第二章 文獻回顧
第二節 多變量 GARCH 的文獻探討
則可藉由 Multi-GARCH 模型來做描述，而文獻上針對多變量 GARCH 模型主要建構 的差別在於其隨時間變動的條件共變異的形式不同。而根據過去的文獻，多變量 GARCH 模型比較常見的可分為以下幾種:
(1) VECH 模型
由 Bollerslev、Engel and Wooldridge(1988)所提出，此模型是單變量 GARCH 模型的延伸，而多變量均數方程式可一般化的表示為以下形式:
‧
Wooldridge(1988)進一步提出對角 VECH 模型，以二元變數形式的矩陣表示如下:
2
‧
BEKK 模型首先由 Baba、Engle、Kraft、Kroner 四人在 1991 年所合著的一 篇未發表論文(working paper)，故文獻上習慣取其性的第一個字母組合為 BEKK，
後來該文正式發表時，作者雖只剩下 Engle 和 Kroner(Engle and Kroner,1995)，
但在習慣上仍然被稱為 BEKK model。而此模型主要有兩大優點，其中一個優點 為需要估計的參數變少，另一優點則是保證共變異數矩陣符合正定(Positive Definiteness)，下方(2.12)式為 BEKK 模型的型式:
1 1 矩陣具有正定性的目的。我們將(2.12)式改以 BEKK(1,1)的形式寫成如下:
( )
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由(2.14)式的矩陣型式中，我們將
h
11,t、h
12,t、h
22,t的參數整理出以下形式:2 2 2 2 2 2 2 2
11,t 11 12 11 1, 1t
2
11 21 1, 1 2, 1t t 21 2, 1t 11 11, 1t2
11 21 12, 1t 21 22, 1th c c a
a a
a
b h
b b h
b h
(2.15)2 2
12,t 11 12 12 22 11 12 1,t 1
(
12 21 11 22)
1,t 1 2,t 1 21 22 2,t 1h c c c c a a
a a a a
a a
b b h
11 12 11,t1
(b b
12 21 b b
11 22)h
12,t1 b b h
21 22 22,t1(2.16)
2 2 2 2 2 2 2 2
22,t 12 22 12 1, 1t 2 12 22 1, 1 2, 1t t 22 2, 1t 12 11, 1t 212 22 12,t1 22 22, 1t
h c c a
a a
a
b h b b h b h (2.17)
21,t 12,t
h h
然而從(2.15)-(2.17)式可看出 BEKK 形式的條件共變異數由於參數常常組 合在一貣的，故我們較難從落後期的影響來直觀的找出未預期衝擊與波動的影 響。
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爾後仍有許多多變量 GARCH 的模型推陳出新，像是 Bollerslev(1990)所提 出的固定條件相關係數模型(Constant Conditional Correlation model，簡稱 CCC 模型)，即是將多變量 GARCH 在條件共變數方程式的重點轉移到條件相關係 數方程式上，但仍然以 GARCH 模型的形式來建構條件方程式，而 Engle(2002)所 提出的動態條件相關係數模型(dynamic conditional correlation model，簡稱 DCC 模型)則是放寬 CCC 模型的固定相關假設，即允許相關係數也可以隨時間變 動。而本研究將使用對角 BEKK 模型來做為估計的主要模型，即是看中此模型在 參數簡化上的優點，且此模型對於共變異的衝擊或波動較可以經由估計係數直接 觀察，將有利於我們對於估計風險與報酬之間關係的探討。
而在文獻上也常藉由多變量 GARCH 模型來做探討的研究，在針對資產報酬與 風險之間關係的研究中，亦常藉由多變量 GARCH 模型來做條件共變異數的估計並 以此來當作衡量風險與報酬的關係變數。例如 Polasek(2001)使用 BEKK 模型來 預測股票指數的波動，主要針對 MSCI 北美、歐洲與亞太指數的報酬波動來做預 測。從實證的結果顯示出風險與報酬具有顯著的抵換關係，並且可藉由多變量的 模型來抓取報酬的波動，而從中獲取利潤。而 Phylaktis(2004)使用 ICAPM 模型 來研究能源市場的風險報酬關係，並藉由多變量 GARCH 模型來檢驗匯率風險對能 源市場的影響，實證結果顯示市場風險與匯率風險具有顯著的影響，並且匯率風 險溢酬會隨著時間在不同的市場中具顯著的影響，且認為 ICAPM 若忽略匯率風險 的影響將會使得估計產生偏誤。Fang(2005)也使用 BEKK-GARCH(1,1)模型來針對 美國與澳大利亞地區的股票與債券市場外溢效果來研究，實證結果顯示兩地區皆 存在股票報酬波動的外溢效果，且兩地區的股票報酬會影響各自的債券市場。
而在多個模型的比較上，VD Skintzi(2007)比較在風險預測上相關的 11 個 模型且考慮在股票、債券的風險值估計，研究期間為 1989 年 1 月到 2003 年 12 月並使用 NASDAQ Index 與美國跟英國的政府公債來當作研究標的，實證結果指 出 GARCH 模型在股票與債券的動態相關結構上有較佳的估計結果，其中 DCC 模型 在股票的風險預測上有較佳的表現，而 Diagonal BEKK 模型在債券的風險預測上
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有較佳的表現。爾後亦有 Polasek(2005)亦針對 MSCI 北美指數報酬來比較在 GARCH 與 asymmetric GARCH 和 BEKK 三種模型在風險情況下的波動性預測，實證 結果對於風險值(Value at Risk)的估計與預測上 BEKK 有較佳的波動預測結果，
且雙變量 BEKK 模型具有最佳的模型配適程度。
針對亞洲股市方面的研究中有 Jincai Xu(2008)研究藉由 Sequential-BEKK 模型來針對中國股票與全球的股票市場相關性做探討，而實證的結果中國 A 股與 B 股的相關性隨時間遞增，其中 B 股與全球股票市場的相關性相對 A 股與全球市 場的相關性來的高，且 B 股與香港股票市場的相關程度也較 A 股來的高，但整體 中國的股票市場與世界的股票市場相關性相對較低，而在亞洲金融危機之後韓國 股市與中國股市之間的相關性較金融危機之前來的相對較高。
而國內的文獻中較少使用 BEKK 模型來衡量風險報酬之間的抵換關係，但亦 有陳依婷(2010)藉由雙變量 GARCH(1,1)-BEKK 模型來探討台灣與中國大陸股，匯 市價格報酬波動的傳遞效果分析，實證結果顯示台灣的股價報酬具有領先反映大 陸的股價報酬情形，且台灣與中國大陸匯價報酬波動具有反向傳遞的效果，即當 期中國大陸匯價報酬會受到前期台灣匯價報酬的負向影響，而台灣與中國大陸的 匯價報酬波動皆會影響對方的股價報酬波動，即前期中國大陸匯價報酬對當期台 灣股價報酬具有負向的影響，而台灣匯價報酬與中國大陸股價報酬雙方具有相互 傳遞的影響效果，顯示台灣與中國大陸間資金往來熱絡，分別影響雙方的外匯市 場與股票市場。綜上所述，雖然在國內較少研究使用 BEKK 模型，而對角 BEKK 模型更是難以找到其相關的實證文獻，然而 BEKK 模型在多變量 GARCH 模型中仍 是熱門的研究模型之一，而本研究將使用對角 BEKK 模型來作為估計參數的主要 模型。
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