第三章 文獻回顧
第一節 實證模型設定
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第四章 研究方法
第一節 實證模型設定
一、單根檢定
資料可分為時間序列資料及非時間序列資料，而時間序列資料又可分為定態 資料(Stationary)及非定態資料(Non-Stationary)，本文採用的資料為總體經濟變數，
且為時間序列資料，因此在建立實證模型時，各個變數皆須符合定態的假設，且 殘差項須符合白噪音(white noise)的條件。2
非定態資料是指當發生一外在衝擊後，造成的影響並不會隨著時間的經過降 低，以總體經濟學的角度來看，意即經濟體系中的外生衝擊 (exogenous shocks) 對於總體經濟變數的影響為恆久(permanent)的，任意一次的隨機衝擊就會造成時 間序列資料持續而長期性的改變。而在時間序列資料中，有兩種趨勢使得時間序 列資料呈現非定態：固定趨勢(fixed effect )及隨機趨勢(random effect)。
Nelson and Plosser (1982)指出，大多數的總體經濟時間序列均具有隨機趨勢，
因此若僅去除總體經濟時間序列的固定趨勢，並未去除時間序列的隨機趨勢，之 後的分析會有兩種問題發生：(1)用自我迴歸模型估計隨機趨勢序列獲得的自我 迴歸係數會發生小樣本向下偏誤情形 (small-sample downward bias)。(2)發生虛假 迴歸現象(spurious regression)，其指的是Granger and Newbold(1974)所提出的儘管 解釋變數及被解釋變數並未有相關性，但卻因為具有隨機趨勢，估計出的模型仍
2 白噪音定義為：(1)期望值為 0，(2)變異數為常數，(3)自我共變異數為 0
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會具有高度解釋力，且估計係數具有顯著t值，然而，此結果並不具任何經濟意 義。其中，第一種問題可用大樣本減少偏誤程度，然而第二種問題則無法解決，
因此我們必須去除隨機趨勢，使資料呈現定態，方可建立實證模型。
儘管Nelson and Plosser (1982)發現，大多數的總體經濟時間序列均具有隨機 趨勢，我們還是要先檢定本文所採用之總體經濟變數是否具有隨機趨勢。檢定時 間序列資料是否為定態資料有很多種方法，最早是由Dickey and Fuller(1979)所提 出的Dickey-Fuller(DF)檢定法，但由於DF檢定僅考慮AR(1)且並未考慮到殘差項 存在自我相關的情況，故Dickey and Fuller(1981)將原先的DF檢定進行修正，考慮 落後K期的資料，使得殘差項為白噪音，得出新檢定模型-Augmented Dickey-Fuller(ADF)，簡稱ADF檢定。當然，除了ADF檢定以外尚有其他檢定，各個檢定 皆有微小的差異，例如：Phillips and Perron (1988)所提出之PP檢定允許殘差項具 有異質變異及自我相關，並利用無母數方法修正ADF估計式。本文所採用的檢定 為ADF檢定，依據有無固定趨勢(截距項)或隨機趨勢，其檢定可分為三種模型，
第一種不含固定趨勢與隨機趨勢；第二種含固定趨勢但不含隨機趨勢；第三種包 含固定趨勢與隨機趨勢，其介紹如下：
1. 模型A：純粹隨機漫步模型：不具截距項與時間趨勢項(random walk)
Δ𝑦𝑡 = 𝛿𝑦𝑡−1+ ∑𝜌𝑖=1𝛽𝑖Δ𝑦𝑡−𝑖−1+ 𝜀𝑡 (4.1.1)
2. 模式B：包含常數項模型：具截距項但無時間趨勢項(random walk with drift)
Δ𝑦𝑡 = 𝛼0+ 𝛿𝑦𝑡−1+ ∑𝜌𝑖=1𝛽𝑖Δ𝑦𝑡−𝑖−1+ 𝜀𝑡 (4.1.2)
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3.模式C：包含常數項與時間趨勢項模型：具截距項與時間趨勢項(random walk with drift and trend)
Δ𝑦𝑡 = 𝛼0+ 𝛿𝑦𝑡−1+ 𝛼1𝑡 + ∑𝜌𝑖=1𝛽𝑖Δ𝑦𝑡−𝑖−1+ 𝜀𝑡 (4.1.3)
其中，𝛼0為截距項(drift term )，t為時間趨勢項(trend term)，𝜌、𝛽為參數，𝜀𝑡為誤 差項(白噪音)。
上述假設檢定之虛無假設為𝐻0：𝛿 = 0，對立假設為𝐻1：𝛿 ≠ 0。若拒絕虛無 假設，代表資料不存在單根問題，資料為恆定狀態，但若無法拒絕虛無假設，代 表資料存在單根問題，資料不為恆定狀態，在此種狀況下，須採用其他方法使得 資料不存在單根問題。常見的方法有對資料差分處理後再次進行單根檢定，重複 此項步驟直到成為穩定序列為止。但在討論實質景氣循環相關議題時，較常用的 方法為H-P濾波法，故本文採用Hodrick and Prescott(1997)所提出的H-P濾波法作 為消除單根問題的解決之道。
二、Hodrick and Prescott 分解(H-P filter，H-P 濾波法)
H-P 濾波法是由 Hodrick and Prescott(1997)所提出，其主要概念是將變數拆 解為趨勢(trend)及波動(cycle)兩部分，當變數隨著時間經過而產生變化時，將其 隨機趨勢平滑化，並消除波動的部分，其模型如下：
min ∑𝑇𝑡=1(𝑦𝑡− 𝑅𝑡)2 (4.1.4)
其中，𝑇為樣本數，𝑦𝑡為一時間序列資料，而𝑅𝑡則為隨機趨勢的部分，以上
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模型代表在給定資料數據的情況下，極小化波動的部分。然而僅有這樣的條件只 要讓𝑅𝑡 = 𝑦𝑡即可達到最小值，這樣會造成𝑅𝑡波動過大且與原先資料(𝑦𝑡)相同，並 無實質意義，因此中間必須加入一懲罰機制，給予過度波動的𝑅𝑡懲罰。完整模型 如下：
𝑅𝑡𝐻𝑃 = arg 𝑚𝑖𝑛 ∑𝑇𝑡=1(𝑦𝑡− 𝑅𝑡)2 + 𝜆 ∑𝑇−1𝑡=2[(𝑅𝑡+1− 𝑅𝑡) − (𝑅𝑡− 𝑅𝑡−1)]2 (4.1.5)
其中𝜆為平滑係數，主要功用為控制𝑅𝑡的平滑程度，若𝜆趨近於 0 則回到未給 予懲罰機制的模型，並沒有平滑的效果，長期趨勢值與原先數列差異不大。若𝜆 趨近無限大，則長期趨勢值趨近於線性。意即𝜆越大，時間趨勢的數列越平滑。
根據 Hodrick and Prescott(1997)的建議，若變數屬於年資料，則𝜆設定為 100；若 變數屬於季資料，則𝜆設定為 1600；若變數屬於月資料，則𝜆設定為 14400。
在求出長期趨勢值𝑅𝑡𝐻𝑃後，我們採用偏離比率作為單根檢定的變數，偏離比 率定義如下：
𝑦̂ =𝑡 (𝑦𝑡−𝑦𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑,𝑡)
|𝑦𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑,𝑡| (4.1.6)
其中𝑦̂ 為計算後的偏離比率，將以此變數作為再次單根檢定的資料，𝑦𝑡 𝑡為原 始時間序列資料，𝑦𝑡𝑟𝑒𝑛𝑑,𝑡則為H-P 濾波器計算出的長期趨勢值(即為𝑅𝑡𝐻𝑃)
三、實證模型設定
本研究欲探討總體景氣波動對台北市房屋價格的影響，採用複迴歸模型並以 最小平方法(Ordinary Least Squares，OLS)進行實證分析，再利用 newey and west
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型，前兩組探討總體經濟變數與房價指數間的關係，後兩組進一步將總體景氣分 為繁榮期與衰退期，驗證在不同時期房價的變動是否存在不對稱性。本研究欲以 一經濟變數作為景氣指標的代表變數，過去有許多文獻在研究景氣波動時以失業 率、經濟成長率、股價指數、工業生產指數等變數作為代替總體景氣之指標，故 本文參照 Wu and Cheng(2010)及許雯(2010)所採用的失業率(UN)及趙倚欣(2013) 採用之國內生產毛額年增率(GDP)作為主要變數。除了失業率及經濟成長率以外，
對照先前的文獻，可以發現放款利率(IR)、貨幣供給額(M2)、通貨膨脹率(CPI)、
台灣加權股價指數(TAIEX)皆對房價有一定程度的影響，為使整體模型更為完整，
本文將這些變數納入模型加以研究。以上這些變數皆為時間序列資料，以 ADF 檢定後若為非定態資料，將以 HP 濾波器估算其長期趨勢值，並計算偏離比率後，
再次進行 ADF 檢定，確定資料沒有單根問題後再套入迴歸模型中。
在確定資料沒有單根問題後，首先，我們排除其他總體經濟變數的干擾，分 別單獨建立失業率及經濟成長率對房價指數的實證模型，模型(一)如下：
𝐻𝑃̂ = 𝛽𝑡 0+ 𝛽1𝑈𝑁̂ + 𝜀𝑡 𝑡 (4.1.7)
𝐻𝑃̂ = 𝛽𝑡 0+ 𝛽1𝐺𝐷𝑃̂ + 𝜀𝑡 𝑡 (4.1.8)
其中，𝛽0為截距項，t 代表期數，HP 為台北市房價指數，UN 為失業率，GDP 為經濟成長率，ε為誤差項。再來，我們納入其他總體經濟解釋變數，以建立較 為完整的模型，模型(二)如下：
𝐻𝑃̂ = 𝛽𝑡 0+ 𝛽1𝑈𝑁̂ + 𝛽𝑡 2𝑀2̂ + 𝛽𝑡 3𝐼𝑅̂ + 𝛽𝑡 4𝐶𝑃𝐼̂ + 𝛽𝑡 5𝑇𝐴𝐼𝐸𝑋̂ + 𝜀𝑡 𝑡 (4.1.9)
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𝐻𝑃̂ = 𝛽𝑡 0+ 𝛽1𝐺𝐷𝑃̂ + 𝛽𝑡 2𝑀2̂ + 𝛽𝑡 3𝐼𝑅̂ + 𝛽𝑡 4𝐶𝑃𝐼̂ + 𝛽𝑡 5𝑇𝐴𝐼𝐸𝑋̂ + 𝜀𝑡 𝑡 (4.1.10)
接著，本文的目的除了研究總體經濟變數與房價的關係外，更進而探討景氣 於繁榮及衰退期間對房價影響之對稱性。亦即，我們延伸探討景氣繁榮期與景氣 衰退期對房價指數的影響效果是否一致，亦或是存在不對稱影響效果。若將失業 率作為景氣指標的代表變數，利用先前經由 HP 濾波器估算之長期趨勢值作為總 體景氣榮枯線之劃分，則當失業率原始值高於其長期趨勢值者，我們將之設定為 景氣衰退期，變數設定為𝑈𝑁̂𝑡+；失業率原始值低於其長期趨勢者，我們將之設定 為景氣繁榮期，變數設定為𝑈𝑁̂𝑡−。若將經濟成長率作為景氣指標的代表變數，一 樣利用先前經由 HP 濾波器估算之長期趨勢值作為總體景氣榮枯線之劃分，但當 經濟成長率原始值高於其長期趨勢值者，我們會將之設定為景氣繁榮期，變數設 定為𝐺𝐷𝑃̂𝑡+，而當經濟成長率原始值低於長期趨勢值者，我們將之設定為景氣衰 退期，變數設定為𝐺𝐷𝑃̂𝑡−。需要注意的是，此處所採用之數值皆為資料原始值扣 除趨勢值後再除上趨勢值之偏離比率，另外，由於已將繁榮期及衰退期分開討論，
故僅討論偏離比率之大小，不考慮正負號的影響，定義如下：
𝑈𝑁̂𝑡+ = { 𝑈𝑁̂ if 𝑈𝑁𝑡 ̂ ≥ 0𝑡
0 if 𝑈𝑁̂ < 0𝑡 and 𝑈𝑁̂𝑡− = { |𝑈𝑁̂ | if 𝑈𝑁𝑡 ̂ < 0𝑡
0 if 𝑈𝑁̂ ≥ 0𝑡 (4.1.11) 其中，𝑈𝑁̂𝑡+代表景氣衰退期，𝑈𝑁̂𝑡−代表景氣繁榮期
𝐺𝐷𝑃̂𝑡+ = { 𝐺𝐷𝑃̂ if 𝐺𝐷𝑃𝑡 ̂ ≥ 0𝑡
0 if 𝐺𝐷𝑃̂ < 0𝑡 and 𝐺𝐷𝑃̂𝑡− = { |𝐺𝐷𝑃̂ | if 𝐺𝐷𝑃𝑡 ̂ < 0𝑡
0 if 𝐺𝐷𝑃̂ ≥ 0𝑡 (4.1.12) 其中，𝐺𝐷𝑃̂𝑡−代表景氣衰退期，𝐺𝐷𝑃̂𝑡+代表景氣繁榮期
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接著，我們仍舊排除其他總體經濟變數的干擾，分別建立總體景氣循環對房 價指數影響效果之對稱性，模型三設定如下：
𝐻𝑃̂ = 𝛽𝑡 0+ 𝛽1𝑈𝑁̂𝑡++ 𝛽2𝑈𝑁̂𝑡−+ 𝜀𝑡 (4.1.13)
𝐻𝑃̂ = 𝛽𝑡 0+ 𝛽1𝐺𝐷𝑃̂𝑡++ 𝛽2𝐺𝐷𝑃̂𝑡−+ 𝜀𝑡 (4.1.14)
最後，我們將其他會影響房價指數之總體經濟變數納入，以建立較為完整的 模型，模型四如下：
𝐻𝑃̂ = 𝛽𝑡 0+ 𝛽1𝑈𝑁̂𝑡++ 𝛽2𝑈𝑁̂𝑡−+ 𝛽3𝑀2̂ + 𝛽𝑡 4𝐼𝑅̂ + 𝛽𝑡 5𝐶𝑃𝐼̂ + 𝛽𝑡 6𝑇𝐴𝐼𝐸𝑋̂ + 𝜀𝑡 𝑡 (4.1.15)
𝐻𝑃̂ = 𝛽𝑡 0+ 𝛽1𝐺𝐷𝑃̂𝑡++ 𝛽2𝐺𝐷𝑃̂𝑡−+ 𝛽3𝑀2̂ + 𝛽𝑡 4𝐼𝑅̂ + 𝛽𝑡 5𝐶𝑃𝐼̂ + 𝛽𝑡 6𝑇𝐴𝐼𝐸𝑋̂ + 𝜀𝑡 𝑡 (4.1.16)
在建立模型三及模型四後，可以觀察𝛽1及𝛽2之顯著程度，並可利用 Wald 檢 定檢驗𝑈𝑁̂𝑡+(𝐺𝐷𝑃̂𝑡+)與𝑈𝑁̂𝑡−(𝐺𝐷𝑃̂𝑡−)的影響效果是否存在不對稱性，而 Wald 檢 定的虛無假設為|𝛽1| = |𝛽2|。