國小四年級學生對除法概念與其
擬題策略之相關研究
中文摘要
本研究在探討國小四年級學生將除法之算式表徵轉換為文字表徵的數學擬 題能力，並透過擬題所呈現的錯誤類型，來瞭解學生除法概念發展的情形。本研 究以彰化縣某所國民小學 97 位學生為研究對象，以質量並行的方式分為兩階段 進行。第一階段採用自編的「除法概念測驗」及「數學擬題測驗」為研究工具， 以探討學生的除法概念及擬題能力，並分析學生所擬出之數學題目的錯誤類型。 第二階段則抽取 12 名學生，以「半結構性晤談」方式對於量的研究施以輔助， 了解學生擬題時的想法。 本研究結果如下： 一、擬題能力愈好的學生，其除法能力也就越好。 二、學生在「平分」及「包含除」的解題表現明顯較差，且高、中、低擬題能力 學生未能通過。 三、「未知數在商」與「未知數在餘數」的擬題能力顯著優於「未知數在除數」。 四、低擬題能力組學生比中擬題能力組學生所欠缺的除法概念是「除法算則」； 而中擬題能力組比高擬題能力組學生所欠缺的是「等分除」的概念。 五、在不同性別學生的「除法概念」及「擬題表現」，皆無顯著差異存在。 六、「運算符號錯誤」佔所有擬題錯誤類型的比例最高。 本研究根據研究結果加以討論，並提出若干建議作為教師教學及未來研究的 參考。 關鍵字：除法、擬題、錯誤類型A Study of the Relationships between Problem
Posing of Division Questions and Concepts of
Division in Fourth Graders
Yao-Jung Chiu
Abstract
The purpose of this study was to explore the fourth graders’ problem posing ability in translating the mathematical symbols of division into quantity representations, and understood the development of students’ concepts of division through the misconception patterns that the problem posing revealed. The sample of this study consisted of ninety-seven fourth graders selected from an elementary school in Changhua County. The data of the study were collected and analyzed by both quantitative and qualitative approaches. “Concept of the Division Test” and “Mathematical Problem Posing Test” designed by the researcher were adopted as tools to explore the students’ concepts of division and problem posing ability, and the misconception patterns that the problem posing revealed were analyzed as well. In addition, twelve representative students among the sample were selected to conduct semi-structural interview to get more understanding about their thought of posing problems.
The result of this study presented as follows:
1. The students who earned higher scores in problem posing have better performances in division.
2. The “bisection” and “quotative division” in students’ problem solving performances were significantly inferior to others. The high, middle and low problem posing ability groups failed the two sub-tests. 3. The ability in problem posing of “The unknown number is quotient” and “The unknown number is residue” was significantly superior to the “The unknown number is divisor”.
4. Compared to the middle problem posing ability group, students in low problem posing ability group lacked the concept of “ calculations ”. Compared to the high problem posing ability group, students in middle problem posing ability group lacked the concept of “partitive division”.
5. There were no significant differences between different genders about “concept of division” and “problem posing ability”.
6. The most part of misconception patterns of problem posing was “The equal sign is wrong”.
Based on the study results, some suggestions were made for teaching and study in the future.
目 錄
中文摘要……… I 英文摘要……… II 目錄……… IV 表目錄……… VI 圖目錄……… VIII 第一章 緒論 第一節 研究背景與動機……… 1 第二節 研究目的與問題……… 3 第三節 名詞釋義……… 4 第四節 研究範圍與限制……… 4 第二章 文獻探討 第一節 除法概念及除法問題相關研究……… 6 第二節 擬題的意義及相關研究……… 15 第三章 研究方法 第一節 研究架構……… 32 第二節 研究對象……… 32 第三節 研究設計與流程……… 33 第四節 研究工具……… 36 第五節 資料分析……… 42 第六節 正式施測……… 43 第四章 研究結果與討論 第一節 「除法概念測驗」結果分析……… 51第二節 「數學擬題測驗」結果分析……… 55 第三節 擬題能力與除法概念之相關分析……… 61 第四節 學生擬題類型及錯誤類型分析……… 68 第五章 結論與建議 第一節 結論……… 89 第二節 建議……… 91 參考文獻 中文部分……… 94 英文部分……… 98 附錄 附錄一 除法概念測驗（預試版）……… 102 附錄二 數學擬題測驗（預試版）……… 107 附錄三 除法概念測驗（正式版）……… 111 附錄四 數學擬題測驗（正式版）……… 116 附錄五 除法概念測驗說明……… 120 附錄六 數學擬題測驗說明 ……… 121 附錄七 除法概念測驗雙向細目表（預試）……… 122 附錄八 數學擬題測驗題目類型（預試）……… 123
表目錄
表 2-1-1 乘除情境的結構分析……… 9 表 2-1-2 Greer（1992）除法問題情境……… 11 表 2-1-3 九年一貫有關除法的能力指標……… 13 表 2-2-1 Reitman 四種問題結構……… 17 表 2-2-2 擬題評量的分類……… 20 表 2-2-3 擬題類型分類及例子……… 21 表 3-2-1 研究樣本人數分配表……… 33 表 3-4-1 除法概念測驗預試樣本人數分配表……… 36 表 3-4-2 除法概念測驗樣本統計分析表（預試）……… 37 表 3-4-3 除法概念測驗雙向細目表（正式施測）……… 38 表 3-4-4 數學擬題測驗計分法……… 39 表 3-4-5 數學擬題測驗預試樣本人數分配表……… 40 表 3-4-6 數學擬題測驗樣本統計分析表（預試）……… 40 表 3-4-7 數學擬題測驗題目類型（正式施測）……… 41 表 3-6-1 除法概念測驗難度分析表……… 45 表 3-6-2 數學擬題測驗難度分析表……… 46 表 3-6-3 除法概念測驗鑑別度分析表……… 48 表 3-6-4 數學擬題測驗鑑別度分析表……… 49 表 4-4-1 「除法概念測驗」平均數、標準差與通過率……… 52 表 4-1-2 不同除法概念之變異數分析摘要表……… 53 表 4-1-3 不同除法概念之事後比較摘要表……… 54 表 4-1-4 不同性別學生除法概念平均數、標準差及獨立樣本 t 檢定… 55 表 4-2-1 「數學擬題測驗」平均數與標準差……… 56 表 4-2-2 各擬題題目之變異數分析摘要表……… 57 表 4-2-3 各擬題題目之事後比較摘要表……… 57表 4-2-4 「數學擬題測驗」成功與缺失擬題率……… 58 表 4-2-5 有無餘數的擬題之變異數分析摘要表……… 58 表 4-2-6 不同未知數位置擬題之平均數與標準差……… 59 表 4-2-7 不同未知數位置擬題之變異數分析摘要表……… 59 表 4-2-8 不同未知數位置擬題之事後比較摘要表……… 60 表 4-2-9 不同性別學生的擬題平均數、標準差及獨立樣本 t 檢定…… 61 表 4-3-1 除法概念與擬題能力之 Pearson 積差相關……… 62 表 4-3-2 不同擬題能力學生之除法概念平均數與標準差……… 63 表 4-3-3 不同擬題能力學生之除法概念通過情形……… 64 表 4-3-4 通過各除法概念學生之擬題能力……… 64 表 4-3-5 不同擬題能力與不同除法概念之二因子變異數分析摘要表 65 表 4-3-6 不同除法能力學生之擬題的平均數與標準差……… 66 表 4-3-7 不同除法能力與有無餘數擬題之二因子變異數分析摘要表 67 表 4-3-8 不同除法能力與不同未知數位置擬題之二因子變異數分析 摘要表……… 67 表 4-3-9 迴歸模式之變異數分析摘要表……… 68 表 4-4-1 數學擬題測驗各類型統計表……… 74
圖目錄
圖 2-2-1 擬題答案分析之流程圖………20 圖 2-2-2 擬題和解題關係圖………22 圖 3-1-1 研究架構圖………32 圖 3-3-1 研究流程圖………35 圖 4-4-1 學生擬題（一）………69 圖 4-4-2 學生擬題（二）………69 圖 4-4-3 學生擬題（三）………70 圖 4-4-4 學生擬題（四）………70 圖 4-4-5 學生擬題（五）………70 圖 4-4-6 學生擬題（六）………71 圖 4-4-7 學生擬題（七）………71 圖 4-4-8 學生擬題（八）………71 圖 4-4-9 學生擬題（九）………72 圖 4-4-10 學生擬題（十）………72 圖 4-4-11 學生擬題（十一）………72 圖 4-4-12 學生擬題（十二）………73 圖 4-4-13 學生擬題（十三）………73 圖 4-4-14 學生擬題（十四）………73 圖 4-4-15 學生擬題（H3-P6）………75 圖 4-4-16 學生擬題（H3-P7）………75 圖 4-4-17 學生擬題（M1-P8）………..77圖 4-4-18 學生擬題（L4-P1）………78 圖 4-4-19 學生擬題（L4-P2）………78 圖 4-4-20 學生擬題（L3-P5）………79 圖 4-4-21 學生擬題（L2-P7）………81 圖 4-4-22 學生擬題（L1-P4）……… 82 圖 4-4-23 學生擬題（M3-P3）………83
第一章 緒論
第一節 研究背景與動機
在國小的課程中，培養學生問題解決的能力是數學教育的重要目標。美國數 學教師協會(National Council Teachers of Mathematices，簡稱NCTM)在1989 年出版的「數學課程與評鑑標準」(Curriculum and evaluation standards for school mathematics)書中，明白指出應該讓學生認識數學的價值和功用，有意 義的學習數學，並且應該培養學生數學解題能力，有能力使用所學的數學知識和 計算能力去解決身邊所遇到的問題，成為數學的解題者。 「解題」一直是數學教育上的一個重要課題，更被數學教育學家們認為是學 習的重點（Silver,1985）。解題是數學教育學家們不斷研究的一個重要方向（梁 淑坤，1997）。目前培養學生問題解決的能力通常以應用問題(word problem)的 形式呈現。應用問題在教學上佔了相當重要的份量，但學生有好的計算能力並不 能保證在應用問題上有良好表現。因為，應用問題的解題常需要結合理解與計算 兩種能力。學生遇到應用問題時，首先必須理解問題的陳述，然後回憶或激發出 相關問題的數學知識，並試著建構出能表徵此問題的算式，最後再運算此算式而 求出結果(唐淑華，1989)。 然而，長久以來，為了表示教學成功，應用問題在課堂上的教學方式，幾乎 都是先由教師進行例題的說明講解，學生再模仿解類題。教師把可能出現的題型 敎給學生，並將數字稍做變化，強調反覆計算練習能力，而忽略了學生是否真的 理解問題或是算式的意義。許多學生在解應用問題時僅機械式的套用公式，雖然 能順利解題，但「算式」對其而言卻是不具有意義的(Lesh, Post & Behr,1989)， 或是由題目表面數字著手而未經思考題目的深層意義(楊惠如，2000)。在劉湘 川、許天維和林原宏(1996)針對國小高年級學生乘除法問題解題策略及理解層次
之分析研究中，學生在解數學應用問題時，似乎已公式化、策略化，未深入瞭解 題意，幾乎可以不須看文字敘述，將題目中的數字拼拼湊湊，再加上運算符號， 就算完成解題。
相關的文獻指出，欲瞭解及培養學生的解題能力，可從「算式」到「應用問 題」擬題的反向表徵觀察之，常可獲得另類的不同結果。數學家Polya（1945） 強調「擬題（problem posing）和解題（problem solving）是相連性的活動（Brown & Walter,1983）。」教師應該使學生主動去擬題，美國數學教師協會倡導若想 培養學生有自學的數學家精神，擬題這啟發性活動是數學課程之不可缺少的活動 （NCTM,1989;1991），在其課程標準裡也建議應讓學生在問題情節中探索和形成 問題（NCTM,1989）以及在專業發展標準裡建議製造機會讓學生自行形成問題並 按問題之條件修正為新的題目（NCTM,1991），最後在評量標準裡也建議「從學 生自行擬題中瞭解學生的能力」（NCTM,1995）。Silver , Winograd ＆Strohauer （1992）等人也認為學生利用數學知識和技能去建構題目是有意義的，學生比較 不喜歡課本中的題目或是由教師佈題，他們會期待且重視由自己來擬題。 在我國九年一貫數學課程中也提到期望學生「發展形成數學問題與解決數學 問題的能力」（教育部，2000）。此外，甯自強（1993）指出學生若能自己發展 出符合某「算式」的問題情境，表示他們已經清楚算式中數字及符號的意義與關 係。因此，學生若能經由擬題的方式自己發展出一個數學題目，則算式對其而言 應該是有意義的，教師也可以從學生所擬的題目中瞭解學生的觀念是否理解，來 掌握學生的學習狀態。而Lesh（1979）也提到學生若能以多重表徵型式代表一個 相同的數學概念，並能在不同的表徵型式中自由的轉譯，就表示其已瞭解數學概 念的意義了。 另一方面，「數與計算」在數學領域的五大主題中，扮演著基本且重要的一 環。而在能力指標第一階段（一至三年級）中「能用具體分的活動，理解除法意 義並解決生活中有關除法的問題」（教育部，2003），讓我們瞭解到已學完三年
級的學童應該具備除法的意義及解決除法問題能力。但此時期的學童是否對除法 概念具有清楚有效的學習呢？由游麗卿（1999）在連續三年對二至四年級學童的 觀察研究中，發現許多學童會成功的模仿除法的算式解題，但卻不一定會正確說 明算式的真正含義。 研究者任教於國小多年，觀察學童數學表現中發現到：中年級學童的除法基 礎學習對日後學習整數的因式分解；分數、小數及時間的化聚上皆有相當深遠的 影響，因此，理解除法意義並解決生活中有關除法的問題是相當重要的。另外， 也發現學生在面對除法問題時，皆已能利用除法直式運算解題，但在詢問學生的 除法直式意義時，卻不能完整表達直式記錄的意義，只知道利用除法直式運算便 能得到答案，常常看到學生對於除法問題產生極大的困惑，為了想幫助學生更有 效、成功的學習除法概念，本研究以剛升上四年級的學生為對象，探討學生在不 同情境的除法問題的擬題策略，來進行國小四年級學生對除法概念理解情形的研 究，以期能提供作為在國小數學教育上之參考。
第二節 研究目的與問題
一、研究目的
本研究主要在探討國小四年級學生依研究者所指定的算式表徵轉換為文字 表徵的數學擬題能力，並透過擬題所呈現的錯誤類型，來瞭解學生除法概念的發 展情形。本研究的目的如下： （一）分析學生在除法概念測驗中，除法概念的表現情形。 （二）分析學生在數學擬題測驗中，擬題能力之表現情形。 （三）探討學生的擬題能力和除法概念之相關結果。 （四）分析學生擬題結果之錯誤類型。二、待答問題
基於上述的研究目的，本研究將針對以下四個問題進行探討： （一）學生在除法概念測驗中之表現情形如何？ （二）學生在數學擬題測驗中之擬題能力表現如何？ （三）學生的擬題能力和除法概念是否相關？ （四）學生擬題所產生的擬題類型為何？
第三節 名詞釋義
一、除法（division）
除法是指「讓學生進行分的活動，引導至用形式化的除式表示之，讓學生瞭 解分的意義」（82年課程標準）。本研究之主要目的，在於探討學生將除法問題 的算式表徵轉換為文字表徵的數學擬題能力。二、擬題（problem posing）
擬題是學生用自己的想法想一個數學題目來(梁淑坤，1994)。學生在瞭解題 目所給予的訊息後，根據個人所具備的數學知識、生活經驗和思想角度所想出的 數學題目。本研究之擬題，是請學生依據研究者所指定的類型：算式類，在沒有 借助他人的幫忙並給予充分的時間下，而發展出相對應於指定類型的數學題目。三、錯誤類型（misconception pattern）
透過錯誤類型的分析可以瞭解學生錯誤產生的原因，將有助於協助學生進行 學習。張新仁（1992）在數學教學研究上，分析學生數學的「迷思概念」或計算 過程的「錯誤類型」，被視為數學診斷教學及補教教學的可行方法之ㄧ。本研究 之錯誤類型，是指學生經由「數學擬題測驗」所產生的錯誤情形之分類，再輔以 半結構性晤談進行錯誤分析。第四節 研究範圍與限制
本研究將探討國小四年級學生對除法問題之擬題能力，以及學生除法概念的 分析，並希望研究結果可以提供數學教育者與課程設計者對於除法課程的參考， 進而讓學生能真正瞭解除法概念。本研究採量的研究並輔以質的分析，使用計量 的方法是為了瞭解學生群體的表現，提供對於整體趨勢的掌握；而擬題錯誤類型 的分析是為了使計量研究的意義得以顯現，並能發現學生在擬題過程中對除法概 念的迷思概念。 但由於研究者本身的人力與物力有限，本研究在推論對象、研究工具、研究 變項與研究方法上有若干的限制，若要將本研究的結果推論到研究範圍以外的材 料與情境時必須謹慎。茲說明如下：一、研究範圍的限制
本研究之樣本來自彰化縣某國民小學四年級學生，共三個班級，在取樣上因 僅來自彰化縣，且未考慮到人文及地形因素。因此，所得結果僅供類似地區的學 校參考。二、研究工具的限制
本研究的除法擬題設計僅參考施測學校所用的數學教科書版本，所以本研究 結果不宜過度推論。三、研究方法的限制
本研究在質的研究方面採用「半結構性晤談」，研究國小四年級學生在經由 數學擬題測驗所產生之錯誤類型。但學生在擬題的歷程中所發生的思考是很複雜 的，如何能更清楚的瞭解學生內心的概念，將有待更多的研究來努力與克服。第二章
文獻探討
本研究旨在探討國小四年級學生對除法問題之擬題能力，透過擬題所呈現的 錯誤類型，來瞭解學生除法概念的發展情形。本章將探討與本研究相關的文獻， 共分二節，第一節為除法的概念及除法問題相關研究；第二節為擬題的意義及相 關研究。第一節 除法概念及除法問題相關研究
一、 除法知識的形成
Gagne（1993）認為人類知識的表徵有兩種，一種是概念性知識，概念性知 識表徵的是一般事實性的知識、理論和事物，以及這些知識的功能和含意，概念 性知識通常屬於語文知識，是比較靜態的。另外一種程序性知識則通常是比較動 態的，它是指個體在特殊情境下所使用的算則，或一系列的步驟。程序性知識比 較不容易學習，但是一旦達到自動化就不容易修正。程序性知識表徵人類產生行 為的知識，大多指的是如何從事某事的知識，包含心理機能、認知技能與認知策 略，通常涉及執行某事的一連串動作或步驟。 概念性和程序性知識雖然有不同之處，兩者卻有所關聯。例如解除法問題 時，解除法的概念性知識和程序性知識倚賴除法、乘法、減法的概念性知識的資 源。除法概念性知識也在程序性知識不斷的執行中逐漸發展。Hiebert & Lefevre（1986）整理有關數學能力發展的研究，歸納出概念性 和程序性知識間關係的發展。在學齡前，概念性知識和程序性知識的關係幾乎是 密不可分，而在學齡期，一般教學重心放在程序性知識上，所以到了三、四年級， 學童學了許多符號的運算規則，他們對這些符號規則的運算限制較清楚，而非規 則所隱含的概念意義。Hiebert & Lefevre認為概念性知識和程序性知識兩者在 互動中同時發展，要穩定發展數學概念應該在概念性和程序性知識上建立良好連
結。若概念性和程序性知識兩者之ㄧ有所不足，或者兩者知識都已具備，但卻各 自分離沒有關聯，就會造成學童只會在非常類似於學習時的脈絡中運用數學知 識，無法類推到其他情境解決新的問題，或不知道為什麼執行某個程式。 概 念性知識在除法問題中是指數字和符號所表徵的意義，而程序性知識是指學童在 解題活動時所用的算則（例如以除法直式解題）。而Greer（1989）認為重計算 而輕概念的教學使本來學習除法就有困難的學生更糟糕。
Hiebert & Wearne（1986）認為在解題過程中有三個連結概念性知識和程序 性知識的重要位置：符號的解釋、程序的執行、解題的評估。學童透過問題中數 學符號與指示物互相連結而賦予意義，選擇程式（算則）來解決問題。進而連結 概念與程序才能獲得答案，不僅能檢查答案的正確性，也能檢查其合理性。 綜合上述可知學童在學習數學時，連結概念性知識與程序性知識的重要。兒 童在學習除法時，可先由具體物的操作中，對應數字所代表的意義（概念性知識） 與符號「÷」（程序性知識）所代表的平分意義（概念性知識）來增進學童對除 法的正確概念。然後，加強學童對於除法算則的瞭解，瞭解算則中被除數、除數、 商及餘數的意義（概念性知識），進而正確使用除法算則－除法算式填充題、除 法直式（程序性知識）來表徵除法問題。最後，在解文字題過程中的首要工作便 是將問題轉譯成自己內在表徵（概念性知識），擬定解題計畫，再正確執行算數 與運算式（程序性知識），進而達到解題的目的。
二、 除法概念的發展
甯自強(1993)曾研究七歲幼稚園大班學童塗景翰，發現此學童運用逐一分配 的方式成功具體進行等分活動。而研究另一位七歲國小一年級學童顏淑茹的數概 念，發現在總量小於10 時，學童能以手指算出正確的答數，但是在總量大於10 時，學童解決等分除問題也未必使用逐一分配的具體活動。此學童以具體物解題 時，由整個原案來看，她並未察覺逐一分配策略是有效的解決等分除問題的方式，可看出學童企圖猜測答案，剛開始採用包含除的方式進行解題，後來學童失 誤的嘗試各種方式，基於對等分的預期，使學童進行逐步的調整比較，最後獲致 結果。
研究學童平分概念的報告(Hunting & Sharpley, 1988；Miller, 1984； Clements & Lean, 1988)一致呈現出，二年級以前的兒童具處理平分離散個物的 能力。此時的處理是指，循環著分配離散個物到每一個位置，且每一回合中，每 一個位置分配到同多的個物，直到沒有剩下為止。最簡單的形式是一次分一個， 這樣每一個都是一種一對一的例子（一個位置分一個）。 楊瑞智（1997）研究二年級17位學童對於「平分餅乾」的概念指出：大多數 二年級的學童無法根據處理平分本身的程序上，就足夠確認是「平分」了。即當 問及：「你怎麼知道他們分到一樣多的問題時，兒童們分到的是一樣多？」時， 大多數的二年級兒童表示，分完後每一堆都要數一數才能知道是否一樣多；如果 沒有數過，無法決定這樣分是否公平。因此，學童在進入小學之前就具有解決除 法問題的經驗，這些經驗主要來自「平分東西」的處理，但在發展到二年級時仍 無法由分的過程中即確認是否等分。
三、 除法問題的相關研究
在除法問題的研究取向上，大多專注於探討問題之整體因素，可分為問題結 構的取向和問題轉換成數學式子的取向： （一）問題結構的取向 1.問題結構的重要性 在1980以前年代的研究重心是探討解題工作變項(task variable)，研究均 偏重於問題的表面特質及數學結構，諸如題目的字數、問句的位置及關鍵字或線 索字等。 2.各類型乘除問題的結構分析因為除法程序性知識包含乘法的概念性和程序性知識，以下所搜集的文獻包 含乘除的文獻，因為除法程序性知識包含乘法的概念性知識，另一方面歷年來研 究學者雖有只探究除法知識的，但是大多數學者兼看乘和除兩種知識(Bell et al, 1984；林碧珍，1991；林原宏，1994)，故分別列出四種乘除情境的結構分析： (1)Vergnuad(1988, 1994)從「測度空間與維度」的觀點對乘除問題進行的分析。 (2)Schwartz(1981)從「量所指示之意義」的觀點對乘除情境來分析。 (3)Nesher(1988)從「邏輯的命題結構」觀點對乘除問題所進行的分析。 (4)Greer(1987, 1992, 1994)從「不同數值型態」對乘除問題的分析。 (5)Usiskin & Bell(1983)是採「乘法應用」的觀點對乘除法問題進行分析。 整理結果如表2-1-1：
表2-1-1 乘除情境的結構分析
Vergnuad Schwartz Nesher Greer Usiskin & Bell 映射規則 等組問題 量數同構 (I，E，E’) 乘法比較問題 比較問題 比例因數型相同 集合 量數叉積 (E，E’，E”) 卡氏積 矩形面 積、陣列 多重比例 (I，I’，I”) 卡氏積 交叉運作 (S，E，E’) 大小改變 Greer(1987, 1992, 1994) 從不同數值型態對乘除問題的分析，他主要的興 趣在探討如何使得學生的整數乘除概念得以擴展至有理數，他的觀點源自於對學 生乘除運算之迷失概念的研究，在學生乘除運算的迷失概念研究中，數值型態是 造成學生困難的主要原因。所以，如何使學生能超越數值的影響成為其研究的中 心論題。 Greer(1994)指出對於任何數學概念而言，概念的建構最早是起源於具體的 活動，此時概念透過具體活動而與實體 (reality)產生直接連結，而隨著概念的 發展，概念的意義逐步與外在真實世界脫離，最後，數學被視為一種形式與演繹 的系統。所以在乘除概念的發展上，當乘法概念逐漸由整數擴展到有理數時，數
學結構與真實情境的關係逐漸缺少關連，使得學生在解決有理數乘除問題時，直 覺上，仍使用在整數所建構的解題策略，因而引發錯誤。 Greer(1992, 1994)提出模式化(modeling)的觀點，其目的是為了連結真實 世界與數學結構之間的意義上。「模式化」係指透過運算將情境予以塑造成為模 式的過程(Greer, 1994)。就乘除法情境模式化而言，是指學生在乘除情境中建 構乘除運算時，將情境進一步予以模式化，並將情境區分成各類型問題。當乘除 情境中所涉及的數值由整數擴展到有理數時，學童需透過運算的不變性，以便擴 展在整數情境中所建立的模式。 根據上述，為促使學童在乘除情境中所建構的模型的有效性，提供學童多樣 的乘除情境，是一種可行的方式。基於此，Greer(1992)將整數乘除問題情境分 為四類：(1)等組問題(2)乘法比較性問題(3)卡氏積問題(4)矩形面積/陣列問 題。其中卡氏積問題對中年級學童而言是屬於比較抽象的思考，在課程中也極少 佈題，所以在本研究的除法概念測驗中刪除，如表2-1-2： （1）等組問題(equal groups) 等組問題是指由一群內含有相同個數之物體的集合所構成的情境，在此之下 又可分為離散量及連續量兩種情境問題，在單位量未知及單位數未知又可分為包 含除及等分除問題，所以在等組問題之下可以有以下四種分類方式： ①離散量等分除問題：如琪琪到草苺園採了28個草莓，想要平分給4人，最多 每人得到幾個草莓？ ②離散量包含除問題：如今天是嚕嚕米的生日，嚕嚕米媽媽做了73個蛋塔，6 個裝一盤，最多可以裝幾盤？還剩下幾個？ ③連續量等分除問題：如一張紙條長99公分，等分成9小段，每小段長多少公 分？ ④連續量包含除問題：如一條繩子長36公尺，等分剪成幾小段後，每一小段會 是2公尺？
表2-1-2 Greer(1992)除法問題情境 類型 等分除 包含除 能 整 除 B1.琪琪到草苺園採了28個草 莓，想要平分給4人，最多 每人得到幾個草莓？ B2.旺旺水果行進貨了40個 梨子，想分裝成每盒8 個，最多能裝幾盒？ 離散量問題 不 能 整 除 B3.情人節到了，兩津到花店 買了55朵玫瑰花，送給3 位同事，每人最多可以得 到幾朵？還剩下幾朵？ B4.今天是嚕嚕米的生日， 嚕嚕米媽媽做了73個蛋 塔，6個裝一盤，最多可 以裝幾盤？還剩下幾 個？ 能 整 除 B5.一張紙條長99公分，等分 成9小段，每小段長多少公 分？ B6.一條繩子長36公尺，最 多可以剪成幾小段，每一 小段的長是2公尺？ 等 組 問 題 連續量問題 不 能 整 除 B7.做勞作時，老師把一條長 82公分的彩帶，平分給6 位小朋友，每人最多分得 幾公分？還剩下幾公分？ B8.奶奶做滷味，把一條長 57公分的海帶，分成每 段5公分，最多可以分成 幾段？還剩下幾公分？ 乘法比較性問題 B9.大雄和靜香喜歡收集凱蒂 貓的磁鐵，大雄收集了7 個，靜香有42個，靜香的 磁鐵是大雄的幾倍？ B10.大機器人走1步是63公 分，大機器人走1步是 小機器人的9倍，小機 器人走1步是多少公 分？ B11.全校672人排成隊伍，已知全部共有8列，請問每列有 幾人？ 陣列/矩形面積問題 B12.一個長方形面積是128平方公分，長4公分，則寬是多 少公分？ (2)比較型問題（multiplicative comparision） 為兩個集合的比較，比較集合元素對應到參考集合元素為多少之對應關係常 以「N倍是多少？」。比較型問題牽涉到兩個量，比較量和基準量，由倍數未知 和基準量未知區分包含除問題及等分除問題。 ①比較型等分除問題：如大雄和靜香喜歡收集凱蒂貓的磁鐵，大雄收集了7個， 靜香有42個，靜香的磁鐵是大雄的幾倍？ ②比較型包含除問題：如大機器人走1步是63公分，大機器人走1步是小機器人
的9倍，小機器人走1步是多少公分？ (3)陣列（矩形面積）問題（rectangular area） 當物件呈方陣排列時，其計算方法類比為長方形面積的演算法，由已知總面 積求長與已知總面積求寬方法類似。 ① 如全校672人排成隊伍，已知全部共有8列，請問每列有幾人？ ②如一個長方形面積是128平方公分，長4公分，則寬是多少公分？ Greer提出以運算來塑造各種情境的模型，而非為運算提供模型，他認為這 樣的觀點可以讓兒童能夠把情境數學化，並瞭解在連結真實世界和數學結構之塑 型過程中的本質，這樣的觀點也可擴展到分數和小數。希望經由提供學生各式各 樣的情境，讓學生由分析各種情境中來塑型，使得運算得以擴展，所以不只對情 境加以分類，也考慮到不同的數值型態，較符合學生的觀點。但將有理數的產生 看成純粹的數學運作，忽略對進行此運作的認知考慮，所以唯有從乘除運算的不 變性，來解決乘除概念擴展到有理數的問題。 (二)問題轉換成數學式子的取向 在探討如何將題目之文字敘述轉換成數學式子，問題之難度是轉換步驟之多 寡與難易來決定。Greer(1987)提到兒童對文字題選擇運算的依據是： 1.找出數字相加。 2.亂猜運算符號。 3.決定答案的大小，變大則用加法和乘法，變小則用減法和除法。 4.找出關鍵字再選擇運算。 5.觀察數字是否接近，如果兩數相近，則用加法或減法，如果兩數相差較大，則 用除法。 綜合上述，由於本研究對像是四年級學童，因年齡、經驗、理解能力之限制， 以除法問題的情境來考量較為適當，所以本研究參考Greer所分類的情境模式， 將除法問題分為1、等組問題；2、比較問題；3、矩形面積問題。其中等組問題
再細分為離散量和連續量二種問題。
四、 數學除法教材分析
國中小學課程歷經八十二年版的新課程改革後，教材開始重視數學問題的理 解，強調數學教育的目標在於「輔導兒童從日常生活經驗中，獲得有關數學的知 識，進而培養有效運用數學方法，以解決實際問題的態度及能力」（教育部， 1993）。而九年一貫課程設計主張應以學生為主體，以生活經驗為重心。 九十二年十一月十四日公佈的九年一貫課程正式綱要中，將數學領域的能力 指標分為五大主題：一、數與量；二、圖形與空間；三、統計與機率；四、代數； 五、連結。茲將與除法有相關之能力指標列出，如表2-1-3： 表2-1-3 九年一貫有關於除法之能力指標 能力指標 年級 N、數與量 A、代數 C、連結 分年細目 二 三 N-1-04 能理解除法 的意義，解決生活中 的問題，並理解整 除、商與餘數的概 念。 N-1-05 能用具體分 的活動，理解除法意 義並解決生活中有 關除法的問題。 N-1-07 能理解乘除 直式計算，熟練較小 位數的乘除直式計 算。 N-1-08 能在具體情 境中，解決簡單兩步 驟問題。（加、減與 除，不含併式）。 A-1-02 能將具體情 境中的單步驟問題 列成算式填充題，並 解釋式子與原問題 情境的關係。 A-1-05 能在具體情 境中，認識乘除互 逆。 ◎察覺 C-R-1 能察覺生活 中與數學相關的情 境。 C-R-2 察覺數學與 其他領域的關聯。 ◎轉換 C-T-1 能分析出情 境中相關的數量形。 C-T-2 能把情境中 數量形之關係以數 學語言表示。 C-T-4 能把待解的 問題轉化成數學的 問題。 2-n-04 2-n-07 3-n-04 3-n-05 3-n-06 3-a-01 3-a-02能力指標 年級 N、數與量 A、代數 C、連結 分年細目 四 五 N-2-02 能熟練整數 加、減、乘、除的直 式計算。 N-2-03 能熟練整數 四則混合運算，並解 決生活中的問題。 A-2-01 能在具體情 境中，理解乘法結合 律、乘法對加法的分 配律與其他乘除混 合計算之性質，並運 用於簡化計算。 A-2-02 能理解乘除 互逆，並運用於驗算 與解題。 A-2-03 能解決用未 知數符號列出之單 步驟算式填充題。 4-n-02 4-n-03 4-n-04 4-a-01 4-a-02 4-a-03 5-n-01 5-n-02 5-a-02 5-a-03 六 N-3-14 能理解生活 中常用的數量關 係，並恰當運用於解 釋問題或將問題列 成算式。 A-3-03 能用x、y、… 等符號表徵生活中 的未知量及變量。 A-3-04 能用含未知 數的等式或不等 式，表示具體情境中 的問題，並解釋算式 與原問題情境的關 係。 A-3-06 能發展策 略，解決含未知數之 算式題，並驗算其解 的合理性。 ◎解題 C-S-2 能選擇使用 合適的數學表徵。 C-S-3 能熟悉解題 的歷程：觀察、推 演。 C-S-4 能運用解題 的各種方法：推論。 C-S-5 瞭解一數學 問題可有不同的解 法，並能嘗試不同的 解法。 ◎溝通 C-C-1 瞭解數學語 言（符號、用語、圖 表、非形式化演繹 等）的內涵。 C-C-5 用數學語言 呈現解題過程。 C-C-6 用一般語言 及數學語言說明解 題的過程。 C-C-8 能尊重他人 解決數學問題的多 元想法。 ◎評析 C-E-1 能用解題的 結果闡釋原來的情 境。 C-E-3 能闡釋及審 視情境，能重新評估 原來的轉化是否得 宜，並做必要的調 整。 6-n-10 6-a-02
以上所列舉的能力指標包括了「數與量」主題中的數與計算（除法）及「代 數」（算式填充題），這些都是屬於數學知識的培養，而「連結」則貫穿了生活 及其它領域中數學問題的察覺、轉換、解題、溝通、評析諸能力（教育部，2003）。 本研究主要是想藉擬題的策略來分析四年級學生除法概念，因此「除法概念 測驗」的題目將以學生學過的概念為主，不特意刁難學生。
第二節 擬題的意義及相關研究
本節分成七個部份來探討擬題的意義及相關研究：首先探討擬題的意義；其 次分析擬題的特徵；再者探討擬題的類型；接下來介紹擬題的評量；之後剖析擬 題與解題；以及擬題在數學教育上的重要性；最後簡述擬題的相關研究。一、 擬題的意義
近年來，擬題教學與研究已經引起許多數學教育學者的注意（梁淑坤，1993； Silver & Cai, 1993；Borba, 1994；Schloemer, 1994；Leung & Silver, 1997）。 美國數學教師協會(National Council Teachers of Mathematices，簡稱NCTM) 在1989年出版的「數學課程與評鑑標準」中也提及加設擬題於課程中；另外，也 有許多國家也先後對擬題的研究和課程發展有所實施。擬題的重要性由此可見一 斑，所以，陸續有許多學者以不同的角度提出對擬題的定義。 國內學者梁淑坤（1994）對擬題所下的定義是：「自己想出一個數學題目來」， 在擬題的過程中，擬題者會用自己的數學知識和生活經驗把情境、人物、事件、 數字、圖形等建立關係並組織起來，擬出一個數學題目；而國外學者Dillon（1982） 則認為擬題是解題之後，尋找題目的過程；Silver（1994）將擬題定義為：擬題 是包括產生新的問題，給一個情境產生問題和在解題的課程中形成問題；Stovanova and Ellerton（1996）將擬題定義為：依據數學經驗的基礎，學生建 構及創造有意義的數學題目，是一個屬於個人化的過程。徐文鈺（1996）稱擬題
為一種主動的建構、運用認知基模處理訊息的活動。楊惠如（2000）亦認為擬題 是學習者根據自己所學的數學經驗，創造一個屬於個人化的數學題目。 綜合上述國內外幾位學者對擬題所下的定義，在本研究中，我們可以將擬題 定義為學生根據自己的數學知識和生活經驗，透過表徵的轉換，創造一個屬於個 人化的數學題目。這個題目是粗糙且沒有經過修飾，可能是學生一時的靈感，亦 可能是突發的想法或猜想，但正因為如此，研究人員亦可從擬題中瞭解學生所學 到的數學知識。
二、 擬題的特徵
根據擬題的定義，我們可以知道：在擬題過程中，擬題者會用自己的數學知 識和生活經驗把情境、人物、事件、數字、圖形等建立關係並組織起來，擬出一 個數學題目，所以擬題行為的特徵可能含有個人化、猜想及可信推理、解題之連 接和題目粗糙性四項特徵（梁淑坤，1994）。 （一）組織的方法是屬於個人的（idiosyncratic） 個人化的組織是擬題活動中最明顯的特徵，擬題者往往會根據自己的生活經 驗、文化背景、數學知識…等，呈現出個人的擬題特性。 （二）過程中包括猜想及可信推理（plausible reasoning） 擬題過程不論是小組合作或是個人獨力完成可能都會充滿擬題者的猜想與 可信推理，擬題者會常常猜想所想出的題目是否合理，是否符合給定的條件，並 且可能也會嘗試去評估題目的答案。（三）擬題是可能發生在解題前、解題中，以及解題之後的（before, during, and after problem solving）。
（四）擬題者（學生）由於經驗不足，其所想出來的題目可能是粗糙的
（primitive）、不完整的（incomplete），甚至是不可行（implausible） 或是欠缺足夠的解題資訊（insufficient）。
綜合上述，學生的擬題內容可能是他個人具備的數學知識與生活經驗之外， 更包括了個人的想像與推理，擬題活動可在解題前、解題中，以及解題後進行， 而擬題所擬的題目，因為是短時間內想出來的數學題目，沒有經過修飾，可能是 腦袋中一時的靈感，亦可能是突發的想法或猜想，並沒有經過深思熟慮，所以擬 出來的題目會出現條件不足或不夠完整的現象。
三、 擬題的類型
擬題者的擬題類型式有很多種的分類方式，不同的學者有不同的分類，以下 就各學者的分類方式加以敘述： （一）Reitman的題目結構分類方式 Reitman（1965）將題目分類成「已知」已定義清楚或未定義清楚，以及「目 標」已定義清楚或未定義清楚，總共有四種不同的型式。如表2-2-1所示： 表2-2-1 Reitman四種問題結構 已知（Given） 目標（Goal） 第一種 已定義清楚 已定義清楚 第二種 已定義清楚 未定義清楚 第三種 未定義清楚 已定義清楚 第四種 未定義清楚 未定義清楚 Reitman將上述的題目分為結構題（well-structured）和非結構題 （ill-structured），若是一個題目能夠具有清楚的物件、運算元素及目標，就 可以稱為結構題。在Reitman的問題情況中，只有第一種情況稱為結構題，而其 他的三種情況為非結構題。 （二）坪田耕三的擬題類型 日本教師坪田耕三（1987）提出七種擬題類型： 第一種是模仿法或類題法： 指學習某個問題後，擬出和此題同類型的題目。第二種是算式法：先將公式列出 來，再擬出適用此公式的問題來。第三種是原理法：給予四則運演算法和通分等 原理，做出和此相對應的題目來。第四種是訂正法：出一個題目，其中故意漏掉必要的條件，或是給予其他不必要的條件，或做出矛盾而訂正的方法。第五種是 實驗法：實驗或以具體的東西操作，再以此實驗為基礎來擬題。第六種是自由法： 以自由的題材，做成自由形式的問題。第七種是題材法：依據給定的主題來擬題。 （三）Silver的擬題類型 Silver（1995）認為擬題可以分為兩種類型，第一種是由已給定的題目中， 再產生新的題目。第二種則由情境或經驗中創造一個新的數學題目。
（四）Stovanova & Ellerton的擬題類型
Stovanova & Ellerton（1996）則將擬題分成三種情境：第一種結構 （structured）的情境：擬題者可以利用現有的題目加以改變。第二種半結構 （semi-structured）的情境：學生利用先前的數學知識、技巧、概念以及關係 連結，完成一個完整結構的問題。第三種自由（free）的情境：讓學生在一個給 定的自然情境下自由發揮。 （五）梁淑坤的擬題類型 國內學者梁淑坤（1997）將擬題類型分為六種，包括算式類：就是教師給定 一個算式，學生依據這個算式而擬出題目。文字類：先呈現一段文字的敘述，然 後由學生依據文字敘述所給定的條件擬出一個題目。圖表類：給一個圖表，請學 生依據圖表擬出題目。解法類：規定一種擬題的運算方式，由學生依規定條件擬 出文字題。答案類：給定一個答案或一組計算過程，要求學生擬出題目。題目類： 給定一個題目，要求學生先解出此題目，然後再擬出另外一個題目來。 （六）其他學者所提出的擬題方式 1.寫問題(problem writing)：只要求學生以教師提供的算式寫出相對應的數學 文字題，即寫出數學題目(魏宗明，1997)。 2.數學日誌(mathematical journal)：學生透過逐日記錄，以回顧自己的學習， 因此較缺乏結構性(鄔瑞香，1996)。 3.數學寫作(mathematical writing)：為較廣義的說法，指學生透過以學習日誌、
報告或故事等方式將自身的數學想法、概念、技巧和解題過程呈現出來。包含 數學日誌、擬題、創作式寫作、解釋說明寫作等(魏宗明，1997)。 綜合上述，擬題類型的分類雖有很多不同的方式，但仔細做綜合的分析比較 後，仍然可以發現許多相似之處。本研究採用梁淑坤（1997）提出的算式類，也 就是根據所給定的算式，要求學生寫出一個相對應的數學問題，透過學生的擬 題，教師可以看出學生對數學概念是否真的瞭解。
四、 擬題的評量
經由評量，我們可以得知教師的教學成果以及學生的學習成效，目的在修正 教師的教學方法與提供學生有意義的回饋。因此，評量在教學上佔有相當重要的 地位。然而，目前國小數學的評量方式，仍偏重在紙筆測驗，強調答案的對與錯， 忽略學習過程。擬題活動的方式除了注重學生的思考過程、想法並能激發學生的 想像力。而且在給分上較有彈性，揚棄傳統上「對就是對，錯就是錯」的給分觀 念，除了答案之外，更能注意學生的解題過程與努力程度。所以，擬題活動的評 量方式，是一種多元化評量。 在擬題的研究上，梁淑坤（1995）發展出一套評量擬題的工具，並且在1999 年提出修訂，將擬題的作品分為五類，如表2-2-2所示： 表2-2-2 擬題評量的分類 題 目 非題目類 非數學 不可行 資料不足 適中 超過 1分 2分 3分 4分 5分 5分 對於擬題的作品，可先分成兩大類，若擬題的整段敘述並不能成為一個題目 則屬於第一類（非題目類）給1分，可成為題目者，則是第二類（題目類），接 著在題目類中，再分成非數學題目給2分，不可行的題目給3分，和可行的題目， 而可行的題目再細分為資料不足的給4分，資料適中的給5分，資料超過的也給5分（無論是資料適中或資料超過，只要是可解的數學題目都給5分）。 其分析的流程如圖2-2-1： 圖2-2-1 擬題答案分析之流程圖（引自梁淑坤，1999） 為了更清楚一個擬題題目的辨別，以區分題目類別型態，可藉由表2-2-3做 為參考： 擬題答案 非題目（1） 題目 數學 非數學（2） 可行 不可行（3） 資料不足（4） 資料適中（5） 資料超過（5）
表2-2-3 擬題類型分類及例子（引自梁淑坤，1999） 類 別 例 子 非題目 游泳池的看臺上有許多觀眾在觀看比賽，結果發現如果二 個人一組觀眾把位置 非數學 為何排水速度＞注水速度？ 不可行 注水管一分鐘注水40立方公分，排水管一分鐘排水60立方 公分，注水和排水如果同時進行泳池的水量會增加多少？ 資料不足 如清潔工的待遇是每月20000元，該游泳池每月需清洗五 次，問每小時的工資是多少？ 資料適中 礦泉水有10瓶，每一瓶可倒5杯，請問全部可倒多少杯？ 資料超過 有4個人跳入水中游泳池比賽，甲用蛙式，乙用自由式， 丙用仰式，丁用蝶式，甲的速度是丙的1.2倍，乙的速度 是丁的1.5倍，丙是丁的1.1倍，乙游完500公尺時，丁游 了多少公尺？ 有鑑此擬題評量工具的產生，教師在教學上可以多讓學生有擬題的機會，當 學生擬出一個適當的題目，教師可藉由討論、發表，與學生進行有意義的談話， 分析說明題目的合理性，讓學生在此數學環境下學習成長，教師也能藉此給予有 效的回饋。
五、 擬題與解題
擬題與解題是數學教育中最密不可分的關係，匈牙利的數學家波利亞（Polya, 1945）在他的「怎樣解題」（How to solve it）一書中談到解題的四個階段： 瞭解題意（understand）、擬訂計畫（plan）、實行計畫（carry out）、和回 顧答案（look back）。國內學者梁淑坤（1993）根據Polya的模式，以「擬題」 取代「瞭解題意」階段，而「回顧答案」階段又可再擬出其他題目來，如此形成 一個循環，擬題與解題的活動便可不斷的衍生進行，我們可用圖2-2-2清楚的呈 現：圖2-2-2 擬題和解題關係圖（引自黃俊惟，2003） 由上圖所示，可以分析一個解題的行為必須要先瞭解題目的內容，然後進行 策畫動作，計算出答案並加以驗證，僅單一為解題的行為，是由上至下的方式。 若解題行為是發生在一位擬題者身上，在回顧答案（look back）的階段中可能 會思考出新的題目，引發再次擬題、擬訂計畫、實行計畫的動作（梁淑坤，1993）， 也就是說擬題者清楚知道題目內容，不用經過瞭解題意（understand）的步驟， 又產生一個新的循環，一個擬題與解題的循環。而透過這個擬題與解題的循環， 就可以做到創造數學（making mathematics, Polya, 1945）。
擬題者在此循環中會在求解的過程中，會質疑題目的設計是否有瑕疵，增加 反覆思考的機會，針對題目做些許的修正，或者重新擬題。因此，擬題者透過擬 題活動會更主動積極去解題，進而增加對數學有更深一層的認識，並且對於複雜 問題的表徵能力及解題能力皆有正面的效果（林德宗，1999）。Skinner（1990） 在他的書中提到，問題是由解題者擬出來的，其解題的動機會增強，問題本身的 真實或假想所解出的答案皆變得有意義，不僅是滿足教師的要求而已，更是自我 滿足的提升。Winograd（1990）也發現，透過寫數學故事題的方式，擬題者享受 在擬題與解題的過程中，的確可以改善在數學的表現上。在這實徵研究中不難發 瞭解題意（understand） 擬訂計畫（plan） 實行計畫（carry out） 回顧答案（look back） 擬題 （problem posing） 回顧答案 （look back） 擬訂計畫 （plan） 實行計畫 （carry out）
現擬題與解題之間的確具有強烈的相關性，且關係非常密切。 綜合上述，在解題與擬題的模式中，如果解題者亦是擬題者，便可以清楚的 知道題目的意思與內容，就可以不用再瞭解題意，直接進行策劃解題活動，而擬 題者在解題過程中，或許只會激發創造出更新更好的題目來，經過擬題四個步驟 不斷循環之下，擬題者會思考自己所想出來的題目是否合宜，透過執行、回顧再 修改題目、重新擬題，於是解題、擬題的活動彼此相輔相成，使得學生能透過這 樣的過程增加對數學概念的深層認識與釐清。
六、 擬題在數學教育上的重要性
美國課程標準（NCTM, 1989）建議教師在上課時可以多讓學生自行擬題再解 題。教育部所頒布的九年一貫數學學習領域基本理念（2003）中強調：教育應提 供學生做有意義及有效率學習的機會，使學生學好重要的核心數學教材，成為「帶 著走」的能力。有許多國內外研究者發現擬題活動不僅可以提高學生的學習興 趣，對於學生的數學能力亦有增進效果（劉芳妃，1998；楊惠如，2000；Skinner, 1990；Silver, 1994；English, 1997；Knuth, 2002）。梁淑坤（1994）認為問題若是由解題者所擬出來，解題的動機就會很高。劉 祥通（1996）也指出在課堂中要求學生擬題，可以加深學生對問題結構的瞭解。 English（1997）則認為鼓勵學生擬題是十分重要的，如此可以提升學生的解題 興趣。 Silver（1994）提及擬題活動對學習的五項優點： （一）促進積極學習的態度，並且形成多樣化和靈活的思考。 （二）鼓舞學生讓他們對自己的學習更有責任感。 （三）讓教師和學生去察覺出錯誤觀念和迷思。 （四）提升學生的解題能力，同時增強並且豐富學生的基本概念。 （五）消除對於數學的錯誤觀念，以及學生對學習數學的恐懼和焦慮。
林群雄（2004）也認為擬題在數學教育上的重要性有以下六點： （一）可以提升學生解題的動機與興趣。 （二）可以培養學生數學思考與分析發展問題的能力。 （三）可以使學生的數學知識結構意義化。 （四）可以將學生的生活經驗與數學世界相結合。 （五）可以培養學生相互欣賞與批判問題的能力。 （六）可以提升學生的創造力。 綜合上述，數學的學習活動應是讓所有學生都能積極參與討論，並且激發其 各種想法及創造力，形成多樣化或靈活的思考，期望學生在如此社會化的互動過 程中建立數學知識，消除對學習數學的恐懼和焦慮。而擬題的活動正提供了如此 的環境和方式，由此可見擬題在數學教育上的重要性。
七、 擬題的相關研究
近年來，擬題在數學教育界引起相當大的迴響，在國內外都有許多關於擬題 的研究報告。在本節裡，將依其研究的目的，分為以下兩個向度加以敘述： （一）以擬題為教學研究活動 Keil(1965)研究八百多位六年級的學生，將學生分成實驗組與控制組，實驗 組每週有一堂擬題教學活動，由老師提供與數學課本類似的情境，讓學生進行擬 題；而控制組只解課本題目。經過十六週的實驗之後，研究者發現實驗組學生的 解題能力表現高於控制組的學生，因此，擬題教學活動對於解題能力有正面的影 響。 Stover(1982)教導國小六年級學生將已知的故事題以圖形或增加其他資 訊、編排訊息來改寫故事題。在此研究中，寫作變成數學課程的一部份，最後發 現學生經過這樣的訓練，在解題上有明顯的進步。意方面，並且讓學生練習如何出一個題目，透過擬題瞭解學生的創意，最後整理 學生擬出來的題目，將這些題目編輯成「The art of problem posing」一書。
坪田耕三（1987）對小學一到六年級學生已開放性的問題進行教學，鼓勵學 生以解過的問題為基礎，從原本的問題再想出其他的題目。並將實際上課內容編 輯成「生動的算術」一書。
Skinner(1990)在任教澳洲的幼稚園至二年級的學生（1985-1987）時，曾使 用擬題取向的方式教學，並且將自己的教學經驗和學生作品整理在他的著作 〝What’s your problem？〞中與大家分享教師在課堂中和學生的互動以及進行 擬題活動過程的點滴，他認為擬題教學是相當有趣的，同時，證明瞭從幼稚園到 二年級的學童也能夠進行擬題活動。 Winograd(1990)的研究對像是國小五年級學童，讓他們嘗試擬題、解題，並 在小組中分享整個過程，以這樣的方式去瞭解擬題課程中的數學信念，以及學童 的擬題行為表現和困難，並且瞭解小組共同解題的行為。一年之後，發現學童在 擬題過程中表現出多樣化的型態，小組合作學習時，學童多以任務導向完成學 習，並且在擬題寫作過程中表現出數學的信念，此研究結果建議學生的擬題可以 成為教師佈題以及教材的來源。 Schloemer(1994)將擬題教學策略〝What-if-not〞以認知學徒制的教學方式 來教導大學生學習高等代數，他將學生分為實驗組和控制組，實驗組進行擬題教 學，而控制組則不進行，結果發現兩組在數學成就中並無顯著差異。在擬題能力 方面，實驗組表現比控制組好；在數學態度的表現方面，兩組的前、後測均下降。 根據研究者的結論，他認為實驗組可能已經習慣原來的教材，當老師進行擬題的 教學方式他們在數學態度上會產生負面的影響。 Gonzales（1994）在美國新墨西哥州大學花了四年的時間，對職前的中小學 教師進行「擬題」教學研究計畫。研究之進行方式為「從已知問題再擬出新問題」， 因此，他以Polya解題的四個階段，增加第五階段「擬題」，成為「理解」、「策
畫」、「實行」、「回想」、「擬題」，研究中發現學生常可以擬出教師意想不 到的問題，或是提出一個連教師都沒想過的解法。 Knuth（2002）提及學生應擁有對數學的興趣，所包含的不僅只是渴望去學 習或瞭解數學，也包含了在解完給定的題目後，以原來的解答或數學概念作為更 進一步探討的出發點，再擬出有趣的數學題目來。他並且在文章中舉例說明如何 透過擬題活動來促進學生對於數學的興趣。 徐文鈺（1996）以104位國小五年級學生為對象，將學生分為合作擬題組、 個別擬題組及控制組三組。三組學生各接受每週兩次，每次約40分鐘的課，為期 六週不同教學方式之分數課程教學。研究結果發現，合作擬題組在複雜的「部分 /整體」概念的表徵轉換能力、分數解題能力、分數擬題能力的流暢性、精緻性、 獨特性效果均優於個別擬題組和控制組，而在分數概念的增進效果上三者並無顯 著差異。 劉芳妃（1998）在國中一年級的數學課堂中融入擬題教學活動，以學生在課 堂中的擬題作業與活動，探討學生合作擬題過程中的情意層面以及擬題能力。研 究結果指出，學生可從師生、同儕互動中，發展數學知識與概念並藉由小組合作 培養團結精神、加強社會化發展。 梁淑坤、鄔瑞香（1999）以將錯就錯的方式進行擬題活動，他們的方式是給 與學生不完整的題目，例如題目中遺漏了某些重要的解題訊息，讓學生將錯就 錯，根據這樣的題目讓學生試著加以修正之後再擬出另一個數學題目來，如此提 供了學生擬題的機會也能釐清學生的數學觀念。另外梁淑坤、鄔瑞香（2000）也 有合作研究讓家長與學生用日記的形式在自己的家中進行擬題與解題，藉此把擬 題活動帶入家庭變成家中的親子活動，再藉由日記與他人分享擬題心得。 林德宗（1999）在國小五年級數學教室中，探討擬題活動的應用。研究發現 學生透過擬題活動可增進其對數學概念的理解和協助學生將知識連結到日常的 經驗中。學生透過討論的過程能修正自己所想出來的題目，並且學習接納其他同
學的意見。 楊惠如（2000）則以行動研究的方式在自己任教的班級中，設計擬題的活動 教材，於數學課堂中進行擬題教學活動以探討擬題活動在實際教學中所遭遇到的 困難與解決的方式，以及老師在擬題教學中所扮演的角色。研究結果發現，雖然 在整個擬題教學過程中，老師能從「初試啼聲」到「漸入佳境」以及「步入軌道」， 但仍會遭遇到許多困難，包括教學準備、學生擬題、全班討論、共同評鑑等，但 透過不斷反省尋求解決方法，以實際的行動解決了教學上的困難。 鍾雅琴（2002）探討合作擬題的教學方式，對國小五年級學生分數概念、分 數解題能力與分數擬題能力的增進效果。研究結果發現合作擬題教學能增進實驗 組學生在整體與複雜分數概念、分數的數線概念兩種表徵轉換的學習，而且對分 數解題能力的增進效果，實驗組優於控制組，且資優班優於普通班。大部分學生 對於合作擬題策略教學亦給予正向的肯定。 周幸儀（2002）針對合作擬題教學的過程中，學生的擬題學習歷程、擬題教 學對學生數學概念和擬題能力是否有增進的效果，再者探討擬題教學對解題能力 的增進效果。另外，透過行動研究的歷程，教學者省思教學以促進專業成長。研 究結果發現學生的擬題學習歷程、概念發展和擬題能力有增進的效果；擬題教學 對解題能力也有增進的效果。並且透過行動研究的歷程，在進行擬題教學時，遇 到學生不懂之處，研究者（即教師）會改變策略，使學生數學概念得以釐清，並 且透過擬題促進學生思考問題、進行後設認知的活動，以增加數學基模知識，學 生的學習條件得以提昇，教師也因此成長。 陳佩琦（2003）針對一個國小二年級班級實施擬題教學。從研究中得到，經 由擬題教學後，學生不論在擬題與解題的速度或正確率都有明顯進步，擬題作品 則呈現多樣化，並指出擬題教學可以增進學生解題能力。 黃俊惟（2003）以臺北市某中型國小隨機抽取四年級中四個班級學生為研究 對象，進行為期三週的實驗教學，探討網路輔助學習、擬題活動在實際教室中的
教學情況對國小學生分數加減法問題表現上的影響；深究網路輔助學習與擬題活 動是否可提升學生的學習能力。本研究結果發現：在學習後測成效、加法測驗、 減法測驗和解題測驗上，小組合作擬題互評組表現最好，小組合作擬題組次之， 控制組最差；而在擬題測驗上，小組合作擬題互評組表現優於小組合作擬題組。 林群雄（2004）透過行動研究的方式，將擬題活動融入國小三年級數學科課 堂，以探討研究過程中教師的專業成長，並瞭解擬題活動教學在實際執行上的困 難與解決方法及可供教師於課堂運用的擬題素材。研究結果發現，教師獲得了相 當的成長，最重要的是教師本位的心態轉為學生本位的考量；學童亦在擬題活動 教學的實施中成長，並提升了學童學習數學的興趣、動機和自信。 吳進寶（2005）探討一個國小五年級的班級，實施擬題教學的情形。其教材 內容是整數四則混合運算，擬題方式是採取日本學者坪田耕三的「類題法」。擬 題教學分成「解題」和「解擬題」二個階段，研究結果發現，學生擬出的題目屬 於資料適中的有98.5﹪，大部份學生能擬出可行的題目。學生大多數會改變題目 的數字，但改變題目結構者有增加的趨勢，題目也出現多樣性的發展。另外，學 生在三步驟運算的解題表現較差，二次解題的成功率相近，但「解擬題」的解題 策略正確率較高，學生運算錯誤最大因素是程式性知識不夠熟練。而且擬題教學 是學生希望的上課方式，且覺得教材內容含有趣味，也顯露出樂於學習的態度。 由以上擬題教學活動的相關研究中，我們可以瞭解到無論是國內或國外，在 數學教育方面，擬題教學已經越來越受到學者或實際教育工作者的重視。擬題教 學活動對於提高學生的學習興趣及擬題能力不僅有正向的效果，而且教師亦從中 獲得了相當的成長。 （二）以擬題為分析數學能力的工具 Ellerton(1986)用測驗將學生分成高低能力組再研究高低組擬題的差異，他 發現高能力組的學生會在出題目時有系統地策劃，例如：當他出到有分數數據的 題目時會考慮解題過程中是否可約分。
Silver & Cai（1996）以509名六年級和七年級之中等學校的學生為研究對 象，提供給學生一段故事提敘述，讓學生參考其內容擬題，再進行分析，此研究 的目的，是想發展並且運用一套分析方法，來測驗中等學校學生的擬題能力，探 討解題能力不同的學生之擬題能力的差異。研究者將學生以解題能力分為高低分 組，發現高分組的在擬出可解的題目之數量上優於低分組，學生的解題能力與擬 題表現是具有高度的相關。 English（1997）研究五年級和七年級的學童，不同能力的組別在課程中對 於擬題的表現，其研究結果是擬題能力強的學童，他們平常的數字計算能力並不 是很好，但是針對特殊題目的解題，能力卻不錯。並且學童擬出的題目具有複雜 性，由此可知，學童具有豐富的創造思考力。 English（1998）亦研究54位三年級學生的擬題能力，研究結果發現，學生 在數概念以及解題能力方面，表現出不同的類型。在許多非例行性的情境中，可 以擬出多樣化的題目，但是在加法和除法的類型中，學生所擬出來的類型傾向一 致，這可能受到教材裡例行性題目的影響，造成學生思考模式的固化。 梁淑坤（1993）以美國某教育學院修「國小數學教材研究」的18位學生為對 象，設計一份開放性作業－「十五枝火柴」，以同時研究「擬題」與「一題多解」， 並提出須在師資培育的課程中增設擬題課程之建議。並在1994年撰文分析擬題在 課程的角色，建議應自低年級開始就列入擬題的活動。 梁淑坤（1995）以65位職前教師和127位在職教師為對象，探討在職與職前 兩組師範生在三種實驗擬題作業形式（純文字敘述、包含數值、包含符號）下的 擬題行為。研究者將師範生的擬題成果分為五方面：題型（problem type）、問 句（question stem）、步驟（number of steps）、語意（semantic structure）、 故事（story）。結果發現擬題數量的比例，在題型和語意兩方面均有顯著差異， 同時也發現，受試者在包含數值形式較會擬題。
具，由於原TAPP（Test Airthmetic Problem Posing，TAPP）只適用於算術文字 題。因此，其研究建立一套延伸TAPP的評量工作，加上非算術的擬題測驗試題， 共18題，統稱為數學擬題測驗（Test on General Problem Posing，TGPP）。
孫秀芳（1997）研究國小二年級學生加減法擬題能力，及學生對擬題的認知 程度，研究結果發現，大多數的學生都具有擬題能力及認知程度，學生所擬出來 的題目大部分是他們自己熟悉的情境，並且研究的結果也確定擬題與解題是息息 相關的。 陳秀雯（2002）以三所師院四年級共305人，進行筆測。探討師院生在五種 不同的乘數數字型態（整數、純小數、帶分數、真分數及帶小數）下，佈乘法文 字題的表現。再從中抽取17人進行一對一半結構性晤談。其研究發現師院生的佈 題率從高到低依序為乘數是整數、純小數、帶分數、真分數及帶小數。 許淑萍（2002）以國小六年級共274位學生為研究對象，探討學生將乘除算 式表徵轉換成文字表徵的數學擬題能力，及其後設認知的能力。其研究結果發 現，以擬題能力與後設認知能力而言，單步驟題型的表現優於多步驟題型的表 現，而不同乘除類型之擬題在擬題能力與後設認知能力上有所差異。 林思行（2003）以國小五年級學生共110人為研究對象，探討學生在不同題 目表徵型式、閱讀理解能力、數學能力、數學主題下的發展問題表現，並藉由質 的分析，瞭解產生差異的原因。研究結果顯示，學生的數學能力與發展問題能力 及閱讀理解能力與發展問題能力皆有顯著的正相關。不同性別學生其問題發展能 力沒有顯著差異。 黃月平（2004）以國小六年級共480位學生為研究對象，探討學生將分數乘 除算式符號表徵轉為數學文字題之表徵轉換能力及其後設認知的能力。研究結果 發現，乘法與除法其擬題能力並無顯著之差異。擬題各向度表現方面：「操作物 適用性」與「單位完整性」表現較佳，「情境合理性」之表現最不理想。 何森曜（2005）以國小六年級共316位學生為研究對象，探討學生將分數加
減法算式表徵轉換成文字表徵的數學擬題能力。其結果發現，擬題能力愈好的學 生，其分數能力也就愈好。學生之「未知數在等號後擬題」與「未知數在運算符 號後擬題」的擬題能力顯著優於「未知數在運算符號前擬題」，學生在「『部分 /全體』文字題」及「數線題」的解題表現明顯較差。不同性別學生的「擬題表 現」及「分數概念」，皆無顯著差異存在。 上述研究以不事先施行擬題教學，直接請學生進行擬題測驗，並且透過擬題 表現來分析學生的數學的能力。此類研究發現擬題能力與解題能力具有高相關， 擬題測驗可作為評量學生數學能力的工具。本研究亦將以此方式來探討國小四年 級學生經由擬題所呈現的除法概念及其錯誤類型，並更進一步以質的研究方式深 入瞭解學生的想法。 綜合上述國內外學者發表的文獻中得知，無論是擬題教學或是擬題能力的研 究，均被認為提供學生學習的重要方式。而擬題活動亦已成為教師在從事數學相 關教學時的一個重要活動，也因此更值得我們身為教師者加以實施以及研究。
第三章 研究方法
本研究的目的旨在探討國小四年級學生經由擬題所呈現除法概念之研究。基 於以上的目的和文獻分析之所得，本章將分為下列六節進行說明： 第一節將呈現本研究之研究架構；第二節說明本研究之研究對象的來源；第 三節說明研究流程，並呈現研究進行的幾個主要步驟；第四節說明本研究工具， 包括工具編製過程、預試及信效度分析；第五節將就本研究之資料分析與詮釋的 方式予以說明；最後，第六節則為正式施測試題分析。第一節 研究架構
本研究的研究架構係根據研究目的、相關文獻探討以及待答問題所建構而 成，本研究之研究架構如圖3-1-1： 圖 3-1-1 研究架構圖第二節 研究對象
本研究以國小四年級學生為施測對象，在考量受測時間、學校及教師配合意 願及對研究者本身教學的幫助等因素之後，本研究決定取樣來自於彰化縣某國民 小學四年級學生，共三個班級，樣本維持原班級進行研究，以探討學生的數學擬 除法概念測驗 數學擬題測驗 擬題能力 a.餘數的有無 b.未知數的位置 c.性別 除法能力 a.概念 b.性別 1.變異數分析 2.迴歸分析 3.錯誤類型分析題能力，並分析學生所擬出題目的錯誤類型。 至於選取國小四年級學生為研究對象的理由則是依據九年一貫除法相關能 力指標，國小四年級學生在現行九年一貫數學教材的除法課程目標上已經能理解 除法的意義，並解決生活中有關除法的問題。因此，探討學生在不同情境的除法 問題的擬題策略，讓學生將他的想法反映在擬題策略中，使其內隱想法得以呈 現，研究中不僅能瞭解學生處理除法問題的情形，也能就學生因迷思概念所產生 的擬題錯誤類型加以探討，使教學者對不同類型的除法問題能加以澄清與指導， 並作為改進教學策略的參考，以期能及早幫助學生獲得正確的除法概念，提昇學 習數學的動機和自信，為將來的學習奠定良好的基礎。 研究者基於上述之考量，決定選取四年級學生為研究對象，進行樣本如表 3-2-1： 表3-2-1 研究樣本人數分配表 班級 男生（人） 女生（人） 小計（人） 合計（人） 甲 18 15 33 33 乙 13 19 32 65 丙 15 17 32 97 合計 46 51 97
