多向度尺度法

多 向 度 尺 度 法 (Multidimensional Scaling;MDS) 是 一 種 資 訊 視 覺 化 的 工 具 [58,73]，屬於幾何式投影技術。主要是用來處理 n 個刺激體(Stimulus)之間的接近 性資料，刺激體為「可知覺的物體」，最後建構出 n 個刺激體在歐基里德空間中 的結構圖形(Configuration)，進一步可以幫助決策者找出隱藏於資料內的結構 [41,76]。

多元尺度法同時是一種縮減資料的資料處理方法，根據決策者給予的資料矩 陣，然後找出合適的解釋向度，最後可以將 p 向度的資料表示在 r 向度的空間中 (

r

p

簡而言之，當觀察的資料集十分龐大時，多向度尺度法是一種非常好用的工 具，相較於其他的統計方法，例如主成分分析(Principal Components Analysis)、

因素分析(Factor Analysis)與階層群集分析(Hierarchical Cluster Analysis)，多向度 尺度法不但提供類似的分析功能，更將分析結果透過距離模式與空間方法表示，

讓決策者能夠透過觀察圖形的方法代替觀察原始數據，降低決策過程的複雜性。

[69,81]。

經過將近 60 多年的研究，多向度尺度法依據分析問題的不同以及給予的資 料不同，發展出不同的演算法。多向度尺度法可以處理的資料類型主要為：相似 性資料(Similarity)、喜好程度(Preference)；其餘尚包括：距離，相關係數、共變 數、平方距離、互動量等等。這些資料都有個共同的特性，即數值大小可以表示 相異的程度[24,32]。

根據輸入與輸出的資料的不同，包括計量資料(比率量尺或等距量尺)和非計 量型資料(順序量尺或名目量尺)，多向度尺度法可分為下列三種型態：

表 3-2 多向度尺度法的分類

輸入 輸出 多向度尺度法分類

計量 計量 完全計量多向度尺度法 (Fully Mertric MDS)

點與點的歐基里德距離與輸入資料的相異性程度為吻合

非 計量

非 計量

完全非計量型多向度尺度法 (Fully Nomertric MDS)

點與點之間的順序關係可以反映輸入資料的順序關係

非 計量

計量 非計量多向度尺度法 (Nomertric MDS)

點與點的歐基里德距離與反映輸入資料的順序關係一致 資料來源：本研究整理

此外，Coombs(1964)[63]說明資料的分類標準包含兩大類：(1)兩刺激體之間 呈 接 近 關 係 (Consonance Relation) 。 (2) 兩 刺 激 之 間 呈 優 勢 關 係 (Dominance Relation)。

「接近關係」表示兩個刺激體之間的相似(Similar)或相異(Dissimilar)程度，

在一般的心理學與行銷研究的領域當中[59]，研究者通常或要求受測者表達出兩 個刺激體之間的「心理距離」，以作為接近性資料，一般而言，研究員並不指定 受測者需要根據哪些評估屬性或評估準則來判斷，因此受測者僅能透過兩刺激體 之間的兩兩成對比較，表達心理距離，通常最後的產出為一正方形矩陣(square)，

矩陣的行與列均來自於相同的資料，矩陣內資料即為接近性資料（有時候是相異 性資料）。

「優勢關係」即表示受測者對於刺激體的喜好選擇，可以視為是「偏好程度」

的表達。不同於接近性資料的收集方式，研究者可以設定不同的評估構面與評估 屬性讓受測者加以評比；在非計量的研究上面可以推導出排序性資料，在計量研 究 方 法 上 則 會 有 等 距 尺 度 的 特 性 。 一 般 而 言 ， 最 後 的 產 出 為 一 矩 形 矩 陣 (Rectangular)，矩陣的行與列資料分別來自評估準則與刺激體。

優勢關係資料有兩種表達方式：理想點模式(Ideal Point Model)與向量模式 (Vector Model) 兩種表達方式均可以用來判斷刺激體在評估構面的能力表現。在 理想點模式中（圖 3-5），每個評估構面的的理想點均被表達在空間中，每個刺激 體與理想點間的歐基里德距離對應計量的偏好性資料有線性關係，對應非計量的 偏好關係具有單調關係；與理想點的距離越近代表該刺激體的偏好程度越高，反 之則越低。而在向量模式中（圖 3-6），每個評估構面都用一個向量代表，刺激體 在該向量上的投影值大小，代表受測者於該刺激體的喜好程度，亦可以反應該刺 激體在特並評估構面上的優劣程度[56,87,94]。

評估構面 L1：ABCDE 評估構面 L2：EDBAC

評估構面 L1：BEADC 評估構面 L2：ABCDE 圖 3-5 理想點模式

資料來源：Borg,Groenen(1997)[73]

圖 3-6 向量模式

資料來源：Borg,Groenen(1997)[73]

Young(1977)[41]從上述兩大類型的資料出發，再輔以另外兩個條件：

的維數」、「MDS 模型型態」。以這三個條件，可以將多向度尺度法區分成六大類 型：「資料矩陣的形狀」代表矩陣中行與列的資料是否來自相同集合，正方形矩 陣代表「接近性資料」，同時亦為對稱矩陣；長方形矩陣代表「偏好性資料」。「資 料矩陣的維數」代表矩陣的數目，單一矩陣包含二維，倘若矩陣數目大於兩個，

即屬於多維資料。「MDS 模型」代表多元向度法中所用的是一般歐基里德距離或 是加權歐基里德距離。多向度尺度法的分類如下：

A

D C E

B

L1

L2

*A

*B

*E

*C

L1

*D

L2

表 3-3 多向度尺度法分類 矩陣的形狀

矩陣的模型

正方形 (square)

矩型 (rectangular)

矩陣的形狀 矩陣的維數 (Classical)

CMDS

(Classical) CMDU

單一矩陣 一般 MDS 模型

(Replicated) RMDS

(Replicated) RMDU 加權 MDS 模型 (Weighted)

WMDS

(Weighted) WMDU

數個矩陣(>=2)

資料來源：溫福星(1993)

在實際的多向度尺度法研究中，所觀察的資料多數來自於 CMDS、RMDS、

WMDS 及 CMDU 這四類型[41]。加以本研究欲將多準則決策的問題結合資訊視 覺化，該資料型態屬於「偏好性資料」，因此本研究繼續針對屬於分析偏好性資 料的 CMDU 繼續介紹。