第四章 研究結果與討論
第二節 學生對課堂訊息轉化的表現
在第一階段的兩次循環中，研究者要求學生正確保留課堂上所接收到的訊息，
初期學生表現不好，在文字表徵部份，不太能夠區別概念跟程序的說明，所以大 多保留了他們較熟悉的程序性記錄。這和游麗卿（1999）的研究類似。他發現約 有四分之一的學生可以在數學課中表現出溝通能力，但不穩定且沒有根據題目說 明他們是怎麼解題的，也沒有依據解題紀錄和題目去說明算式的涵義。
研究者在在文獻探討中發現陳淑娟（1999）主張教師多運用引導方面的策略，
可以協助學生解釋、說明解題時所依據的數學概念；謝甫宜（2001）提出十種教 師引導溝通的發問方式；蔡慧玲（2001）也整理出老師引導學生說明解題想法的 六種策略類型。根據以上學者的研究，研究者帶領全班在課堂上討論、澄清，並 給予書面回饋，學生才逐漸掌握到概念的意涵，因此第一階段第二循環中的概念 性說明，就由原來的 10%進步到 68%，雖然在這樣的大幅進步當中，仍有許多 學生的說明不完整、有偏誤，但這表示學生已經注意到課堂的重要訊息，並試圖 保留，且了解釋說明須以數學概念為主。
進入第二階段，研究者希望能學生除了能在寫作內容中呈現概念性的說明外，
還希望提高解釋說明的正確率，能正確說明「分數的分數倍」及「單位分數轉換」
的概念，因此在課堂上加強概念性說明的示範、引導，持續採用引導式的發問，
也就是先說明、提供暗示或解釋，並適時加入關聯題目（從先前學過的課本、習 作取材），再用比較性的問題引導學生，並持續使用小組討論及學生上臺示範來 加強學生課堂正確訊息的接收，同時也要求學生將課堂上接收到的訊息，從正確 保留下來進步到加以轉化，讓他們不再照本宣科，而是能用自己的話來加以說明、
解釋。
另外，在圖示表徵部份，學生經過兩次循環皆無明顯地改善，因此在第二階
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段的循環中，教學時都會先引導學生去注意課堂上示範題目的圖示，讓學生了解 單位量、運算值是如何呈現，理解圖示表徵以及如何運用，接下來才談轉化。
Vygotsky 認為，當從他人引導變成自我引導時，語言的功能逐漸傾向澄清思 考及規範，說話開始轉化為內在的層次，變成一種自我溝通（谷瑞勉譯，1995）。 此種說法搭配上解釋性寫作具有下列功能，一是讓學生在寫作之前反省、澄清自 己的數學概念，二是寫出來後，老師可藉此了解其概念的掌握程度，給予回饋，
再重新引導他們省思。因此，在第二階段研究者要求學生將接收到的訊息加以轉 化，讓他們透過內在省思的方式來形成自我的溝通，並將之記錄下來以便和他人 進行溝通。
此階段所搭配的課本題型是「分數的分數倍」，這樣的題型容易測出學生是 否能解釋得清楚，因為它包含了兩個數學概念，一是分數的分數倍的意義，另一 個是在分數乘以分數時，單位分數需要重新轉換，學生必須說明分母改變其背後 的意涵就是要重新分割，而這兩個概念也是日後學習數學相當重要的基礎。因此，
以「分數的分數倍」單元來進行研究學生對課堂訊息轉化的表現，可以使學生在 進行轉化的過程中，第一要先能夠理解，第二是運用自己能理解的文字、圖示、
算式來進行說明，即反覆地反省、澄清自己的數學概念，無形中加強了對此數學 概念的掌握程度；研究者也可以從其轉化後所呈現的內容來了解其認知程度，從 而採取適當的策略來給予幫助，因此研究者認為這個單元相當適合用來進行第二 階段的研究。
本研究在「學生對課堂訊息轉化」階段的教學流程圖，如圖 4-2。
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圖 4-4 第二階段教學流程圖
一、第二階段的行動策略
Ｔ：很好，你說到一個很重要的部份。所以１
圖 4-5 訊息轉化階段的課本範例題目
圖 4-6 訊息轉化階段之個別練習題目
二、學生寫作內容表現
此題「分數的分數倍」的題目，研究者除了希望學生能轉化課堂上所接收到 的訊息，根據題意以自己的方法畫出此題的圖示表徵，還要能解釋說明「分數倍 的意義」及「單位分數轉換的過程」兩個數學概念，也就是：「曉君吃的１
４是將 這３
５個蛋糕再平分成 4 小份中的 1 小份」及「最後答案 ３
２０中的分母 20 是來自於
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將一個完整的蛋糕分成的 5 份，每一份再平分成 4 小份，所以一個完整的蛋糕是 平分成 20 小份」。學生的寫作內容，經研究者分析後，出現以下幾種狀況：
（一）整體的寫作內容在概念性的說明上有大幅增加
第二階段第一次循環，完全沒有概念說明的學生只剩下 3 位。
在研究開始之初，由於學生不知如何進行解釋性數學寫作，因此在第一階段 的第一循環教學中，寫作內容有概念性說明的學生只有 10%，到了第二次循環就 提升到了 68%。而在進入第二階段後，經過研究者在課堂上不斷地示範、引導，
並且讓學生討論、發表、複誦後，雖然學生的概念說明錯誤的比率仍很高，但是 完全只寫程序性記錄，沒有概念性說明的只剩下 3 位(10%)。例如Ｓ22 屬於低程 度的學生，她在例 4-14 的文字說明內容雖然清楚，但全都是程序性的記錄，圖 示表徵也顯示，她並不了解「３
５的１
４倍」的意義。但有高達 90%的學生的寫作內 容都有呈現數學概念的說明，雖然在這樣的高比例當中，包含了偏誤及不完整的 學生，但是在解釋性數學寫作的第二階段，研究者會根據學生的程度給予不同的 引導，高程度學生引導他們儘量讓寫作的內容多樣、完整，中低程度則引導他們 省思圖示、算式所代表的意義，豐富其呈寫作內容，開始了數學溝通能力的初步 提升。
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例 4-14
仍然只寫程序性記錄
解 1040417-S22
（二）僅有少數學生理解分數倍的概念
只有 2 位學生能完整清楚的解釋數學概念，另有 3 位整體內容正確，但文字 和圖示表徵不完整，需再利用課堂討論提問確認其概念的掌握程度。
第二階段練習的題型包含了難度較高的「分數倍的意義」及「單位分數轉換 的過程」兩個數學概念。算式中的被乘數是分量，乘數是運算子，需要對一個指 定的量進行再分割，並形成一個新的分割量。學生對於「分數倍的意義」雖然能 以文字說出「３
５的１
４倍」，但對如何以再分割的操作圖示表示某分量的分數倍具體 做法則無法掌握，讓研究者無法藉由另一種表徵，診斷、確認學生的分數倍概念。
而「單位分數轉換的過程」則大多忽略不寫，直接跳到最後的答案。學生中只有 2 位(7%)能以文字或圖示清楚地說出這兩個概念。另有 3 位(11%)學生其整體內 容的呈現，大致能解釋說明這兩個概念，但是在文字或圖示部份仍有不完整之處，
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例如Ｓ2 原本只以極為簡潔的算式及文字「所有的３
５都分成 4 份，所以分成 20 小 份」來作解釋，沒有圖示表徵，經研究者給予要求加上圖示表徵的回饋後，他也 只是簡單地畫出圖示，但在圖示上沒有任何的標明。由於該生屬於高程度學生，
平日在課堂的討論中常能說出關鍵的數學概念，並常主動要求上臺示範，因此研 究者根據該生平日的表現，判斷他應該了解這兩個概念。由於該生的解釋說明不 夠完整、詳細，研究者利用課堂上的討論、提問，再確認他對這兩個數學概念的 掌握程度，如例 4-15。
例 4-15
能以文字或圖示清楚解釋數學概念
解 1040417-S3
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文字或圖示說明不夠完整
解 1040417-S2
（三）許多學生在「分數的分數倍」解釋上就出現錯誤
另外，Ｓ8 雖然在文字說明上寫出「因為原本的蛋糕只剩３
５，所以曉君吃是
３ ５的１
４」，看似了解了３
５是量，而１
４是關係，但搭配他的圖示表徵來看，他雖然模 仿了課本的例題以連續量圖形來表示題意，但圖示中他依然將３
５及１
４表示成單獨 的量，且中間給於畫上一個等號的關係，可見他對「分數的分數倍」此一概念也 是不了解的。如例 4-16。
例 4-16
「分數的分數倍」解釋錯誤例一
解 1040417-S14
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「分數的分數倍」解釋錯誤例二
解 1040417-S23
「分數的分數倍」解釋錯誤例三
解 1040417-S8
（四）少部份學生只了解兩個概念中的一個
這個題目包含了「分數的分數倍」和「單位分數轉換」兩個抽象概念，有一 位學生能說明分數的分數倍，但不了解單位分數該如何轉換，另一位學生則是能 夠說明單位分數如何轉換，但卻將運算子１
４誤當成量。
有 2 位(7%)學生，能夠清楚說明「分數的分數倍」此一概念，但在單位分數
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轉換這個部份解釋不完整或是只做程序性的說明。如Ｓ26 能說出分數倍概念「先 把３
５個 cake 再分成 4 份小份，只要其中的 1 小份」，但是對單位分數轉換的解釋 卻寫道「 ３
２０是３
５×１
４，5×4＝20 分母相乘，3×1＝3 分子相乘，答案就是 ３
２０」。經 過研究者追問:「20 是什麼意思？」，他還是只能寫出「把 5 和 4 通分成 20」這 樣的程序性解釋，可見其對「單位分數轉換」的概念是不了解的，如例 4-16。最 特別的是Ｓ10，Ｓ10 在單位分數轉換的解釋及圖示表徵都是正確的，他能夠說 出「5 塊中的每一小塊都要分成 4 小塊」此一重要概念，但在分數的分數倍的說 明文字及圖示表徵間出現落差，其文字解釋為「曉君吃了 5 小塊其中 3 份又分 4 小塊的其中一塊蛋糕」，看似了解３
５是分量敘述，１
４是關係敘述，但圖示則如同前 述學生所犯錯誤一樣，將３
５和１
４都當成分量，分別以連續量的圖示畫出，如例 4-17。
例 4-17
理解分數倍但不理解單位分數轉的範例
解 1040417-S26
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理解單位轉換但不理解分數倍
解 1040417-S10
（五）少數學生文字說明正確但圖示有偏誤
有 1 位學生的解釋內容不完整，且有偏誤。Ｓ5 是高程度學生，平日考試的分數 都很高，且做事小心謹慎，總是會再三檢查。此次寫作內容中，分數倍概念沒有 文字說明，單位分數轉換的解釋為「把全部的１
５再分成 4 小份，所以分母才會變 成 20」，好像了解答案的分母為何會是 20，但在圖示表徵有偏誤，最後僅分成
５再分成 4 小份，所以分母才會變 成 20」，好像了解答案的分母為何會是 20，但在圖示表徵有偏誤，最後僅分成