數學文字題

一、文字題的意義

古明峰(民 87a)曾提到數學文字題的材料是以學生日常生活上的事件 為主，且用語文的形態來描述數學問題。數學文字題所涉及的認知歷程更 複雜於一般的計算題，它還涉及到學生的概念理解能力，學生在做文字題 的解題時需要結合兩種能力：一為計算能力，一為理解能力。學生須要先 對題目進行瞭解，才能將文字呈現的題目轉換成算式的形式，之後再利用 運算的技巧去算出答案求得解答（張景媛，民 83）。

數學文字題從小學開始，在數學課程中便佔有重要的地位，從基本的 數與量、代數、幾何，到統計與機率，都可看到數學文字題的課程內容，

因此，學生對於數學文字題的概念理解越清楚，在進行解題時表現便越好。

二、文字題解題歷程

Polya（1945）把解題分成四個階段：

（一）瞭解問題：清楚知道問題敘述間的關係，並知道什麼是題目所要求 得的答案，如果學生在這階段只是冒然的著手進行計算常是無濟於 事的。

（二）擬定計畫：瞭解題目間的關係後，試著從不同的角度去思考、找出 可使用的策略，此階段是解題最主要的部份，學生依據過去的經驗

或學習過的知識，構思出解題計畫。當學生在這個階段遇到困難時 ，教師應適時進行提問引導學生找出相關的訊息。

（三）執行計畫：將解題計劃一個步驟、一個步驟的付諸實行，解題完成，

教師應提醒學生檢查每一步驟的完成情形。

（四）驗算與回顧：當學生進行到這一階段表示他已完成解答的過程，但 算出答案並不代表結束，尤其是如果進行的解答是複雜又繁瑣的，

教師應教導學生學習去驗算答案，回頭看過整個計算的過程，讓學 生在思索的過程中加深對數學的學習。

Mayer（1983）提到解數學問題時須具備四個技巧，分別敘述如下：

（一）問題轉譯：轉譯是指學生在進行文字題解題時，首先須先整理題目 的意思，將題目的每一敘述句轉化為某種內在表徵，學生應具有語 言知識和語意知識，即能將題目的意思用自己的方式說出來或知道 一星期代表七天。當學生進行解題時，需理解問題敘述間的相關性 ，才能對題目進行釋義，有些學生在解文字題時產生困難即是在轉 譯過程中語言知識或語意知識的缺乏或不足所造成，教師在進行教 學時應讓學生有這方面的練習，使學生在轉譯過程中減少錯誤。

（二）問題整合：學生在解題過程中會使用對應問題的基模去進行求解，

利用他們認為正確的基模知識將問題中得到的訊息做一統整，將和 解題有關的訊息和無關的訊息做一區分，再將和解題有關的訊息統 整成一連貫的表徵，以進行解題。由於文字題中不相干的數字、語 言訊息會影響到學生的解題過程，因此問題的整合即是要訓練學生 去將與解題相關的數字和文字找出來，教師應鼓勵學生去瞭解題目 並表徵題目，不要依賴關鍵字求解，以免落入題目的陷阱中。

（三）解題計畫及監控：獲得解題的相關訊息後，即可進行解題計畫，此 時，學生根據題目去構思出解題方法並評估解題策略是否正確。教 師在學生進行解題時應去注意學生的解題情形，因為，解題的過程

同結果一樣重要，如果此時學生懂得使用正確的解題策略進行解 題，就算最後的答案錯誤，他在解題過程中已具備了相關的策略知 識；如果學生使用的解題策略錯誤，教師就應去注意他在策略上的 使用，究竟是出現了什麼樣的問題，以免這樣的錯誤概念影響之後 的學習。解題的方法並不一定只有一種，學生應多嘗試使用不同的 解題策略進行求解，老師的教學也不是要訓練一堆只會運算的機 器，而是希望培養出能建構自己知識、發展自己解題方法的學生。

（四）解題執行：當學生將問題進行轉譯，資訊進行整合後，即可選擇適 當的解題策略進行解題。此階段即是將解題策略進行執行，學生根 據程序性知識做算則的執行，以便求得解答。

吳德邦與吳順治（民 78）提到進行啟發式（Feuristics）的教學法包 含五個步驟，教師進行問題解決的教學可根據下面的過程：

（一）閱讀問題：題目的閱讀可以幫助學生瞭解問題，第一次閱讀可粗略 瞭解問題所在，第二次閱讀則是對相關細節進行思考，越多次的閱 讀可使學生在解決問題的過程中，依據舊經驗的基礎去引導他們做 出策略的選擇。教師可用問答的方式引導學生重複去敘述問題的內 容，多花一些時間讓學生有思考的機會進行問題分析，找出問題的 重要事實，從題目中去組合和聚集資料做一個成功的問題解答者。

（二）探究問題：學生在閱讀完題目後即可針對題目進行分析，刪除多餘 的資訊避免被不必要的資料分散注意力，並可試著將題目中的文字 資料展現成符號或代數式，嘗試導出解答的策略。

（三）選擇並使用策略：此階段為解決問題的重要階段，適當的進行策略 選擇能幫助學生正確進行解題。問題解決策略區分為七種：算式的 理解、化簡與變形、試驗和模擬、猜測和嘗試、邏輯演繹、組織列 式、回顧舊經驗。學生在進行問題解決或面對其他情況皆可使用。

（四）問題解決；若學生已選定好解題策略，則問題將可迎刃而解。若題

目是涉及多階性的問題，則因須有中間步驟為媒介，學生應試著去 找出被隱藏的問題以達到解題的目的。

（五） 複習，回顧和驗證解答：當學生算出答案後常會認為已達成解題過 程即問題已經解決，殊不知其實這樣的想法不全然正確，教師應鼓 勵學生回頭思考算出的答案是否具有意義、是否真的是題目所要求 的，並回頭檢驗計算過程，是否有遺漏的部份，這樣才算是將問題 進行解決。

鍾靜（民 79）將文字題從問題情境到解答分為三個步驟：

（一）將文字題的題目利用數學符號進行轉換。

（二）將算式中的各個數值進行計算求得結果。

（三）將求得的結果檢驗其合理性。

胡炳生（民 80）指出當我們在解題時的思維活動大致按”觀察－聯想

－轉化”的過程進行，每一步驟都有其所需去思考的程序問題。在觀察階 段：思考問題的解要求什麼、哪些是已知、哪些是未知、若有圖像，圖像 帶給什麼訊息、要使用何種數學算式去求解。在聯想階段：思考是否算過 或看過類似的題型、題目中的哪些敘述是有相關的、解這個問題我可以使 用到的定理（公式）、從已知條件我可以推論出哪些關聯性。在轉化階段：

思考如何將題目化繁為簡、可否進行單位換算，此階段的最終目的在於求 出最後的答案。

張蓓莉（民 95）在研究聽障學生的解題歷程時發現，學生在解題時會 有以下情形：

（一）無法將問題進行完整的轉譯。

（二）對於題目的部分語意並不瞭解。

（三）對於所使用的運算方式並不清楚它的概念涵義。

（四）對於自己所列出的算式無法去解釋所具有的意義。

一般的學生在進行解題時若有上述情形其在解題時亦會產生困難，因此教

師在進行教學時應教導學生解題的技巧，所謂的技巧並非以關鍵字去進行 解題，而是教導學生解題的歷程，讓學生尋著步驟去進行解題。

三、文字題解題教學

教育部（民 92）九年一貫課程綱要指出小學階段的應用題是利用學生 的生活經驗培養學生抽象思考的能力，數學學習是循序累進的結構，算則 與觀念並非全然無關的。學生學習數學的一個重點是概念理解與推理，並 不是去記憶公式，教師應讓學生有機會去思考文字題帶給他的不同概念，

鼓勵學生做多方面的推理去解決問題，對於文字進行理解並發展解決問題 的能力，學生要能將觀念與計算結合，才算真正具備演算能力，即學生能 成功進行解題的首要步驟是將問題形成正確的表徵（侯鳳秋、陳龍川，

民 88）。

學生在進行問題解決時第一步驟就是問題表徵的形成，學生無法正確 解題有時並非他不具備解決此問題的技能，而是問題的語文結構會影響學 生進行解題，當學生無法對於問題的敘述做正確的轉換，即無法形成正確

表徵時，會造成解題失敗（呂玉琴譯，民 77a，民 77b；羅素貞，民 85）。

有些學者認為學生在解文字題時，數學問題本身的文字描述是沒有問 題的，但學生在閱讀轉化的過程中產生了理解的落差，學生的語文能力是 他們在學習所有知識的基礎，閱讀後的思考歷程會影響解題的表現（陳雅 婉，民 99）。學生的語文理解能力或閱讀能力會影響學生學習數學，當學 生的語文理解能力或閱讀能力表現愈好，其在解題上的表現愈好，亦即當 學生能清楚瞭解題意並用自己的語言重新做問題的描述，學生在解題上會 有更佳的表現（曹宗萍，民 77；侯鳳秋、陳龍川，民 88；Brissiaud & Sander, 2010）。

建構論者在教育研究當中注重教學歷程，教師與學生皆是教育中的主 體，學生並非只是一昧的接受教師教導，而是在課堂的討論、溝通中去獲

得知識，知識並非被動的接受，學生應為一思考者，具有批判思考的能力

（劉錫麒，民 82）。

問題解決是人們對於遇到的問題運用已有的知識去進行解決，若學生 對於數學知識不夠瞭解，判斷、分析的能力亦不夠將會影響到其解題。劉

問題解決是人們對於遇到的問題運用已有的知識去進行解決，若學生 對於數學知識不夠瞭解，判斷、分析的能力亦不夠將會影響到其解題。劉