國小二年級學童在加、減與乘兩步驟文字題的解題表現及SS分析

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系國小教師在職進修教學碩士班碩士論文. 指導教授：胡豐榮. 博士. 國小二年級學童在加、減與乘兩步驟文字題的解題表現及 SS 分析. 研究生：郭怡君. 撰. 中華民國ㄧ百零一年六月.

(2) 謝誌在課業與工作兩頭燒的日子終於要結束了，感謝這兩年的時光中幫助和鼓勵過我的許多人。首先，要感謝我的指導教授胡豐榮教授，感謝教授在這兩年的研究所生涯中對我的細心指導，讓論文能如期完成；也感謝口試委員許天維院長、辛俊德教授在論文口試時給予寶貴的意見，讓我的論文架構與內容更完整而嚴謹。在研究過程中，感謝協助施測的班級與老師，因為你們的配合與支持使本研究能順利進行；也感謝研究所同學們在這兩年的學習中，課業上彼此不斷的鼓勵、互相協助幫忙；也感謝學校同事們的加油、指導，讓我能順利完成學業。最後，感謝我親愛的家人在我身旁不斷的鼓勵、打氣，使我每當陷入低潮的時候有再出發的力量。再次謝謝大家，謹以此論文獻給所有關心、支持我的人，謝謝大家。. 怡君. 謹誌. 2012 年 6 月. I.

(3) 摘要本研究主要是採自編紙筆試卷來探討國小二年級學生加、減與乘兩步驟文字題的解題表現。本研究以臺中市一所國小共 35 位二年級學童進行施測，分析學生的解題表現，並從和學生的晤談中去瞭解學生錯誤解題的原因。施測結果藉由 SS 分析法所呈現的關聯結構圖瞭解學生加、減與乘兩步驟文字題的概念結構。研究結果如下：一、學生在先加後乘的問題類型上表現較佳，其次是先乘後減，再來是先乘後加，先減後乘的問題類型表現較差。二、錯誤解題類型：誤解題意、誤用關鍵字、無意義的列式、計算錯誤。三、錯誤解題原因：基模知識不足、問題轉譯產生困難、問題整合產生困難、沒有驗算和回顧的習慣。四、以 SS 分析法所呈現的關聯結構圖中，可以瞭解：（一）教師在進行教學時可先教導先加（減）後乘之文字題，並依合併類問題-改變類問題-比較類問題的順序去進行教學。（二）教師在教學時可以先教結果量未知或改變量未知的題型，再引入起始量未知的題型。（三）問題的語意結構會影響學生的解題情形。最後研究者根據研究結果提出結論和建議。. 關鍵字：加、減與乘二步驟文字題、解題表現、SS 分析法. II.

(4) Abstract This research aims to explore the second-grade elementary school students’ performance of problem solving in addition, subtraction and multiplication two-step word problems. This research develops a test about addition, subtraction and multiplication two-step word problems. The samples in this study included 35 second-grade elementary school students in Taichung City. The samples first took a test, then the researcher analyzed problem solving . The researcher talked with students individually to find out the reason why they made the mistakes in the test. After using SS analysis to analyze the result of the test, we can understand the concept structure of addition, subtraction and multiplication two-step word problems. The results of this research were as follows： I. Among four problem formats, students’ performance in the order from best to worst is 〝addition then multiplication〞,〝multiplication then subtraction〞,〝multiplication then addition〞,〝subtraction then multiplication〞. II. Errors of problem-solving：misunderstood the meaning of problem, misuse of key words, no meaningful equation, calculation error. III. Error reasons of problem-solving： lack of schema knowledge, difficulties in problem translation, difficulties in problem integration, no check omputation. IV. According to the structure graph of SS analysis form, we can understand： i. Teacher can teach addition（subtraction） then multiplication first, and combine-change-compare in sequence. ii. Teacher can teach the type of whole amount unknown or compared amount unknown first, then starting amount unknown. iii. The semantic structure of problem will affect students’ problem solving. Finally, according to the results of this research, the researcher makes conclusions and suggestions. Key words：addition and subtraction and multiplication two-step word problems,problem solving,semantic structure analysis. III.

(5) 目次第一章緒論……………………………………………… 1 第一節研究動機………………………………………………………1 第二節研究目的與待答問題…………………………………………2 第三節名詞釋義………………………………………………………3 第四節研究限制………………………………………………………4. 第二章文獻探討…………………………………………… 5 第一節數學文字題………………………………………………… 5 第二節文字題的分類……………………………………………… 17 第三節解題過程中的錯誤概念…………………………………… 26 第四節 SS 分析法…………………………………………………… 27. 第三章研究方法………………………………………… 29 第一節研究架構…………………………………………………… 29 第二節研究對象…………………………………………………… 30 第三節研究工具…………………………………………………… 30 第四節研究流程…………………………………………………… 34 第五節資料整理…………………………………………………… 36. 第四章研究結果與討論……………………………… 37 第一節學生在加、減與乘兩步驟文字題解題表現………………… 37 第二節學生在加、減與乘兩步驟文字題的 SS 分析……………… 56. 第五章結論與建議…………………………………… 67 第一節結論…………………………………………………………… 67 第二節建議…………………………………………………………… 69. IV.

(6) 參考文獻……………………………………………………71 一、中文部份………………………………………………………… 71 二、英文部分………………………………………………………… 75. 附錄…………………………………………………………79 附錄一國小二年級學童加、減與乘兩步驟文字題測驗試卷………79. V.

(7) 表次表 2-2-1 Carpenter、Moser 加減法文字題分類與範例……………… 18 表 2-2-2 改變問題類型及範例……………………………………………19 表 2-2-3 合併問題類型及範例……………………………………………19 表 2-2-4 比較問題類型及範例……………………………………………20 表 2-2-5 等化問題類型及範例……………………………………………20 表 3-3-1 九年一貫數學領域一、二年級數與量分年細目………………31 表 3-3-2 自編試卷各問題類型一覽表……………………………………32 表 3-3-3 預試結果之難度與鑑別度………………………………………33 表 3-3-4 預試項目刪除時的 Cronbach α值 ……………………………33 表 3-3-5 加、減與乘二步驟文字題預試試卷之雙向細目表……………34 表 4-1-1 正式施測各試題及各類型平均得分……………………………38 表 4-2-1 各試題間的順序性係數…………………………………………57 表 4-2-2 先乘後加文字題類型……………………………………………58 表 4-2-3 先乘後減文字題類型……………………………………………59 表 4-2-4 先加後乘文字題類型……………………………………………60 表 4-2-5 先減後乘文字題類型……………………………………………61 表 4-2-6 先乘後加（減）文字題類型……………………………………62 表 4-2-7 先加（減）後乘文字題類型……………………………………64. VI.

(8) 圖次圖 3-1-1 研究架構圖………………………………………………………29 圖 3-4-1 研究流程圖………………………………………………………35 圖 4-2-1 先乘後加文字題 SS 分析……………………………………… 58 圖 4-2-2 先乘後減文字題 SS 分析……………………………………… 59 圖 4-2-3 先加後乘文字題 SS 分析……………………………………… 60 圖 4-2-4 先減後乘文字題 SS 分析……………………………………… 61 圖 4-2-5 先乘後加（減）文字題 SS 分析……………………………… 63 圖 4-2-6 先加（減）後乘文字題 SS 分析……………………………… 64 圖 4-2-7 加、減與乘文字題 SS 分析…………………………………… 66. VII.

(9) 第一章. 緒論. 本研究的目的在探討國小二年級學童在加、減與乘兩步驟文字題的解題表現。根據九年一貫課程綱要數與量能力指標，參考教科書，編製加、減與乘兩步驟相關文字題，以增進瞭解學生在進行解題時可能有的錯誤類型，此外，利用 SS 分析工具繪製學童加、減與乘兩步驟文字題的學習概念圖，以作為教師在進行教學時的參考或改進己身教學方法的依據。本章共分四節，分別就研究動機、研究目的與待答問題、名詞釋義及研究限制加以說明。. 第一節研究動機九年一貫課程綱要（教育部，民 92）明確指出，數學教育的目的在於讓學生具備「帶著走」的能力，希望學生能獲得有意義及有效率的學習機會，能習得數學題材中的數學概念和精熟的演算能力。數學知識的獲得，不在於強調學童能模仿或背誦，重視的應該是讓學童習得解題的方法，要讓學童能夠自行進行解題活動，使學童在解題、反省、討論與修正的過程中，逐漸習得新知。數學既是學校正式課程之ㄧ，也是我們在日常生活中必備的能力，為何學生會對其感到困難、產生焦慮？教師在進行教學時有時太急於想要看到學生的學習成果，沒有給學生足夠的時間去消化吸收學到的新知，導致有些學生在進行解題時遭遇挫敗，因而對數學產生畏懼的心態害怕解題，其實，學習新知就是在嘗試錯誤的過程習得概念，強化概念，所以我們應給學生足夠的時間去進行嘗試（易正明、陳淑卿，民 97）。站在教學的前線，在數學教學過程中，發現到學生的計算能力表現優於文字題的解題表現。擔任低年級教師多年，研究者發現到每次學生在寫數學題目時，數字的計算對學生而言，並非難事，但只要有文字題的出現，學生便出現很明顯的差異，因此教師應找出問題所在，才能針對學生的困 1.

(10) 難進行協助。從國小數學教材來看，四則運算兩步驟文字題是學童學習「數與計算」這個領域的重點（徐偉民、林潔慧，民 99）。教育部（民 92）在九年一貫課程綱要中明確訂定：「二年級學童能在具體情境中，解決兩步驟問題（包括加與減，不含併式；加、減與乘，不含併式）；三年級學童能在具體情境中，解決兩步驟問題（包括加、減與除，不含併式；連乘，不含併式）；四年級學童能在具體情境中，解決兩步驟問題，並學習併式的記法與計算；五年級學童能在具體情境中，解決三步驟問題，並能併式計算；六年級學童應能在具體情境中，解決分數或小數的兩步驟問題，並能併式計算。」. 兩步驟問題在課本教材中佔有不少的內容，而二年級加、減與乘兩步驟文字題這個單元是學童學習四則運算的先備經驗，在加、減與乘兩步驟文字題這個單元之前，學生已先學過加、減兩步驟解題，此單元加入乘法的部份，慢慢導入四則運算，三年級再加入除法的部份，兩步驟問題的學習是一連貫的概念，若學生在剛開始的學習便產生問題，將會對之後的學習帶來影響，因此，教師在兩步驟問題的教學上不可輕忽其連續性。本研究希望瞭解學生在這個單元上的解題表現，找出學生解文字題時可能產生的錯誤概念，瞭解學生問題所在，期使學生在解題上表現得更好，也期望學生在學習四則運算時能有更佳的表現。. 第二節研究目的與待答問題本研究以國小二年級學生為對象，藉由試卷的施測去探討學生在學習加、減與乘兩步驟文字題這個單元時可能出現的困難，並根據學生的解題表現去瞭解學生的問題所在及利用 SS 分析工具繪製試題關聯結構圖，瞭解學童加、減與乘兩步驟文字題的概念結構，以作為教師在進行加、減與乘兩步驟文字題教學時的參考。本研究之研究目的如下：一、探討學童在不同類型的加、減與乘兩步驟文字題的解題表現。. 2.

(11) 二、探討學童在不同類型的加、減與乘兩步驟文字題的解題錯誤類型。三、根據 SS 分析關聯結構圖，瞭解學童在加、減與乘兩步驟文字題的概念結構情形。根據上述的研究目的，待答問題如下： 1.學生在解加、減與乘兩步驟文字題時的解題情行為何？ 2.學生在解加、減與乘兩步驟文字題時的解題錯誤類型為何？ 3.學生在學習加、減與乘兩步驟文字題的概念結構為何？. 第三節名詞釋義本研究最主要的目的在瞭解國小二年級學童在加、減與乘兩步驟文字題的解題表現。以下針對本研究所涉及之名詞說明如下：一、文字題數學文字題是以文字描述的方式，將日常生活的實際情境融入數學的題目中（涂金堂，民 85），亦即數學題目利用文字、數字的形式來描述，而學生運用數學知識和計算能力於各種情境中去解決問題。鍾靜（民 79）提到文字題是指將日常生活中遇到的數量問題用語言的方式表示，在小學教材中因強調它與實際生活相結合的應用性，故可稱為應用題。在本文中提到的文字題是指運用數學語言描述情境的數學應用題，牽涉到「列式」及「符號」的使用。二、加、減與乘兩步驟文字題本研究所指之加、減與乘兩步驟文字題係指利用數學語言描述，融合實際生活所呈現的數學題目，學生利用「加乘」、「減乘」的解題算則來記錄兩步驟並進行解題。三、解題表現解題表現是指學生在面對問題時所使用的解題方法、策略，本研究透過晤談的方式瞭解學生的解題歷程。. 3.

(12) 四、錯誤類型學生在解數學問題的過程中會產生錯誤的情形，依據學生犯錯的關鍵處，將錯誤分類及歸納成幾種類型，稱為錯誤類型（鄭惠萍，民 96）。五、SS 分析法語意結構分析法（semantic structure analysis，簡稱 SS 分析法），由竹谷誠教授於 1987 年所提倡，將我們利用問卷調查、面談或行動觀察所得到的學生態度尺度資料利用圖形理論（Graph theorem）分析出階層結構，再依階層結構做資料的解釋（Takeya, 1999；胡豐榮，民 90）。六、國小二年級學童本研究的施測對象為學完加、減與乘兩步驟文字題且九十九學年度就讀國小二年級的學生。. 第四節研究限制本研究欲藉由紙筆測驗的施測結果，瞭解學生在加、減與乘兩步驟文字題的解題表現，及知識結構為何，因為人力、時間、及資源有所限制，研究對象以研究者方便取樣的學校為主，所以，研究結果將不做過度的解釋，亦不用在做普遍性的推論。. 4.

(13) 第二章. 文獻探討. 本研究在探討國小二年級學童在加、減與乘兩步驟文字題的答題情形及其可能產生的錯誤類型，並瞭解學生在加、減與乘兩步驟文字題上的知識結構。本章擬對相關文獻進行分析探討，第一節探討數學文字題；第二節探討文字題的題型分類；第三節探討解題過程中的錯誤概念；第四節探討 SS 分析法。. 第一節數學文字題一、文字題的意義古明峰(民 87a)曾提到數學文字題的材料是以學生日常生活上的事件為主，且用語文的形態來描述數學問題。數學文字題所涉及的認知歷程更複雜於一般的計算題，它還涉及到學生的概念理解能力，學生在做文字題的解題時需要結合兩種能力：一為計算能力，一為理解能力。學生須要先對題目進行瞭解，才能將文字呈現的題目轉換成算式的形式，之後再利用運算的技巧去算出答案求得解答（張景媛，民 83）。數學文字題從小學開始，在數學課程中便佔有重要的地位，從基本的數與量、代數、幾何，到統計與機率，都可看到數學文字題的課程內容，因此，學生對於數學文字題的概念理解越清楚，在進行解題時表現便越好。. 二、文字題解題歷程 Polya（1945）把解題分成四個階段：（一）瞭解問題：清楚知道問題敘述間的關係，並知道什麼是題目所要求得的答案，如果學生在這階段只是冒然的著手進行計算常是無濟於事的。（二）擬定計畫：瞭解題目間的關係後，試著從不同的角度去思考、找出可使用的策略，此階段是解題最主要的部份，學生依據過去的經驗. 5.

(14) 或學習過的知識，構思出解題計畫。當學生在這個階段遇到困難時，教師應適時進行提問引導學生找出相關的訊息。（三）執行計畫：將解題計劃一個步驟、一個步驟的付諸實行，解題完成，教師應提醒學生檢查每一步驟的完成情形。（四）驗算與回顧：當學生進行到這一階段表示他已完成解答的過程，但算出答案並不代表結束，尤其是如果進行的解答是複雜又繁瑣的，教師應教導學生學習去驗算答案，回頭看過整個計算的過程，讓學生在思索的過程中加深對數學的學習。 Mayer（1983）提到解數學問題時須具備四個技巧，分別敘述如下：（一）問題轉譯：轉譯是指學生在進行文字題解題時，首先須先整理題目的意思，將題目的每一敘述句轉化為某種內在表徵，學生應具有語言知識和語意知識，即能將題目的意思用自己的方式說出來或知道一星期代表七天。當學生進行解題時，需理解問題敘述間的相關性，才能對題目進行釋義，有些學生在解文字題時產生困難即是在轉譯過程中語言知識或語意知識的缺乏或不足所造成，教師在進行教學時應讓學生有這方面的練習，使學生在轉譯過程中減少錯誤。（二）問題整合：學生在解題過程中會使用對應問題的基模去進行求解，利用他們認為正確的基模知識將問題中得到的訊息做一統整，將和解題有關的訊息和無關的訊息做一區分，再將和解題有關的訊息統整成一連貫的表徵，以進行解題。由於文字題中不相干的數字、語言訊息會影響到學生的解題過程，因此問題的整合即是要訓練學生去將與解題相關的數字和文字找出來，教師應鼓勵學生去瞭解題目並表徵題目，不要依賴關鍵字求解，以免落入題目的陷阱中。（三）解題計畫及監控：獲得解題的相關訊息後，即可進行解題計畫，此時，學生根據題目去構思出解題方法並評估解題策略是否正確。教師在學生進行解題時應去注意學生的解題情形，因為，解題的過程 6.

(15) 同結果一樣重要，如果此時學生懂得使用正確的解題策略進行解題，就算最後的答案錯誤，他在解題過程中已具備了相關的策略知識；如果學生使用的解題策略錯誤，教師就應去注意他在策略上的使用，究竟是出現了什麼樣的問題，以免這樣的錯誤概念影響之後的學習。解題的方法並不一定只有一種，學生應多嘗試使用不同的解題策略進行求解，老師的教學也不是要訓練一堆只會運算的機器，而是希望培養出能建構自己知識、發展自己解題方法的學生。（四）解題執行：當學生將問題進行轉譯，資訊進行整合後，即可選擇適當的解題策略進行解題。此階段即是將解題策略進行執行，學生根據程序性知識做算則的執行，以便求得解答。吳德邦與吳順治（民 78）提到進行啟發式（Feuristics）的教學法包含五個步驟，教師進行問題解決的教學可根據下面的過程：（一）閱讀問題：題目的閱讀可以幫助學生瞭解問題，第一次閱讀可粗略瞭解問題所在，第二次閱讀則是對相關細節進行思考，越多次的閱讀可使學生在解決問題的過程中，依據舊經驗的基礎去引導他們做出策略的選擇。教師可用問答的方式引導學生重複去敘述問題的內容，多花一些時間讓學生有思考的機會進行問題分析，找出問題的重要事實，從題目中去組合和聚集資料做一個成功的問題解答者。（二）探究問題：學生在閱讀完題目後即可針對題目進行分析，刪除多餘的資訊避免被不必要的資料分散注意力，並可試著將題目中的文字資料展現成符號或代數式，嘗試導出解答的策略。（三）選擇並使用策略：此階段為解決問題的重要階段，適當的進行策略選擇能幫助學生正確進行解題。問題解決策略區分為七種：算式的理解、化簡與變形、試驗和模擬、猜測和嘗試、邏輯演繹、組織列式、回顧舊經驗。學生在進行問題解決或面對其他情況皆可使用。（四）問題解決；若學生已選定好解題策略，則問題將可迎刃而解。若題 7.

(16) 目是涉及多階性的問題，則因須有中間步驟為媒介，學生應試著去找出被隱藏的問題以達到解題的目的。（五）複習，回顧和驗證解答：當學生算出答案後常會認為已達成解題過. 程即問題已經解決，殊不知其實這樣的想法不全然正確，教師應鼓勵學生回頭思考算出的答案是否具有意義、是否真的是題目所要求的，並回頭檢驗計算過程，是否有遺漏的部份，這樣才算是將問題進行解決。鍾靜（民 79）將文字題從問題情境到解答分為三個步驟：（一）將文字題的題目利用數學符號進行轉換。（二）將算式中的各個數值進行計算求得結果。（三）將求得的結果檢驗其合理性。胡炳生（民 80）指出當我們在解題時的思維活動大致按”觀察－聯想－轉化”的過程進行，每一步驟都有其所需去思考的程序問題。在觀察階段：思考問題的解要求什麼、哪些是已知、哪些是未知、若有圖像，圖像帶給什麼訊息、要使用何種數學算式去求解。在聯想階段：思考是否算過或看過類似的題型、題目中的哪些敘述是有相關的、解這個問題我可以使用到的定理（公式）、從已知條件我可以推論出哪些關聯性。在轉化階段：思考如何將題目化繁為簡、可否進行單位換算，此階段的最終目的在於求出最後的答案。張蓓莉（民 95）在研究聽障學生的解題歷程時發現，學生在解題時會有以下情形：（一）無法將問題進行完整的轉譯。（二）對於題目的部分語意並不瞭解。（三）對於所使用的運算方式並不清楚它的概念涵義。（四）對於自己所列出的算式無法去解釋所具有的意義。一般的學生在進行解題時若有上述情形其在解題時亦會產生困難，因此教 8.

(17) 師在進行教學時應教導學生解題的技巧，所謂的技巧並非以關鍵字去進行解題，而是教導學生解題的歷程，讓學生尋著步驟去進行解題。三、文字題解題教學教育部（民 92）九年一貫課程綱要指出小學階段的應用題是利用學生的生活經驗培養學生抽象思考的能力，數學學習是循序累進的結構，算則與觀念並非全然無關的。學生學習數學的一個重點是概念理解與推理，並不是去記憶公式，教師應讓學生有機會去思考文字題帶給他的不同概念，鼓勵學生做多方面的推理去解決問題，對於文字進行理解並發展解決問題的能力，學生要能將觀念與計算結合，才算真正具備演算能力，即學生能成功進行解題的首要步驟是將問題形成正確的表徵（侯鳳秋、陳龍川，民 88）。學生在進行問題解決時第一步驟就是問題表徵的形成，學生無法正確解題有時並非他不具備解決此問題的技能，而是問題的語文結構會影響學生進行解題，當學生無法對於問題的敘述做正確的轉換，即無法形成正確表徵時，會造成解題失敗（呂玉琴譯，民 77a，民 77b；羅素貞，民 85）。有些學者認為學生在解文字題時，數學問題本身的文字描述是沒有問題的，但學生在閱讀轉化的過程中產生了理解的落差，學生的語文能力是他們在學習所有知識的基礎，閱讀後的思考歷程會影響解題的表現（陳雅婉，民 99）。學生的語文理解能力或閱讀能力會影響學生學習數學，當學生的語文理解能力或閱讀能力表現愈好，其在解題上的表現愈好，亦即當學生能清楚瞭解題意並用自己的語言重新做問題的描述，學生在解題上會有更佳的表現（曹宗萍，民 77；侯鳳秋、陳龍川，民 88；Brissiaud & Sander, 2010）。建構論者在教育研究當中注重教學歷程，教師與學生皆是教育中的主體，學生並非只是一昧的接受教師教導，而是在課堂的討論、溝通中去獲. 9.

(18) 得知識，知識並非被動的接受，學生應為一思考者，具有批判思考的能力（劉錫麒，民 82）。問題解決是人們對於遇到的問題運用已有的知識去進行解決，若學生對於數學知識不夠瞭解，判斷、分析的能力亦不夠將會影響到其解題。劉湘川、許天維與林原宏（民 82）認為教師進行問題解決教學時應培養學生良好的解題習慣，看到題目時要先把題目的意思和相關訊息做重組，而非一看到數字、關鍵字就開始做解題的工作，教導學生靈活使用解題策略，更要培養學生後設認知能力，能清楚的知道自己解題的過程、明白自己使用的策略為何、為何要如此進行解題流程。教師在教學過程中應教導學生以主動的態度去進行問題解決、學習數學，當學生主動、積極的參與教學活動，探索解決的方法時，才算進行學習，才可建立自己的理解與意義，培養思考的習慣（楊瑞智，民 79；陳冠州，民 83；孫扶志，民 85；鄭毓信，民 87）。在進行文字題解題時，首先須先整理題目的意思，將對題目的理解轉換成數學的形式。古明峰(民 87a；民 87b) 指出學生未能成功的進行加、減法應用題的解題，遇到的困難在於不知如何按題目列出算式，文字題的語意結構、語意經驗、和語意陳述會影響問題的難易度，當學生在問題轉譯時出現問題，對於問題意義、陳述若不瞭解，就無法進行正確的解題，有時並非學生缺少解題的策略性知識，而是因問題不瞭解所致，就算列出算式，也會由於對陳述的不瞭解，而寫出錯誤的解法。涂金堂（民 85）認為當學生能將文字符號正確表徵成數學符號才能成功進行解題，若學生對於文字題意義理解產生困難，會使得他們在進行解題時的表現受到影響。邱志賢、毛國楠（民 91）提到數學文字題是以文字敘述的方式去呈現題目，學生在進行解題時須將其轉換為符號，而這是最讓學生感到困擾的地方。 Xin（2007）提到在學生進行解題時，教師應鼓勵學生對文字進行分析，並作推理、思考。若教師在教學時，強調利用關鍵字去進行解題，將 10.

(19) 會剝奪學生進行思考的機會。 Hegarty、Mayer and Monk（1995）研究指出不成功的解題者在解題時會採取直接轉換策略，即利用數字和關鍵字進行解題，使用直接轉換策略的學生將解題的重點放在問題的數字和關係術語上面而非其他文字，學生會利用他從題目中得到的訊息解決問題；成功解題者採問題模式策略，利用問題基模去進行解題，努力根據問題的描述去規劃、建構一個基模，使用問題模式策略的學生付出更多的注意在問題陳述上，尤其是題目中出現的變量名上，去尋求解決問題的策略。 Hegarty、Mayer and Green（1992）提到影響學生解題的原因在於問題題目敘述的不一致性，這會導致學生代以錯誤的解題策略，學生的不瞭解題意會造成錯誤的解題法。使用直接轉換策略的學生在一致性和不一致性的題目上所花的時間一樣，但易有解題錯誤的情形發生，而採取問題模式策略的學生花較多時間在不一致的問題上，主要在重讀問題的背景相關資料，而非著重在數字上，解題錯誤的情形較少。 Hershkovitz and Nesher（2003）提到學生的學習是漸進式的，教師在教學過程中應去豐富學生的數學基石，漸進的讓學生接觸不同的題型架構能多給學生不一樣的題目類型進行練習，可協助學生在解題上表現的更好。教師若能給學生足夠的機會去解決問題、使用有效的策略，學生才有進步的空間（Griffin & Jitendra, 2009）。胡炳生（民 80）認為大量練習題目並不能提高學生的解題能力，唯有使學生具備數學知能、善用解題技巧，並懂得進行反思，才能幫助學生提升解題的能力。陳竹村（民 90）認為影響學生能否成功解題的因素有二：一為其是否具有與解決問題有關的知識；二為其是否具有組織這些數學方法用以解決問題的能力。解題並非只有一種方法，當所擁有的解題工具越多，會使解題變得更有效率。當我們面對問題時會想盡各種辦法以求達到目標或解決 11.

(20) 問題，對於同一個問題每一個人所使用的方法並不一定相同，學生在進行解題時也是一樣，同樣的問題他們可能會使用不同的解決策略（林香、張英傑，民 93）。甯自強（民 83）認為數學教育的真正目的，在於學生能將問題有效解決之後獲得的經驗用於未來處理相關的數學問題上，先使學生將解題活動成類型，勿操之過急而造成教學的反效果。教師在數學課程中所擔任的角色為佈題者而非解題者，鼓勵學生能對自己進行的解題活動進行描述，提升解題經驗的類型（甯自強，民 84）。涂金堂、林佳蓉（民 89）認為學生在進行解題時需用到許多不同類型的能力，瞭解題目的意思用到語文能力、將文字敘述轉換為數學符號用到表徵能力、決定對應的解題基模用到解題策略能力、把答案算出來用到計算能力。倘若教師在教學過程中，只著重讓學生重覆練習相同的問題去達到教學的效果，那麼，學生對於概念的學習只是靠著記憶和背誦，學生反射性的不斷去進行練習將使學生缺乏思考，更甚者不慣於去思考，教師忽略學生創造性思考的啟迪（呂溪木，民 72）。機械式的練習對學生而言或許可以幫助他在相同類型的題目上獲得高分，但當學習的概念變多了，題型改變了，學生是否會因為解題能力的不足，而在數學解題上產生挫敗。張鳳燕（民 80）提到當學生在學習數學時，不僅是在練習計算而已，. 它亦涉及到解決生活所遭遇到的數學問題，若學生對於概念不理解，只會套公式做機械式運算，而教師也忽略理解性教學，當學生遇到不同概念性題目時解題便會產生困難，就像有些學生只知熟背九九乘法，對於乘法的意義卻一無所知，乘法的基本概念並不瞭解，當遇到文字題時便不知該用加法還是乘法去進行解題（戴寶蓮，民 79）。教師應當加長概念性理解之教學時間，著重概念瞭解的教學，讓學生知道解題過程中的每一個步驟都是具有意義的，而非只是死記硬背或不斷的進行重複式的計算。學生在進行解題時，需要的是將概念性的知識和程序性的知識做連結，能夠做正確 12.

(21) 的活用，重視概念的教學可提昇學生的解題能力，減少學生解題時的錯誤產生（蕭見文，民 85；吳昭容，民 92）。楊德清（民 86）認為數字常識可解釋為一個人對數字、運算以及它們. 之間關係的一般性瞭解。我們的數學教育過於強調機械式的背誦公式，有些學生根本不知道在學什麼，每個單元、每個單元的小測驗，他們總是可以得到很高的分數，但當數個小單元合起來做測驗時，優劣立現。學習是希望學生能夠有能力用彈性的方法對數學做判斷以及發展策略，能夠處理數字和運算的關係，亦即能夠使用數字和數量之方法做溝通、處理，對文字題能有處理的能力，而非只是一昧的套公式卻說不出個所以然來。黃敏晃（民 75）提到數學並不是要學生只記得數學結果，而是要去瞭解其基本的道理，這樣才算學好數學。若學生能運用學得的知識去做為學習另一知識的基礎，即使沒有成功，至少他在過程中有了思索和考察的工夫，對此便有較透徹的理解，學生在進行解題時，教師應讓學生有機會試著從解題的過程中將孤立的數學材料串連起來增進對數學的瞭解，在解題上也會更有概念。謝淡宜（民 79）提到學生在進行解題時，題目中所知的數字、關係、條件以及所要求的答案就是學生進行解題時的線索，當學生將題目中的關係進行再次的整理、釐清，就是在找尋解題的策略。利用圖形、列表；根據題目的線索搜尋相關舊經驗；當題目數據太大時，使用較小的數字來替代將問題進行簡化；從結果往回推求算式…等，都是可使用的解題策略。文字題的情境描述讓數學運算和生活間產生了聯繫，使數學不單單只是列式加符號而已，也具有解決生活問題的意義。文字題的解題牽涉到學生對文字的瞭解，有些學生在進行解題時，由於不瞭解題意或把注意力放在問題的表面特徵，利用關鍵字或使用剛學到的數學策略去進行解題，而忽略了題目中其他重要的訊息，此種只在關鍵字和數字中打轉的計算，常伴隨著錯誤的解題過程，更甚者，有些學生看到題目後，因不知如何去列 13.

(22) 式，便將所有的數字用運算符號湊一湊去求得解答（鄧少行、蔣治邦，民 83；吳昭容、黃一蘋，民 92）。過去的數學教學在於教師直接灌輸單一的解法，強調「技巧」、「快速解題」，不斷填鴨讓學生強記一大堆的公式、定理，訓練學生機械化的計算能力以求快速的算出答案，卻很少去瞭解學生解題發生錯誤的原因與錯誤的類型，此種重視結果而輕忽過程的教學方法雖然教導出的學生在計算能力上很熟練，但這會使得學生的解題方式僵化，造成學生對問題表徵的不瞭解，當學生缺乏概念性與思考性，將無法去判斷答案的合理性。而此種重結果的評量方式也無法有效診斷出學童解題的困難所在。（劉好，民 76；蔡榮貴，民 79；蔣治邦、鍾思嘉，民 80；譚寧君，民 81；古明峰，民 87a；涂金堂，民 85；蕭見文，民 85；顏銘志，民 87；桂冠前瞻教育叢書，民 89；曹雅玲，民 96）。教師在數學解題教學的過程中，無論是例行性或非例行性的題目，都不應直接列出所有的算式或直接告訴學生快速求得答案的方法，要讓學生有機會去思考、體驗數學，去嘗試不同的解法，從嘗試的過程中不斷去修正自己的解題策略（戴寶蓮，民 79；喻平，民 91）。解題應著重於讓學生在學習過程中建構出自己的解題方法，知道在什麼樣的情境下該使用何種運算方法，教師配合情境或以實物進行教學，指導學生運用解題的技巧，從繁瑣的題目中經由閱讀的過程將文字進行轉譯、簡化，從一連串的文字和數字中找到相關資訊進行列式以求得答案，並可以簡單的圖表、方程式將所得到的相關訊息記下來，如此一來，不管數學題型做如何的變化，學生還是有能力找出適合的解題策略去進行求解，數學教學即是要幫助學生進行有意義之學習（羅素貞，民 85；易正明，民 92）。張再明（民 83）研究指出學生在單步驟文字題上的解題表現優於兩步驟文字題；對於運算步驟較多的問題，學生在問題結構的認知方面表現亦較差。由此可知，問題結構越複雜的題目，其難度越高，學生的解題表現 14.

(23) 越差。數學教育最主要的目的還是希望學生能學會使用數學的思維進行思考，能將所學的數學知識進行綜合地、創造性地運用在解決問題上，這才是落實課程綱要中所希望學生具備的（鄭毓信，民 82）。. 四、文字題解題的相關文獻探討謝惠齡（民 93）在國小一年級學童減法文字題表現研究中指出學童解減數未知型和拿走型表現較佳；解比少－大數未知型表現較差。錯誤解題者在解題過程中易產生的迷思概念有：理解題意困難、以關鍵字解題、抄錯數字、計算過程產生錯誤、列出的式子無意義、無法理解題目的邏輯順序、認知能力差。黃湘婷（民 96）在國小一年級學童解加減文字題表現之研究中指出學童解題正確率由高到低依序為：合併型、改變型、等化型及比較型，而合併型中全體量未知是難度最低的題型，比較型中參考量未知比少型是難度最高的題型。學生解題錯誤的原因有：不具正確的語文知識、誤用關鍵字進行解題、以習慣的基模知識來解題、列出無意義的算式、計算錯誤、解題策略無法去評估其合理性。 Quintero（1983）針對 36 名 9-14 歲的學童進行訪談，在兩步驟比較類文字題中發現概念的意義和語意的結構是影響解題的主要原因。 Corte（1991）以 20 位大學生為對象進行比較類兩步驟文字題研究，發現到不一致性語言的題目使學生在進行解題時會花較多的時間，也須具備較多的認知知能，亦即題目的語意結構會影響到學生的解題。鄭惠萍（民 96）在國小三年級學童比較型加減文字題的解題表現及錯誤類型研究中指出，學生在比較較少型差異量未知的解題表現較佳，比較較少型參照量未知的解題表現較差。謝佳伶（民 98）在國小中年級學童二步驟比較類文字題的解題表現研. 15.

(24) 究中指出不同的語意結構及未知數的位置會影響學生的解題表現，第一事件未知及參照量未知的題型學生解題表現較差。學生錯誤解題策略是因受到文字表面的訊息影響，而使用關鍵字解題、時近策略、情意策略、嘗試法…等方式進行解題。吳宏文（民 99）在國小二年級新住民學童整數加減法文字題概念結構分析的研究中指出改變添加型結果量未知、比較較少型參考量未知、等化添加型比較量未知的文字題是新住民學童進行解題時答對率較低的類型。許美華（民 89）在國小二年級學童正整數乘法問題解題活動類型研究中指出乘法問題的類型與數字的大小會影響學童的解題活動。學生在進行乘法問題解決時所產生的錯誤類型有：多單位數、少單位數、以加法進行運算、以減法進行運算、二數顛倒、空白未作答與其他七種。學童產生錯誤的原因有：粗心、受到舊經驗的影響、不瞭解題意與不瞭解乘法的意義所導致。陳淑琳（民 91）在國小二年級學童乘法文字題解題研究中指出二年級學童以等組型問題表現較佳，其次是陣列型問題、比較型問題，而以組合型問題表現較差；解題表現也會受到數值大小的影響，數字越大越容易產生錯誤。林能傑（民 84）在探討接受新數學實驗課程教學的學生在二步驟文字題上的解題表現，發現學生在「運算」方面則顯示出：＋×最簡單，＋÷ 與－×次之，－÷最困難。陳國雄（民 95）在國小四年級學童整數四則運算問題的解題策略與錯誤類型研究中指出，學生在加、減兩步驟和乘、除兩步驟類型問題的解題表現較佳；在加（減）、乘兩步驟和加（減）、除兩步驟類型問題的解題表現較差。學生在進行解題時的策略為：以擅長的、最近才學到的、根據數字大小決定運算符號、利用關鍵字。學生解題錯誤的原因為：計算錯誤、錯用運算符號、缺乏數學基模知識、未依據四則運算的計算約定、錯用資 16.

(25) 訊及已知條件、看錯題目數字、算式表徵錯誤或不完整。蔡佳倫（民 97）在分析二年級學童加（減）乘二步驟文字題在正式施測和動態評量解題的表現差異及潛在類別的改變研究中，發現學童在先乘再加減-已知在前的概念解題表現最佳，先加減再乘-未知在前的概念解題表現最差。楊瑞智（民 79）研究提到學生在進行四則運算的解題過程時，產生的錯誤類型除了會受到題目的語意結構及語言描述的方式等因素影響外，學生本身對於四則運算的概念知識是否完備及他的本身的認知能力也會造成影響。徐偉民與林潔慧（民 99）在進行國小四年級兩步驟文字題補救教學之行動研究中發現，學生在解兩步驟文字題時錯誤的原因，如：不懂題意、慣於使用關鍵字解題、乘除混淆等，而在使用具體物操作或圖像繪畫等具體表徵進行教學後，學生錯誤的情形減少了，認知方面也有所進步。. 二、文字題的分類文字題在數學教材內佔有重要的地位，舉凡數與量、幾何、代數、統計與機率皆有文字題的題型。文字題依運算符號區分可分為加法文字題、減法文字題、乘法文字題和除法文字題；依運算步驟區分可分為單一步驟文字題、兩步驟文字題和多步驟文字題。由於除法文字題的教材在三年級才會接觸到，因此以下針對加法文字題、減法文字題和乘法文字題，以及不同步驟的文字題進行文獻探討。壹、依運算符號區分一、加、減法文字題 Carpenter and Moser（1984）將加、減法文字題分為四類，分別為改變（change）、合併（combine）、比較（compare）和等化（equalize），改變又可分為加入和分開，其分類方式和範例如表 2-2-1 所示：. 17.

(26) 表 2-2-1 Carpenter、Moser 加、減法文字題分類與範例類型加改入. 變分開. 合併. 比. 較. 等. 化. 範例小香有 3 顆糖果，小美給她 7 顆糖果，小香共有幾顆糖果？小香有 3 顆糖果，她還需要幾顆糖果才可以使她有 10 顆糖果？小香有一些糖果，小美給她 7 顆後，現在她有 10 顆糖果，小香原本有幾顆糖果？小香有 10 顆糖果，她給小美 3 顆後，小香還剩幾顆糖果？小香有 10 顆糖果，她給小美一些後，還剩下 7 顆糖果，小香給小美幾顆糖果？小香有一些糖果，她給小美 3 顆糖果後，她剩 7 顆糖果，小香原本有幾顆糖果？小香有 3 顆葡萄口味的糖果，7 顆橘子口味的糖果，小香共有多少顆糖果？小香有 10 顆糖果，其中 3 顆是葡萄口味的，其他是橘子口味的，小香有幾顆橘子口味的糖果？小香有 10 顆糖果，小美有 3 顆糖果，小香比小美多幾顆糖果？小美有 3 顆糖果，小香比小美多 7 顆糖果，小香有幾顆糖果？小香有 10 顆糖果，她比小美多 7 顆糖果，小美有幾顆糖果？小香有 10 顆糖果，小美有 3 顆糖果，小美比小香少幾顆糖果？小美有 3 顆糖果，她比小香少 7 顆糖果，小香有幾顆糖果？小香有 10 顆糖果，小美比小香少 7 顆糖果，小美有幾顆糖果？小香有 10 顆糖果，小美有 3 顆糖果，小美還要得到多少顆糖果才會和小香有一樣多的糖果？小美有 3 顆糖果，假如她再得到 7 顆糖果就會和小香有一樣多的糖果，小香有幾顆糖果？小香有 10 顆糖果，假如小美再得到 7 顆糖果就會和小香有一樣多的糖果，小美有幾顆糖果？小香有 10 顆糖果，小美有 3 顆糖果，小香要吃掉多少顆糖果才會和小香有一樣多的糖果？小美有 3 顆糖果，假如小香吃掉 7 顆糖果就會和小美有一樣多的糖果，小香有幾顆糖果？小香有 10 顆糖果，假如她吃掉 7 顆糖果就會和小美有一樣多的糖果，小美有幾顆糖果？. 18.

(27) Fuson（1992）把加減法文字題分為四類，分別為改變（change）、合併（combine）、比較（compare）、等化（equalize），再依語意關係和未知數性質細分成各種類型文字題，以下分別進行說明：（一）改變：可分為添加型（add to）和拿走型（take from），如表 2-2-2 所示，再依量的未知情形可分為結果量未知、改變量未知、起始量未知。表 2-2-2 改變問題類型及範例類型. 範例. 結果量未知添改變量未知加起始量未知結果量未知拿改變量未知走起始量未知. 妹妹有 4 顆蘋果，姐姐又給她 6 顆蘋果，請問妹妹現在有幾顆蘋果？妹妹有 4 顆蘋果，姐姐給她一些蘋果後，妹妹現在有 10 顆蘋果，請問姐姐給她幾顆蘋果？妹妹有一些蘋果，姐姐給她 6 顆後，妹妹現在有 10 顆蘋果，請問妹妹原來有幾顆蘋果？妹妹有 10 顆蘋果，她給姐姐 6 顆後，請問妹妹現在還有幾顆蘋果？妹妹有 10 顆蘋果，她給姐姐一些後，現在還剩 4 顆蘋果，請問妹妹給姐姐幾顆蘋果？妹妹有一些蘋果，她給姐姐 6 顆後，她還有 4 顆蘋果，請問妹妹原來有幾顆蘋果？. （二）合併：依量的未知情形可分為全體量未知和部分量未知，如表 2-2-3 所示。表 2-2-3 合併問題類型及範例類型全體量未知部分量未知. 範例妹妹有 4 顆蘋果，姐姐有 6 顆蘋果，請問她們共有幾顆蘋果？妹妹和姐姐共有 10 顆蘋果，其中妹妹有 4 顆蘋果，請問姐姐有幾顆蘋果？. （三）比較：比較可分為較多型和較少型，再依量的未知情形可分為差異量未知、比較量未知、參考量未知，如表 2-2-4 所示。 19.

(28) 表 2-2-4 比較問題類型及範例類型差異量未知較比較量未知多參考量未知差異量未知較比較量未知少參考量未知. 範例姐姐有 6 顆蘋果，妹妹有 4 顆蘋果，請問姐姐比妹妹多幾顆蘋果？妹妹有 4 顆蘋果，姐姐比妹妹多 2 顆蘋果，請問姐姐有幾顆蘋果？姐姐有 6 顆蘋果，她比妹妹多 2 顆蘋果，請問妹妹有幾顆蘋果？妹妹有 4 顆蘋果，姐姐有 6 顆蘋果，請問妹妹比姐姐少幾顆蘋果？姐姐有 6 顆蘋果，妹妹比姐姐少 2 顆蘋果，請問妹妹有幾顆蘋果？妹妹有 4 顆蘋果，她比姐姐少 2 顆蘋果，請問姐姐有幾顆蘋果？. （四）等化：等化是比較和改變的綜合，可分為添加型（add to）和拿走型（take from），如表 2-2-5 所示，再依量的未知情形可分為差異量未知、比較量未知、參考量未知。表 2-2-5 等化問題類型及範例類型差異量未知添比較量未知加參考量未知差異量未知拿比較量未知走參考量未知. 範例妹妹有 4 顆蘋果，姐姐有 6 顆蘋果，妹妹再買幾顆蘋果就會和姐姐一樣多？姐姐有 6 顆蘋果，妹妹再買 2 顆蘋果就跟姐姐一樣多，請問妹妹原來有幾顆蘋果？妹妹有 4 顆蘋果，她再買 2 顆蘋果後，就會和姐姐一樣多，請問姐姐有幾顆蘋果？妹妹有 4 顆蘋果，姐姐有 6 顆蘋果，請問姐姐吃掉幾顆蘋果後會和妹妹一樣多？妹妹有 4 顆蘋果，姐姐吃掉自己的蘋果 2 顆後會和妹妹一樣多，請問姐姐原來有幾顆蘋果？姐姐有 6 顆蘋果，她吃掉 2 顆蘋果後就會和妹妹一樣多，請問妹妹有幾顆蘋果？ 20.

(29) Usiskin and Bell（1983）對加法文字題和減法文字題的分類如下所述：（一）加法文字題可分為：合併型（putting together）、轉移型（shift）、來自減法的加法（addition from subtraction）。而合併型和轉移形式是加法在使用上兩個基本的意義。（1）合併型：此為學生在學習物體關聯操作的第一個活動，例如：桌上有 3 罐可樂和 4 罐果汁，那麼桌上有幾罐飲料？可列 3＋4＝7 求得桌上有 7 罐飲料。教室教學時並不一定真的把兩堆物體放在一起，有時是用想像的。合併型的加法在使用上非常廣泛，數數、錢、長度、距離、面積、熱量的計算、機率、百分比、統計表… 等皆可計算。（2）轉移型：轉移型使用的意義和合併型不一樣，合併型是屬於量的計算，轉移型是屬於量的改變，例如：教室有 10 個學生，又進來 3 個學生，教室全部有幾個學生？可列 10＋3＝13 求得教室裡有 13 個學生。轉移型在加法的使用意義上可寫成：原始數量＋轉移量＝最後數量。轉移型在使用上舉凡比賽、考試成績、折扣、長度、距離、股票、角度…等皆可計算。（3）來自減法的加法：當我們按文字題的敘述去寫成算式時，它的列式是屬於減法的型態，但我們可以使用加法的方式去求出答案，這是因為加減法互為逆運算的關係，若將其列為式子寫成： a－b＝c，則 a＝b＋c，例如：哥哥有一些錢，買餅乾花掉 16 元後，還剩 34 元，哥哥原有多少元？列成算式可寫成□－16＝24，我們可用 16＋34＝50 算出哥哥原有的錢。來自減法的加法在使用上長度、錢、得分、利潤…等皆可計算。（二）減法文字題可分為：拿走型（take-away）、比較型（comparison）、轉移型（subtraction shift）、恢復加數型（recovering addend）。 21.

(30) 拿走型和比較型是減法在使用上兩個基本的意義。（1）拿走型：此為學校作業中最常遇到的類型。拿走型在減法的使用意義上可寫成：給予的數量－拿走的數量＝剩下的數量，例如：桌上有 7 罐飲料，拿走 3 罐飲料，還剩下幾罐飲料？可列 7－3＝4 求得桌上剩下 4 罐飲料。在現實生活中拿走型和合併型是對應的關係，用算式表示：c－a＝b，則 a＋b＝c。拿走型在應用上如：數數、錢、時間、長度、面積、角度測量、機率、百分比…等皆可計算。（2）比較型：此類型在減法的使用意義是指給定兩個數 a 和 b，則 a－b 是指 a 和 b 相差多少的意思，例如：小美今年 13 歲，她的妹妹今年 8 歲，小美比妹妹多幾歲？可列 13－8＝5 求得小美比妹妹多 5 歲。比較型的應用很廣泛，數數、測量、比值、機率、速率、時間、溫度…等皆可計算。（3）轉移型：此類型可以寫成：原始數量－轉變量＝最後的數量，指的是量的改變，例如：昨天的氣溫是 22 度，受東北季風影響，今天比昨天降 5 度，今天的氣溫是幾度？可列 22－5＝17 求得今天的氣溫為 17 度。轉移型在年紀、溫度、股市指數…等皆可計算。（4）恢復加數型：此類型的題目我們在進行解題時會先想到加法的使用，數學上會先列式寫成 a＋b＝c，再利用 a＝c－b 或 b＝c－a 去求得答案，例如：小明有一些錢，媽媽再給他 20 元，小明就有 50 元，小明原有多少元？可列式：□＋20＝50，利用 50－20＝30 求出小明原有 30 元。恢復加數型在錢、距離、利息、溫度…等皆可計算。綜合上面的文獻內容，配合課本、習作教材內容，發現課本、習作上加、減與乘二步驟文字題的類型在加法部份以改變型、合併型此二類問題 22.

(31) 為主；減法文字題以改變型的問題為主，因此，參酌 Fuson 的分類方式以課本上有出現過的文字題類型為主，將加法文字題分為改變-添加型-起始量未知、改變-添加型-結果量未知和合併型三種；減法文字題分為改變拿走型-起始量未知、改變-拿走型-改變量未知、改變-拿走型-結果量未知、比較-較少型-差異量未知、比較-較少型-比較量未知、比較-較多型差異量未知六種，並以此分類方式加上乘法的分類方式去進行試題編製。二、乘法文字題 Usiskin and Bell（1983）將乘法文字題分為大小改變型（size change）、交叉運作型（acting across）、比例因子型（rate factor），分別敘述如下：。（一）大小改變型：此類型在乘法的使用意義上包含一數量和影響量大小改變的因子，這影響的因子屬於純量是沒有單位的，所以原始量和最後量的單位是相同的，在應用上可寫成：大小改變的比率×原始量＝最後的量，例如：弟弟今年 9 歲，媽媽的年紀是弟弟的 4 倍，媽媽今年幾歲？可用 4×9＝36 算出媽媽今年 36 歲。（二）交叉運作型：此類型為兩個量交互作用而得到一結果量，此結果量有一不同於此兩個量的單位，交叉運作型有兩種特殊的類型，一為求面積，另一為求物品的配對情形。舉例來說：求面積-邊長 25 公分的正方形，其面積為多少？可用 25（公分）×25（公分）＝625（平分公分）求出面積為 625 平方公分；求物品配對情形-小美有 4 件不同顏色的衣服和 5 件不同款式的裙子，由衣服和裙子搭配出外的服裝，小美可搭配出幾種不同的外出服？可用 4（件）× 5（件）＝20（種），求出小美有 20 種搭配的方式。（三）比例因子型：此類型在日常生活中有很多實際的例子，課堂教學 23.

(32) 上的例子也很多，幾乎很久之前有關乘法文字題都可被歸納在這個類型中，在應用上可寫成：比例因子×數量＝另一量，例如：一包糖果有 15 顆，老師買了 6 包，共有幾顆糖果？可用 15×6＝90 算出老師共有 90 顆糖果。比例因子型舉凡時間、速度、錢、單位換算…等皆可計算。 Greer（1992）將整數乘除的問題情境分為四種類型，分別為等組型（equal groups）、比較型乘法（multiplicative comparison）、笛卡兒乘積（Cartesian product）、矩形面積（rectangular area）。（一）等組型：這是將含有相同個數物體的集合聚在一起所成的問題，此類型問題以各種不同的形式呈現，如：重複做一連串的動作（每次拍球拍 10 下，拍 3 次，共拍幾下？）；自然重複的情形（一個人有 2 隻手，8 個人有幾隻手？）；將相同的數目分給一些人（一包糖果分給 10 個小朋友，每人分得 3 顆糖果，共有幾顆糖果？），我們通常可以用每一組的數量乘以組數來求得總量。（二）比較型乘法：此類型的問題常用〝倍〞來敘述乘數，比較型乘法涉及到基準量和比較量，舉例來說：妹妹有 5 元，姐姐的錢是妹妹的 3 倍，姐姐有多少元？可以用 5×3＝15 求出姐姐有 15 元，妹妹的 5 元即是基準量，姐姐的 15 元則是比較量，所以我們可以利用基準量去求出比較量。（三）笛卡兒乘積：此類型問題為一有序對（ordered pair）的關係，表示若有 A 與 B 兩集合，A 集合中的每一個元素與 B 集合中的所有元素有順序的結合所成的序對，如：3 件不同款式衣服和 4 件不同顏色褲子可能有幾種不一樣的搭配方式？可用 3×4＝12 求出搭配的方式共 12 種。（四）矩形面積：舉例來說－有一矩形其邊長分別為 3 公分和 4 公分，我們將其分割成邊長為 1 公分（面積 1 平方公分）的正方形，點 24.

(33) 數正方形的個數可求得此矩形面積為 12 平方公分（即以 3×4），因此若有一物件呈方陣排列，其關係為直看有 m 行和橫看有 n 列，我們可以用 m×n 去求得結果。此類型和笛卡兒乘積類型很像，乘法中的兩個數字扮演等價的角色，對於誰是被乘數或乘數是沒有區分的。綜合上面的文獻內容，配合課本、習作教材內容，發現課本、習作上的乘法文字題以等組型為主，加上少許比例的比較型，因此，參酌 Greer 的分類方式，題目的編製以等組型問題為多數，加上一題的比較型問題，配合加、減法問題的分類完成試題。貳、依運算步驟區分一、單一步驟文字題單步驟文字題意指在進行文字題求解時，學生使用單一步驟的運算法即可進行求解，而使用的運算法不限於加法或減法，有可能是乘法或除法。二、兩步驟文字題甯自強（民 82）曾提到兩步驟問題是指學童需使用兩次算則才能解決的問題而言，而所列出的算則可能是加減、加乘、減乘、乘除各種可能。當在進行文字題解題時，有時單一步驟並無法完成解題，此時列出兩步驟或三步驟，甚至是多步驟的算則來求出答案都是有可能的。在進行兩步驟問題求解時，由於第二步驟算則的建立需以第一步驟的解為基礎，因此，第一步驟的建立，會影響到後續的解題結果，學生如何根據題意列出正確的式子、求解，也常是學生在解文字題時最感困擾之處。兩步驟文字題在問題語句的敘述上較單步驟文字題複雜，亦即進行解題時學生所需具有的概念知識和所使用的運算程序都比單步驟文字題多（侯鳳秋、陳龍川，民 88）。本研究以文字題的形式，融入生活的情境，請學生利用先加（減）後乘或先乘後加（減）的兩步驟計算方式達到解題的目的。 25.

(34) 第三節解題過程中的錯誤概念概念是學生在進行學習時的基本單位，學生將知識概念化的過程是一種歸納的方式，將學習到的相關知識做一系統的連結、統整。概念性的理解是知其然且知其所以然，學生對於學到的知識不僅瞭解它的原理，也能將學到的知識做正確的運用才是真正有所學，若只是一知半解，對於學習成效將會有所影響，因此，當學生對於知識具有概念性的理解才能對所學能夠學以致用。教育心理學發現學生所學到的知識並不一定是老師在學校時所教導的，學生本身亦會建構自己的知識，即學生在接受知識教導前並非是一片空白，他們有可能會受到先前學習的知識影響而主動建構或發明知識，而這些知識對於當前的學習可能產生正向的影響也可能產生負面作用，若此先前的知識與正確的概念相差太多，不僅會影響到最後的解答，也會影響學生的思考過程，而形成錯誤概念（misconception），因此教師在進行教學時，應留意學生的錯誤概念，進行瞭解，以做適時的修正（張鳳燕，民 80；張景媛，民 83；鄭麗玉，民 87）。鍾聖校（民 83）綜合各種有關錯誤概念的文獻，歸納出其具有以下八種特性：（一）過程性：學生在進行數概念的發展或數學概念學習的過程中有可能會出現錯誤概念。（二）不完備性：學生會出現錯誤概念的原因在於，當他在進行問題解題時的思考不夠仔細和完整，以致於所表達出的數學概念也較為片面或不夠完整。（三）非正統性：學生的錯誤概念和正統的、科學家的或專家的說法相比較是不一樣的。（四）思考性：錯誤概念雖然是學生用文字表達他的解題過程的一些敘述內容，但它其實含有學生概念思考的成分，即使思考的方式是錯誤. 26.

(35) 的、不適當的推理或不成熟的運思。（五）個別性：學生會用自己的想法將從外在得到的訊息，進行內化的工作，再用自己的舊經驗來建構屬於自己的概念，因此，有許些錯誤概念具有個別性。（六）普遍性：有些錯誤概念在學生解題的過程中時常可以看到，具有滿高的普遍性。（七）不穩定性：當學生對於概念沒有很清楚的瞭解時，此概念是相當不穩定的，因為學生的想法有可能一直在變導致概念跟著改變。（八）頑固性：有些錯誤概念雖然經過教師一再地進行講解，但學生在進行解題時仍會一再出現，不易進行改變。劉伍貞（民 85）綜合各種有關迷思概念的文獻，歸納迷思概念的成因有：（一）來自於其日常生活的經驗和觀察所得到。（二）平常口語的使用或隱喻的使用而來。（三）望文生義或因知識的混淆、矛盾、缺乏而來。（四）由教學的過程而來，不論是正式的或非正式的。（五）來自所用教科書的內容。以往學生進行解題，教師只注重解題結果的對錯，對於學生產生錯誤往往歸因於粗心或解題能力差，其實，教師惟有在瞭解學生的錯誤概念後，才能針對學生的錯誤進行適當的修正，若學生學得的概念或技能是有錯的，會影響他新概念的學習（張新仁，民 81）。因此，教師不可輕忽學生的錯誤概念而應去做瞭解。. 第四節 SS 分析法語意結構分析法（semantic structure analysis，簡稱 SS 分析法）是由竹谷誠教授於 1987 年所提倡，將我們利用問卷調查、面談或行動觀察所得. 27.

(36) 到的學生態度尺度資料利用圖形理論（Graph theorem）分析出階層結構，再依階層結構做資料的解釋（胡豐榮，民 90）。本研究使用 SS 分析法的順序如下所述：一、以 SS 分析法導入順序性係數的計算，假設 N jk ( q , r )表示第 j 題得 q 分，第 k 題得 r 分的學生總數，則第 j 題至第 k 題的順序性係數定義為（引自胡豐榮，民 90， 20 頁）： m 1. m.   (q  r ) N. jk. rjk＝1－. ( q, r ). r 1 q  r 1. N (m  1). 其中 N 表示受試之人數，m 表示每個試題的等第。二、根據試題間的順序性係數，來判斷試題是否有關聯性存在，若 rjk 大於等於 0.93，則兩試題間有順序關聯，反之，則否。三、根據試題間的順序關聯，利用 WORD 繪製以 Y 軸為基準，以有方向的箭號表示試題彼此間關係的階層結構圖，並進行分析。 SS 分析法具有以下優點（胡豐榮，民 90；胡豐榮、許天維，民 91）：一、可分析多點計分的資料。二、圖形以→來表示試題間的順序關聯，使資料易於進行判讀，也易於去找出試題間的順序脈絡。三、使用 SS 分析法進行分析，對於題目數多的資料，一樣能轉換成清楚易懂的圖形。四、SS 分析法所呈現的結構圖可表現學生的學習概念結構，教師可與教材結構進行比較，可供診斷教學之用。五、SS 分析法在進行資料結果呈現時是以順序關聯結構圖的方式，易於讓人理解。. 28.

(37) 第三章. 研究方法. 本研究旨在瞭解國小二年級學生在加、減與乘兩步驟文字題的解題表現、錯誤類型和學習階層圖。本研究利用自編紙筆試題進行施測，施測結果進行分析後，再以晤談的方式蒐集資料。本章共分五節，分別為：研究架構、研究對象、研究工具、研究流程、資料處理。. 第一節研究架構本研究的研究架構係根據研究目的、相關文獻探討以及待答問題所建構而成，如圖 3-1-1 所示：國小二年級學童兩步驟文字題的解題表現、錯誤類型與知識結構之研究（加、減與乘，不含併式）. 先乘後加. 先加後乘. 先乘後減. 先減後乘. 紙筆測驗. 資料分析. 受試者解題表現. 受試者的錯誤類型. 圖 3-1-1 研究架構圖 29. 受試者的學習概念圖.

(38) 第二節研究對象本研究的研究對象是九十九學年度國小二年級的學生，因為時間、人力、經費的考量，本研究採方便抽樣，施測的對象為臺中市大里區某小學二年級的學生，2 個班級，共 35 人。施測結束後，再依據學生的成績表現，將全體受試者分為低分組、中分組、高分組三組，並從這三組的學生中各選取兩位進行個別訪談，以便蒐集資料。. 第三節研究工具本研究之研究工具為研究者自編之試題，本節就研究工具的編製過程加以說明。. 一、試卷編製依據本研究採用自編之「加、減與乘兩步驟文字題」，依據九年一貫課程標準，參考現行之部編版課本內容、習作和教學指引，依先乘後加（減）及先加（減）後乘的情境來編製試題。研究者所參考之九年一貫數學課程綱要數與量分年細目如表 3-3-1 所示。. 30.

(39) 表 3-3-1 九年一貫數學領域一、二年級數與量分年細目分年細目. 分年細目內容. 對照指標. 1-n-04. 能從合成、分解的活動中，理解加減法的意義，使用＋、－、＝作橫式紀錄與直式紀錄，並解決生活中的問題。. N-1-02. 1-n-05. 能熟練基本加減法。. N-1-02. 1-n-06. 能作一位數之連加、連減與加減混合計算。. N-1-02 N-1-03. 2-n-04. 能熟練二位數加減直式計算。. N-1-02 N-1-05. 2-n-05. 能作連加、連減與加減混合計算。. N-1-02 N-1-03. 2-n-06. 能理解乘法的意義，使用×、＝作橫式紀錄，並解決生活中的問題。. N-1-03. 2-n-08. 2-n-09. 能理解九九乘法。. N-1-06 A-1-03. 能在具體情境中，解決兩步驟問題（加、減與乘，不含併式）。. N-1-08. 資料來源：教育部（民 92）。國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域。臺北市：教育部。. 二、試卷編製流程（一）預試試卷編製紙筆試卷主要是用以瞭解學生在加、減與乘兩步驟文字題的解題表現，因此共設計 12 題題目，所有題目皆為文字題形式的兩步驟問題，這些問題依教材內容分成四種問題類型如表 3-3-2 所示，題目的配分採多元計分方式，採六點記分方式表示，單一題目最高可得 5 分，最低則為 0 分，計分的方式敘述如下：（1）第一步驟算式正確列出答案算錯，第二步驟算式列式錯誤，給 1 分。（2）第一步驟的算式正確列出且算出正確的答案，第二步驟的算式列出錯誤，給 2 分。（3）第一步驟的算式正確列出且算出正確的答案，第二步驟的算式正確列出但答案算錯，給 3 分。 31.

(40) （4）第一步驟的算式正確列出且算出正確的答案，第二步驟的算式正確列出且算出正確答案，但未寫答，給 4 分。（5）第一步驟的算式正確列出且算出正確的答案，第二步驟的算式正確列出且算出正確答案，且將答案正確寫出，給 5 分。（6）若未作答，或沒有任何的計算過程，給 0 分。表 3-3-2 自編試卷各問題類型一覽表情境. 類型. 運算符號. 題號. 先乘後加. ×. ＋. 2、7、12. 先乘後減. ×. －. 1、8、10. 先加後乘. ＋. ×. 3、6、11. 先減後乘. －. ×. 4、5、9. 先乘後加（減）. 先加（減）後乘（二）正式試卷編製依據預試結果進行試卷的難易度、鑑別度及信度的分析後，將不適合的題目做適當的修改，並請指導教授及實際從事教學活動的數位低年級教師協助審核試卷內容及文字敘述之適切性做適當修改，修改完成後即編製成正式施測試卷。三、試卷項目分析預試試卷編製完成後即進行施測，將預試的結果進行難易度與鑑別度、信度與效度的分析，分別說明如下。（一）難易度與鑑別度試題經預試後的結果以 SPSS 軟體進行分析，所得的難度和鑑別度如表 3-3-3 所示，從表中可知每一試題的難度介於 0.4 ~ 0.8 之間，表示試題難易度適中；試題鑑別度都在 0.3 以上，表示試題具有良好的鑑別度。. 32.

(41) 表 3-3-3 預試結果之難度與鑑別度題號. 難度. 鑑別度. 題號. 難度. 鑑別度. 1 2 3 4 5 6. .8 .53 .61 .61 .53 .66. .3 .65 .6 .6 .49 .57. 7 8 9 10 11 12. .79 .57 .4 .7 .59 .67. .37 .57 .71 .54 .66 .54. （二）信度與效度本研究採用 Cronbachα數來求試題內部的一致性，試題信度分析所得的 Cronbachα值為 0.904，顯示這份試卷的內部一致性具有相當高的信度，而刪除各試題所得的 Cronbachα值如表 3-3-4 所示，並沒有因刪除某一試題而使得 Cronbachα值因此而變得特別高或特別低，因此不需刪除任何試題。表 3-3-4 預試項目刪除時的 Cronbachα值題號. 項目刪除時的 Cronbach  值. 題號. 項目刪除時的 Cronbach  值. 1 2 3 4 5 6. .90 .891 .892 .90 .903 .894. 7 8 9 10 11 12. .898 .896 .895 .901 .892 .902. 本研究測驗試題採內容效度和專家效度，研究者使用雙目細目表如表 3-3-5 所示，檢核試題的內容效度，並請教授及數位實際從事國小數學教學工作的資深教師協助審查，修正試題內容，以使本研究工具有良好的研究效度。 33.

(42) 表 3-3-5 加、減與乘二步驟文字題預試試卷之雙向細目表教材內容題型. 教學目標理解. 先乘後加. 應用. 分析. 2、7. 12. 先乘後減. 1. 8、10. 先加後乘. 3、11. 6. 先減後乘. 5. 4. 9. 三、正式施測預試試卷進行適當修改編製成正式試卷，即可進行學生正式施測。. 第四節研究流程本研究之目的在瞭解學生加、減與乘兩步驟文字題的解題表現、錯誤類型和知識結構，主要利用自編紙筆試卷經施測後進行學生解題表現的瞭解，再經由結果分析和晤談近一步瞭解學生的錯誤類型和知識結構。本研究進行的流程如圖 3-4-1 所示：. 34.

(43) 擬定研究主題. 蒐集並閱讀相關文獻. 編擬試題. 進行試題預試. 試題信、效度分析及確定試題. 進行正式試卷施測. 施測結果分析. SS 分析學生晤談繪製學習概念圖. 資料綜合分析行正式施測. 撰寫研究報告行正式施測. 圖 3-4-1 研究流程圖. 35.