第三章 研究方法與模擬
第一節 研究方法
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第三章 研究方法與模擬
對於罕見機率電流值的估計，本文將之視為某分配尾端百分位數的估計，提 出加權迴歸方法，配合變數轉換與樣本篩選，建立尾端百分位數估計的流程與方 法，並比較常態外插方法和極值理論結果，第一節先說明本研究提出的估計方法 其想法與操作，而後第二節進行電腦模擬，將上述方法套用在幾種已知分配上，
包括常態、T 分配、Gamma 分配，以驗證估計效果，並確認實證資料估計時的 操作程序。
第一節 研究方法
在電流分配未知的情況下，欲估計尾端罕見機率電流值，此問題相當於：假 設隨機樣本 為 服從某分配 F， ，目標為估計百分位數 ，使 得 ， ，其中 即可視為電流隨機樣本，而 為欲估計之 尾端 機率電流值，F 則為電流分配，因此，以下先不將問題局限於電路設計中 的罕見電流值，而以 作為罕見事件的總稱，將目標轉化為估計 。
若 F 為常態分配 ， ，則可以透過估計一階、二階動 差(Moment)即 和 來估計 ，亦即 ，也就是文獻回顧中所敘 述的常態外插方法，本文稱此為「Moment 法」。
但若 F 並非常態分配，此方法將會產生偏誤，且越尾端的估計值錯估程度 越大，以 T 分配為例，假設 服從自由度 10 的 T 分配， ，欲 估計 、 、 、 、 ，以 Moment 法估計 的 1000 次模擬結果見表 3-1，結果顯示 錯估 達 3 倍標準差，又 錯估 高 達 65 倍標準差之多。
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表 3-1 以 T 分配為例，以 估計 (Moment 法)
1.3722 4.1437 7.5269
1000 次模擬 1.4317 3.4527 4.7653 0.0169 0.0318 0.0425
Moment 法雖可以較少的樣本數取代完整蒙地卡羅模擬，但當分配偏離常態 時便會出現問題，因此，本文提出先以 Box-Cox 法轉換觀察值，再以加權迴歸 或 Moment 法配合樣本篩選的估計程序，改善 Moment 法對於尾端非常態分配時 的估計偏誤，另外亦應用極值理論中的超越門檻法估計 。以下說明本研究對於 上述方法的操作。
(一) Box-Cox 轉換
對於隨機樣本 ， ，以常態檢定配合 Q-Q plot 觀察並檢定樣本 常態性，若樣本服從常態分配，則可以利用 Moment 法，即 估計 ， 若樣本不服從常態分配，則利用 Box-Cox 轉換將樣本轉換為近似常態分配，而 後再以 Moment 法或以下提出的加權迴歸方法估計 ，可以得到較好的估計值。
另外，因 Box-Cox 轉換法只能處理非負的數值，故對於包含負數的樣本，先將 整筆資料位移再執行轉換，便可解決此問題。
(二) 加權迴歸方法
資料經過 Box-Cox 轉換後，雖大部分都近似常態，但很常出現尾端仍有偏 離常態的趨勢，無法以 估計 ，需要別種方法對於罕見機率值的尾端 極值進行估計，本研究提出以經驗累積機率為解釋變數，配合 Down-weight 權重 的加權迴歸方法估計極值，其想法如下：
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假設有 1000 個樣本，將其排序後便可以找到每一個樣本對應的經驗累積機 率，反過來說，也就是可以找到經驗累積機率 0.001 至 0.999 所對應之樣本值，
但對於經驗累積機率 0.999 至 1 所對應之數值，亦即需要超過 1000 個樣本才能 知道的經驗累積機率部分，為未知且欲估計的部分，如圖 3-1 問號部分。
圖 3-1 經驗累積機率對應樣本值
欲利用這 1000 個樣本估計尾端未知的經驗累積機率數值，本質上為一種外 插估計問題，本研究提出以經驗累積機率作為解釋變數的迴歸方法，也就是把樣 本的經驗累積機率當成解釋變數(Independent Variable)，其對應的樣本電流值當 成反應變數(Dependent Variable)，進行簡單迴歸，而後外插估計至更為尾端（即 經驗累積機率更大）的電流值。
其中由於機率值最大為 1，亦即有範圍限制問題，因此本研究將樣本值的經 驗累積機率進行適當的轉換，作為解釋變數樣本值，轉換方法為「取 Log」、「轉 換成常態 Z 值(z-score)」，讓機率值範圍從原本的 0 至 1，變成 0 至無限大，以符 合對於極值無上限範圍的想法。
另外，由於欲估計的部分為尾端極值，本研究認為樣本各自的重要性應有所 差異，因此考慮加權最小平方(WLS)估計迴歸參數，根據觀察值代表性差異給定 不同權重(Weight)，想法為越尾端的樣本值較能反映極值趨勢，參考 Donald (2004) 給予最極端的樣本值最大權重 1、次極端的樣本值次大權重 、 、 、 、 ，
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而後執行以 Log 或 Z 分數轉換的經驗累積機率作為解釋變數的迴歸，見圖 3-2。
其中，以 Log 轉換經驗累積機率值的 Down-weight 加權迴歸方法，本文稱為
「WLS(log)」，而以常態 z 值轉換經驗累積機率值的 Down-weight 加權迴歸方法，
本文稱為「WLS(z)」。
圖 3-2 加權迴歸方法（上為 Z 分數轉換，下為 Log 轉換）
(三) 樣本篩選
對於隨機樣本 ，欲估計 使得 ，當 極小即 為尾端極值時，
若採用全部的樣本估計 ，則可能會納入太多普通樣本的資訊干擾，而影響極值 估計，產生低估（右尾而言）或高估（左尾而言），因此，一種作法為只採用樣 本的尾端資訊，認為尾端的樣本較能代表分配極端的表現，而捨去普通樣本，篩 選樣本尾端部分進行估計，如圖 3-3 所示。
樣本的全選或篩選代表了估計偏誤和變異的取捨，類似極值理論門檻值的想 法，因此本研究考慮兩種篩選樣本情況：選用整筆樣本，或是只篩選尾端部分比 例(m%)的樣本。
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圖 3-3 樣本篩選圖示
(四) 極值理論
對於本研究而言，欲探究的目標為分配尾端罕見機率值的電流極值，其於低 電壓下的有分配變異情形，亦即過了尾端某門檻電流值後會開始偏離常態，成為 另一種分配型態，故選擇極值理論中的超越門檻法，由 GPD 配適超過門檻值 u 的餘額分配，並以最大概似估計法(Maximum Likelihood Estimation, MLE)估計形 狀參數 和尺度參數 ，其中因門檻值的選擇並非本文重點，故門檻值參考經驗法 則，直接選擇特定比例作為門檻值進行比較，本文以「EVT」簡稱此方法。
總言之，本研究對於罕見機率電流值估計整理出以下方法，分別是以參數模 型（常態分配）外插的「Moment 法」、解釋變數為經驗累積機率取 Z 分數或 Log 的加權迴歸「WLS(z)」或「WLS(log)」、以及極值理論「EVT」，如圖 3-4 所示。
圖 3-4 罕見機率電流值估計方法 觀察值
Box-Cox 轉換 常態
非常態
「Moment 法」
極值理論：超越門檻法
「EVT」
加權迴歸 篩選樣本
「WLS(z)」、WLS(log)」
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