第三章 理論模式基礎
第二節 多項式與條件式 logit 模型
多項式 logit 模型是由隨機效用模型推導而成。假設家戶 i 選擇住宅項目類型 j 。則依 McFadden (1974)，家戶i 選擇 j 選項的隨機效用函數（random utility function）可以寫成下式(3-14)：
ij j i
i i
j x y
u =β′ +α′ +ε (3-14) 式中，i∈I 且 j∈ ， I 為家戶總數，J J為可以選擇的項目數目。uij表示家戶 i 選 擇 住 宅 項 目 j 方 案 的 效 用 。 此 效 用 可 分 為 兩 個 部 分 。 首 先 是 可 衡 量 效 用
j i
i y
x α
β′ + ′ ，表示住宅之相關項目或類型替選方案之直接效用中可以被觀測的部
分，此部分亦包含兩類，其中xij稱為「特質變數（attribute）」，不僅隨著項目或 類型之選項而有不同，在不同家戶中也會有所不同；而y 通常稱為個人特性變數i
（characteristics of individual），在選項和選項間並不會不同；β′ 及α′分別為變數 向量之係數。第二部分ε 則為「隨機效用」，表示住宅項目或類型之選項中無法ij 被觀測的效用，是為此模式中的誤差項，表示此模型無法解釋的部分。
假設家戶 i 選擇 j 的選項，表示選項 j 在J個可以選擇的項目總數中所產生 的效用最大，所以家戶 i 選擇 j 的選擇機率可表示為(3-15)：
(
U U j J)
Prob ij > ij′,∀ ′∈
(3-15) 假設ε 相同且獨立之第一形態極端值分配（type extreme valueij Ⅰ (Weibull) distribution）時，機率密度函數為：
[
( )]
)
( exp
)
( e ij ij e ij ij
f εij =δ −δ ε −η − −δ ε −η (3-16) 累積密度函數為：
[
( )]
exp )
( e ij ij
F εij = − −δ ε −η (3-17) η ：位置參數（location parameter），為該分配之眾數 ij δ ：離散參數（dispersion parameter）
此分配的變異數為 2 2 6δ
π ，為簡化推導過程，令δ =1，ηij =0。 則家戶 i 選擇方案 j 的機率為(3-18)式：
Pij =P
(
Vij +εij >Vij′+εij′,∀j≠ j′)
(3-18)=P
(
εij′<Vij−Vij′+εij,∀j≠ j′)
Vij：為可衡量效用，即為β′xij +α′yi
根據誤差項之累積密度函數，則家戶 i 選擇方案 j 的機率可表示為(3-19)式：
∏
≠ ′
− − + − ′
=
j j
e ij
j Vi Vij ij
ij e
P
(ε )
ε (3-19)
由於εij為服從第一型極端值分配的變數，則需對
ij ij
P ε 積分：
e ij
j j
e
ij e e e d
P ij ij ij
ijV ij V
ε ε
ε + − ′ ε −
− − −
≠ ′
∫ ∏
− ⎥⎦
⎢ ⎤
⎣
= ⎡ ( ) (3-20)
則可推導出家戶 i 選擇住宅項目 j 的機率為：
( ) ∑
′= + ′
′
′ +
′
′
= J
j
y x
y x i
rob
i j i
i ij
e j e
P
1 α β
α β
(3-21)
(3-21)式即為 Kmenta (1986)及 Maddala (1989)所提出的「原始多項式 logit 模型
（original multinomial logit model）。由於此式允許不同家戶 i 在面對不同選擇 j 時 可以有不同的效用，所以在不同選擇時所估計到的係數是可以不同的。此模型在 替選方案集合中有n個方案，理論上應該會有
(
n−1)
組的參數。比方說，如果一 個家戶單位 i 面對四組選擇，則可以估計到三組係數(第四組是標準組)。假設以多項 logit 模型為家戶策略選擇之操作模型，家戶在住宅策略選擇時，
需同時面對各種替選策略的屬性及消費偏好，家戶 i 選擇住宅策略 j 之多項 logit 模型選擇結構如圖 3-1：
圖 3-1 多項式 logit 模型家戶住宅策略選擇架構圖
另一方面，假設家戶i 面對第 j 個選擇的決策時，只受到選擇 j的特性xij的 家戶 i
=1
j j=2 j=3 j=4 住宅策略 j
影響，而不受到自身特性y 的影響，則(3-21)原始多項式 logit 模型可以改寫成i 下式(3-22)：
( ) ∑
′=
′
′
′
= J
j x x i
rob
j i ij
e j e
P
1 β β
(3-22)
此即 McFadden (1974)、Anas (1982)、Maddala (1983)及 Greene (1993)所稱之「條 件多項 logit 模型（conditional multinomial logit model）」或稱為 McFadden logit 模 型。由於所有的決策都只取決於個別選擇xij所具有的特性，而與決策者自身的 特性y 無關。對上式進行估計時，無論替選方案的集合中有多少個方案，校估的i 係數β′ 結果均只有一組，也就是不論原來的選擇 j 有多少個，因為每一個選擇對 於家戶 i 的影響都相同。
在實際估計方面，由於家戶 i 的屬性不能單獨指定於效用函數中，而必須和 替選方案的特性變數結合，才能存在，因此若家戶 i 的屬性（即y ）以線型方式i 單獨指定於效用函數中，則經過運算，該變數將會從分子及分母中刪除，而不影 響方案選擇。故家戶的屬性必須和替選方案 j 的特性結合成為聯合變數（即
ij
x ），才能對方案選擇有所影響。例如在家戶住宅策略選擇模型中，可以將家戶 的心理屬性變數和住宅策略變數結合，才能放入模型中。由於條件多項 logit 模 型在校估時，假設每一組選擇 j 對於家戶 i 效用的影響都是相同的，因此其假設 性相當高。
另一方面，本研究若假設家戶 i 的住宅策略選擇 j 以一般多項 logit 模型估 計，各家戶 i 在住宅策略選擇時，均需同時面對四種可供選擇之住宅策略，且各 家戶對四種替選方案的屬性及消費心理屬性的偏好皆有不同。此外，若要將家戶 屬性變數y 置入模型中來探討，則必須對該變數加以修改。常用的方法是設置一i 組代表不同策略項目的虛擬變數（dummy variables），與家戶屬性變數相乘後代 入模型中，則這組變數便會在不同選擇項目中變化，我們因而得以對它進行討 論。因此各方案之選擇機率依其對家戶的效用而定，效用越高的方案則家戶的選 擇機率愈高；也就是說，各組之間的係數是可以不同的，因此其假設性較鬆。換 言之，條件式 logit 模型是原始多項式 logit 模型的特殊型態。