第三章 理性預期下的影子銀行模型
第二節 均衡分析
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(五) 其他模型假設
資產期望報酬相對大小關係：
(a) R > A > 1
R > A代表安全資產報酬優於風險資產成功的報酬，大於 1 表示金融中介有投資 安全資產的誘因。
(b) [Eω(πω)(A − B) + B] > [Eω(πω)(A − aB) + aB] > Eω(πω)A > 1
在A > B > 0的假設下，大中介的風險資產期望報酬優於小中介的風險資產期望 報酬。風險資產期望報酬> 1表示金融中介有投資風險資產的動機。另外，資產 期望報酬> 1可推論風險資產價格PL、PL′≥ 1，無風險資產價格PH≥ 1。
將(a)、(b)假設結合得到：R > A > [Eω(πω)(A − B) + B] > Eω(πω)A > 1。
第二節 均衡分析
本節進行均衡分析，先說明金融中介、投資人間的交易現象(輔助定理)，再 說明均衡價格及交易如何受市場資金量(即投資者的資金量 w)的影響(命題一)。
輔助定理
(一) 金融中介不會證券化安全資產
(二) 金融中介達舉債上限時有動機進行證券化並買入其他中介風險資產 (三) 金融中介會優先投資安全資產而非風險資產
(四) 投資人只發揮借錢給金融中介的作用
以下說明輔助定理的經濟意涵 (一) 金融中介不會證券化安全資產
投資人得選擇借錢給金融中介取得無風險報酬 r 或者向中介買安全資產取得 單位報酬R
PH，在 r 以及R
PH不等時，會發生投資人及金融中介間決策相反，不會發 生任何交易的情況，因此均衡時：
R
PH = r， (1)
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投資人借錢給金融中介或者向中介買安全資產沒有差異。
對金融中介來說，證券化安全資產等同於將安全資產的現金流量完全用以擔 保償還無風險債權證券，發行無風險債權證券可以完全替代證券化安全資產，因 此本文著眼於不證券化安全資產的均衡，也就是SH,j = TH,j = 0。
在模型假設中，投資人以及金融中介都不具有時間偏好，投資人願意借錢給 金融中介，必須保證其在無風險下具有非負報酬。模型中投資人借錢給中介相當 於向中介購買其發行的無風險債權證券，並取得約定的報酬率 r，且r ≥ 1。
(二) 金融中介達舉債上限時有動機進行證券化並買入其他中介風險資產
令大中介風險資產價格為PL′，小中介為PL，價格由市場交易決定，金融中介 以期望報酬做決策。均衡時，如果大、小中介間產生的風險資產的交易，一個金 融中介同時握有其他中介的風險資產的證券化商品，則投資在大、小中介的風險 資產單位報酬應相同：
Eω(πω)A
PL = Eω(πω)(A−aB)+aB
PL′ 。 (2)
(2)式隱含PL′> PL。小中介證券化風險資產的擔保價值為πrA，大中介風險資 產的擔保價值對大中介來說為 B。然而，大中介出售的風險資產帶有支付條件：
「如果大中介風險資產投資失敗，僅支付一定比例的報酬，該比例a由大中介在 出售資產時決定」，因此，對小中介來說大中介風險資產的擔保價值為aB。
假設 1 > B > aB，金融中介不能利用證券化無限擴充舉債上限。當B >PL′
PLπrA，
一單位的大中介風險性資產賦予大中介的舉債能力為 B，如果 a = 1，大中介將 一單位風險性資產證券化出售換取 PL′
PL 單位小中介的風險性資產，僅具有PL
′ PLπrA 的舉債能力，大中介沒有意願出售其風險性資產，均衡時，大、小中介間不會有 交易。換言之，當均衡時大、小中介間彼此有交易時，a 必然小於 1。
當aB >PL′
PLπrA 時，大中介出售一單位風險性資產換取PL′
PLπrA單位的舉債能 力時，降低舉債能力aB −PL′
PLπrA > 0，大中介不會設定 a 使得 aB >PL′
PLπrA。當
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(idiosyncratic risks)，但仍無法規避總體風險。
當投資人的資金水位達到大中介開始證券化時，大中介應用其獨占力量所帶
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∫ T̅L,j
j 𝑑𝑗 =𝐵[𝑅−𝐴(1−𝑊𝑖𝑛𝑡,𝑘)]
𝜋𝑟𝐴(𝐴−𝐵) ，∫ 𝑇𝑗 𝐿,𝑗′ 𝑑𝑗 =𝑃𝐿
𝑃𝐿′(∫ 𝑆𝑗 𝐿,𝑗𝑑𝑗 − ∫ T̅L,j
j 𝑑𝑗)，𝑇𝐻,𝑗 = 𝑆𝐻,𝑗 = 0，𝑟 = 1。
2. 大中介：
𝐼𝐻,𝑘 = 1，𝐷𝑘 = 𝑤，𝐼𝐿,𝑘 = 𝑤 + 𝑊𝑖𝑛𝑡,𝑘− 1，𝑆𝐿,𝑘= 𝑃𝐿
𝑃𝐿′[(𝑤∗∗ + 𝑊𝑖𝑛𝑡,𝑘− 1) −
∫ T̅L,j
j 𝑑𝑗，𝑇𝐿,𝑘= (𝑤∗∗+ 𝑊𝑖𝑛𝑡,𝑘− 1) − ∫ T̅L,j
j 𝑑𝑗，𝑇𝐻,𝑘 = 𝑆𝐻,𝑘 = 0，𝑟′=
𝑅+𝐵(𝑤+𝑊𝑖𝑛𝑡,𝑘−1)
𝑤 。
(七) 當𝑤 ≥ 𝑤𝑘= 𝑅−𝐵(1− 𝑊𝑖𝑛𝑡,𝑘)
1− 𝐵 ，小中介不會再進一步吸收資金、證券化以及進 行風險資產投資。大中介為未完全證券化狀態，無風險債權利率𝑟′≤ 1，不 會再進一步吸收資金以及進行風險資產投資。𝑤𝑘為大中介的臨界債權資金。
大、小中介的決策如下:
1. 小中介整體:
同𝑤∗∗ ≤ 𝑤 < 𝑤𝑘 =𝑅−𝐵(1− 𝑊𝑖𝑛𝑡,𝑘)
1− 𝐵 的業務狀況。
2. 大中介:
𝐼𝐻,𝑘 = 1，𝐷𝑘 = 𝑤𝑘，𝐼𝐿,𝑘 = 𝑤𝑘+ 𝑊𝑖𝑛𝑡,𝑘 − 1，𝑆𝐿,𝑘= 𝑃𝐿
𝑃𝐿′[(𝑤∗∗+ 𝑊𝑖𝑛𝑡,𝑘− 1) −
∫ T̅L,j
j 𝑑𝑗]，𝑇𝐿,𝑘 = (𝑤∗∗+ 𝑊𝑖𝑛𝑡,𝑘− 1) − ∫ T̅L,j
j 𝑑𝑗，𝑇𝐻,𝑘 = 𝑆𝐻,𝑘 = 0，𝑟′= 1。
一、 模型命題 1 的推論及經濟意涵
將命題 1 大、小金融中介的安全、風險資產投資及證券化狀態在不同投資人 財富水準的關係及比較以圖 3-1 呈現如下，
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交易數量為∫ T̅L,j
j 𝑑𝑗 =B[R−A(1−Wint,k)]
πrA(A−B) ，市場資金更多時仍為固定值。
2. 大、小中介互相交易的市場限制式
由模型輔助定理第四項「小中介模型中只有借錢給金融中介的作用」，金融中 介的風險資產只在金融中介之間進行買賣，為達市場結清及均衡，風險資產的交 易數量須符合下列關係式：
(2.1) 風險資產交易數量恆等式
(a) 小中介賣出的風險資產數量=其他小中介買進的數量+大中介買進的數量：
∫ Sj L,jdj = ∫ Tj L,jdj + TL,k。 (4) (b) 大中介賣出的風險資產數量=小中介買進的數量：
SL,k= ∫ Tj L,j′ dj。 (5) (2.2) 風險資產交易金額等式
根據假設，金融中介將自有資金以及自投資人處取得之資金投入安全及風險 資產，證券化所得投資其他中介證券化資產，資源限制式成為等式時可得到，
(a) 小中介證券化所得完全用於買入小中介風險資產池以及大中介風險資產：
PLSL,j = PLTL,j+ PL′TL,j′ 。 (6) (b) 大中介證券化所得完全用於買入小中介風險資產池：
PL′SL,k= PLTL,k 。 (7) (2.3) 大中介不會達到完全證券化及其最大證券化數量
由風險資產交易數量恆等式(4)以及風險資產交易金額等式(7)可以推得：
∫ Sj L,jdj = PL′
PLSL,k+ ∫ T̅L,j
j 𝑑𝑗 ， (8)
∫ Sj L,jdj為整體小中介的證券化數量，SL,k為大中介的證券化數量，∫ T̅L,j
j 𝑑𝑗為大、
小中介交易下，小中介已投資的小中介風險資產池。金融中介在完全證券化下，
證券化數量等於風險資產投資數量，也就是w + Wint,k− 1。由於PL′
PL> 1，在市場
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均衡條件下可以證明得到，大、小中介不可能「同時」達到完全證券化，也就代 表大中介在模型中不會完全證券化。
(2.4) 大中介證券化數量
由市場條件(8)可以推得大中介可達到的最大證券化數量 (a) 小中介未達完全證券化：
SL,k <PL
PL′ {[𝑚𝑖𝑛(𝑤，𝑤∗∗) + Wint,k− 1] − ∫ T̅L,j
j 𝑑𝑗}。 (9) (b) 小中介達完全證券化：
SL,k =PL
PL′ {[𝑚𝑖𝑛(𝑤，𝑤∗∗) + Wint,k− 1] − ∫ T̅L,j
j 𝑑𝑗}。 (10) 因市場資金達w∗∗時，小中介無法進一步擴張業務，證券化市場不會再擴張，
因此大中介的證券化數量以市場資金及w∗∗較小者為準。
3. 大、小中介互相交易的結果及經濟意涵
整體小中介持有安全資產、小中介風險資產池限額以及大中介風險資產。小 中介風險資產池的擔保價值為πrA ∙ ∫ T̅L,j
j 𝑑𝑗，安全資產為 R，大中介風險資產為 aB ∙ SL,k。小中介未完全證券化下，無風險債權利率為風險資產期望報酬Eω(πω)A，
由無風險債權限制式可推得小中介的完全證券化財富臨界值w∗ = R−πrA(1− Wint,k)
Eω(πω)A− πrA 。 安全資產報酬 R 以及自有資金Wint,k和w∗呈同向關係，安全資產報酬及自有資金 為風險的緩衝，緩衝愈高，愈能藉由內部資金進行投資，外債的仰賴程度愈小。
當市場資金夠多，小中介開始完全證券化，無風險債權利率隨著資金愈多而 愈低，風險資產的期望報酬高於資金成本，利差為小中介帶來獲利。資金達到臨 界值w∗∗ =R−πrA(1− Wint,k)
1− πrA 時，無風險債權利率達到 1，w 超過w∗∗小中介無法獲 得額外資金，w = w∗∗時小中介舉債、風險資產投資以及證券化達最高水準無法 再擴展。將模型命題 1 的投資人財富、財富臨界值以及各階段的無風險債權證券 利率圖示如圖 3-2。
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圖 3-2、理性預期下，大、小中介無風險債權利率及投資人財富關係
實線為大中介的對應圖，虛線為小中介。因假設金融中介各自面對財富水準 相同為 w 的投資人，大、小中介不會因無風險債權利率的不同而產生資金競爭 的關係，由此假設得將兩種金融中介的 r(或r′)、w 對應關係同時圖示如 3-2。
投資人財富夠低時，金融中介只投資安全資產，無風險債權利率為安全資產 報酬率；資金足夠多，金融中介始投資風險資產，債權利率為中介的風險資產期 望報酬率，大中介給的債權利率較小中介高；資金足夠多使大中介開始證券化後，
大中介的債權利率開始下降；資金足夠多使小中介完全證券化後，小中介的債權 利率亦開始下降，直到小中介的債權利率下降至一，小中介無法再進一步吸取投 資人的資金，不能夠進一步擴展業務，證券化市場達到極限，然而，大中介仍能 透過未證券化的風險資產擔保借款，直到利率下降至一。
大中介具有較優越的風險資產投資能力，以此可以發行較高利率的無風險債 權證券。當市場資金足夠多使金融中介可以投資風險資產後，大中介的債權利率 始終高於小中介。當市場資金夠多使大中介無法以安全及風險資產擔保價值借款 時，大中介有兩個手段擴大舉債上限，且這兩個手段效果完全一樣(1)不證券化，
w
k Eω(πω)Aw
∗∗
w
∗0 R − B(1 − Wint,k) Eω(πω)(A − B) 1-Wint,k
1
Eω(πω)(A − B) + B
R
w
r
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繼續以自有資產繼續擔保，但是降低利率；(2)證券化，但是所得資產擔保價值 同於自有資產的擔保效果，還是要降低利率。大中介開始證券化後，債權利率即 有遞減的情況，因證券化不會額外擴大舉債能量。
當小中介需要證券化才能擴大舉債上限時，有兩個選擇標的(1)小中介風險 資產；(2)大中介風險資產。且兩種標的都確實透過證券化提高舉債的擔保能力，
得以繼續償付相當於風險資產期望報酬的利率。完全證券化時，能夠多用來證券 化的風險資產已經用盡，必須降低無風險債權利率才得以繼續舉債。
無風險債權利率為金融中介的資金成本。相較於小中介在完全證券化後，債 權利率才開始隨市場資金愈多而遞減，大中介在較小的投資人財富水準即開始有 資金成本遞減的情況，開始享有資金成本及風險資產期望報酬的利差，且在較高 的市場資金水準才停止業務，享有利差的投資人財富區間遠較小中介大。