第四章 研究結果與討論
第三節 學生的發展與研究者的省思
本研究透過兩階段四個循環的解釋性寫作教學，協助學生發展數學溝通能力。
為了解學生經過教學引導後，在數學溝通的內容與表徵的改變，研究者分別以高、
中、低程度各一位學生為例，分析學生表現的變化。
（一）寫作內容愈見完整、多樣的高程度Ｓ 3
Ｓ3 在數學概念的理解上是清楚而完整的，只是剛開始不太懂得如何解釋、
說明，經過課堂上的討論、提醒，他很快就能掌握解釋性數學寫作的要領，不但 能正確地保留課堂上所接收到的訊息，還能夠轉化成自己的方式，以文字、圖示 及算式三種不同表徵，解釋說明數學題目中的重要概念，並明瞭表徵之間彼此的 關係，將之聯結、呈現出來。此外，從寫作內容及回饋單上的問題來看，Ｓ3 對 解釋性數學寫作相當投入，願意在達到研究者的要求後，仍盡其所能地詳細說明:
多畫一種圖示表徵、主動將不同表徵的聯結標示出來、一步一步說明單位分數轉 變的過程等，可見其數學溝通的能力確實有提升。
S3 屬於高程度的學生，他在第一階段第一次循環（以下簡稱第一階段的兩
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次循環為 1-1 循環、1-2 循環；第二階段兩次循環為 2-1 循環及 2-2 循環），就能 以抽象的線段圖完整地表示出單位量及單位數，也有相當豐富的文字說明，只是 文字說明的內容屬於程序性的說明，如下例 4-22。到了 1-2 循環時，Ｓ3 原本只 以文字來解釋算式，並未畫出圖示，並且保留了程序性的說明「先把３
４拆成１
４＋１
４
＋１
４，以便計算」等，但後來他又再寫出「12÷4×3」的算式，並分別解釋數字所 代表的意義；經過研究者提示「要畫上圖來表示哦！」，他以清楚的連續性圖示 來表示出完整的 1 盒 12 個香皂被分成 4 等份，而題目要求的 3 等份，是 9 顆香 皂。在 2-1 循環中，Ｓ3 以具體的圖形圖來表示分數的分數倍概念，再以連續圖 示來表示單位分數重新分割，並且清楚地說明「因為原本分五份，但每份都又分 四份。1 小塊分 4 份=4 份、2 小塊分 4 份=8 份……5 小塊分 4 份=20 份」，表示 出了單位分數轉換的過程，可見他對「分數的分數倍」及「單位分數的轉換」兩 個概念都相當了解，並且能以文字、圖示及算式表徵有條理地呈現出來。在最後 的 2-2 循環中，Ｓ3 除了仍然以文字、圖式及算式完整地說明解釋之外，還用箭 頭將圖示及算式表徵表示相同概念的部份聯結在一起，顯示他已完全地了解表徵 之間的相互關係。
例 4-22
Ｓ3 的 1-1 循環
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Ｓ3 的 1-2 循環
Ｓ3 的 2-1 循環
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Ｓ3 的 2-2 循環
（二）說明用字愈見準確的中程度Ｓ 23
Ｓ23 在保留訊息階段，能夠認真地將課堂上所接收到的訊息記錄在他的解 釋性數學寫作學習單上，雖然一開始文字說明的方向有錯誤，但是仍慢慢地朝數 學概念的解釋說明來嘗試；到了第二階段要轉化訊息時，由於他對「分數的分數 倍」及「單位分數轉換」不了解，因此，雖然在解釋說明的形式上有做到轉化，
以文字來說明概念，並模仿了課本例題的圖示，但是用這些表徵所呈現的內容都 出現錯誤。此外，Ｓ23 在解釋說明的用字遣詞上，則有些微的進步，例如他在 例 4-23 的 1-2 循環中有寫到「單位分數１
４」、2-1 循環中提到「完整的 1 份」，可 見他數學語言的使用上是有進步的。
Ｓ23 為班上的中程度學生，代表一般學生的普遍狀況。他在正確保留課堂
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訊息的 1-1 循環中，說明「2３
例 4-23
Ｓ23 的 1-1 循環
Ｓ23 的 1-2 循環
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Ｓ23 的 2-1 循環
Ｓ23 的 2-2 循環
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（三）願意盡力解釋的低程度Ｓ 22
出概念性的說明「一盒香皂有 12 個，３
４盒香皂有多少個?因為３
４盒是分成 4 份中 的 3 小份」，但後續 12 個如何變成 9 個的過程，文字及圖示都沒有呈現，說明解 釋顯得不完整。到了要求轉化課堂接收訊息的第二階段，在 2-1 循環中，Ｓ22 文字說明的語句雖然通順清楚，但全都是程序性的記錄，且他將３
５和１
４都當成單 位量，分別用完整的 1 來平分呈現，可見他不了解「分數的分數倍」的意義，更 遑論「單位分數轉換」的概念。到最後 2-2 循環時，雖然研究者有給予書面及課 堂上的口頭回饋，並以引導式提問等教學策略做了團體的概念澄清，但Ｓ22 仍 然寫出和 2-1 循環時一樣的數學概念，將３
５和１
４都當成單位量，其餘則是程序性 的記錄；圖示表徵雖然改為連續性的圖示，但概念並不正確，最後單位分數轉換 後，圖示上也並不是被分割成 20 小份，如例 4-24。
例 4-24
Ｓ22 的 1-1 循環
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Ｓ22 的 1-2 循環
Ｓ22 的 2-1 循環
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Ｓ22 的 2-2 循環
從以上高、中、低程度的學生表現來看，高程度的學生具備正確的數學概念，
只是在剛開始時不知道解釋性數學寫作所要呈現的內容為何，以及應該如何呈現，
因此只要稍加提醒、要求，他們就能運用不同的表徵，來保留、轉化課堂上接收 到的訊息，清楚地說明解釋「帶分數的整數倍」、「整數的分數倍」、「分數的整數 倍」及「分數的分數倍」這些題型所包含的數學概念，使其寫作內容具有多樣性、
豐富性及完整性。
中程度的學生在正確接收課堂訊息的階段，一開始只能呈現程序性的記錄，
經過研究者反覆地提醒、強調，到了第二階段轉化課堂所接收的訊息時，大多能 透過反思，也就是自我溝通，努力地呈現出自己所理解的數學概念，雖然他們所 呈現出來的概念不一定完整、正確。在圖示表徵部份，兩階段四循環實施下來，
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學生雖然大多能夠畫出圖示，但是完整性一直無法提高，學生們不習慣在圖示上 面標示出文字，可見兩種不同表徵之間的關聯他們還不太能夠掌握。此外，研究 者也發現由於對數學寫作形式的不熟悉，他們在語句的表達、形式的呈現上面不 夠流暢、通順，不易達到與他人溝通的效果，因此第一階段的「複誦」策略其實 還是可以繼續實施，一方面維持上課時的專注，正確接收課堂訊息，另一方面也 讓他們熟悉、了解解釋性數學寫作所應該呈現的形式。
低程度的學生在兩階段四循環的研究過程中，寫作內容的豐富程度有增加，
都會盡量使用文字、圖示及算式表徵來說明解釋，但文字的內容大多是程序性的，
而且圖示表徵不完整且常常出現偏誤，四次循環完成之後，改變的幅度不大。
（四）研究者的省思
本研究最初的動機是想讓學生透過解釋性數學寫作形成自我溝通的反思的 能力，不要看到題目就代入公式計算，卻不知道自己到底在算些什麼，藉由解釋 性數學寫作內的文字、圖示及算式表徵，寫出、畫出數學想法，提升學生數學溝 通的能力，包括了數學寫作的內容正確完整、形式豐富多元以及正向的意願。經 過解釋性數學寫作四次循環，學生的內容已較具正確性，知道要說明的是數學概 念，而非程序記錄，且能夠正確使用數學名詞，如「單位分數」、「完整的1」等；
此外，多數學生都能畫出圖示表徵，約四分之一的學生畫得清晰、完整，少數學 生具有多樣性，除了課本的圖例外，還能自行畫出線段圖、具體圖示等，只是進 步幅度不大；此外在情意部份，從數學寫作的內容及回饋單中得知，大部份學生 都願意盡力完成數學寫作，也認為它確實對自己的數學表達能力有幫助，還有少 部份的學生是極具熱情的，願意在老師的要求之外，花更多時間和精力來完成數 學寫作，可見學生在數學溝通能力的文字、圖示及情意方面，確實有達到提升。
在整個學習上來說，數學學習的目的不能只要求會計算，若背後的概念不懂，
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還是無用，透過解釋性寫作，研究者藉由提升學生的數學溝通能力，有機會了解 學生背後的想法。從這次的兩階段四循環研究中發現，分數的材料本來就很抽象，
學生不容易說得清楚，這現象背後的意義提醒研究者兩件事情，一是不要以為學 生會計算就是懂，許多學生計算程序正確，但卻無法解釋說明數學運算中所涉及 的概念，就是最好的例子；二是用像分數乘法這麼抽象的概念來作解釋性寫作，
顯然需要更長的時間，但研究者一開始規劃即是搭配教學進度以減輕師生的負擔，
因此在短短的幾堂課時間內，學生要能要掌握概念、程序、概念跟程序背後的關 聯性（操作的關聯性），還要用指定算式、文字、圖示的表徵，這對接觸解釋性 數學寫作不久的他們來說是個沈重的負荷，因此，學生大多只能盡力模仿。但即 使是模仿，由於不了解概念，還是無法模仿，或只能掌握局部的訊息，而出現數 學概念及表徵不完整、偏誤的情況。
研究者自我省思，以後在實施解釋性數學寫作教學時，可以調整從五上開始，
縮短前導研究的時間，讓學生有較多時間來熟悉寫作形式及數學概念的說明方式，
再進入「分數的分數倍」等較為抽象、困難的數學單元；教學者亦可考慮不一定 要在一般教學的課堂中實施，而是將之安排作為診斷性教學的工具，藉由讓學生 解釋說明，使教學者能夠細部診斷出學生的數學概念到底哪裡有問題。而且在初 步階段可以放寬要求，不要同時呈現多樣表徵，只要學生能清楚、完整地說明數 學概念即可，另一方面在課堂教學時，多引導學生注意課本所呈現的圖示，多和 學生討論它與文字及算式表徵的關聯，待學生對圖示表徵較為熟悉時，再要求他 們呈現出來。
未來研究者再繼續進行解釋性數學寫作時，可以重複第一階段的教學策略，
繼續使用「複誦」來維持專注力及熟悉數學寫作的文字說明形式。此外，在抽象 概念的學習上，即使研究者省思、調整自己的教學策略，仍然對學生的概念理解 幫助不大，究其原因，是因為學生的生活經驗及具體操作經驗太少，因此抽象化
繼續使用「複誦」來維持專注力及熟悉數學寫作的文字說明形式。此外，在抽象 概念的學習上，即使研究者省思、調整自己的教學策略，仍然對學生的概念理解 幫助不大，究其原因，是因為學生的生活經驗及具體操作經驗太少，因此抽象化