多向度展開法

第三章研究方法

3.2 資訊視覺化

3.2.3 多向度展開法

展開(Unfolding)的概念源自於

Coombs(1964)[63]。以下面的例子而言，即是

ABCDE 共 5 個刺激體分別在兩個評估構面（L1 與 L2）的排序狀況，倘若可以在直線上面找到兩個評估構面的理想點，即可以透過「展開」的方法，將兩種評估構面上的排序狀況，展開到一條直線上，見圖 3-8。

1 2

B A

C E D A

B C E D 評估構面 1

評估構面 2

評估構面 L1：BCAED 評估構面 L2：ABCDE D E C B A

圖 3-7 「展開」示意圖資料來源：Cox & Cox (2001)[97]

Coombs 同時提出 J 量表與 I 量表的構想：將 m 個刺激體與 n 個評估構面表達在同一條直線上即是 J 量表(Joint Scale)，而 m 個刺激體在各評估構面上的優劣排序即是 I 量表(Individual Scale)，一般決策者擁有 I 量表資料，透過展開的方法，將 I 量表的資訊展開到 J 量表上（圖 3-9）。Comobs 整合上述的觀念，提出單向度展開法(Unidimensional Unfolding)。

評估構面理想點

A B C D

J 量表

C A

I 量表

圖 3-8 I 量表與 J 量表示意圖

資料來源：Commbs(1964)[63],Rian(1990)[92]

Commbs 的想法接著由 Bennett 及 Hays(1960)[55]繼續發展，一旦當評估構面數量過多時，可能沒辦法確保 J 量表被完全正確展開，因此 Bennett 及 Hays 將 J 量表延伸到多向度空間，推導出多向度展開法(Mutlidimensional Unfolding)，即被還原的 J 量表並非僅是一維度的直線，可以是二維度平面或是三維度空間

。而

多向度展開法與多元尺度法一樣，均可以處理計量型與非計量型資料，Bennett 及 Hays 於 1960 年所發展的是非計量型的多向度展開法，計量型多向度展開法則由 Schonemann(1970)[88]發展出，以外亦更發展出相關的機率型多向度展開法 (Probabilistic Multidomensional Unfolding)[108]及隨機型多向度展開法(Stochastic Multidimensional Unfolding)[66]。

多向度展開法(Multidimensional Unfolding; MDU)，主要適用來處理偏好性資料或是優勢關係的資料，此類型的資料型態為矩型(包含正方形)，且不對稱。多向度展開法的目的主要是要在歐基里德空間中，表達刺激體(Stimulus)在不同的評估構面上的程度排序，這個排序的依據即是原始主觀或客觀的對於刺激體的偏好性程度[41,97]。

古典多向度展開法(Classical Multidimensional Unfolding;CMDU)可以用來分析偏好性資料，亦是 MDU 當中最常見的一種演算型態，不同於一般的多向度尺度法，多向度尺度法運算的結果是「簡單空間」(Simple Space)，即是單一資料集合的空間；多向度展開法所要呈現的是「聯合空間」(Joint Space)，將來自不

同集合的行與列資料（評估準則*刺激體），同時呈現在歐基里德空間中[97]。

多向度展開法的概念可表達如下：假設有 p 個評估構面，q 個刺激

體，則有其座標資訊：

S

S ,...

₁

P

P ,...

₁

a

_i(

i

=1,...,

p

)，

b

_j(

j

=1,...,

q

)。並可以用距離關係代表 j 刺激體在 i 評估構面上的程度表現。而多向度展開法的主要目標就是在於找出一組 m 維度的結構圖形，讓能夠表達原始資料間的相異程度

d

δ

_ij。

Schonemann(1970)[88]提出以代數方法解決計量型多向度展開法：

令

X

x

₁,....,

x

_n]^T，

Y

y

₁,....,

y

_m]^T

則可以定一距離平方矩陣

D

(

X

Y

)，[

D

(

X

Y

)]_ri =(

x

_r −

y

_i)^T(

x

_r −

y

_i) (3-31)

同時可以定一相異度平方矩陣

D

δ

_ri²] (3-32) 而多向度展開法的目的即找出一組(X,Y)使得 D(X,Y)=D

若將式(3-31)與(3-32)經過一 Doubly Centring 矩陣處理，即可得到：

HDH

C = (3-33)

H Y X HD Y

X

C

( , )= ( , ) (3-34)

其中，H=I-n^-111^T為一 Centring 矩陣，且1=(1,1,1,1...1)^T。則多向度展開法的問題可以以數學式表達如下：

C Y X

C

( , )= (3-35)

) ,..., 1 ( , )

(X Y D r n

D _r = _r = (3-36)

) ,..., 1 ( , ) ,

(

X Y D i m

D

_i = _i = (3-37)

Schonemann 於(1970)提出解決方法的方法：分為兩步，先找出(X,Y)滿足式 (3-35)，第二步讓展開的結果滿足式(3-36)與(3-37)，詳細的推導過程與數學表達請見附錄二。

在文檔中視覺化多準則決策評估模式之研究-以台灣地區IC設計產業財務基本面分析為例 (頁 37-40)

第三章 研究方法