擬題的意義及相關研究

本節分成七個部份來探討擬題的意義及相關研究：首先探討擬題的意義；其 次分析擬題的特徵；再者探討擬題的類型；接下來介紹擬題的評量；之後剖析擬 題與解題；以及擬題在數學教育上的重要性；最後簡述擬題的相關研究。

一、 擬題的意義

近年來，擬題教學與研究已經引起許多數學教育學者的注意（梁淑坤，1993；

Silver & Cai, 1993；Borba, 1994；Schloemer, 1994；Leung & Silver, 1997）。

美國數學教師協會(National Council Teachers of Mathematices，簡稱NCTM) 在1989年出版的「數學課程與評鑑標準」中也提及加設擬題於課程中；另外，也 有許多國家也先後對擬題的研究和課程發展有所實施。擬題的重要性由此可見一 斑，所以，陸續有許多學者以不同的角度提出對擬題的定義。

國內學者梁淑坤（1994）對擬題所下的定義是：「自己想出一個數學題目來」，

在擬題的過程中，擬題者會用自己的數學知識和生活經驗把情境、人物、事件、

數字、圖形等建立關係並組織起來，擬出一個數學題目；而國外學者Dillon（1982）

則認為擬題是解題之後，尋找題目的過程；Silver（1994）將擬題定義為：擬題 是包括產生新的問題，給一個情境產生問題和在解題的課程中形成問題；

Stovanova and Ellerton（1996）將擬題定義為：依據數學經驗的基礎，學生建 構及創造有意義的數學題目，是一個屬於個人化的過程。徐文鈺（1996）稱擬題

為一種主動的建構、運用認知基模處理訊息的活動。楊惠如（2000）亦認為擬題 是學習者根據自己所學的數學經驗，創造一個屬於個人化的數學題目。

綜合上述國內外幾位學者對擬題所下的定義，在本研究中，我們可以將擬題 定義為學生根據自己的數學知識和生活經驗，透過表徵的轉換，創造一個屬於個 人化的數學題目。這個題目是粗糙且沒有經過修飾，可能是學生一時的靈感，亦 可能是突發的想法或猜想，但正因為如此，研究人員亦可從擬題中瞭解學生所學 到的數學知識。

二、 擬題的特徵

根據擬題的定義，我們可以知道：在擬題過程中，擬題者會用自己的數學知 識和生活經驗把情境、人物、事件、數字、圖形等建立關係並組織起來，擬出一 個數學題目，所以擬題行為的特徵可能含有個人化、猜想及可信推理、解題之連 接和題目粗糙性四項特徵（梁淑坤，1994）。

（一）組織的方法是屬於個人的（idiosyncratic）

個人化的組織是擬題活動中最明顯的特徵，擬題者往往會根據自己的生活經 驗、文化背景、數學知識…等，呈現出個人的擬題特性。

（二）過程中包括猜想及可信推理（plausible reasoning）

擬題過程不論是小組合作或是個人獨力完成可能都會充滿擬題者的猜想與 可信推理，擬題者會常常猜想所想出的題目是否合理，是否符合給定的條件，並 且可能也會嘗試去評估題目的答案。

（三）擬題是可能發生在解題前、解題中，以及解題之後的（before, during, and after problem solving）。

（四）擬題者（學生）由於經驗不足，其所想出來的題目可能是粗糙的

（primitive）、不完整的（incomplete），甚至是不可行（implausible）

或是欠缺足夠的解題資訊（insufficient）。

綜合上述，學生的擬題內容可能是他個人具備的數學知識與生活經驗之外，

更包括了個人的想像與推理，擬題活動可在解題前、解題中，以及解題後進行，

而擬題所擬的題目，因為是短時間內想出來的數學題目，沒有經過修飾，可能是 腦袋中一時的靈感，亦可能是突發的想法或猜想，並沒有經過深思熟慮，所以擬 出來的題目會出現條件不足或不夠完整的現象。

三、 擬題的類型

擬題者的擬題類型式有很多種的分類方式，不同的學者有不同的分類，以下 就各學者的分類方式加以敘述：

（一）Reitman的題目結構分類方式

Reitman（1965）將題目分類成「已知」已定義清楚或未定義清楚，以及「目 標」已定義清楚或未定義清楚，總共有四種不同的型式。如表2-2-1所示：

表2-2-1 Reitman四種問題結構

已知（Given） 目標（Goal）

第一種 已定義清楚 已定義清楚

第二種 已定義清楚 未定義清楚

第三種 未定義清楚 已定義清楚

第四種 未定義清楚 未定義清楚

Reitman將上述的題目分為結構題（well-structured）和非結構題

（ill-structured），若是一個題目能夠具有清楚的物件、運算元素及目標，就 可以稱為結構題。在Reitman的問題情況中，只有第一種情況稱為結構題，而其 他的三種情況為非結構題。

（二）坪田耕三的擬題類型

日本教師坪田耕三（1987）提出七種擬題類型： 第一種是模仿法或類題法：

指學習某個問題後，擬出和此題同類型的題目。第二種是算式法：先將公式列出 來，再擬出適用此公式的問題來。第三種是原理法：給予四則運演算法和通分等 原理，做出和此相對應的題目來。第四種是訂正法：出一個題目，其中故意漏掉

必要的條件，或是給予其他不必要的條件，或做出矛盾而訂正的方法。第五種是 實驗法：實驗或以具體的東西操作，再以此實驗為基礎來擬題。第六種是自由法：

以自由的題材，做成自由形式的問題。第七種是題材法：依據給定的主題來擬題。

（三）Silver的擬題類型

Silver（1995）認為擬題可以分為兩種類型，第一種是由已給定的題目中，

再產生新的題目。第二種則由情境或經驗中創造一個新的數學題目。

（四）Stovanova & Ellerton的擬題類型

Stovanova & Ellerton（1996）則將擬題分成三種情境：第一種結構

（structured）的情境：擬題者可以利用現有的題目加以改變。第二種半結構

（semi-structured）的情境：學生利用先前的數學知識、技巧、概念以及關係 連結，完成一個完整結構的問題。第三種自由（free）的情境：讓學生在一個給 定的自然情境下自由發揮。

（五）梁淑坤的擬題類型

國內學者梁淑坤（1997）將擬題類型分為六種，包括算式類：就是教師給定 一個算式，學生依據這個算式而擬出題目。文字類：先呈現一段文字的敘述，然 後由學生依據文字敘述所給定的條件擬出一個題目。圖表類：給一個圖表，請學 生依據圖表擬出題目。解法類：規定一種擬題的運算方式，由學生依規定條件擬 出文字題。答案類：給定一個答案或一組計算過程，要求學生擬出題目。題目類：

給定一個題目，要求學生先解出此題目，然後再擬出另外一個題目來。

（六）其他學者所提出的擬題方式

1.寫問題(problem writing)：只要求學生以教師提供的算式寫出相對應的數學 文字題，即寫出數學題目(魏宗明，1997)。

2.數學日誌(mathematical journal)：學生透過逐日記錄，以回顧自己的學習，

因此較缺乏結構性(鄔瑞香，1996)。

3.數學寫作(mathematical writing)：為較廣義的說法，指學生透過以學習日誌、

報告或故事等方式將自身的數學想法、概念、技巧和解題過程呈現出來。包含 數學日誌、擬題、創作式寫作、解釋說明寫作等(魏宗明，1997)。

綜合上述，擬題類型的分類雖有很多不同的方式，但仔細做綜合的分析比較 後，仍然可以發現許多相似之處。本研究採用梁淑坤（1997）提出的算式類，也 就是根據所給定的算式，要求學生寫出一個相對應的數學問題，透過學生的擬 題，教師可以看出學生對數學概念是否真的瞭解。

四、 擬題的評量

經由評量，我們可以得知教師的教學成果以及學生的學習成效，目的在修正 教師的教學方法與提供學生有意義的回饋。因此，評量在教學上佔有相當重要的 地位。然而，目前國小數學的評量方式，仍偏重在紙筆測驗，強調答案的對與錯，

忽略學習過程。擬題活動的方式除了注重學生的思考過程、想法並能激發學生的 想像力。而且在給分上較有彈性，揚棄傳統上「對就是對，錯就是錯」的給分觀 念，除了答案之外，更能注意學生的解題過程與努力程度。所以，擬題活動的評 量方式，是一種多元化評量。

在擬題的研究上，梁淑坤（1995）發展出一套評量擬題的工具，並且在1999 年提出修訂，將擬題的作品分為五類，如表2-2-2所示：

表2-2-2 擬題評量的分類 題 目

非題目類 非數學 不可行 資料不足 適中 超過 1分 2分 3分 4分 5分 5分

對於擬題的作品，可先分成兩大類，若擬題的整段敘述並不能成為一個題目 則屬於第一類（非題目類）給1分，可成為題目者，則是第二類（題目類），接 著在題目類中，再分成非數學題目給2分，不可行的題目給3分，和可行的題目，

而可行的題目再細分為資料不足的給4分，資料適中的給5分，資料超過的也給5

分（無論是資料適中或資料超過，只要是可解的數學題目都給5分）。

其分析的流程如圖2-2-1：

圖2-2-1 擬題答案分析之流程圖（引自梁淑坤，1999）

為了更清楚一個擬題題目的辨別，以區分題目類別型態，可藉由表2-2-3做 為參考：

擬題答案

非題目（1）

題目

數學 非數學（2）

可行 不可行（3）

資料不足（4） 資料適中（5） 資料超過（5）

表2-2-3 擬題類型分類及例子（引自梁淑坤，1999）

類 別 例 子

非題目 游泳池的看臺上有許多觀眾在觀看比賽，結果發現如果二 個人一組觀眾把位置

非數學 為何排水速度＞注水速度？

不可行 注水管一分鐘注水40立方公分，排水管一分鐘排水60立方 公分，注水和排水如果同時進行泳池的水量會增加多少？

資料不足 如清潔工的待遇是每月20000元，該游泳池每月需清洗五 次，問每小時的工資是多少？

資料適中 礦泉水有10瓶，每一瓶可倒5杯，請問全部可倒多少杯？

資料超過

有4個人跳入水中游泳池比賽，甲用蛙式，乙用自由式，

丙用仰式，丁用蝶式，甲的速度是丙的1.2倍，乙的速度 是丁的1.5倍，丙是丁的1.1倍，乙游完500公尺時，丁游 了多少公尺？

有鑑此擬題評量工具的產生，教師在教學上可以多讓學生有擬題的機會，當

有鑑此擬題評量工具的產生，教師在教學上可以多讓學生有擬題的機會，當