第四章 研究結果與討論
第一節 學生在加、減與乘兩步驟文字題解題表現
壹、加、減與乘兩步驟文字題解題表現
進行正式施測結束後，將學生的解題情形進行統計，並分析其意義，
施測結果如表 4-1-1 所示，從四種類型的平均得分可得知學生在先加後乘 的問題類型上表現較佳，其次是先乘後減，再來是先乘後加，先減後乘的 問題類型表現較差。
在先乘後加文字題類型中，學生的平均得分為 2.97 分，以比較型、
改變-添加型-結果量未知的問題類型表現最好；等組型、改變-添加型-起 始量未知表現較差。
在先乘後減文字題類型中，學生的平均得分為 3 分，以等組型、改變 -拿走型-改變量未知的問題類型表現最好；等組型、改變-拿走型-結果量 未知表現次之；等組型、改變-拿走型-起始量未知表現最差。
在先加後乘文字題類型中，學生的平均得分為 3.43 分，為四種類型 中平均得分最高的，表示學生在此問題類型的解題表現較佳。
在先減後乘文字題類型中，學生的平均得分為 2.76 分，為四種類型 中平均得分最低的，表示學生在此問題類型的解題表現較差。以比較-較 少型-比較量未知、等組型的問題類型表現最好；比較-較少型-差異量未 知、等組型表現次之；比較-較多型-差異量未知、等組型表現最差。
表 4-1-1
1. 正確解題類型
S3：分到 3 枝筆。
2.錯誤解題類型
（1）9×2＝18 （2）6＋2＝8 （3）9＋2＝11 18＋6＝24 9×8＝72 11＋6＝17 答：24 歲 答：72 歲 答：17 歲
（4）9＋2＝11 （5）9×2＝18 （6） 9×2＝18 11－6＝5 18×6＝48 18×6＝108
答：5 歲 答：48 歲 答：108 歲 以下就錯誤的解題類型和晤談資料進行說明：
a.錯誤解題類型：
學生上述解題的六種類型皆為其因為語文知識之不足，導致問題轉譯過 程產生困難，而無法使用正確的運算方式進行解題。
b.晤談資料：（以下的 T 表示教師，S 表示學生）
B 學生（類型 1）
T：為什麼會用 9×2？
S2：因為 9 倍，所以用 9 跟 2 乘。
T：可是這邊是寫”多”2 歲，如果你有 3 顆糖果，老師比你多 2 顆糖果，你會用什 麼方法去算？
S2：加上去。
T：所以這一題應該怎麼寫才對？
S2：…………
F 學生（類型 3）
T：這題答案你把 3 個數相加為什麼？
S6：因為 9 多 2 歲所以加 2，再加上小禎 6 歲，所以就可以算出來奶奶幾歲。
T：可是你算出來奶奶的年紀是 17 歲，你覺得答案合理嗎？
S6：好像怪怪的。
學生在解題過程中，問題轉譯產生困難，其在擬定解題計畫時，就無 法列出正確的算式，解題計畫執行時就無進行正確解題。
（三）等組型、改變-添加型-起始量未知
問題（12）：大雄買了一個 30 元的機器人，付完錢後，老闆找給大雄 4 個 5 元，請問大雄付給老闆多少元？
1. 正確解題類型
S5：大雄付給老闆多少錢？
T：所以你可以怎麼算？
S5：…………。
T：（請學生拿附件硬幣付錢）你付錢給我，我扣掉買東西的錢拿起來，其它找給你，
你知道你付了多少錢給我嗎？
S5：把找的錢跟買東西的錢合起來。
學生在進行解題時有時會忽略題目中的重要訊息，即問題整合出現困 難，教師在教學時應訓練學生問題整合的能力，找出問題的重要訊息，在 教學過程中亦可搭配實物表徵，加深學生的概念學習。
二、先乘後減文字題錯誤類型
（一）等組型、改變-拿走型-結果量未知
問題（1）：一本故事書有 83 頁，小明每天看 10 頁，一星期後，還剩幾 頁沒看完？
1. 正確解題類型 10×7＝70 83－70＝13 答：13 頁 2. 錯誤解題類型
（1）7×10＝70 （2）10×8＝80 （3）83－10＝73 83×70＝13 83－80＝33 73－7＝66 答：13 頁 答：3 頁 答：66 頁
（4）83＋10＝93 （5）83－10＝73 （6）83－10＝73 73－10＝63 答：93 頁 答：73 頁 答：63 頁 以下就錯誤的解題類型和晤談資料進行說明：
a.錯誤解題類型：
類型（1）在進行第二步驟時運算符號寫錯。
類型 （2）在進行第一步驟的乘法時對於一星期有幾天的認知產生錯誤。
類型（3）沒有乘法的概念，只是將三個數字進行減法的運算。
類型（4）語意知識不足導致問題轉譯產生困難。
類型（5）為錯誤人數最多，此為一未完成的算式，學生在進行解題時
忽略了〝一星期〞，即在問題整合時產生錯誤。
類型（6）此為一未完成的算式，學生利用減法的方式去求解但未算完。
b.晤談資料：（以下的 T 表示教師，S 表示學生）
A 學生（類型 2）
T：這一題題目要求什麼？
S1：書還有幾頁沒看完。
T：一星期有幾天？
S1：是 7 天。
T：當時解題時怎麼是用 8 去乘呢？
S1：（指著）我以為每天和一星期要合起來所以是 8 天，所以用 8 去乘。
D 學生（類型 5）
T：這一題題目要求什麼？
S4：還剩幾頁沒看完？
T：那你為什麼用 83-10 呢？
S4：因為一天看 10 頁，所以扣掉 10。
T：（指著一星期）那這代表甚麼意思呢？
S4：一星期……寫的時候我沒有注意到這個。
當學生在進行解題時，有時因語文知識的不足會造成他在進行問題 轉譯時產生困難，而使用錯誤的解題策略。問題整合方面若忽略問題中 的資訊也會造成解題的不完全。
（二）等組型、改變-拿走型-起始量未知
問題（8）：把一些積木平分給 5 個小朋友，如果每人分 6 個積木，就不 夠 4 個積木，請問積木有幾個？
1. 正確解題類型 6×5＝30
30－4＝26 答：26 個 2.錯誤解題類型
（1）6×5＝30 （2）5×6＝30 （3）5×4＝20 30＋4＝34 30－4＝28
答：34 個 答：28 個 答：20 個
（4）5×6＝30 （5）5＋6＝11 （6）5＋6＝11
確的解題計畫，在進行解題時就會產生困難。
（三）等組型、改變-拿走型-改變量未知
問題（10）：一盒糖果有 8 顆，老師買了 6 盒，送給小朋友一些後剩 3 顆，
老師送出幾顆糖果？
1. 正確解題類型 8×6＝48
48－3＝45 答：45 顆 2.錯誤解題類型
（1）8×6＝48 （2）8＋6＝14 （3）8＋6＝14 48＋3＝51 14＋3＝17 14－3＝11 答：51 顆 答：17 顆 答：11 顆
（4）6×8＝48 （5）6×3＝18
答：48 顆 答：18 顆 以下就錯誤的解題類型和晤談資料進行說明：
a.錯誤解題類型：
類型（1）為錯誤人數最多，學生在進行第二步驟解題於問題轉譯時發 生困難。
類型（2）、類型（3）語文知識不足導致問題轉譯產生困難，乘法的認 知不足，無法列出正確的算法。
類型（4）此為一未完成的算式。
類型（5）語文知識不足，導致問題轉譯產生困難。
b.晤談資料：（以下的 T 表示教師，S 表示學生）
A 學生（類型 1）
T：妳的第一步驟是 8×6＝48 是什麼意思？
S1：老師有 48 顆糖。
T：這裡為什麼寫 48＋3？
S1：因為加起來就是老師所有的糖果。
T：題目要求什麼？
S1：老師送出幾顆糖果。
D 學生（類型 2）
T：妳為什麼把 8 加上 6 再加 3 呢？
類型（3）、類型（4）學生只是將三個數進行相加或相乘，並不瞭解題 目的表達，而類型（4）為錯誤人數最多。
類型（5）、類型（6）皆為一未完成的算式。
b.晤談資料：（以下的 T 表示教師，S 表示學生）
D 學生（類型 5）
T：你用 3＋5＝8 算出來的是什麼？
S4：一袋紅豆餅有 8 個。
T：所以你完成了嗎？
S4：對啊。
T：那這裡的 4 袋是什麼？不用算嗎？
S4：（微笑）要。
F 學生（類型 4）
T：你用 5 加上 3 再加 4 為什麼？
S6：因為全部加起來就是全部的紅豆餅。
T：可是我們說過不同單位能做加減嗎？
S6：不能。
T：那你能指出來它們的不同嗎
S6：3 和 5 的單位是”個”，4 的單位是”袋”，不一樣。
學生在問題整合時將重要資訊刪去以為已完成解題，再加上他們在解 題計畫執行後沒有驗算與回顧的習慣，所以有時一些很基本的題目無法正 確達成解題。當學生缺乏乘法的概念知識，在進行解題時認知理解會以習 慣的加、減法將題目中的 3 個數字進行加、減計算，教師教學時要多讓學 生進行題目的閱讀，唯有瞭解題意，才能進行解題。
（二）合併型、等組型
問題（6）：媽媽一分鐘可以包 6 顆水餃，姐姐一分鐘可以包 2 顆水餃，
她們各包 5 分鐘，共包了幾顆水餃？
1. 正確解題類型
（1）6＋2＝8 （2）6×5＝30 8×5＝40 2×5＝10 30＋10＝40
答：40 顆 答：40 顆
2.錯誤解題類型
S5：5 顆。
T：那表示媽媽全部包了多少水餃？
S5：25 顆。
當學生不知如何正確使用乘法進行運算時，就會擬定錯誤計畫，以他 們的認知進行解題問題，把數字進行加起來或進行乘起來。
（三）合併型、等組型
問題（11）：五年級共 7 個班級參加運動會接力賽跑，每班派出 5 個 男生、4 個女生，請問五年級共有多少個小朋友參加接力賽？
1. 正確解題類型
（1）5＋4＝9 （2）5×7＝35 9×7＝63 4×7＝28 35＋28＝63 答：63 個 答：63 個 2.錯誤解題類型
（1）7×5＝35 （2）5＋4＝7 （3）7×5＝35 35＋4＝39 7×7＝49 35×4＝140 答：39 個 答：49 個 答：140 個
（4）7＋5＝12 （5）7×4＝28 （6）5＋4＝9 12＋4＝16 7×5＝35 9＋7＝16 35－28＝7
答：16 個 答：7 個 答：16 個 以下就錯誤的解題類型和晤談資料進行說明：
a.錯誤解題類型：
類型（1）學生第二步驟在問題轉譯時發生困難，導致列出錯誤的算式。
類型（2）為計算錯誤。
類型（3）問題轉譯發生困難，無法正確列式。
類型（4）、類型（6）為學生沒有乘法的概念，只是將三個
數字進行加法或乘法的運算，而類型（4）是學生錯誤人數最 多的。
類型（5）前面兩個式子皆為正確，第三個式子應求出一共有多少小朋
友參加比賽卻用減法算式，在問題整合時產生錯誤。
2.錯誤解題類型
求解。
A 學生（類型 4）
類型（3）、類型（4）為在進行比較類文字題問題轉譯產生困難，而 類型（3）是錯誤人數最多。
類型（5）為一未完成的算式，未求出最後的答案。
類型（6）語文知識不足，導致問題轉譯產生困難，使用錯誤的策略。
b.晤談資料：（以下的 T 表示教師，S 表示學生）
E 學生（類型 3）
T：60＋20＝80 是什麼意思？
S5：1 個圈圈是 10 分，6 個是 60 分，他比他少 2 個是 20 分，所以加上去就算出來 了。
T：小佑比小亮少，所以要用加的？
S5：對。
F 學生（類型 5）
T：6－2＝4 是什麼意思？
S6：因為小佑比小亮少，所以用 6－2。
T：那 4 是什麼意思？
S6：小佑套進 4 個，
T：所以答案出來了？
S6：嗯。
題意的理解是影響學生解題很重要的因素，對於習慣使用關鍵字進行 解題或題目未完全瞭解就進行解題，會影響學生的解題表現。
综合上述各類型的探討，歸納學生解題錯誤類型：
1.誤解題意：誤解題目的意義而使用錯誤的解題策略進行解題。
2.誤用關鍵字進行解題：看到「剩下」就認為要用減法；「不夠」用加法，
造成加減的混淆。
3. 無意義的列式：只是將題目中的數字利用運算符號進行求解，並不真正 瞭解題目的意義。
4.計算錯誤：運算的過程中數字的加、減、乘產生錯誤。
综合上述各類型的探討，歸納學生錯誤解題的幾項原因：
1.基模知識不足：當學生進行解題時，會習慣以他所熟悉的運算符號進行 解題，雖然二年級的學生已有乘法的教學，但他當遇到沒有把握的題目
時，他還是會使用熟練的加、減法進行運算。教師教學時應多加強學生 的程序性知識和概念性知識，使學生在進行解題時能擬定正確的解題計 畫去完成解題。
2.問題轉譯產生困難：當學生在進行解題時，有時學生雖具有閱讀題目的 能力但並不代表其知道題目真正的意思為何，語文知識的不足或語意不
2.問題轉譯產生困難：當學生在進行解題時，有時學生雖具有閱讀題目的 能力但並不代表其知道題目真正的意思為何，語文知識的不足或語意不