第三章 研究方法
3.6 多變量 ARIMA 模型
若要了解數個外在變數之間的因果關係，則須採用多變量 ARIMA 模型 來建構。多變量模型以應變數與自變數落後期數的特性大致可以分兩種型 式，其介紹如下：
1. 靜態時間序列模型
指一個變數當期的值(以 Yt表示)，與另一個或多個變數當期的值(以 X1t, X2t, X3t…Xkt表示)有因果關係。
以數學函數式表達即如下：
(3.17) 若變數間的函數關係是線性的，則可表示呈複迴歸模型：
(3.18)
若變數間的函數關係是非線性的，則可經由變數轉換，而轉變成線性 模型。
2. 動態時間序列模型
動態時間序列模型與靜態時間序列模型最大的不同，就是模型中因變 數(Yt)與自變數(Xt)有跨期性的影響。動態時間序列模型的一般化表示如下：
(3.19) 將上式落遲運算元函數來表示成：
(3.20)
由一般化的式子可以看出因變數的落後期數(Yt-1、Yt-2、Yt-3…)可以當 成自變數，而其他本身的自變數(X1t, X2t, X3t…)等也都各自有其落後期數；
求取長期均衡值同樣可以取期望值的方式來計算，用此方法計算出來的係 數組合，可以巧妙的變成經濟意義的統計檢定假設。
多變數的時間序列線性模型的性質與估計，與一般統計或計量書中的
複迴歸類似，若以 OLS 模型來估計時，其中作重要的假設都是殘差(et)必須 符合古典一般線性模型的假設(Classical Normal Linear Assumption)。
(1) 殘差為常態性(Normality)。
(2) 殘差期望值為零(Zero Mean)，E(et)=0 for all t。
(3) 殘差距同質變異(Homoskedasticity)；var(et)=σ2，σ2 為一固定常 數 for all t。
(4) 殘差無自我相關(Non-Autocorrelation)；cov(et, et-s)=0 for s≠0。
(5) 自變數與殘差無相關(Orthogonality)；cov(xit, et)=0 for any i。
(6) 自變數與自變數之間無相關(Independence)； cov(xit, xjt)=0 for any i≠j。
所以在時間序列的分析與探討中，殘差有無自我相關、殘差具同質變 異等的問題，必須是審慎處理。
殘差自我相關之處理可分為兩部分說明：
Cochrane-Orcutt 兩步驟遞迴估計(Two-Step and Iterative Estimation) 先估計 yt=a0+a1x1t+et
取殘差以計算估計值ｂ
(3.21) 以此估計值ｂ代入 Cochrane-Orcutt 進行估算
不斷重複上述步驟，直到估計值ｂ收斂為止
修正殘差中存在自我相關的方法。使用非線性模型來估計，可將一階 自我相關(3.22)式轉換成(3.23)式
(3.22)
(3.23)
然後直接利用 Marquardt 非線性迴歸演算法(Nonlinear Least Squares Algorithm)估計 b、a0、a1等參數。
建構多變量 ARIMA 模型流程圖如圖 3.3 所示：
圖 3.3 多變量 ARIMA 模型流程圖
3.7 ARCH(autoregressive conditional heteroscedasticity, ARCH)模型
ARCH 模型就是將自我相關的概念運用在條件變異數的估計，因為古 典迴歸模型在估計時，其假設為迴歸殘差的變異數為一固定不變的常數。
在財務和經濟的時間序 列資料中，都 具有條件變異不齊一的 現象，即 Var(yt∣yt-1)=σt
2，也就是說條件變異數會隨著時間改變。
3.7.1 經濟與財務時間序列統計資料之特性
1. 高狹峰分配(Leptokurtic)：常見於財務資產報酬的統計資料，指其變數 的峰態係數(Kurtosis)大於 3，亦稱為厚尾會是胖尾現象。
2. 波動叢聚現象(volatility clustering)：指變數的變動，會有聚集在一起的 現象。也就是將變數畫成時間序列圖時，可觀察到大波動跟隨著大波 動，小波動跟隨著小波動現象。
3. 金融資產之風險與以模型量化處理，也可以研究財務市場上常被提起的 槓桿效果、星期效果、宣告效果、以及不同資產間的報酬波動關連性。
上述特性結存在風險與不確定的問題，然而 ARCH/GARCH 可以適切 的描述這些特性。
3.7.2ARCH/GARCH 基本模型 ARCH(p)的基本模型如(3.24)式
(3.24) 變數說明：
Ωt-1：在 t-1 期所有可利用知訊息所形成的集合 Yt：時間序列資料
Xtb：由遞延內生和外生變數線性組合而成 ht：條件變異數
GARCH(p)的基本模型如(3.25) 、(3.26)式
(3.25)
(3.26) 變數說明：
Yt：符合 GARCH 過程之時間序列資料 Ψt-1：前 t-1 期為止所有可更利用的資訊集合 Yt∣Ψt-1：為平均數 Xtb，變異數 ht之常態分配 ht：受 t-1 至 t-p 期殘差影響之 Yt條件變異數 α、β、b：為未知參數的向量
p、q：為 GARCH 過程之階數 A(L)=1+α1L+…+αqL
L：落後運算元
由上述模型可以發現，其與 Engel 最大的不同在於條件變異數除了受了 前幾期的殘差項的平方影響外，同時也受到本身之落後期數的影響。因為 GARCH 比 ARCH 更具一般性。
3.7.3 模型之檢定
對於 GARCH 的檢定，由於其未知參數估計過程相當繁複，無法由殘 差項平方自我相關係數與偏自我相關函數來作模型檢定。故 Bollerslev 提出 了以拉格蘭茲統計量作為檢定資料配置 GARCH 模型的合適性。
LM(lagrange mulyiplier, LM)統計量：
令
θ：Euclindean(Θ)空間中的一個子空間 θ0：真實參數
εt：具有有限的兩階動差
若真的的參數是 θ0，則原來 GARCH( p , q )可以改寫為：
(3.27) 將(3.27)式中之條件變異數分解成兩部分：
在 H0：w2為真之下的 LM 統計量為：
(3.28) 其中
在 H0：w2為真時，ξ*LM為一近似自由度為 r 之卡方分配，r 為 w2中參數限 制的個數。另外，若 GARCH 模型之條件分配為常態，則可以導出另一個 類似的統計量
其中 R2為 f0與 z0間複相關係數的平方。
3.8 向量自我迴歸(vector autoregressions,VAR)
前述所討論的計量模型都是屬於結構化的模型，換言之，也就是變數 之間的關係都是以經濟理論為基礎所建構的。但是，當經濟理論態複雜時，
或是變數間存在著回饋(feedback)的關係使我們無法確定何種變數究竟應視
為內生變數或外生變數，當無法精準的設定模型時，將導致錯誤的實證結 論。
Sims(1980)認為此結構為相當困難且令人懷疑該設定的可信度，因此提 出向量自我迴歸(vector autoregressions,VAR)用來解決傳統上結構化模型認 定困難的問題。VAR 不需有先驗的經濟理論，僅由資料本身的特性來建立 動態的模型，將所有的變數視為內生變數，而有一條對應之迴歸方程式，
其右邊的解釋變數由各內生變數的落後期數所組成，故可被用來處理非結 構性的模型。
一個三變數的 VAR 模型可以表示為：
n 個變數且落後期數為 p 的 VAR 模型可以用符號 VAR(p)表示，VAR(p) 模型的表示如下：
(3.29) 其中：
Zt = (Z1,t, Z2,t, Z3,t,…Zn,t)’的 n x 1 向量 ð1、ð2、ð3…ðp為 n x n 的係數矩陣
et =( e1,t, e2,t…en,t)’的 n x 1 的誤差矩陣 Ó 為誤差項的變異數和共變數 n x n 矩陣
因 為 (3.29) 的 右 邊 並 無 包 含 非 落 後 期 數 得 內 生 變 數 (unlagged endogenous variables)，且每個方程式的右邊變數是相同的，因此 VAR 模型 可以用 OLS 加以估計。而最適落後期數 p 的選擇則以 AIC 或 SIC 決定。
3.9 Chow 轉變點檢定
在時間序列資料(Data Generating Process,DGP)在股價資料分析阿，資料 來源取自過去歷史資料。若選用樣本資料期間過長，或是樣本期間內發生 重大的經濟事件，則過去與現在的價格可能會產生模型結構的改變。然而 考量模型是否產生結構轉變(Structural Changes or Structural Breaks)方能降 低模型估計的錯誤。Chow(1960)提出結構轉變模型概念，由於結構轉變不 見得只會影響模型的常數項，也有可能使模型的自變數係數發生改變，所 以需要藉由『加入虛擬變數』方法來進行估計。
3.9.1 Chow 結構轉變檢定
Chow 結構轉變點檢定(Breakpoint Test)如下所示：
檢定樣本中的子樣本(sub-sample)之間，是否有不一樣的性質(迴歸係數 是否相同、DGP 是否相同)，其數學表示如下：
(3.30)
(3.31) 比較(3.11)與(3.12)式，令虛無假設 H0 : ai=a’i i=0,1…p
加入虛擬變數的 Chow 轉變點檢定步驟如下：
1. 已知轉變點為 k 的前提下，自定ㄧ個虛擬變數 Dt，並令其值為：
(3.32) 2. 接著使用全部樣本(1,2,…,T)估計以下的為受限式：
(3.33) 3. 計算 F 統計量，並以自由度(p+1,T-2p-2)的 F 分配進行聯合檢定：
(3.34) 4. 針對個別係數作 t 檢定。
3.10 評估模型預測能力方法
對於各種計量經濟模型而言，預測能力的高低為檢驗該模型的理論或 是假說優劣的重要標準。一般而言，預測能力的評量可分為樣本內的比較 與樣本外的比較。本文將使用樣本外的比較來評量模型的預測能力，因為 樣本外預測能力的成功表示模型的設定被一組新的樣本所證實，將比樣本
內配適度更具說服力。
本文使用評量預測能力的統計工具如下所示：
1. 平均絕對離差(MAD)
(3.35) 2. 均方差平方根(RMSE)
(3.36) 3. 平均絕對百分比誤差(MAPE)
(3.37)
第四章 資料來源與處理
1. 資料期間：2000/1/1~2008/12/31 日資料共有 2251 筆，作為建構模型的 樣本內資料，並以 2008/3/2~2009/12/31 日資料共 248 筆作為比較模型 預測能力之樣本外資料。
2. 變數定義：如表 4.1 所示：
表 4.1 變數定義
變數名稱 變數符號 變數差分 變數定義
台股指數 TW DTW
台灣證卷交易所集中市場上 市股票每日收盤指數，再經自 然對數轉換。
美股道瓊指數 DJ DDJ 美國道瓊工業指數每日收盤 指數，再經自然對數轉換。
上海綜合指數 SH DSH 上 海 綜 合 指 數 每 日 收 盤 指 數，再經自然對數轉換。
台幣匯率 NT DNT 台幣對美元外匯每日數字，再 經自然對數轉換。
日幣匯率 JPY DJPY 日幣對美元外匯每日數字，再 經自然對數轉換。
人民幣匯率 CN DCN 人 民 幣 對 美 元 外 匯 每 日 數 字，再經自然對數轉換。
資料來源：本研究
3. 變數來源：上述各變數資料取自台灣股票市場統計資料庫(TSE.bnk)。
4. 分析軟體：本研究為使用 Eviews6 軟體進行統計計量計算。
第五章 實證結果分析
5.1 單變量時間序列
本研究主題為探討台股加權股價指數在時間序列模型中，求出最適模 型。
5.1.1 研究流程
本節研究流程：
1.輸入原始資料
2.對序列做單根檢定(ADF) 3.序列結構轉變 Chow 檢定 4.ARIMA( p , d , q )模型假設
5.ARIMA 模型診斷(自我相關 Q 統計量檢定、常態性檢定) 6.選擇最適之 ARIMA 模型
7.樣本內(配適度檢定) 8.樣本外(預測力檢定)
5.1.2 數列單根檢定
Nelson and Plosser(1982)研究指出總體經濟變數普遍存在單根現象(unit root)。若迴歸式的自變數為非定態，以傳統 OLS 方法進行迴歸分析，將會
產生假性迴歸。一般來說，時間數列的資料常存在著趨勢的特性，也就是 變數會隨時間改變呈現不穩定的狀態。
若一開始就對資料作差分分析，將會形成過度差分導致低效率，因此 先進行單根檢定以確保變數不致過度差分。
首先先對台股加權指數製圖，由圖 5.1 可以發現台股加權指數為『含有 趨勢』之時間序列圖，因此先對原始資料進行單根檢定，其結果如表 5.1、
表 5.2、表 5.3 所示。由資料可以發現，及使在最大落後期數第 15 期時，
ADF 依舊大於檢定臨界值，及無法拒絕 H0，DGP 為單根的假設。即 DGP 為非穩定態。
圖 5.1 台股加權指數時間序列圖(原始資料)
資料來源：本研究
表 5.1 台股加權指數單根檢定(含截距項)
表 5.2 台股加權指數單根檢定(含截距與趨勢項)
表 5.3 台股加權指數單根檢定(不含截距與趨勢項)
將台股指數先取自然對數，再做一次單根檢定，檢定是否為穩定態。
其結果如圖 5.2、表 5.4、表 5.5、表 5.6 所示。由資料可以發現，及使在最 大落後期數第 15 期時，ADF 依舊大於檢定臨界值，及無法拒絕 H0，DGP 為單根的假設。即 DGP 仍然為非穩定態。
其結果如圖 5.2、表 5.4、表 5.5、表 5.6 所示。由資料可以發現，及使在最 大落後期數第 15 期時，ADF 依舊大於檢定臨界值，及無法拒絕 H0，DGP 為單根的假設。即 DGP 仍然為非穩定態。