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第三章 家計單位租買選擇與支出聯合估計理論模型
(1)租買選擇聯合估計模型
本節主要討論如何估計中國大陸家計單位對於住宅需求的租買選擇。我們對 於家計單位的租買選擇和他們的貸款與否之間的關係加以考慮外，會將租買選擇 加入 Heckman 兩階段加上家計單位的所得收入、特性、購屋的房價(若為租房子 即考慮租金)與戶長的個人特徵來估計家計單位各項的支出。因此我們在第一階 段會將家計單位的租買選擇情況分為(1)選擇租房子(2)選擇買房子並且貸款(3)選 擇 買 房子 並且 無 貸 款 等 三 種 情 況 ， 由 於過 去 跟 住宅 選擇 有 關的文 獻 ( 像 是 McFadden(1973)、陳彥仲(1997)、張金鶚(1998)等)都認為租買選擇的行為是家計 單位個體的不連續選擇行為(discrete choice)，近來利用不連續的 Logit 模型來建 構對於分析住宅選擇的文獻越來越多。Logit 模型為個體選擇理論的一種應用模 型，除了解釋個體行為和現象外，此模型也能預測個體事後行為與現象，而多項 式 Logit (Multinomial logit model，MNL)因為擁有簡單的數學架構及容易推估的 優勢，最為學術界廣泛使用的模型，但有著無關選擇的獨立性(independence from irrelevant alternative, IIA)限制著它的應用 2。故我們以此建立一個多種選擇行為 的多項式 logit 模型，並且利用 Hausman test 檢定無關選擇的獨立性的假設有無 成立，也就是 logit 模型之中各個類別型選項彼此是獨立且不相關的，加入或者 刪除某一個選擇時，不影響原有的勝算比。所以我們將完整多項式 logit 模型描 述如下:
假設中國大陸個別家計單位以 i 來表示，其中 i ∈ I，I 為中國大陸家計單位 總數，j 為家計單位所面對的租買選擇，其中j = 1.2.3，其中每一個選擇所具有的 特性向量為𝑥𝑥𝑗𝑗，以本研究而言，每個家計單位面對的租買選擇所代表的變數為(1) 租房子(𝑥𝑥1)、(2)買房子貸款(𝑥𝑥2)、買房子且貸款(𝑥𝑥3)，見以下圖一表示:
2
IIA 即為各選擇獨立互不關聯，為強烈的假設，若違反 IIA，會造成每個選擇相關，結果不一 致。
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家計單位 i 之租買選擇
租房子(𝑥𝑥1) 買房且貸款(𝑥𝑥2) 買房且無貸款(𝑥𝑥3) 圖一 家計單位面對租買選擇的三種選擇
家計單位在面對不同的租買選擇時，在理性的經濟選擇行為之下，必然會以 最大的效用作為決策，所以我們要建立一條家計單位 i 在面對 j 選項時的隨機效 用函數。依 McFadden(1974)以選擇習慣分析的條件 logit 分析，家計單位 i 選擇 住宅選項 j 所擁有的隨機效用函數可用𝑈𝑈𝑗𝑗𝑖𝑖表示，而𝑈𝑈𝑗𝑗𝑖𝑖為選擇方式 j 之屬性𝐺𝐺𝑗𝑗𝑖𝑖及家 計單位 i 之家戶經濟特性𝑆𝑆𝑖𝑖組成之效用函數，而效用函數𝑈𝑈𝑗𝑗𝑖𝑖又可以分為兩個部分：
(1)非隨機且可觀測的效用函數𝑉𝑉𝑗𝑗𝑖𝑖；及(2)隨機且不可觀測之家計單位個別特性效 用𝜀𝜀𝑗𝑗𝑖𝑖。為了方便推導計算，家計單位 i 在選擇 j 選項的隨機效用函數可以數學式 表示為:
𝑈𝑈𝑗𝑗𝑖𝑖�𝐺𝐺𝑗𝑗𝑖𝑖, 𝑆𝑆𝑖𝑖� = 𝑉𝑉𝑗𝑗𝑖𝑖�𝐺𝐺𝑗𝑗𝑖𝑖, 𝑆𝑆𝑖𝑖� + 𝜀𝜀𝑗𝑗𝑖𝑖(𝐺𝐺𝑗𝑗𝑖𝑖, 𝑆𝑆𝑖𝑖)………..(1.a) 其中，隨機效用𝜀𝜀𝑗𝑗𝑖𝑖除了表示為不可觀測之家計單位個別特性效用之外，也代 表誤差項，如可觀測效用之誤差、抽樣誤差等，一般在離散的選擇理論中，常用 的機率分配假設有常態分配(Normal Distribution)和 Gumbel 分配 3。在此我們假 設 式 (1.a) 中 的 隨 機效用 誤 差 項𝜀𝜀𝑗𝑗𝑖𝑖滿 足獨 立 且同 分 配 (identically independently distributed)之 Gumbel 分配，由此則可以使效用呈現指數型並導出 logit 模型，較 符合現今家計單位買房或作為投資的描述。依此，我們由 McFadden(1974)定義出 Gumbel 分配之累積分配函數(cumulative distribution function,CDF)為:
𝐹𝐹(𝜀𝜀) = exp {−exp [−𝛿𝛿(𝜀𝜀 − 𝜇𝜇)]}，其中𝛿𝛿 > 0
而 Gumbel 分配的機率密度函數(probability density function,PDF )為:
3
假設常態分配則可以推導出 Probit 模型，但由於 Probit 模型無法推導出簡化算式，不易計算 其選擇機率，故實證應用上較受到限制。
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𝑓𝑓(𝜀𝜀) = 𝛿𝛿exp {−[𝛿𝛿(𝜀𝜀 − 𝜇𝜇) + exp (−𝛿𝛿(𝜀𝜀 − 𝜇𝜇))]}
其分配之期望值為(𝜇𝜇 + 𝛾𝛾 𝛿𝛿� )，其中𝛾𝛾為尤拉-馬歇羅尼係數(Euler–Mascheroni
constant)，其值約為 0.577；變異數為(𝜋𝜋2�6𝛿𝛿2)，其中𝜋𝜋為圓周率；而眾數為𝜇𝜇；𝛿𝛿 為離散參數(dispersion parameter)。因此，我們可以定義家計單位 i 依其租買選擇 所帶來的效用而選擇租屋、買房貸款或買房無貸款的機率 P，而 P 之數學式可以 下列式子表示:
𝑃𝑃 ≡ 𝑃𝑃(𝑥𝑥|𝑠𝑠, 𝐵𝐵) = 𝛺𝛺[{ℎ𝜖𝜖𝜖𝜖| ℎ(𝑠𝑠, 𝐵𝐵) = 𝑥𝑥}………(1.b) 其中𝑠𝑠 ∈ 𝑆𝑆為家戶經濟特性向量，B 為家計單位所面對的替代選擇集合，也就 是𝑥𝑥 ∈ 𝐵𝐵；h 則為一個家計單位行為規則的向量函數，由家戶經濟特性向量 s 與替 代選擇集合 B 對應到 x，𝛺𝛺被假設為機率函數參數並以上述式子(1.b)作為估計觀 測家計單位多種選擇的參數。我們利用式(1.b)並將(1.a)套入進去則可以表示成以 下式子:
𝑃𝑃𝑗𝑗𝑖𝑖 ≡ 𝑃𝑃�𝑥𝑥𝑖𝑖�𝑠𝑠, 𝐵𝐵� = 𝛺𝛺�{ℎ𝜀𝜀𝜖𝜖𝜖𝜖| ℎ𝜀𝜀(𝑠𝑠, 𝐵𝐵) = 𝑥𝑥𝑖𝑖� = 𝑃𝑃(𝑈𝑈𝑗𝑗𝑖𝑖 > 𝑈𝑈𝑘𝑘𝑖𝑖, ∀𝑗𝑗 ≠ 𝑘𝑘)
= 𝑃𝑃�𝑉𝑉𝑗𝑗𝑖𝑖+ 𝜀𝜀𝑗𝑗𝑖𝑖 > 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑖𝑖 + 𝜀𝜀𝑘𝑘𝑖𝑖, ∀𝑗𝑗 ≠ 𝑘𝑘�
= 𝑃𝑃�𝜀𝜀𝑗𝑗𝑖𝑖+ 𝑉𝑉𝑗𝑗𝑖𝑖 − 𝑉𝑉𝑘𝑘𝑖𝑖 > 𝜀𝜀𝑘𝑘𝑖𝑖, ∀𝑗𝑗 ≠ 𝑘𝑘�……….(1.c)
上述之𝑃𝑃𝑗𝑗𝑖𝑖為家計單位 i 所做的租買選擇 j 的機率，而𝐹𝐹(𝜀𝜀)為ε之累積機率密度 函數，將上述(1.c)微分並放入𝐹𝐹(𝜀𝜀)可表示為以下式子:
𝑃𝑃𝑗𝑗 = ∫ 𝐹𝐹−∞+∞ 𝑗𝑗(𝜀𝜀𝑗𝑗 + 𝑉𝑉𝑗𝑗 − 𝑉𝑉𝑘𝑘)d
𝜀𝜀
𝑗𝑗 ………...(1.d) (1.d)中𝐹𝐹𝑗𝑗表示函數 F 對𝜀𝜀𝑗𝑗微分之一次導數，𝜀𝜀𝑗𝑗+ 𝑉𝑉𝑗𝑗− 𝑉𝑉𝑘𝑘表示為一向量，以下 的 multinomial logit model 可由(1.d)之離散之選擇模型來推導4。(1.d)式中的𝜀𝜀𝑗𝑗為獨立且同分配之 Gumbel 分配，其機率密度函數為
𝑃𝑃�𝜀𝜀𝑗𝑗 ≤ ε� = exp [− exp�−𝜀𝜀𝑗𝑗�]………..…...(1.e)
4
後來發展的巢式多項式 Logit 模型(Nested Multinomial Logit Model,NMNL)，也是由此推導而 來。
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從上述(1.e)式即可以推導出離散型選擇模式中之 multinomial logit model，因 此，選擇第 j 個住宅選擇的的機率值𝑃𝑃𝑗𝑗如下列數學式所表示:
𝑃𝑃𝑗𝑗 = ∑exp (𝛿𝛿𝑉𝑉exp (𝛿𝛿𝑉𝑉𝑗𝑗)
𝑗𝑗)
𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗𝑗 ………..…...(1.f)
(1.f)式即為 multinomial logit model，其選擇方式如圖一。但不一定所有的離 散型選擇都能用多項式 Logit 模型描述，或者是選擇間有相依的情況，像是選擇 對於 multinomial logit 模型，IIA 特性存有優缺點。如下:
在優點方面：
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若是以家計單位租屋(𝑥𝑥1)及買房有貸款(𝑥𝑥2)、家計單位(𝑥𝑥2)及買房無貸款(𝑥𝑥3) 代入(1.g)式，則可以得到租屋相對於買房有貸款及買房無貸款相對於買房有貸款 之相對機率，其數學式表示如下:
𝑃𝑃𝑃𝑃1
2 = exp (𝛿𝛿𝑉𝑉exp (𝛿𝛿𝑉𝑉1)
2)= exp [𝛿𝛿(𝑉𝑉1− 𝑉𝑉2)]………..…….(1.j) 𝑃𝑃𝑃𝑃3
2 = exp (𝛿𝛿𝑉𝑉exp (𝛿𝛿𝑉𝑉3)
2)= exp [𝛿𝛿(𝑉𝑉3− 𝑉𝑉2)]……….…….(1.k)
上式(1.j)中，我們可以看到租房子及買房有貸款兩種選擇的相對機率不會受 到買房無貸款這選項的存在與否所影響，即為 IIA 之假設。IIA 是一個極為強烈 之假設，我們可以利用 Hausman 檢定針對多項式 logit 測試 IIA 是否成立。在一 般之情況下，因為每一種選擇彼此之間替代關係不同，容易造成 IIA 假設不成立，
故必須建立一個能放寬 IIA 假設且更一般化的模型。林祖嘉與陳建良(2005)則會 以巢式 logit(nested logit model)作為考量，然而，本研究在透過 Hausman 檢定後，
發現 IIA 成立，故本研究仍以 multinomial logit model 來做分析。
(2)考慮租買選擇下 OLS 模型的修正
Lee and Trost(1978)最早將租買選擇與住宅需求加以聯合估計，他們利用兩 條租屋者和自有房屋之住宅需求函數及租買選擇函數建立一個轉換模型(switch model)，再使用 Heckman 二階段估計來探討有無考慮租買選擇之下，有無估計上 的誤差。而林祖嘉(1994)將此模型改寫成租屋、擁屋且貸款及擁屋無貸款等三種 選擇模式，故本研究將採用林祖嘉(1994)之轉換模型來做估計，改寫之模型以下 列數學式表示：
𝑥𝑥1 = 𝛼𝛼01+ 𝛼𝛼11𝑦𝑦11+ 𝛼𝛼21𝑦𝑦21+ ⋯ + 𝛼𝛼𝑚𝑚1𝑦𝑦𝑚𝑚1 + 𝛽𝛽01+ 𝛽𝛽11𝑠𝑠11+ 𝛽𝛽21𝑠𝑠21+ ⋯ + 𝛽𝛽𝑛𝑛1𝑠𝑠𝑛𝑛1+ 𝜀𝜀1 𝑖𝑖𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑣𝑣01 + 𝑣𝑣11𝑠𝑠11 + ⋯ + 𝑣𝑣𝑛𝑛1𝑠𝑠𝑛𝑛1 ≤ 𝑉𝑉
𝑥𝑥2 = 𝛼𝛼02+ 𝛼𝛼12𝑦𝑦12+ 𝛼𝛼22𝑦𝑦22+ ⋯ + 𝛼𝛼𝑚𝑚2𝑦𝑦𝑚𝑚2 + 𝛽𝛽02+ 𝛽𝛽12𝑠𝑠12+ 𝛽𝛽22𝑠𝑠22+ ⋯ + 𝛽𝛽𝑛𝑛2𝑠𝑠𝑛𝑛2+ 𝜀𝜀2 𝑖𝑖𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑉𝑉 < 𝑣𝑣02+ 𝑣𝑣12𝑠𝑠12+ ⋯ + 𝑣𝑣𝑛𝑛2𝑠𝑠𝑛𝑛2≤ 𝑉𝑉
𝑥𝑥3 = 𝛼𝛼03+ 𝛼𝛼13𝑦𝑦13+ 𝛼𝛼23𝑦𝑦23+ ⋯ + 𝛼𝛼𝑚𝑚3𝑦𝑦𝑚𝑚3 + 𝛽𝛽03+ 𝛽𝛽13𝑠𝑠13+ 𝛽𝛽23𝑠𝑠23+ ⋯ + 𝛽𝛽𝑛𝑛3𝑠𝑠𝑛𝑛3+ 𝜀𝜀3 𝑖𝑖𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑣𝑣03+ 𝑣𝑣13𝑠𝑠13+ ⋯ + 𝑣𝑣𝑛𝑛3𝑠𝑠𝑛𝑛3 > 𝑉𝑉………..(2.a)
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上式中上標 r = 1,2,3 分別代表租房子、買房且貸款以及買房無貸款，𝑥𝑥𝑟𝑟代表 這三種家計單位的住宅需求；𝑦𝑦1𝑟𝑟… 𝑦𝑦𝑚𝑚𝑟𝑟代表家計單位扣除住宅支出以外的 m 種其 他項目之需求，𝑠𝑠1𝑟𝑟… 𝑠𝑠𝑛𝑛𝑟𝑟代表 n 種類家計單位經濟特性，𝑉𝑉及𝑉𝑉代表租買選擇之臨 界值，𝜀𝜀𝑟𝑟表示為誤差項。
由於(2.a)式子為一個截斷模型(truncated model)，若直接對𝜀𝜀𝑟𝑟計算期望值，會 發現期望值都不會為 0，我們可以用下列式子表示：
E(𝜀𝜀1|𝑣𝑣0+ 𝑣𝑣1𝑧𝑧1+ ⋯ + 𝑣𝑣𝑛𝑛𝑧𝑧𝑛𝑛 ≤ 𝑉𝑉) ≠ 0 E(𝜀𝜀2|𝑉𝑉 < 𝑣𝑣0+ 𝑣𝑣1𝑧𝑧1+ ⋯ + 𝑣𝑣𝑛𝑛𝑧𝑧𝑛𝑛 ≤ 𝑉𝑉) ≠ 0
E(𝜀𝜀3|𝑣𝑣0+ 𝑣𝑣1𝑧𝑧1+ ⋯ + 𝑣𝑣𝑛𝑛𝑧𝑧𝑛𝑛 > 𝑉𝑉) ≠ 0
我們可以立刻看出𝜀𝜀1、𝜀𝜀2及𝜀𝜀3和家計單位的租買選擇有關，也就是會受到 𝑣𝑣0+ 𝑣𝑣1𝑧𝑧1 + ⋯ + 𝑣𝑣𝑛𝑛𝑧𝑧𝑛𝑛的影響，若直接對(2.a)進行估計，會發現有出現偏誤(bias)和 不一致(inconsistency)的結果。
因為上述的資料被分成三部份而可能導致估計上的偏誤，故我們需要創造一 條方程式用來描述資料被分成三部分的特性，並可以使用最大概似法(MLE)合併 三條式子並加以估計，再利用 Johnson and Kotz(1972)計算被截斷後的機率期望 值，即可以估計出𝑣𝑣�, … 𝑣𝑣0 �，得到𝑉𝑉�和𝑉𝑉�。 𝑛𝑛
在假設𝑐𝑐𝑟𝑟為加入了家計單位的租買選擇行為後，我們對住宅需求所估計的誤 差項，我們對(2.a)的估計可修正成下列式子：
𝑥𝑥1 = 𝛼𝛼01+ 𝛼𝛼11𝑦𝑦11 + 𝛼𝛼21𝑦𝑦21+ ⋯ + 𝛼𝛼𝑚𝑚1𝑦𝑦𝑚𝑚1 + 𝛽𝛽01+ 𝛽𝛽11𝑠𝑠11+ 𝛽𝛽21𝑠𝑠21+ ⋯ + 𝛽𝛽𝑛𝑛1𝑠𝑠𝑛𝑛1+ 𝛾𝛾11𝑉𝑉�
+ 𝛾𝛾21𝑉𝑉� + 𝑐𝑐1
𝑥𝑥2 = 𝛼𝛼02+ 𝛼𝛼12𝑦𝑦12+ 𝛼𝛼22𝑦𝑦22+ ⋯ + 𝛼𝛼𝑚𝑚2𝑦𝑦𝑚𝑚2 + 𝛽𝛽02+ 𝛽𝛽12𝑠𝑠12+ 𝛽𝛽22𝑠𝑠22+ ⋯ + 𝛽𝛽𝑛𝑛2𝑠𝑠𝑛𝑛2+ 𝛾𝛾12𝑉𝑉�
+ 𝛾𝛾22𝑉𝑉� + 𝑐𝑐2
𝑥𝑥3 = 𝛼𝛼03+ 𝛼𝛼13𝑦𝑦13+ 𝛼𝛼23𝑦𝑦23+ ⋯ + 𝛼𝛼𝑚𝑚3𝑦𝑦𝑚𝑚3 + 𝛽𝛽03+ 𝛽𝛽13𝑠𝑠13+ 𝛽𝛽23𝑠𝑠23+ ⋯ + 𝛽𝛽𝑛𝑛3𝑠𝑠𝑛𝑛3+ 𝛾𝛾13𝑉𝑉�
+𝛾𝛾23𝑉𝑉� + 𝑐𝑐3……….(2.b)
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(2.b)即為加入了租買選擇後的估計式，若我們忽略𝑉𝑉及𝑉𝑉而直接估計(2.a)，則 估計到的住宅需求會有偏誤。因此，我們在作往後的 Heckman 第二階段的 OLS 估計時，必須要加入租買選擇。我們假設總體內租屋者的比例為𝑝𝑝1，買房且貸款 的比例為𝑝𝑝2，買房且無貸款的比例為𝑝𝑝3，則可以將往後要估計的 OLS 模型更改 為以下式子:
𝑦𝑦𝑖𝑖 = 𝛽𝛽0+ 𝛽𝛽1𝑥𝑥𝑖𝑖1+ 𝛽𝛽2𝑥𝑥𝑖𝑖2+ ⋯ + 𝛽𝛽𝑛𝑛𝑥𝑥𝑖𝑖𝑛𝑛+ 𝜉𝜉𝑖𝑖1𝑝𝑝𝑝𝑝1
2+ 𝜉𝜉𝑖𝑖2𝑝𝑝𝑝𝑝3
2+ 𝜀𝜀𝑖𝑖………..…..………....(2.c) 上式中，𝑝𝑝1
𝑝𝑝2以及𝑝𝑝3
𝑝𝑝2即為上節 multinomial logit 模型中家計單位經濟特性集合 S(及(𝑠𝑠1𝑟𝑟, 𝑠𝑠2𝑟𝑟… 𝑠𝑠𝑛𝑛𝑟𝑟))以及租買選擇臨界值(𝑉𝑉�及𝑉𝑉�)所估算出來的租買選擇相對機率值，
也就是上一節的(1.j)及(1.k)。𝜉𝜉𝑖𝑖1𝑝𝑝1
𝑝𝑝2以及𝜉𝜉𝑖𝑖2𝑝𝑝3
𝑝𝑝2及為下一節 Heckman 二階段估計中 由第一階段算出來要放入第二階段的 inverse mill’s ratio 變數，我們認為必須加入 此變數，在 OLS 的估計到的係數才會有不偏性。
(3)加入租買選擇後對家計單位其他支出的影響
我們欲對家庭的各項支出作估計，並分析這些因素造成影響的大小，在文獻 回顧中已有相當多的文獻對於這些有相當深入的分析，故我們可以預期當家計單 位的所得較高時，對於各項支出及某些支出比例皆會提高；然而，若是有些家計 單位此時還未擁有住宅或者想購買住宅，為了能直接購買或者付頭期款並且之後 定期繳交貸款，他們勢必被迫需要有較高的儲蓄來應付上述之頭期款或者貸款支 出，即為強迫儲蓄，若我們不去考慮他們可能出現的強迫儲蓄行為，而直接分析 家計單位的消費支出，可能會造成低估的效果。
我們要探討租買選擇造成的強迫儲蓄對於中國大陸家計單位在各項支出分 別的影響，由於所得為有限，所以家計單位對於各項支出必會互相考慮並且斤斤 計較，我們可以直覺得預估這些支出主要受到所得的影響。另外，我們也能預估 家計單位的特性會去影響他們的支出，像當是家中人數越多時，在食物上的支出 必然會越多，也就是對於食的支出影響較大。但由於可能只擁有一台汽車，家中
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的人可能都共乘一台車，故家中人數在行的方面可能影響就較小，因此我們在分 別估計食衣住行育樂的支出函數時，會將家計單位的特性放入函數作為變數。除 了家計單位的特性外，中國大陸城市及農村差異性極大，從王生林和朱麗琴 (2010)、吳春霞和劉瑞涵(2013)等學者的文獻可以發現他們都非常的注重農村的 消費特性，因此我們會將都市及農村的差異放入支出函數當作變數。另外，中國 大陸地區地域廣大，許多省分差異極大，因此我們也必須將地區的差異性放入支 出函數當作變數。家計單位在做支出的決策時，若在租買選擇中屬於租房子的族 群時，必然會將他們租房子的租金納入考量，可以預期當租金越高時，可能在娛 樂的支出相對的要減少以滿足基本住的消費，因此我們也會將租金納入支出函數 作為變數。若家計單位已考慮要買房時，不管是想要買房有貸款或是買房無貸款，
的人可能都共乘一台車，故家中人數在行的方面可能影響就較小，因此我們在分 別估計食衣住行育樂的支出函數時，會將家計單位的特性放入函數作為變數。除 了家計單位的特性外，中國大陸城市及農村差異性極大，從王生林和朱麗琴 (2010)、吳春霞和劉瑞涵(2013)等學者的文獻可以發現他們都非常的注重農村的 消費特性，因此我們會將都市及農村的差異放入支出函數當作變數。另外，中國 大陸地區地域廣大，許多省分差異極大，因此我們也必須將地區的差異性放入支 出函數當作變數。家計單位在做支出的決策時，若在租買選擇中屬於租房子的族 群時，必然會將他們租房子的租金納入考量，可以預期當租金越高時，可能在娛 樂的支出相對的要減少以滿足基本住的消費，因此我們也會將租金納入支出函數 作為變數。若家計單位已考慮要買房時，不管是想要買房有貸款或是買房無貸款，