C-R-3 能瞭解其他領域中所用到的數學知識 與方法。 C-R-4 能察覺數學與人類文化活動相關。 9~12 年級： ◎使用並著重數學及其它領域之間的連結。 ◎數學與其他領域的連結。 C-R-2 能察覺數學與其他領域之間有所連 結。 C-R-3 能瞭解其他領域中所用到的數學知識 與方法。

（二） 2000 年的原則與規準：

美國 2000 年的原則與規準（Principles and Standards）中，每階 段均包含了「數學概念」——數與運算、代數、幾何、測量、資料分析 與機率及「數學能力」——解題、推理與證明、溝通、連結、數學表徵 等十項主題並分別編寫其內容。關於「連結」的部分，NCTM 提出了以下 三點貫穿 K~12 年級的標準：1、認識而且在數學概念間使用連結。2、瞭 解數學概念間是如何建立內部連結，並以連結為基礎形成整體的一致 性。3、在數學之外的情境認識並應用數學。其中與我國「察覺」能力相 關的是「3、在數學之外的情境認識並應用數學。」 美國對於目標能力的編寫，是以實際例子來說明，如在階段 6-8 中 以南方中學學生樂團舉辦演奏會的酒會為例，要學生調配出各種飲料、 準備各種餐點、以及工作人員的調配、時間的安排等為問題情境，要學 生提出解決方案並解釋原因，從中可以看出美國課程中所強調的連結， 是在強調數學內部的連結、數學與其他領域之間的連結及數學與生活之 間的連結；而我國在九年一貫暫行綱要中第一次出現的「察覺」主題亦 強調數學與生活之間的連結以及數學和其他領與之間的連結。現在將美 國 2000 年原則與規準中意涵的「察覺」與我國九年一貫課程暫行綱中的 「察覺」做對照比較，見表 2-5：

表 2－5 原則與規準中連結內容與九年一貫課程綱要 數學領域中之察覺主題內容對照 原則與規準中之「連結」 對應九年一貫課程綱要 數學領域「察覺」能力指標 K~2 年級： ◎透過生活經驗及具體物來做連結。 ◎數學與生活的連結。 C-R-1 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-R-4 能察覺數學與人類文化活動相關。 3~5 年級： ◎在實際的世界提供機會讓學生能將所學與 環境連結。 ◎將相似的數學用在不同情境中，可以讓學 生將數學的一般性及數學的力量做正確的 判斷。 ◎數學與生活連結。 C-R-1 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-R-2 能察覺數學與其他領域之間有所連結。 C-R-3 能瞭解其他領域中所用到的數學知識與 方法。 C-R-4 能察覺數學與人類文化活動相關。 6~8 年級： ◎繼續讓學生有機會去體驗數學，透過教師 的佈題及課程的進行，使整體互相結合。 ◎如果課程教學的焦點在於連結想法的訓 練，學生學到的數學想法就會連結。 ◎運用具挑戰性的問題能鼓勵學生去思考 「有哪些相似的概念及過程，可以在新的 情境中應用」。 ◎數學與生活連結。 C-R-1 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-R-2 能察覺數學與其他領域之間有所連結。 C-R-3 能瞭解其他領域中所用到的數學知識與 方法。 C-R-4 能察覺數學與人類文化活動相關。 9~12 年級： ◎藉由數學知識的連結，學生可以發展出對 數學完整的了解。 C-R-1 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-R-2 能察覺數學與其他領域之間有所連結。 C-R-3 能瞭解其他領域中所用到的數學知識與 方法。 C-R-4 能察覺數學與人類文化活動相關。 從表 2-5 的對照中發現美國 2000 年的原則與規準中並沒有如同我國 般將「察覺」獨立列出能力指標的項目，不過在其「連結」的部分，也出 現了許多「察覺」方面相關的要求。2000 年原則與規準中其他主題中還有 與我國「察覺」能力指標相似的地方，原則與規準中之「解題」中「解決 出現在數學中及其他情境中的問題。」就與我國「察覺」能力指標中的 「C-R-2 能察覺數學與其他領域之間有所連結。」和「C-R-3 能瞭解其他 領域中所用到的數學知識與方法。」雷同。原則與規準中之「表徵」中「使

用表徵以模仿及了解自然的、社會的及數學的現象。」與我國「察覺」能 力指標中的「C-R-1 能察覺生活中與數學相關的情境。」雷同。經過比較 之後發現美國的「解題」、「表徵」中雖然沒有像我國詳細列出察覺的細項， 但是亦有「察覺」方面的能力要求。從他們的課程標準中很清楚地就提到 「數學是深入小學生日常的許多活動當中」，例如在體育課中他們測量和 比較短距離賽跑的距離和時間；測量他們玩遊戲場地的區域範圍；在藝術 課時他們探討摺出和裁出的對稱圖形；在烹飪課時他們利用數學試驗各種 調味方式及味道。而教師也常在課堂中利用學生感到興趣的生活問題為情 境做為教導數學概念以及引發學生學習興趣的方式，例如利用狗來看守一 塊三角形的農場，要將狗綁在農場中的哪個地點才能讓狗到達三個臨界頂 點都一樣遠呢？他們很重視將生活中的情境與數學產生連結，也很重視數 學和學校當中其他學科產生連結以免學生記憶太多獨立瑣碎知識，從這些 地方可以清楚地看出美國對數學與其他科目學習連結的重視，也就是說美 國也重視學童「察覺」能力的培養。 在學儒傳播股份有限公司出版的美國教學錄影帶中，可以發現，美國 的數學教育是從生活中的情境出發，先引發學生的興趣與學習動機，讓學 生「察覺」生活情境問題中的數學問題，並讓學生在動手操作、討論、辯 證中去尋求解題方式，不讓數學知識純粹只是教室內的單一枯燥的學習， 而是存在日常生活中、文化活動（如兒童所熟知且喜愛的故事中）中，讓 數學動起來，更讓數學知識能夠與其他領域的學習相結合，使數學成為真 正活用的知識。如：「分數的加減」中，那兩位小朋友為了參加有獎徵答 的活動，而有了挑戰分數加減法的動機，在解題過程中將題目與生活情境 中的舊經驗連結在一起，發現自己錯誤之處；當面臨更難的題目時，他們 想到了找人一起討論，並在生活經驗中察覺是否有相關情境以便幫助解 題。我國九年一貫課程中連結主題中的目標——察覺、轉化、溝通、評析 五個目標與美國的教學要求——「察覺」生活情境中的數學問題、動手操

作、討論、辯證中去尋求解題方式的觀點是一致的。 二、英國數學課程 1992 年開始實施的英國國家數學課程，規定 5~16 歲義務教育階段的 數學課程，其內容分成四個階段規劃學習主要重點，其中有一個重點為「使 用與應用數學」，（引自 http://www.math.ntnu.edu.tw/~cyc/_private/me9.htm），如表 2-6，當 中有四個貫穿各階段的主題，分別是（一）應該給予學生機會；（二）在 解題過程中做決定並檢驗所做決定；（三）發展數學語言及溝通；（四）發 展數學推理等四項，再依照各階段學生年齡的不同做分項的敘述。除此之 外，又依照學生認知發展的不同將學生應達到的目標分為八個層次，如表 2-7。 表 2－6 英國數學課程 階段（年級） 英國數學課程內容 學習成就之層次（見後面表 2-7） 階段一 （1~2 年級） 使用及應用數學，數，形狀、 空間與測量 層次 1~層次 3 階段二 （3~6 年級） 使用及應用數學，數，形狀、 空間與測量，資料處理 層次 2~層次 5 階段三 （7~9 年級） 層次 3~層次 7 （層次 8 是用於能力很好的學生） 階段四 （10~11 年級） 使用與應用數學，數，代數， 形狀、空間與測量，資料處理 以上 8 個層次不適用於階段四

表 2－7 「使用及應用數學」各層次所要達成之成就目標內容 層次 1 學生使用數學作為教室活動的主要部分，學生以物體或圖畫來 呈現他們的工作並進行討論。學生經常以他們的經驗為基礎察 覺並使用一種簡單的樣式或關係。 層次 2 學生從一些教室活動中選擇數學，學生使用相似的數學語言討 論他們的工作，使用符號及簡單的圖形呈現他們的工作，他們 提出問題並對問題做適當的反應，包含假如……將會……。 層次 3 學生嘗試不同途徑的方法來克服在解題中出現的困難，學生開 始組織進行的工作及檢查結果。學生討論他們的數學工作並開 始說明他們的想法。他們使用也了解了數學符號及圖形。學生 是由找出適合特別例子的性質而了解一般性的陳述。 階段一︵一、二年級︶實施 層次 4 學生為了解題發展出自己的策略，也在數學工作中使用這些策 略，並將數學應用在實際的環境。學生以清楚的、有組織的方 法來呈現資料及結果，解釋所呈現的理由。學生藉由試用自己 的想法來尋找出一種樣式。 層次 5 為了完成工作及解決數學問題，學生確認獲得必須的資料，他 們檢查所得的結果，考慮這些結果是否是適用。學生經由描述 他所使用的數學符號、文字、圖形來顯示他們所了解的情境。 他們以已經產生的證據為基礎，作一般性的描述並為自己的推 理作解釋。 階段二︵三至六年級︶實施 階段三︵七至九年級︶實施 層次 6 學生將問題分解成較小、較容易處理的工作，而完成有價值的 工作並解決相當複雜的問題。他們解釋、討論及組合資料以不 同的數學形式呈現。學生對於使用的圖形寫下解釋及說明，學 生開始給予一般化的數學理由，他們從特殊的案例中去檢驗這 個一般化。 層次 7 學生介紹他們自己已經獲得完全解答的問題，從呈現給學生的 問題或情境中開始。學生精確的檢查並判斷他們所選擇數學呈 現的方式，考慮可以選擇的方法，並說明他們已經做的改進。 學生判斷他們的一般性及解法，顯示一些想法進入了研究情境 的數學結構。他們讚賞介於數學說明及實驗證據之間的差異。 層次 8 探索數學工作時，學生發展及依循可選擇的途徑，他們仔細考 慮他們自己調查的消息。在做這些事時，他們介紹並使用一系 列的技巧，學生經由持續使用數學符號來傳達數學的意義，他 們在活動中檢查已達到的一般性或解法，在推理和邏輯應用時 做建設性的解說，並在活動中將進一步的的過程作為結果。

從表 2-7 中發現英國數學教育的「使用與應用數學」其內容與我國「察 覺」領域是相似的，而其各階段中將數學做為教室活動的主要部分，就是 數學與「生活經驗」、「其他學科學習活動」、「文化活動」等均可以產生連 結互相關連。現在，再將英國四個學習階段「使用與應用數學」內容中具 有「察覺」意涵的部分列出，如表 2-8 左半部，再與我國九年一貫課程暫 行綱要中「察覺」能力指標進行對照，如表 2-8。 表 2－8 四個學習階段「使用與應用數學」內容與 我國九年一貫「察覺」主題之對照 使用與應用數學 九年一貫課程 「察覺」能力指標對應內容 階段一 應該給予學生的機會： 1-a 在實際的工作、真實的生活問題 及數學本身內部中使用及應用數 學。 ◎數學與生活的連結 C-R-1 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-R-2 能察覺數學與其他領域之間有所連 結。 C-R-3 能瞭解其他領域中所用到的數學知識 與方法。 C-R-4 能察覺數學與人類文化活動相關。 階段二 應該給予學生的機會： 1-a 在實際的工作、真實的生活問題及 數 學 本 身 內 部 中 使 用 及 應 用 數 學。 ◎數學與生活的連結 C-R-1 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-R-2 能察覺數學與其他領域之間有所連 結。 C-R-3 能瞭解其他領域中所用到的數學知識 與方法。 C-R-4 能察覺數學與人類文化活動相關。 階段三、四 1、應該給予學生的機會： 1-a 在實際的工作、真實的生活問題及 數學本身內部中使用及應用數學。 2、在解題過程中做決定並檢驗所做的決 定： 2-c 選擇並組織數學及來源；擴展相關 工作；選擇、依循及反應自己可選 擇的方式。 ◎數學與生活連結 C-R-1 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-R-2 能察覺數學與其他領域之間有所連 結。 C-R-3 能瞭解其他領域中所用到的數學知識 與方法。 C-R-4 能察覺數學與人類文化活動相關。 由上表 2-6、2-7、2-8 對照比較中發現英國數學課程中的「使用與應

用數學」各階段中，對於具備「察覺」能力的要求在各階段中均有不同的 要求，他們先要求學生察覺數學與生活的連結，到第三、四階段後再要求 學生理解數學與其他領域連結；而我國九年一貫課程對「察覺」的能力指 標編寫方式則是不採年段方式來要求，在各年級中配合教學情境伺機培 養。不過，從內容方面來比較，可以發現兩個國家均重視數學與生活的連 結、數學與其他領域之間的外部連結，因此，在每一個階段都重複與此有 關的內容。 三、中國大陸課程 中國大陸為因應時代潮流在近年也正進行一場基礎教育的改革運 動，大陸教育部在 2001 年公佈「基礎教育課程改革綱要」。為了國中、小 課程的連貫性，他們將九年的學習時間區分為第一學段（1~3 年級）、第二 學段（4~6 年級）、第三學段（7~9 年級）；與我國有異曲同工之妙。各學 段中數學課程標準的內容包含了「數與代數」、「空間與圖形」、「統計與機 率」、「實踐與綜合應用」等四個學習領域。其中「實踐與綜合應用」主要 強調現實生活中包含有大量的數學知識，數學在日常生活中被大量的運用 著；面對實際問題時，希望學生能主動嘗試從數學的角度運用所學到的知 識和方法尋找解決策略；面對新的數學知識時，能主動尋找其實際背景， 並探索其價值（大陸教育部，2001）。以下將大陸數學課程標準「實踐與 綜合應用」列出，如表 2-9，並與我國九年一貫課程「察覺」主題相互對 照。

表 2－9 大陸數學課程標準「實踐與綜合應用」與察覺主題之對照 「實踐與綜合應用」內容標準 九年一貫課程「察覺」能力指標對應內容 ︵１至３年級︶ 學段一 綜合應用具體目標： 1、感受數學在日常生活中的作用。 ◎數學與生活連結 C-R-1 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-R-2 能察覺數學與其他領域之間有所連結。 C-R-3 能瞭解其他領域中所用到的數學知識與方 法。 C-R-4 能察覺數學與人類文化活動相關。 ︵４至６年級︶ 學段二 綜合應用具體目標： 1、獲得綜合運用所學知識解決簡單實 際問題的活動經驗和方法。 2、初步感受數學和知識間的相互聯 繫，體會數學的作用。 C-R-1 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-R-2 能察覺數學與其他領域之間有所連結。 C-R-3 能瞭解其他領域中所用到的數學知識與方 法。 C-R-4 能察覺數學與人類文化活動相關。 從表 2-9 的對照中發現「實踐與綜合應用」的目標與我國「察覺」能 力指標的內容有很多相似之處，他們也強調由學生的生活經驗中出發進行 教學活動並培養學童察覺能力。這次大陸數學課程中的基本理念中還提到 數學是人類的一種文化，它的內容、思想、方法與語言是現代文明的重要 組成部分；因此，數學應是人類生活的一部份是不容置疑的。由此可知， 大陸的此次數學課程改革也相當重視數學與生活、數學與文化的連結，和 我國九年一貫課程中的「察覺」主題有相同之精神。 四、荷蘭數學課程 60 年 代 末 期 ， 數 學 教 育 學 家 Freudenthal 等 人 提 出 真 實 數 學 （Realistic mathematics）之後，荷蘭就開始了一連串邁向現實數學教 育的改革。究竟什麼是真實數學呢？真實數學理論認為數學教育應該以兒 童的認知發展為基礎，以真實的生活情境為中心，兒童經由生活事件的活 動，運用所學的數學知識解決問題，並且在生活經驗中去察覺出數學的關 係和定律，最後將所學的概念內蘊化（Freudenthal，1973）。兒童在開始 之初，從錯誤嘗試中及一些不是很清楚的想法中著手，經由解題的過程，

兒童開放性的思考隨著調整，逐漸會建立起系統性的概念，數學思維的層 次也會慢慢提昇（Gravemeijer，1994）。到了 90 年代，荷蘭的數學課本 依舊是依據現實數學教育的理念進行編寫。

荷 蘭 的 國 家 課 程 目 標 是 由 政 府 所 頒 布 ， 稱 為 「 學 習 成 就 標 準 （attainment targets 1998-2003）」（OcenW，1998）。具體規定了中小 學生畢業之前所必須學到的內容和應當達到的最低標準，而且這個目標預 計每五年修改一次。1998 年，荷蘭政府教育與科學文化部頒布了新的「達 到 性 目 標 1998~2003 」， 內 容 分 為 跨 學 科 目 標 （ cross-curricular attainment targets），及數學課程的一般性目標和具體目標。以下將荷 蘭小學階段數學跨學科目標及一般性目標列出，如表 2-10、2-11，並與我 國九年一貫課程「察覺」能力指標相互對照。 表 2-10 荷蘭小學階段數學跨學科目標與「察覺」能力指標之對照 荷蘭小學階段數學跨學科目標（小學 5~12 歲） 「察覺」能力指標對應內容 工作態度 學生對他們周圍的世界感興趣並主動去探索這個 世界。 l.能提出具體的問題。 2.能找出一個問題中相關關係並加以運用。 3.喜歡學習新事物。 4.即使不能馬上成功，他們也不會輕易放棄。 C-R-1 能察覺生活中與數學相關的 情境。 表 2-11 荷蘭小學階段數學課程一般性目標與「察覺」能力指標之對照 荷蘭小學階段數學課程一般性目標 （小學 5~12 歲） 「察覺」能力指標對應內容 1.建立教育的數學與學生日常生活中的數學之 間的聯繫。 2.獲得基本的技能，懂得簡單的數學語言，並能 應用於實際情形。 ◎數學與生活的連結 C-R-1 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-R-4 能察覺數學與人類文化活動相關。 從表 2-10、2-11 中的對照比較中發現荷蘭數學課程是以學生為主體， 強調數學與學生生活經驗的連結，透過問題的解決及開放式的討論發表，