第四章 實證研究
第二節 實證結果－無解釋變數
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若電流為常態分配，則距離期望值 6 倍標準差的尾端機率約為 ，若直接 以千萬筆（ 筆）的樣本數量估計至 6 倍標準差數值，因缺乏真實資料值對照，
估計結果無所依據，故本實證研究將目標縮小為估計至尾端機率 （約為 5.2 標準差）的電流值。
總言之，本實證研究目標為以較少的資料數量（少於 筆），估計右尾機率 、 、 、 （約為標準常態值 3.7、4.3、4.8、5.2）的極端電流值，
以及左尾機率 、 、 、 （約為標準常態值－5.2、－4.8、－4.3、
－3.7）的罕見電流值。
估計目標：左右尾機率 、 、 、 的電流值
電壓設定：電壓 1.0、電壓 0.8、電壓 0.6
樣本篩選：整筆樣本、尾端 1%樣本
估計方法：有解釋變數、無解釋變數(Moment 法、WLS(z) 、WLS(log)、EVT)
衡量指標：均方誤差 MSE
第二節 實證結果－無解釋變數
(一) Box-Cox 轉換資料
首先以 Q-Q Plot 了解三種電壓(1.0、0.8、0.6)下電流左右尾端分配情形。從 一千萬筆資料中，各隨機抽出 1%即十萬筆電流值，繪製 Q-Q Plot 如圖 4-1 所示
（圖中斜直線表示常態分配），由圖中可以看出不管是左尾還是右尾，電壓越小 其電流尾端數值越偏離常態分配，亦即電壓 0.6 時的電流左右尾偏離情形都較電 壓 0.8 與電壓 1.0 嚴重；另一方面，不管是哪一種電壓，電流右尾分配都比左尾 更為偏離常態。
接著以 Box-Cox 轉換方法嘗詴將三種電流值轉換成較為接近常態分配，見 圖 4-2，取其概似函數最大時的 值為最佳轉換次方值，電壓 1.0 時的電流最佳轉
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換次方值約為 0，即為 log 轉換，而電壓 0.8 時的最佳轉換次方約為 1/3，又電壓 0.6 時的最佳轉換次方約為 1/7，故以取 log、1/3 次方、1/7 次方轉換資料。轉換 後的電流值 Q-Q Plot 如圖 4-3 所示，三種電壓尾端電流值都變成較為近似常態，
其中又以電壓 0.6 轉換效果最好，樣本多在 Q-Q Plot 的對角線上，而電壓 0.8 次 之，電壓 1.0 轉換效果較差，左右尾兩端皆仍有偏離常態現象。
圖 4-1 三種電壓(1.0、0.8、0.6)下，電流值的 Q-Q Plot
圖 4-2 三種電壓的電流值進行 Box-Cox 轉換（無解釋變數）
圖 4-3 三種電壓(1.0、0.8、0.6)下，轉換後電流值的 Q-Q Plot
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(二) 樣本數決定
本研究希望能以較少的樣本數估計至千萬筆機率值( )，因此需要先決定 樣本數，考慮樣本數量為千萬筆的 10%、1%、0.1%、0.01%四種情況，亦即隨機 抽樣百萬筆、十萬筆、一萬筆、一千筆樣本，而後採用上述加權迴歸方法（WLS(z) 與 WLS(log)）估計尾端罕見機率電流值，反覆執行 10 次抽樣，計算估計值的均 方誤差(MSE)。
以電壓 1.0 資料為例，圖 4-4 為左尾（左圖）與右尾（右圖）的均方誤差，
當樣本數從一千筆增加至一萬筆、一萬筆增加至十萬筆、十萬筆增加至百萬筆時，
MSE 會逐漸減少，但減少幅度有略減趨勢，其中左尾 WLS(z)和右尾 WLS(log) 方法，樣本為十萬筆時的 MSE 已和百萬筆的 MSE 相當接近，而電壓 0.8 和電壓 0.6 皆有類似情況。
因此本實證研究決定以千萬筆資料的百分之一（即十萬筆）作為樣本數量。
從千萬筆電流值中隨機抽取十萬筆作為樣本進行估計，重覆 100 次抽樣，便得到 估計值平均與標準差，最後將此結果與千萬筆觀察值比較，以下先討論右尾各個 電壓的估計結果，再討論左尾各電壓的估計結果。
圖 4-4 電壓 1.0 左尾（左）與右尾（右）不同樣本數的 MSE（無解釋變數）
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兩種選樣方式下，WLS(z)、WLS(log)、EVT 估計結果皆優於 Moment 法，
其中以使用全部樣本的 WLS(log)其 MSE 最小為最佳估計方式，其次為 EVT，又
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EVT 在較高右尾機率值( )的估計較 WLS(log)佳，但於較低右尾機率值（
至 ）的估計較 WLS(log)差；而 WLS(z)的 MSE 較 WLS(z)和 EVT 大，而其 右尾 1%篩選樣本方式比使用整筆好。若單看偏誤情形，使用 Moment 法估計右 尾 至 電流值，其偏誤皆為使用整筆資料 WLS(log)的 6 倍以上、篩選 1%
右尾樣本 WLS(z)的 1.5 倍以上、EVT 的 2 倍以上；而 WLS(log)和 EVT 估計值 平均偏誤皆小於 2 倍估計值標準差。
表示電壓 1.0 下，以 WLS(z)、WLS(log)、EVT 能取代 Moment 法改善右尾 電流值估計，且使用整筆資料的 WLS(z)和門檻值 1%的 EVT，能夠有效估計至 右尾機率 電流值。
(2) 電壓 0.8 右尾
電壓 0.8 結果和電壓 1.0 類似，兩種選樣方式下，WLS(z)、WLS(log)、EVT 估計結果皆優於 Moment 法，其中以使用全部樣本的 WLS(log)其 MSE 最小為最 佳估計方式，其次為 EVT，又 EVT 在較高右尾機率值（ 與 ）的估計較 WLS(log)佳，但於較低右尾機率值（ 與 ）的估計較 WLS(log)差；而 WLS(z)的 MSE 較 WLS(z)和 EVT 大，而其右尾 1%篩選樣本方式比使用整筆好。
若單看偏誤情形，使用 Moment 法估計右尾 至 電流值，其偏誤皆為使用 整筆資料 WLS(log)的 2.8 倍以上、篩選 1%右尾樣本 WLS(z)的 1.7 倍以上、EVT 的 2 倍以上；而 WLS(log)和 EVT 估計值平均偏誤皆小於 2 倍估計值標準差。
表示電壓 0.8 下，以 WLS(z)、WLS(log)、EVT 能取代 Moment 法改善右尾 電流值估計，且使用整筆資料的 WLS(z)和門檻值 1%的 EVT，能夠有效估計至 右尾機率 電流值。
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(3) 電壓 0.6 右尾
以 MSE 最小為衡量準則，則 Moment 法估計最佳，其次為使用整筆的 WLS(z) 和 EVT，其中 EVT 在較高右尾機率值（ 、 與 ）的估計較 WLS(z) 佳，但於較低右尾機率值( )的估計較 WLS(z)差；而 WLS(log)所得 MSE 較 WLS(z)和 EVT 大，但其右尾 1%篩選樣本方式比使用整筆好。若單看偏誤情形，
使用 Moment 法估計右尾 至 電流值，其偏誤皆為 WLS(z)的 1.3 倍以上、
EVT 的 2 倍以上；而 WLS(z)和 EVT 估計值平均偏誤皆小於 2 倍估計值標準差。
表示電壓 0.6 下，若以不偏性為考量重點，WLS(z)和 EVT 能取代 Moment 法改善右尾電流值估計，且使用整筆資料的 WLS(z)和門檻值 1%的 EVT，能夠 有效估計至右尾機率 電流值；但若要同時考量不偏與變異小，採用 Moment 法估計表現較佳。
(四) 左尾部分實證結果
從千萬筆觀察值中重覆 100 次隨機抽樣十萬筆樣本值， 估計左尾罕見機率 電流值的均方誤差如表 4-2 所示。
表中由左而右分兩區塊：左為使用全部十萬筆樣本、右為只篩選 1%的樣本 資料；由上而下分三區塊：電壓 1.0、電壓 0.8、電壓 0.6。
每一種電壓下，MSE 平均而言最佳的估計結果（即 MSE 最小者）以粗體表 示，次佳者（即 MSE 次小者）以粗斜體表示。又各電壓下詳細的估計值平均和 標準差見附表 3，以圖形呈現估計值平均見附圖 2 左半部，以下分別探討各電 壓的左尾估計結果。
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(2) 電壓 0.8 左尾
電壓 0.8 估計結果與電壓 1.0 結果相似，使用全部樣本的 WLS(z)其 MSE 最 小為最佳估計方式，其次為 Moment 法和 EVT，又 EVT 在較高左尾機率值（ 、 與 ）的估計較 Moment 佳，但於較低機率值( )的估計較 Moment 差；
而 WLS(log)的 MSE 為最大，有低估左尾電流值的趨勢，而其左尾 1%篩選樣本 方式比使用整筆好。
若單看偏誤情形，使用 Moment 法估計左尾 至 電流值，其偏誤皆為 使用整筆資料 WLS(z)的 2.2 倍以上、EVT 的 2.3 倍以上；而 WLS(z)和 EVT 估計 值平均偏誤皆小於 1 倍估計值標準差。
表示電壓 0.8 下，以 WLS(z)、EVT 能取代 Moment 法改善左尾電流值估計，
且使用整筆資料的 WLS(z)和門檻值 1%的 EVT，能夠有效估計至左尾機率 電 流值。
(3) 電壓 0.6 左尾
以 MSE 最小為衡量準則，則 Moment 法估計最佳，其次為使用整筆的 WLS(z) 和 EVT，其中 EVT 在較高左尾機率值( )的估計較 WLS(z)佳，但於較低左尾 機率值（ 、 與 ）的估計較 WLS(z)差；而 WLS(log)的 MSE 較大，
而其右尾 1%篩選樣本方式比使用整筆好。若單看偏誤情形，Moment 法在左尾 較高機率值（ 與 ）的偏誤比 WLS(z)大，且在較高機率值（ 、 與 ）的偏誤比 EVT 大；而 Moment、WLS(z)和 EVT 估計值平均偏誤皆小於 1 倍估計值標準差。
表示電壓 0.6 下，若以不偏性為考量重點，WLS(z)和 EVT 能階段式的改善 Moment 法左尾電流值估計，且使用整筆資料的 WLS(z)和門檻值 1%的 EVT 能 有效估計至左尾機率 電流值；但若要同時考量不偏與變異小，採用 Moment 法估計較佳。
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