第四章 研究結果與討論
第二節 學生作 x-t 圖之情形
第2節
「直線運動 x-t 圖作圖測驗」共 6 道作圖題，就題目的類型區分為二類：(1) 描述確切的時間及相對應的位置；(2)無描述確切的時間及相對應的位置。為了 瞭解學生由文字敘述作出的 x-t 圖之特徵，分別蒐集量化和質性的資料。在量化 研究中，對一班 34 位學生進行施測，以蒐集學生的作圖特徵；在質性研究中，
從另一班挑選 8 位學生進行施測和訪談，以瞭解學生作圖錯誤的原因。
量化研究的 34 個樣本，12 位無法作答，1 位以非直角坐標的方式作答，21 份以 x-t 圖的方式作答。檢查 21 份作 x-t 圖試卷，發現有些受試者只作某個題目 的 x-t 圖，因此統計每一題的作圖人數，如表 4-2-1 所示。其中第 1 題的人數百 分比為 100%，第 4 題和第 6 題的人數百分比約 71%，為 6 題中最低。從題目中 物體的運動方向來看，第 4 和第 6 題均與往負方向的運動有關，一些研究發現學 生對負方向的概念不易接受(Goldberg & Anderson, 1989; 陳秋萍, 2005; 簡順永, 2002)，這可能是第 4 和第 6 題作圖人數少的原因。
表 4-2-1：「直線運動 x-t 圖作圖測驗」各題的作圖人數比例
題號 第 1 題 第 2 題 第 3 題 第 4 題 第 5 題 第 6 題 作圖人數
比例 21 / 21 18 / 21 16 / 21 15 / 21 16 / 21 15 / 21 百分比 100% 88% 76% 71% 76% 71%
註：作圖人數比例的分子為作圖人數，分母為有效問卷數目。
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另外，將題目提到的時間點及相對應的位置畫在 x-t 圖中即是以座標點表示，
而第 1 題有 4 位受試者未標座標點，但這 4 位受試者均未作第 6 題的 x-t 圖。第 6 題需要受試者標出座標點，才能畫出正確的 x-t 圖，所以這 4 位受試者可能因 為不會標座標點，所以未能回答第 6 題。
(2)在 x-t 圖線段趨勢正確的情況下，x-t 圖各部分標錯之情形
在 x-t 圖線段趨勢正確的情況下，標錯原點、座標軸的物理量、物理量單位 或是座標軸刻度的人數分布情形如表 4-2-4 所示。這裡不討論座標點，因為若座 標軸刻度錯誤，則座標點代表的數據也是錯的。以下將分別討論 x-t 圖各部分標 錯之情形。
表 4-2-4：「直線運動 x-t 圖作圖測驗」第 1 題和第 6 題在線段趨勢正確的 x-t 圖中，各部份標示 錯誤的比例
x-t 圖之部分 x-t 圖線段
趨勢正確 原點 物理量 物理量單位 座標軸刻度 第 1 題 21 / 21 0 / 7 3 / 16 3 / 15 4 / 21 第 6 題 11 / 15 0 / 6 0 / 8 2 / 7 3 / 11
註 1：x-t 圖線段趨勢正確中的分母為作圖人數。
註 2：x-t 圖之部分中的分母為各部分標示的人數。
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(a) 原點
標示原點的受試者未出現標錯原點之情況，但有受試者在橫縱軸的交點以
「原點」二字而非「0」表示；
(b) 物理量
x-t 圖座標軸的物理量，在橫軸為 t (時間)、縱軸為 x (位置)。標錯物理量的 受試者有將縱軸表示為「距離」和 x 與 t 對調之情形(圖 4-2-1)。
圖 4-2-1：「直線運動 x-t 圖作圖測驗」第 1 題的橫縱軸與 x-t 圖對調之作圖結果
在質性研究中，也有研究對象在第 1 題作出橫縱軸與 x-t 圖對調之情形。詢 問其怎麼會想到這樣的畫法，他回答直覺，如第 1 題受試者 SvCd 之晤談內容。
研究者：你怎麼會在橫軸這裡標公尺，縱軸標秒?
SvCd ：直覺。
但是他在第 3 題可將縱軸標示為 x，橫軸標示為 t，並作出正確的 x-t 圖，如下頁 圖 4-2-2 所示。為了瞭解他對於物理量標示的想法，要他比較第 1 題和第 3 題物 理量標示的差異，他認為物理量對調標示沒差，如受試者 SvCd 之訪談內容。
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研究者：請你比較第 1 題和第 3 題的圖。第 3 題縱軸是 x，橫軸是 t；第 1 題縱軸標秒，橫軸標公尺。它們都是要畫 x-t 圖，二者的差異為何?
SvCd ：沒差。
圖 4-2-2：「直線運動 x-t 圖作圖測驗」受訪者 SvCd 第 3 題的作圖結果
而要求他第 1 題以縱軸為 x、橫軸為 t 作圖，其能正確作圖，如圖 4-2-3 所示。
由此可推知他知道物體位置與時間的關係，但是不具 t 必須標示在橫軸、x 必須 標示在縱軸的概念。
圖 4-2-3：「直線運動 x-t 圖作圖測驗」受訪者 SvCd 第 1 題第 2 次的作圖結果
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(c) 物理量單位
x-t 圖座標軸的物理量單位，在橫軸為時間的單位、縱軸為 x 長度的單位。
標錯物理量單位的受試者有物理量混淆(圖 4-2-4)、將時間單位與長度單位對調(圖 4-2-1)或是單位的標示與題目不符(圖 4-2-5)之情形。
物理量混淆的受試者在第 6 題 x-t 圖的橫軸，標示與長度有關的單位，如圖 4-2-4 所示。
圖 4-2-4：「直線運動 x-t 圖作圖測驗」第 6 題的橫軸物理量混淆之作圖結果
將縱軸標示單位的標示與題目不符之受試者將第 6 題的長度單位 km 標示成 m，如圖 4-2-5。
圖 4-2-5：「直線運動 x-t 圖作圖測驗」第 6 題的單位標示與題目不符之作圖結果
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(d) 座標軸刻度
x-t 圖的座標軸刻度，在橫軸要與題目的時間數值有關、在縱軸要與位置數 值有關。標錯座標軸刻度的受試者有將橫軸的時間數值與縱軸位置數值對調(圖 4-2-1)、物理量混淆(圖 4-2-4)、橫軸數值與縱軸數值相同(圖 4-2-6)和負 x 或負位 置表示錯誤之情形(圖 4-2-6 和圖 4-2-7)。在圖 4-2-6 中，受試者未標示負 x 的刻 度卻標上與負 x 有關的座標點。在圖 4-2-7 中，受試者負 x 的刻度未加負號。
圖 4-2-6：「直線運動 x-t 圖作圖測驗」第 6 題的橫軸數值與縱軸數值相同和未標示負 x 刻度之作 圖結果
圖 4-2-7：「直線運動 x-t 圖作圖測驗」第 6 題的負 x 的刻度未加負號之作圖結果
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(3) x-t 圖線段趨勢錯誤之情形
從 x-t 圖線段趨勢的正確與否來看，第 6 題有 4 位發生錯誤的情況。其中 1 位受試者無標示物理量和物理量單位，且畫出的圖與第 1 題相同，但剩下的 3 位受試者皆標示了物理量、物理量單位和座標軸刻度，卻出現特殊情況，以下進 行說明：
a. 橫縱軸的零點「0」未相交：受試者在橫縱軸的交點未標示「0」，而將「0」
標示在縱軸的其他處，其無法畫出零點重合的直角座標，如圖 4-2-8a。
b. 未畫負 x 的刻度：如圖 4-2-8b 所示，受試者可正確標出與正 x 有關的點 如點(60,100)和，但點(120,0)未出現在題目敘述中，受試者需要自行求出，
由此可推論他懂題目的概念，但用 x-t 圖表徵有困難，他無法畫出負 x；
c. x 解讀成移動的距離和方向：如圖 4-2-8c 所示，從受試者標的點(3,-200)，
推測其認為 x 的數字表示移動的距離，負號表示移動的方向，此與 x 的定 義「相對於原點的距離和方向」不同。
a. 橫縱軸的零點未相交之 x-t 圖 b. 未標負位置刻度之 x-t 圖
c. 縱軸 x 解讀成移動的距離與方向之 x-t 圖
圖 4-2-8：「直線運動 x-t 圖作圖測驗」第 6 題作圖之特殊情形
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在質性研究中，也有研究對象的作圖出現橫縱軸的零點「0」未相交和 x 解 讀成移動的距離和方向之情形。先就橫縱軸的零點「0」未相交之情形來看，受 試者 Svcd 作第 6 題的 x-t 圖時，先畫「L」型的直角座標，接著把刻度標上去時，
便發生負 x 標在交點上方之縱軸的情形，如圖 4-2-9 所示。詢問他關於座標軸標 示的問題時，得知他也明白自己的座標軸刻度標示錯誤，因此後來提示他可先將 縱軸和橫軸的 0 點重合，受試者便將 0 點重合，然後再將縱軸往交點以下延伸，
標示負 x，如受試者者 Svcd 之訪談內容。而受試者將負位置標示在交點上方之 縱軸的原因，是沒有想到可以標示在下方。因此，在未來的教學上，應該強調負 x 在直角座標的表示方式。
研究者：像這邊是 1 小時跟 2 小時嘛，那 0 小時的時候在哪裡?
Svcd ：應該是在這裡 [指在兩個軸的交點]
研究者：如果按照你這樣標 0 小時的話，那縱軸的位置是什麼東西?
Svcd ：-200
研究者：你可以讓兩個 0 重合嗎?
Svcd ：可以，把-100 移到下面，然後 0 就重合了。
研究者：你之前怎麼會把 -100 標在交點上方之縱軸?
Svcd ：因為沒有想到可以放在下方。
圖 4-2-9：「直線運動 x-t 圖作圖測驗」Svcd 畫出第 6 題之橫縱軸 0 點未相交的 x-t 圖
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再就 x 解讀成移動的距離和方向之情形來看，第 6 題的題目「…又花費 2 小時，南下開到 200 公里外的高雄。若將原點定在嘉義…高雄的位置是 -100 公 里」，要將到高雄的時間及 x 表示出來時，質性研究的受試者 SVCd 也出現將 x 標示為-200 的情形，如圖 4-2-10 所示。從受他的晤談內容可知，其認為 x 的負 號表示移動方向，而 x 的數字部分表示移動距離，也就是有不能掌握 x 負號的意 義和物理量混淆的情形。
研究者：這個點的 t 和 x 分別等於多少?
SVCd ：3 和-200。
研究者：你怎麼想到這點的 x 要標-200?
SVCd ：因為阿民南下開到 200 公里外的高雄。
圖 4-2-10：「直線運動 x-t 圖作圖測驗」第 6 題 SVCd 第 1 次的作圖結果
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(1)在 x-t 圖線段趨勢正確的情況下， x-t 圖各部分有無標示之情形
統計第 2、3、4、5 題中，x-t 圖各部份標示的人數分布情形，如表 4-2-6 所 示。在 x-t 圖的必要部分中，標示原點的人偏少，而大部分受試者能標示物理量。
在 x-t 圖的非必要部分中，最多人標示座標軸刻度這個非必要部分，而標示座標 點的受試者皆標示座標軸刻度。標示座標軸刻度的受試者自行假設時間及位置刻 度。由此可推知一些受試者會自行假設物體運動過程的時間點及位置協助作圖。
表 4-2-6：「直線運動 x-t 圖作圖測驗」第 2、3、4、5 題在線段趨勢正確的 x-t 圖中，各部份標示 的人數比例
x-t 圖之部分 x-t 圖線段趨
勢正確 原點 物理量 物理量單位 座標軸
刻度 座標點 第 2 題 16 / 18 6 / 16 12 / 16 10 / 16 13 / 16 9 / 16 第 3 題 15 / 16 5 / 15 14 / 15 7 / 15 9 / 15 5 / 15 第 4 題 12 / 15 7 /12 11 / 12 6 / 12 9 / 12 5 / 12 第 5 題 16 /16 5 /16 15 /16 6 / 16 10 / 16 2 / 16
註 1：x-t 圖線段趨勢正確中的分母為作圖人數。
註 2：x-t 圖之各部份的分母為線段趨勢正確的人數。
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(2)在 x-t 圖線段趨勢正確的情況下，x-t 圖各部分標錯之情形
在 x-t 圖線段趨勢正確的情況下，標錯原點和座標軸的物理量的人數分布如 表 4-2-7 所示。這裡不討論物理量單位、座標軸刻度和座標點，因為這三個部分 為非必要部分，受試者可以自行假設，所以無對錯之分。以下將分別討論原點和 物理量標錯之情形。
表 4-2-7：「直線運動 x-t 圖作圖測驗」第 2、3、4、5 題在線段趨勢正確的 x-t 圖中，各部份標示 錯誤的比例
x-t 圖之部分
原點 物理量
第 2 題 0 / 6 1 / 12 第 3 題 0 / 5 3 / 14 第 4 題 0 / 7 1 / 11 第 5 題 1 / 5 2 / 15
註 1：：x-t 圖之部分中的分母為各部分標示的人數。
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(a) 原點
標錯原點的受試者，其在橫縱軸的交點未標示「0」，而將「0」標示在縱軸 的其他處，即橫縱軸的零點「0」未相交，如圖 4-2-11 所示。由此可推論受試者 無法應用直角坐標表示 x 和 t 的關係。
圖 4-2-11：「直線運動 x-t 圖作圖測驗」第 3 題的橫縱軸零點未相交之作圖結果
(b) 物理量
此處標錯物理量之情形有二種：(1)橫縱軸與 x-t 圖對調 (圖 4-2-12)；(2)物理
此處標錯物理量之情形有二種：(1)橫縱軸與 x-t 圖對調 (圖 4-2-12)；(2)物理