第三章 研究方法
3.7 ARCH 模型
3.7.1 經濟與財務時間序列統計資料之特性
1. 高狹峰分配(Leptokurtic)：常見於財務資產報酬的統計資料，指其變數 的峰態係數(Kurtosis)大於 3，亦稱為厚尾會是胖尾現象。
2. 波動叢聚現象(volatility clustering)：指變數的變動，會有聚集在一起的 現象。也就是將變數畫成時間序列圖時，可觀察到大波動跟隨著大波 動，小波動跟隨著小波動現象。
3. 金融資產之風險與以模型量化處理，也可以研究財務市場上常被提起的 槓桿效果、星期效果、宣告效果、以及不同資產間的報酬波動關連性。
上述特性結存在風險與不確定的問題，然而 ARCH/GARCH 可以適切 的描述這些特性。
3.7.2ARCH/GARCH 基本模型 ARCH(p)的基本模型如(3.24)式
(3.24) 變數說明：
Ωt-1：在 t-1 期所有可利用知訊息所形成的集合 Yt：時間序列資料
Xtb：由遞延內生和外生變數線性組合而成 ht：條件變異數
GARCH(p)的基本模型如(3.25) 、(3.26)式
(3.25)
(3.26) 變數說明：
Yt：符合 GARCH 過程之時間序列資料 Ψt-1：前 t-1 期為止所有可更利用的資訊集合 Yt∣Ψt-1：為平均數 Xtb，變異數 ht之常態分配 ht：受 t-1 至 t-p 期殘差影響之 Yt條件變異數 α、β、b：為未知參數的向量
p、q：為 GARCH 過程之階數 A(L)=1+α1L+…+αqL
L：落後運算元
由上述模型可以發現，其與 Engel 最大的不同在於條件變異數除了受了 前幾期的殘差項的平方影響外，同時也受到本身之落後期數的影響。因為 GARCH 比 ARCH 更具一般性。
3.7.3 模型之檢定
對於 GARCH 的檢定，由於其未知參數估計過程相當繁複，無法由殘 差項平方自我相關係數與偏自我相關函數來作模型檢定。故 Bollerslev 提出 了以拉格蘭茲統計量作為檢定資料配置 GARCH 模型的合適性。
LM(lagrange mulyiplier, LM)統計量：
令
θ：Euclindean(Θ)空間中的一個子空間 θ0：真實參數
εt：具有有限的兩階動差
若真的的參數是 θ0，則原來 GARCH( p , q )可以改寫為：
(3.27) 將(3.27)式中之條件變異數分解成兩部分：
在 H0：w2為真之下的 LM 統計量為：
(3.28) 其中
在 H0：w2為真時，ξ*LM為一近似自由度為 r 之卡方分配，r 為 w2中參數限 制的個數。另外，若 GARCH 模型之條件分配為常態，則可以導出另一個 類似的統計量
其中 R2為 f0與 z0間複相關係數的平方。
3.8 向量自我迴歸(vector autoregressions,VAR)
前述所討論的計量模型都是屬於結構化的模型，換言之，也就是變數 之間的關係都是以經濟理論為基礎所建構的。但是，當經濟理論態複雜時，
或是變數間存在著回饋(feedback)的關係使我們無法確定何種變數究竟應視
為內生變數或外生變數，當無法精準的設定模型時，將導致錯誤的實證結 論。
Sims(1980)認為此結構為相當困難且令人懷疑該設定的可信度，因此提 出向量自我迴歸(vector autoregressions,VAR)用來解決傳統上結構化模型認 定困難的問題。VAR 不需有先驗的經濟理論，僅由資料本身的特性來建立 動態的模型，將所有的變數視為內生變數，而有一條對應之迴歸方程式，
其右邊的解釋變數由各內生變數的落後期數所組成，故可被用來處理非結 構性的模型。
一個三變數的 VAR 模型可以表示為：
n 個變數且落後期數為 p 的 VAR 模型可以用符號 VAR(p)表示，VAR(p) 模型的表示如下：
(3.29) 其中：
Zt = (Z1,t, Z2,t, Z3,t,…Zn,t)’的 n x 1 向量 ð1、ð2、ð3…ðp為 n x n 的係數矩陣
et =( e1,t, e2,t…en,t)’的 n x 1 的誤差矩陣 Ó 為誤差項的變異數和共變數 n x n 矩陣
因 為 (3.29) 的 右 邊 並 無 包 含 非 落 後 期 數 得 內 生 變 數 (unlagged endogenous variables)，且每個方程式的右邊變數是相同的，因此 VAR 模型 可以用 OLS 加以估計。而最適落後期數 p 的選擇則以 AIC 或 SIC 決定。
3.9 Chow 轉變點檢定
在時間序列資料(Data Generating Process,DGP)在股價資料分析阿，資料 來源取自過去歷史資料。若選用樣本資料期間過長，或是樣本期間內發生 重大的經濟事件，則過去與現在的價格可能會產生模型結構的改變。然而 考量模型是否產生結構轉變(Structural Changes or Structural Breaks)方能降 低模型估計的錯誤。Chow(1960)提出結構轉變模型概念，由於結構轉變不 見得只會影響模型的常數項，也有可能使模型的自變數係數發生改變，所 以需要藉由『加入虛擬變數』方法來進行估計。
3.9.1 Chow 結構轉變檢定
Chow 結構轉變點檢定(Breakpoint Test)如下所示：
檢定樣本中的子樣本(sub-sample)之間，是否有不一樣的性質(迴歸係數 是否相同、DGP 是否相同)，其數學表示如下：
(3.30)
(3.31) 比較(3.11)與(3.12)式，令虛無假設 H0 : ai=a’i i=0,1…p
加入虛擬變數的 Chow 轉變點檢定步驟如下：
1. 已知轉變點為 k 的前提下，自定ㄧ個虛擬變數 Dt，並令其值為：
(3.32) 2. 接著使用全部樣本(1,2,…,T)估計以下的為受限式：
(3.33) 3. 計算 F 統計量，並以自由度(p+1,T-2p-2)的 F 分配進行聯合檢定：
(3.34) 4. 針對個別係數作 t 檢定。
3.10 評估模型預測能力方法
對於各種計量經濟模型而言，預測能力的高低為檢驗該模型的理論或 是假說優劣的重要標準。一般而言，預測能力的評量可分為樣本內的比較 與樣本外的比較。本文將使用樣本外的比較來評量模型的預測能力，因為 樣本外預測能力的成功表示模型的設定被一組新的樣本所證實，將比樣本
內配適度更具說服力。
本文使用評量預測能力的統計工具如下所示：
1. 平均絕對離差(MAD)
(3.35) 2. 均方差平方根(RMSE)
(3.36) 3. 平均絕對百分比誤差(MAPE)
(3.37)
第四章 資料來源與處理
1. 資料期間：2000/1/1~2008/12/31 日資料共有 2251 筆，作為建構模型的 樣本內資料，並以 2008/3/2~2009/12/31 日資料共 248 筆作為比較模型 預測能力之樣本外資料。
2. 變數定義：如表 4.1 所示：
表 4.1 變數定義
變數名稱 變數符號 變數差分 變數定義
台股指數 TW DTW
台灣證卷交易所集中市場上 市股票每日收盤指數，再經自 然對數轉換。
美股道瓊指數 DJ DDJ 美國道瓊工業指數每日收盤 指數，再經自然對數轉換。
上海綜合指數 SH DSH 上 海 綜 合 指 數 每 日 收 盤 指 數，再經自然對數轉換。
台幣匯率 NT DNT 台幣對美元外匯每日數字，再 經自然對數轉換。
日幣匯率 JPY DJPY 日幣對美元外匯每日數字，再 經自然對數轉換。
人民幣匯率 CN DCN 人 民 幣 對 美 元 外 匯 每 日 數 字，再經自然對數轉換。
資料來源：本研究
3. 變數來源：上述各變數資料取自台灣股票市場統計資料庫(TSE.bnk)。
4. 分析軟體：本研究為使用 Eviews6 軟體進行統計計量計算。
第五章 實證結果分析
5.1 單變量時間序列
本研究主題為探討台股加權股價指數在時間序列模型中，求出最適模 型。
5.1.1 研究流程
本節研究流程：
1.輸入原始資料
2.對序列做單根檢定(ADF) 3.序列結構轉變 Chow 檢定 4.ARIMA( p , d , q )模型假設
5.ARIMA 模型診斷(自我相關 Q 統計量檢定、常態性檢定) 6.選擇最適之 ARIMA 模型
7.樣本內(配適度檢定) 8.樣本外(預測力檢定)
5.1.2 數列單根檢定
Nelson and Plosser(1982)研究指出總體經濟變數普遍存在單根現象(unit root)。若迴歸式的自變數為非定態，以傳統 OLS 方法進行迴歸分析，將會
產生假性迴歸。一般來說，時間數列的資料常存在著趨勢的特性，也就是 變數會隨時間改變呈現不穩定的狀態。
若一開始就對資料作差分分析，將會形成過度差分導致低效率，因此 先進行單根檢定以確保變數不致過度差分。
首先先對台股加權指數製圖，由圖 5.1 可以發現台股加權指數為『含有 趨勢』之時間序列圖，因此先對原始資料進行單根檢定，其結果如表 5.1、
表 5.2、表 5.3 所示。由資料可以發現，及使在最大落後期數第 15 期時，
ADF 依舊大於檢定臨界值，及無法拒絕 H0，DGP 為單根的假設。即 DGP 為非穩定態。
圖 5.1 台股加權指數時間序列圖(原始資料)
資料來源：本研究
表 5.1 台股加權指數單根檢定(含截距項)
表 5.2 台股加權指數單根檢定(含截距與趨勢項)
表 5.3 台股加權指數單根檢定(不含截距與趨勢項)
將台股指數先取自然對數，再做一次單根檢定，檢定是否為穩定態。
其結果如圖 5.2、表 5.4、表 5.5、表 5.6 所示。由資料可以發現，及使在最 大落後期數第 15 期時，ADF 依舊大於檢定臨界值，及無法拒絕 H0，DGP 為單根的假設。即 DGP 仍然為非穩定態。
圖 5.2 台股加權指數圖(原始資料取自然對數)
資料來源：本研究
表 5.4 台股加權指數單根檢定(含截距項)
表 5.5 台股加權指數單根檢定(含截距與趨勢項)
表 5.6 台股加權指數單根檢定(不含截距與趨勢項)
接著將對數值取一次差分，再做一次單根檢定，檢定是否為穩定態。
其結果如圖 5.3、表 5.7、表 5.8、表 5.9 所示。當延長落後期數時，隨然 ADF 值呈現遞增的現象，但是還是通過定態檢定（ADF<臨界值），所以 DGP 拒 絕虛無假設，即資料變數已屬定態。
圖 5.3 台股加權指數圖(原始資料取自然對數取一階差分)
資料來源：本研究
表 5.7 台股加權指數單根檢定(含截距項)
表 5.8 台股加權指數單根檢定(含截距與趨勢項)
表 5.9 台股加權指數單根檢定(不含截距與趨勢項)
表 5.10 CUSUM 檢定結構轉變點
將上述資料中 F 值陳列出來，如表 5.10 所示，其中以第 447 筆處的 F 值最大，所以結構轉變的位置應該在此。同樣的做法也可以求出在第 2289 筆處的 F 值最大，如表 5.11 所示。
表 5.11 CUSUM 檢定來找出結構轉變點
5.1.4 ARIMA 模型假設
經由模型的配適度判斷，選出了最適的兩組，分別為 ARIMA(6,1,9)、
ARIMA(8,1,8)，接著針對檢定殘差自我相關的問題，如表 5.12、5.13 所示。
由表中可以知道，P 值都大於 5%，無法拒絕此殘差都沒有自我相關的虛無
表 5.13 ARIMA(8,1,8) 殘差自我相關 Q 統計量
資料來源：本研究
接著針對估計模型之殘差是否符合常態分配的檢定，其中兩模型檢定 的結果如下表 5.14 所示。由表中可以發現 K>3，JB>5.991 即表示模型無法 通過常態性的檢定。
表 5.14 JB 統計量比較表 Kurtosis Jarque-Bear ARIMA(6,1,9) 6.06328 737.627 ARIMA(8,1,8) 6.16711 780.0875
資料來源：本研究
自我相關條件異質變異
由於 ARIMA 僅能運用於定態的時間序列，然而實際上的經濟與商業資 料，大多為非定態(Pankratz, 1983)，尤其是在股價的時間序列中。雖然非定 態續列經由差分或是轉換函數的方式轉為定態序列，在此限制下，必須有 一種可以處理時間序列的變異數會隨時間改變的方法，而 Engle(1982)所提 出的 ARCH 模型即可來彌補 ARIMA 的不足。
首先將得到可能模型 ARIMA(6,1,9)-GARCH(1,1)模型的回歸參數估計 表分別列於如下表 5.15 所示。表中可以發現其參數的 P 值均小於臨界值，
表示設參數具有其意義性。
表 5.15 ARIMA(6,1,9)-GARCH(1,1)的回歸參數估計表
資料來源：本研究
下表為 ARIMA(6,1,9)-GARCH(1,1)模型殘差自我相關檢定，如表 5.16
ARIMA(8,1,8)-GARCH(1,1) 模 型 的 回 歸 參 數 估 計 表 分 別 列 於 如 下 表 5.17 所示。表中可以發現其參數的 P 值均小於臨界值，表示設參數具有其 意義性。
表 5.17 ARIMA(8,1,8)-GARCH(1,1)的回歸參數估計表
資料來源：本研究
下表為 ARIMA(8,1,8)-GARCH(1,1)模型殘差自我相關檢定，如表 5.18
將 本 文 所 選 取 的 模 型 ARIMA(6,1,9) -GARCH(1,1)及 ARIMA(8,1,8) -GARCH(1,1)兩模型分別做樣本外預測力檢定，所使用的軟體為 E-views，
將 本 文 所 選 取 的 模 型 ARIMA(6,1,9) -GARCH(1,1)及 ARIMA(8,1,8) -GARCH(1,1)兩模型分別做樣本外預測力檢定，所使用的軟體為 E-views，