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模式參數估計

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第三章 理論模式基礎

第五節 模式參數估計

一般而言,參數的測定具有下列特性:

一、一致性(consistency):

隨者樣本數的增加,參數的估計值將會愈準確。

二、有效性(efficiency):

指在所有的估計值(得自不同的估計方法)中具有極小變異者。

三、充分性(sufficiency):

一估計值若具有充分性即表示其在估計參數時使用了所有樣本中可獲得的 資料。

以最大概似法估計參數不一定具有不偏性(unbiased ness),不過此一偏差將 隨著樣本數的增加而迅速減少,當樣本數趨於無限大時,最大概似估計值將以常 態分佈。

在參數估計上,對於未知參數α,β,σ 一般乃利用最大概似法求出使對數概似 函數之值為極大值。如 3-30 式所示

L

( )

f Pin

(

X Y

)

i r

n

in ln , , , ,

, , ln

1

σ β α σ

β

α −

∑∑

=

(3-30) n:個人樣本。

P :為個人in n選擇替選方案 i 之機率。

X , Y :所有替選方案對樣本n之屬性向量。

fin =1時,表觀測到樣本個體n選擇替選方案 i ,否則 fin =0,此為一步 驟估計法或稱充分訊息最大概似估計法(full information maximum likelihood estimates, FIML)。然而,理論上雖可由充分訊息最大概似法求出,但若效用函 數不為線性時,相當耗費估計時間,因此,一般估計上多採用較無效率但估計方 式較為簡易之部分訊息之二步驟估計法或稱有限訊息最大概似估計法來校估參 數。二步驟估計法先求出下巢層之參數,再估計上巢層之參數。

同樣的,當 flk =1時,所觀測之樣本選擇該替選方案l。否則 fin =0,P 為lk 該樣本選擇替選方案l之機率。利用二步驟估計法估計參數時,由於每一步僅需 求出部分之參數值,且參數為線性,故二步驟估計法較為簡便,也容易求得參數 之最佳解。因此,一般都採用此法來估計所需之參數值。

第六節 Logit 模型適合度檢定

模型適合度檢定的目的在於確定虛無假設的分配是否適合觀察的次數,檢定 的方法是比較理論次數與觀察次數是否一致。模式之檢定可分為模式參數檢定、

模式結構檢定、漸進 t 檢定、判中率。

一、模式參數檢定

對模式中所有參數做檢定,檢驗參數之正負號是否符合先驗知識之邏輯,並 檢測在某種信賴水準之下是否拒絕參數值為0之 t 檢定。

二、模式結構檢定

分為概似比指標檢定(likelihood ratio index)與概似比統計量(likelihood ratio statistics)兩種,說明如下:

1.概似比指標(likelihood ratio index)

為檢定模式適合度(goodness of fit)指標,在 logit 模式中,可將測定的參 數值帶入模式中以求出家戶 i 選擇方案 j 的機率P ,但是只能知道消費者有無選j 擇替選方案 j ,並不能知道家戶 i 真正選擇替選方案 j 的機率為多少。因此,建 議以概似比指標來衡量 logit 模式的適合度,概似比指標σ2定義如(3-31):

( ) ( ) ( )

ln

( )

0

ln

0 ln

2 ln

L P L

L L

= β −

σ (3-31) lnL

( )

β :包含所有參數之最大對數概數值。

( )

0

ln L :等市場佔有率(equal share)模式之概似函對數 值。

lnL

( )

P :理想模式之對數函數概似值,因所預測之選擇 機率與觀測機率相同,故lnL

( )

P =0

a.相對等佔有率模式

( )

( )

0

ln 1 ln

2

L L β σ = −

b.相對市場佔有率

( )

( )

m

L L

m ln

1 ln

2 β

σ = −

( )

m

L

ln :市場佔有率(market share)模式之概似函數對 數值。

σ2、σm2之值須介於 0 至 1 之間,根據 McFadden(1977)研究指出,若σm2值 在 0.2 與 0.4 之間,模式會有較好的適合度。

2.概似比統計量(likelihood ratio statistics)

概似比統計量可以一次檢定模式中所有參數之顯著性。若虛無假設為所有欲 檢定參數均不顯著的情況下,概似比統計量大於對應之卡方統計量,則拒絕虛無 假設,反之亦然。而最常用來檢定多項 logit 模式的是相對等佔有率與相對市場 佔有率。

(3-32)式為一卡方檢定(x )分配,其自由度為估計模式中所有參數的總數。 2 a.等市場佔有率模式之檢定:

檢定模式全部參數是否顯著之概似比統計量。

−2lnλe =−2

[

lnL

( )

0 −lnL

( )

β

]

(3-32)

( )

( )

β

λ L L

e

= 0 當

( )

N

e x ln 2

2 ≤

− λ ,模式參數全部不顯著。

( )

N

e x ln 2

2 >

− λ ,模式參數不全部不顯著。

b.相對市場佔有率模式之檢定:

檢定模式中除方案特定變數以外知參數值是否全部顯著。

−2lnλm=−2

[

lnL

( )

m −ln

( )

β

]

(3-33)

( )

( )

β

λ L m L

m =

( )

N

m x ln 2

2 ≤

− λ ,除方案特定常數外,模式參數全部不顯著。

( )

N

m x ln 2

2 >

− λ ,除方案特定常數外,模式參數不全部不顯著。

三、漸進 t 檢定(asymptotic t test)

概似比檢定乃針對整個模式的參數做檢定;而漸進 t 檢定則是對每一個參數 個別做檢定。對數概似函數的二次導數乘上負一之反函數即為各參數之變異-共

變異矩陣,其對角線值開根號即為各參數之標準差。由 3-34 式之 t 統計量檢定 各參數之顯著度。

( )

k k

t s

k β

β

β ˆ ˆ ˆ

ˆ = (3-34) 四、判中率

判中率

=

⎟×

⎜ ⎞

=⎛ N

i

Yi

N 1

100 (3-35)

N:總樣本數

=1

Yi ,當預測機率最高之方案等於實際所選擇之方案。

=0

Yi ,當預測機率最高之方案不等於實際所選擇之方案。

判中率的值應介於 0 與 100 之間,判中率的值愈高,則表示模式愈具代表性。

第四章 問卷調查與資料統計分析

本研究之家戶與住宅之相關資料,是以問卷調查方式進行資料收集,實證研 究對象為新竹市之家戶。本章將分別針對樣本之取得、資料處理分析方法、樣本 分析結果做說明。

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