模型設定

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第三章 理性預期下的影子銀行模型

第一節 模型設定

本文延續 GSV(2013)影子銀行模型的設定，在此基礎上引入系統性重要金融 機構，使得市場上存在兩種型態的金融機構：系統重要性金融機構(以下簡稱大 中介)以及無數間相對小型之同質金融機構(以下簡稱小中介)。

一、 金融中介及投資人的基本假設

本文中的市場參與者有金融中介以及投資人，其中金融中介又可分為系統重 要性金融機構以及其他小型同質金融機構。

(一) 投資人

假設投資人具有無限風險趨避的特性，凡事以最糟狀況做思考，其效用函數 為U_i = E_ω[C₀+ min_ω∈ΩC_1,ω]，Ω ≡ {g、d、r}。U_i代表效用函數，下標 i 表示投 資人，E_ω為在不同市場狀態ω下的期望值，ω有三種可能的市場狀態，g 代表成 長(growth)、d 代表衰退(downturn)而 r 代表蕭條(recession)。φ_ω為狀態ω發生的機 率，且φ_g > φ_d > φ_r， ∑ φ_{ω ω}= 1。模型假設只有二期：0 及 1，不考慮時間價 值，C₀代表投資人在的 0 期的消費，C_1,ω代表投資人在第 1 期狀況ω下的消費，

由於第 1 期消費具有不確定性，無限風險趨避投資人的效用取決於各種可能消費 數量中的最低水準min_ω∈ΩC_1,ω。

此外，假設投資人有兩種類型，數量相同，一種只和小中介進行交易(以下標 i 表示)，另一種只和大中介進行交易(以下標 ii 表示)，兩種投資人所擁有的起始 財富 w 相同。此假設類似 Allen & Gale (2000)中同質但在不同區域的銀行面臨的 流動性風險獨立的假設，本文假設投資人只和鄰近的金融中介做交易，不會追逐 不同的無風險債權利率。

(二) 金融中介

金融中介為風險中性，僅考慮投資報酬的期望值。以下分別說明大中介及小

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中介數量、起始財富、投資案、證券化擔保價值以及市場交易價格。

市場上僅有一間大中介(以下標 k 表示)，為數很多的同質小中介(以下標 j 表 示)，總數為 1(即 a continuum of small intermediaries with measure 1)。W_int,k為大 中介的起始財富，每一小中介的起始財富為W_int,j，假設W_int,k = ∫ W_{𝑗 int,j}𝑑𝑗 < 1。

金融中介有二種資產或者投資案可進行投資：安全資產以及風險資產。安全 資產的投資數量表示為I_H，有確定報酬R ∙ I_H。另外，安全資產的數量有限，假 設大中介最多可投資 1 單位的安全資產(I_H,k ≤ 1)，小中介全體也僅可投資 1 單位 的安全資產(nI_H,j ≤ 1)。

金融中介投資風險資產承擔個別風險以及系統性風險。個別風險是指投資案 可能成功或失敗；系統性風險則為投資案的成功機率受到期時市場狀態的影響。

有別於 GSV 影子銀行模型金融中介完全同質的假設，本文假設大、小中介的 風險性資產投資具有不同效果。

小中介的風險資產報酬分配為

f(I_L,j) = {A ∙ I_L,j 機率為π_ω 0 機率為 1 − π_ω。

I_L,j表示個別小中介 j 的風險資產投資數量，A 為風險資產投資成功的報酬，投資 失敗則報酬為 0，π_ω為風險資產投資的成功機率，且π_g > π_d > π_r。

大中介的風險資產報酬分配為

f(I_L,k) = {A ∙ I_L,k 機率為 π_ω B ∙ I_L,k 機率為 1 − π_ω。

I_L,k表示大中介 k 的風險資產投資數量，B 為大中介風險性投資失敗所得到的報酬，

A > B > 0，大中介風險資產投資失敗影響較小中介輕微，具較優的風險分散能 力。此設定係根據(a)在傳統的金融中介投資並持有(originate-to-hold)的商業模式 下，系統重要性金融機構在全世界具有多個據點，較小金融機構具有更高的分散 風險以及獲利能力；(b)系統重要性金融機構具有政府隱性保證的性質，市場願

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意給予「大到不能倒」的補貼(Too-Big-to-Fail Subsidy)，大中介於風險資產的投資 在風險分散及投資報酬方面均具有優勢。

模型裡只有一家大中介，它具有獨占力量，可以影響交易利益的分配。假設 大中介出售(或證券化)風險資產時約定：在投資案失敗時，證券化資產僅支付aB，

0 < a < 1，即風險資產投資失敗時為自己保留一部份的緩衝。

金融中介的風險資產期望報酬不同，如發生交易，其價格也應該不同，令小 中介風險資產價格為P_L，大中介為P_L^′。金融中介間交易市場決定風險資產均衡價 格，投資人為市場價格的接受者。

資產的擔保價值就是資產當作擔保品所增加的舉債最大額度(debt capacity)，

本文探討的負債為無風險負債，以對應金融海嘯前影子銀行的證券化籌資工具。

無限風險趨避的投資人只接受最高信用評等的 AAA 級證券，影子銀行利用資產 證券化將風險資產中的最低限度現金流作為擔保，包裝為資產抵押債權證券 (ABS)，在金融風暴前被視為安全資產的替代品。

安全資產有確定報酬 R，將其當作擔保品籌資的最大額度就是 R。風險資產 具有個別風險，在投資人具有無限風險趨避的特性下，風險資產有無證券化(a pool of risky assets)的擔保價值大不相同，以下依據不同金融中介以及其風險資產 是否經過證券化說明其擔保價值。

(a) 小中介

(a.1) 未經證券化：風險資產投資失敗的價值為 0，對投資人不具任何保障。

(a.2) 經證券化：多個不同小中介風險資產所組成的風險資產池，依據大數法則，

則其報酬唯一固定值，等於其期望報酬，景氣蕭條下，其擔保價值為π_rA。

(b) 大中介

(b.1) 未經證券化：擔保價值即投資失敗報酬 B，大中介僅一間，證券化不具分 散個別風險的效果。

(b.2) 經證券化：在投資案失敗時，大中介僅承諾支付aB。對小中介而言，持有

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的大中介風險資產擔保價值為aB；對大中介而言，擔保價值為最糟狀況(投資失 敗)的資產報酬，賣出的風險資產保留(1 − a)B在大中介身上，因而有額外的擔保 價值。表 3-1 整理上述大、小中介特性之異同。

表 3-1、大、小中介性質比較

小中介 大中介

數量

a continuum of small intermediaries with measure 1

1

起始財富

^W

int,k

= ∫

_𝑗W_int,j𝑑𝑗

< 1

可投資安全資產數 ∫ I_{𝑗 H,j}𝑑𝑗 ≤ 1 I_H,k ≤ 1 安全資產報酬分配 f(I_H) = R ∙ I_H 風險資產報酬分配

f(I

_L,j

) = { A ∙ I

_L,j

機率為π

_ω

0 機率為 1 − π

_ω

f(I

_L,k

) = { A ∙ I

_L,k

機率為π

_ω

B ∙ I

_L,k

機率為 1 − π

_ω 風險資產直接作擔

保品的擔保價值 0 B

風險資產證券化後

的擔保價值 π_rA 小中介：aB

大中介：額外獲得(1 − a)B 風險資產交換價格 P_L P_L^′

二、 金融中介及投資人最適化問題的目標式及限制式

金融中介的各項交易發生在期初，最適化問題的目標式為期望利潤。最適化 問題的限制式包含資源限制式、無風險債權限制、證券化限制及安全資產數量限 制。

(一) 小中介 j

1. 期望利潤：小中介的資源來自起始財富W_int,j以及發行無風險債權證券給投資 人取得D_j (影子銀行的存款)，期末償還投資人負債本利和rD_j。小中介以起始財 富以及債務資金進行安全及風險性資產的投資，此外將安全及風險資產證券化所 得購買其他中介的風險資產。

S_H,j表示小中介 j 賣出的安全資產數量(證券化數量)，T_H,j為買進的安全資產

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數量，S_L,j為小中介 j 風險資產證券化數量，T_L,j為小中介買進的小中介風險資產 池，T_L,j^′ 為小中介買進的大中介風險資產。I_L,j− S_L,j為小中介未證券化的風險資產，

其期望報酬同小中介風險資產池T_L,j的期望報酬，但是風險性質有很大差異，T_L,j 的報酬係根據大數法則E_ω(A ∙ π_ω) = E_ω(π_ω) ∙ A，僅受系統性風險影響，而未證 券化部分同時受到系統性風險以及個別風險影響。對小中介來說，持有大中介風 險資產的期望報酬(有支付條件下的期望報酬)為：E_ω(π_ω)(A − aB) + aB。a為大 中介風險資產投資失敗時，風險資產證券化部位的報酬償付比例，0 < a < 1⁵。 2. 資源限制：小中介的起始財富、舉債資金用以投資安全資產、風險資產，而 證券化所得用於投資其他中介的證券化資產。

小中介起始財富及借入資金(W_int,j+ D_j)不低於投資資產的資金(I_H,j + I_L,j)以 及買入證券化資產的餘額[P_H(T_H,j− S_H,j) + (P_L∙ T_L,j+ P_L^′∙ T_L,j^′ − P_L∙ S_L,j)]

3. 無風險債權限制：將所持有的安全資產以及風險資產中安全的現金流量充當 擔保品，安全的現金流量為預估資產的最低現金流量，在期末必須能夠支付負債 本利和，正確預估下負債不會違約。將安全現金流量擔保發行債權憑證，所得款 項用以投入安全及風險資產的投資(例如放款)，該債權憑證為市場基礎的融資，

並非存款但涉及傳統銀行功能為影子銀行業務。

安全資產淨額為I_H,j+ T_H,j− S_H,j(投資數量及買入餘額)，安全資產不具風險，

可以R(I_H,j+ T_H,j− S_H,j)擔保借款；小中介風險資產池數量為T_L,j，依大數法則，

景氣蕭條下仍可獲得確定報酬π_rA，擔保價值為π_rA ∙ T_L,j；大中介風險資產數量 為T_L,j^′ ，投資失敗可獲得確定報酬aB ∙ T_L,j^′ ，擔保價值為aB ∙ T_L,j^′ 。負債本利和(rD_j) 不大於資產擔保價值[R(I_H,j+ T_H,j− S_H,j) + π_rA ∙ T_L,j+ aB ∙ T_L,j^′ ]，如此債務證券不 會違約，為無風險負債。

資產證券化除了賣掉資產取得現金外，買進的新證券具有擔保價值，可發行

5

對大中介來說，持有的風險資產期望報酬為E

_ω

[A ∙ π

_ω

+ B(1 − π

_ω

)] = E

_ω

[π

_ω

(A − B) + B] = E

_ω

(π

_ω

)(A − B) + B；小中介和大中介交易得來的風險資產因帶有對於大中介有利的支付條件，

故期望報酬修正為 E

_ω

[A ∙ π

_ω

+ aB(1 − π

_ω

)] = E

_ω

[π

_ω

(A − aB) + aB] = E

_ω

(π

_ω

)(A − aB) + aB。

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更多無風險債權證券，舉債增加會使資源限制式擴大，進而可以投資更多風險資 產，更多的風險資產提供更多的證券化可能。證券化擴張風險資產同時表現在資 源限制式以及舉債限制式。

4. 證券化限制即資產賣出的數量不能超過投資數量。

5. 安全資產限制即小中介全體所能投資的安全資產數量最多為 1。

以下為小中介 j 的最適化目標及限制式，可決定變數為I_H,j、T_H,j、S_H,j、D_j、I_L,j、 T_L,j、S_L,j、T_L,j^′ 。

期望利潤 [R(I_H,j+ T_H,j− S_H,j) + P_H(S_H,j− T_H,j)] + E_ω(π_ω)A ∙ (I_L,j− S_L,j) + E_ω(π_ω)A ∙ T_L,j+ [E_ω(π_ω)(A − aB) + aB] ∙ T_L,j^′ + P_L∙ S_L,j− P_L∙ T_L,j− P_L^′∙ T_L,j^′ + D_j− I_H,j− I_L,j+ W_int,j− rD_j

資源限制 W_int,j+ D_j− I_H,j− I_L,j− P_H(T_H,j− S_H,j) + P_L∙ S_L,j− P_L∙ T_L,j− P_L^′∙ T_L,j^′ ≥ 0

舉債限制 R(I_H,j+ T_H,j− S_H,j) + π_rA ∙ T_L,j+ aB ∙ T_L,j^′ ≥ rD_j 證券化限制 I_H,j− S_H,j ≥ 0

I_L,j− S_L,j ≥ 0 安全資產限制 1 − ∫ I𝑗 H,j𝑑𝑗 ≥ 0

(二) 大中介 k

大中介的目標式及限制式分析類似小中介，唯符號下標由 j 換成 k 表示大中 介，且大中介風險資產未證券化部分期望報酬為[E_ω(π_ω)(A − B) + B]，具有擔保 價值 B(I_L,k− S_L,k)；另外，證券化的風險資產具有支付條件，在風險資產投資失 敗下保留(1 − a)B ∙ S_L,k，因此期望利潤增加[1 − E_ω(π_ω)](1 − a)B ∙ S_L,k，有擔保 價值(1 − a)B ∙ S_L,k。以下為大中介的最適化目標及限制式，可決定變數為I_H,k、T_H,k、 S_H,k、D_k、I_L,k、T_L,k、S_L,k。

期望利潤 [R(I_H,k+ T_H,k− S_H,k) + P_H(S_H,k− T_H,k)] + [E_ω(π_ω)(A − B) +

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B] ∙ (I_L,k− S_L,k) + [1 − E_ω(π_ω)](1 − a)B ∙ S_L,k+ E_ω(π_ω)A ∙ T_L,k+ P_L^′∙ S_L,k− P_L∙ T_L,k+ D_k− I_H,k− I_L,k+ W_int,k− r^′D_k 資源限制 W_int,k+ D_k− I_H,k− I_L,k− P_H(T_H,k− S_H,k) + P_L^′∙ S_L,k−

P_L∙ T_L,k≥ 0

舉債限制 R(I_H,k+ T_H,k− S_H,k) + π_rA ∙ T_L,k+ B(I_L,k− S_L,k) + (1 − a)B ∙ S_L,k ≥ r^′D_k

證券化限制 I_H,k− S_H,k≥ 0 I_L,k− S_L,k≥ 0 安全資產限制 1 − I_H,k ≥ 0

(三) 投資人

投資人具有無限風險趨避，並分成兩個投資人，其中一人僅和小中介交易(i)，

另一人僅和大中介交易(ii) 1. 投資人 i

期望效用 U_i = E_ω[C₀+ min_ω∈ΩC_1,ω] 限制式 C₀ = w + D_i− P_H∙ T_H,i− P_L∙ T_L,i

C_1,ω = −rD_i+ R ∙ T_H,i+ π_ω∙ A ∙ T_L,i T_H,i為投資人 i 向小中介買進的安全資產數量。

T_L,i為購買的風險資產池數量，到期實現報酬為π_ω∙ A。

2. 投資人 ii

期望效用 U_ii = E_ω[C₀+ min_ω∈ΩC_1,ω] 限制式 C₀ = w + D_ii− P_H∙ T_H,ii− P_L^′∙ T_L,ii^′

C_1,ω = −r^′D_ii+ R ∙ T_H,ii+ (A or aB) ∙ T_L,ii^′ T_H,ii為投資人 ii 向中介買進的安全資產數量。

T_L,ii^′ 為向大中介購買的風險資產數量，具有個別風險，其到期實現報酬視其成功

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與否決定，成功獲得 A 而失敗時因大中介風險資產的償付條件獲得aB。

三、 金融中介及投資人的受限最適化一階條件

(一) 小中介 j

小中介選擇(I_H,j，T_H,j，S_H,j，D_j，I_L,j，T_L,j，S_L,j，T_L,j^′ )極大化其期望利潤 (A.1)，受限於資源限制(A.2)、舉債限制(A.3)、安全資產證券化限制(A.4)、風險 資產證券化限制(A.5)及安全資產數量限制(1 − ∫ I_{𝑗 H,j}𝑑𝑗 ≥ 0)。

[R(I_H,j+ T_H,j− S_H,j) + P_H(S_H,j− T_H,j)] + E_ω(π_ω) ∙ A ∙ (I_L,j− S_L,j) + E_ω(π_ω) ∙ A ∙ T_L,j+ [E_ω(π_ω) ∙ (A − aB) + aB] ∙ T_L,j^′ +

P_L∙ S_L,j− P_L∙ T_L,j− P_L^′∙ T_L,j^′ + D_j− I_H,j− I_L,j+ W_int,j− rD_j

(A.1)

Subject to Lagrangian

multiplier W_int,j+ D_j− I_H,j− I_L,j− P_H(T_H,j− S_H,j) + P_L∙ S_L,j−

P_L∙ T_L,j− P_L^′∙ T_L,j^′ ≥ 0

μ (A.2)

R(I_H,j+ T_H,j− S_H,j) + π_rA ∙ T_L,j+ aB ∙ T_L,j^′ − rD_j ≥ 0 γ (A.3)

I_H,j− S_H,j ≥ 0 θ_H (A.4)

I_L,j− S_L,j ≥ 0 θ_L (A.5)

1 − ∫ I𝑗 H,j𝑑𝑗 ≥ 0 ν

令 ℒ 為最適化問題的 Lagrange 函數， μ、γ、θ_H、θ_L及ν 分別為資源限制

令 ℒ 為最適化問題的 Lagrange 函數， μ、γ、θ_H、θ_L及ν 分別為資源限制

在文檔中 系統重要性金融機構及金融脆弱性 : GSV影子銀行模型的應用 - 政大學術集成 (頁 17-28)