第四章 研究結果與討論
第四節 學生擬題類型及錯誤類型分析
本節主要的目的，首先在於依據「數學擬題測驗」的結果，呈現出學生擬題 類型共十四類；其次，研究者從高、中、低分數能力的學生中挑選出十二位學生 進行晤談，進而針對學生錯誤比例較高之類型做錯誤類型分析；最後，呈現出學
生對於題型、有無餘數及不同未知數位置擬題的晤談分析結果。
一、學生擬題類型
依據本研究「數學擬題測驗」所訂定之擬題評分規則，學生之擬題類型共可 分為十四類，以下將呈現學生在這十四類之範例：
（一）非題目
整段文字並不屬於題目性質，如圖4-4-1：
圖4-4-1 學生擬題（一）
（二）非數學
是一個題目，但不必運用數學算則或不是一個數學題目，如圖4-4-2：
圖4-4-2 學生擬題（二）
（三）運算符號錯誤
是一個數學題目，但所運用的運算符號是加法或減法，如圖4-4-3：
圖4-4-3 學生擬題（三）
（四）未知數的位置錯誤
是一個數學題目，但其擬題內容所列出之未知數的位置與研究算式不同，如 圖4-4-4：
圖4-4-4 學生擬題（四）
（五）數據的位置錯誤
是一個數學題目，但其擬題內容所列出之數據資料的位置與研究算式不同，
如圖4-4-5：
圖4-4-5 學生擬題（五）
（六）數學邏輯不合或有矛盾
是一個題目，但有數學邏輯不合或有矛盾之問題，如圖4-4-6：
圖4-4-6 學生擬題（六）
（七）數據資料錯誤
是一個數學題目，但其擬題內容所列出之數據資料與研究算式不同，如圖 4-4-7：
圖4-4-7 學生擬題（七）
（八）缺乏單位
是一個數學題目，但題目並未提供其內容物的單位詞，如圖4-4-8：
圖4-4-8 學生擬題（八）
（九）未知數不完整
是一個數學題目，但題目所列出之未知數資料不足與研究算式不同，如圖 4-4-9：
圖4-4-9 學生擬題（九）
（十）單位詞錯誤
是一個數學題目，但其內容物的單位詞前後不一，如圖4-4-10：
圖4-4-10 學生擬題（十）
（十一）數據資料不完整
是一個數學題目，但題目所列出之數據資料不足與研究算式不同，如圖 4-4-11：
圖4-4-11 學生擬題（十一）
（十二）遺漏部分字詞
是一個數學題目，但題目某部分敘述不完整，修改後即可成為完整題目，如 圖4-4-12：
圖4-4-12 學生擬題（十二）
（十三）資料超過
是一個數學題目，但題目中有部分解題不需用到的資料，修改後即可成為完 整題目，如圖4-4-13：
圖4-4-13 學生擬題（十三）
（十四）資料適中
是一個數學題目，但題目敘述完整，如圖4-4-14：
圖4-4-14 學生擬題（十四）
二、錯誤類型分析
在學生數學擬題測驗中，發現「運算符號錯誤」之錯誤類型大致可分為兩種：
一為擬出減法的題目（53次）；另一為擬出加法的題目（18次）。以下將呈現此 兩種擬題內容的範例，並透過個案晤談呈現「運算符號錯誤」之錯誤類型。
1.擬出減法的題目
在受試學生擬題測驗中，學生所擬出之題目的運算符號是減法的擬題。
個案H3在擬題測驗第六題和第七題中，就呈現「運算符號錯誤」之錯誤類型。
如圖4-4-15和圖4-4-16：
圖4-4-15 學生擬題（H3-P6）
圖4-4-16 學生擬題（H3-P7）
在晤談過程中，研究者試圖釐清個案H3對擬題算式的瞭解，發現其對除法算 式的瞭解並不清楚且有矛盾之處。個案H3在晤談中的陳述如下：
T：第六題算式中的96，在你所出的題目中代表的是什麼？
H3：96張紙。
T：算式中的括號呢？
H3：不知道幾張紙。
T：24呢?
H3：剩下24張紙。
T：算式中的96是什麼數？
H3：被除數。
T：算式中的括號呢？
H3：除數。
T：算式中的24呢？
H3：餘數..嗯..不對..是商。
T：沒關係，你想好再回答老師24是什麼？
H3：是商。
T：那第七題算式中的17代表什麼？
H3：也是商。
T：那1呢？
H3：是餘數。
T：算式中的÷代表什麼意義？
H3：是除。
T：除是什麼意思？
H3：嗯…（搔搔頭…靜默）。
T：那商是什麼意思？
H3：不知道。
T：餘數是什麼意思？
H3：是剩下的。
T：所以你所出的題目和算式的意義一樣嗎？
H3：不一樣，我寫成減法了。
個案H3在除法概念測驗中的表現非常優異，但從晤談中發現他並不瞭解「÷」
和商的意義，以至於把它寫成了減法的擬題。
在個案M1的擬題測驗第八題中也看到相同的情形，如圖4-4-17：
圖4-4-17 學生擬題（M1-P8）
個案L1在晤談中的陳述如下：
T：算式中的括號，在你所出的題目中代表的是什麼？
M1：大大有一些餅乾。
T：÷呢？
M1：給中中。
T：7呢?
M1：7包。
T：8呢？
M1：剩下8包。
T：那麼4呢？
M1：剩下的。
T：你認為4也是指剩下的嗎？
M1：嗯。
T：算式中的括號代表什麼數？
M1：除數。
T：7呢？
M1：被除數。
T：8呢？
M1：忘記了。（低頭）
T：沒關係，那麼4呢？
M1：剩下的。
個案M1在從晤談中發現他並不瞭解除法平分和除法算式的意義，以至於把它 寫成了減法的擬題。
2.擬出加法的題目
在受試學生擬題測驗中，學生所擬出之題目的運算符號是加法的擬題。
個案L4在擬題測驗第一題和第二題中，就呈現「運算符號錯誤」之錯誤類型。
如圖4-4-18和圖4-4-19：
圖4-4-18 學生擬題（L4-P1）
圖4-4-19 學生擬題（L4-P2）
在晤談過程中，研究者試圖釐清個案L4對擬題算式的暸解，發現其對除法平 分的意義不瞭解並且在擬題的過程中，看到未知數不知道要如何出題。個案L4在 晤談中的陳述如下：
T：請你唸出第一題的題目？
L4：（大聲唸完題目）我寫錯了。
T：哪裡錯了？
L4：寫成加法了。
T：那你認為應該怎麼改呢？
L4：不知道。
T：算式中的12是什麼數？
L4：被除數。
T：算式中的2呢？
L4：除數。
T：算式中÷呢？
L4：（搖頭）。
T：哪括號呢？
L4：商。
T：商代表的意思是什麼呢？
L4：不知道。
T：第二題前面的括號是什麼呢？
L4：被除數。
T：被除數是什麼意思？
L4：（搖頭）。
個案L4在從晤談中發現他並不瞭解「÷」和除法算式的意義，晤談中發現他 知道自己寫成了加法的擬題，但因為對運算符號不熟悉及未知數該如何在擬題中 表示出來，以至於寫出加法的擬題。
在個案L3的擬題測驗第五題中也看到相同的情形，如圖4-4-20：
圖4-4-20 學生擬題（L3-P5）
個案L3在晤談中的陳述如下：
T：請你唸出第五題的題目？
L3：（大聲唸完題目）。
T：算式中的74是什麼數？
L3：忘了。
T：那3呢？
L3：這個都忘了。
T：÷呢？
L3：除。
T：算式中括號呢？
L3：（搖頭）忘記了。
T：2呢？
L3：（搖頭）忘記了。
T：第二題的算式（ ）÷9=5，你怎麼出題？
L3：哥哥有9枝搖搖筆，又給弟弟5枝搖搖筆，總共有幾枝？
T：答案是多少？
L3：答案就9×5=45
T：你以前有出過除法的題目嗎？
L3：沒有，可是我會算。
個案L3在除法概念測驗中，除法概念部分表現並不理想，但是在除法計算部 分卻是表現優異，從晤談中發現他不瞭解「÷」的意義和以計算所得的答案來做 擬題，以至於題目前後矛盾或者是寫出加法的擬題。
（二）「非題目」錯誤類型之晤談分析
在學生數學擬題測驗中，發現「非題目」之錯誤類型佔全體比例略居於「運 算符號錯誤」之後。以下將呈現此類型擬題內容的範例，並透過個案晤談呈現「非
題目」之錯誤類型。
個案L2在擬題測驗第七題中，就呈現「非題目」之錯誤類型。如圖4-4-21：
圖4-4-21 學生擬題（L2-P7）
個案L2和個案L1在從晤談中發現由於不瞭解除法平分和除法算式的意義，而 且不知未知數該如何在擬題中表示出來，以至於草草結束擬題。
T：請你唸出第七題的題目？
L2：（唸完題目）。
T：你題目中的52粒米是代表算式中的52嗎？
L2：是。
T：那括號呢？
L2：（搖頭）不知道。
T：不知道如何寫嗎？
L2：嗯。
T：算式中的52是什麼數？
L2：被除數。
T：÷呢？
L2：除啊。
T：那括號呢？
L2：除數。
T：17呢？
L2：商。
T：1呢？
L2：餘數。
個案L1在擬題測驗第四題中，就呈現「非題目」之錯誤類型。如圖4-4-22：
圖4-4-22 學生擬題（L1-P4）
T：請你唸出第四題的題目？
L1：（唸完題目）。
T：你的題目中有提到算式的內容嗎？
L1：嗯…沒有。我不知道怎麼出題目？
T：算式中的100是什麼數？
L1：（思考了一下）不知道。
T：÷呢？
L1：除法。
T：除法是什麼意思呢？
L1：（思考了一下）不知道怎麼講。
T：那6呢？
L1：嗯…（思考了一下）不知道。
T：那16呢？
L1：嗯…好像是商。
T：那括號呢？
L1：應該是餘數。
T：那什麼是商呢？
L1：（搖頭）不知道。
T：那什麼是餘數呢？
L1：好像是多出來的。
個案M3在擬題測驗第三題中，也呈現出「非題目」之錯誤類型。如圖4-4-23：
圖4-4-23 學生擬題（M3-P3）
T：請你唸出第三題的題目？
M3：（唸完題目）。
T：算式中的365是什麼數？
M3：被除數。
T：那7呢？
M3：除數。
T：÷呢？
M3：除法。
T：等號後面的括號呢？
M3：商。
T：最右邊的括號呢？
M3：是餘數。
T：為什麼最後會問狗的顏色呢？
M3：因為不會寫。
T：你可以舉生活中我們用到除法的例子嗎？
M3：（思考了一下），把東西分給別人。
T：可以再講詳細一點嗎？
M3：那個商不知道怎麼講。
個案M3從晤談中發現雖然知道除法算式的意義，但是因為不瞭解除法平分和 如何將商的意義呈現在題目上，以至於擬出「非題目」之錯誤類型。
綜合上述，中、低除法能力的學生對「÷」的意義、平分的概念並不清楚理 解，雖然知道算式中被除數、除數、商和餘數的位置，但是並不能完整解釋它們 所代表的意義。
本研究採用「除法概念測驗」及「數學擬題測驗」來探討四年級學生的除法 概念，從「除法概念測驗」結果發現，學生在整體試題的通過率達87.1％，顯示 出學生已具備相當之除法概念；然而，在上述之「數學擬題測驗」中，無論從量 的統計分析研究，甚至質的晤談分析研究來看，學生對於「運算符號錯誤」及「非 題目」的錯誤類型的比例達9.1％及7.6％。研究者認為學生已經習慣於「解題」
是一大主因，總是能夠盡其所能找出「答案」，所以當採用「擬題」的策略後，
學生只能將他們不甚瞭解的除法概念曝露出來，這也正是本研究想深入知道的。
三、不同題型、有無餘數及不同未知數位置擬題的晤談分析
（一）被除數的位數不同
在被除數位數不同的題型中，研究者在對學生的晤談中發現，十二位學生都 覺得二位數除以一位數比三位數除以一位數的算式簡單，其晤談資料綜合如下：
T：你覺得在出題目的時候，二位元數除以一位數和三位數除以一位數的算式，哪一種比較 簡單，哪一種比較困難？它們有什麼不同？
H1：二位數除以一位數。因為三位數除以一位數的被除數數字比較大，計算比較麻煩。
H2：二位數除以一位數比較簡單。三位數除以一位數的商會比較大。
H3：二位數除以一位數。它們的答案不一樣。
H3：二位數除以一位數。它們的答案不一樣。