第二章 文獻探討
第三節 極值理論
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第三節 極值理論
極值理論(Extreme Value Theory, EVT)主要探討最大值（或最小值）的極限分 配，亦即描述尾端極值分配的方法，其應用發展可追溯至 1953 年荷蘭因海嘯潰 堤造成國家重大損失，而利用極值理論計算海堤所需之高度與厚度，而如今極值 理論已被廣泛地應用於各領域，包含有風險管理、保險、財務、水文、環境科學、
工程…等等。
根據「極值」選取定義的方式不同，極值理論分為兩種不同方法：區域最大 值法 (Block Maximum Method, BMM)和超越門檻法 (Peaks Over Threshold Method, POT)。BMM 為將樣本資料分為數個區間，以每個區間中的最大值為極 值，而 POT（又稱 Threshold Exceedances Method）設定一門檻值 u，認定大於 u 的樣本為極值。兩種極值選擇方法的示意圖見圖 2-2，BMM（左圖）分成四個 區間，則極值為 、 、 、 ，而 POT（右圖）設定門檻值 u，則極值為
、 、 、 、 、 。
圖 2-2 兩種極值選擇方法示意圖3：BMM(左)和 POT(右)
(一) 區域最大值法
Fisher and Tippet (1928) 和 Gnedenko (1943) 指 出 獨 立 且 具 有 相 同 分 配 (Independent and Identically Distributed, i.i.d.)的隨機變數序列 ，令
3 摘自 Gilli and Këllezi (2006)
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，若實數序列 、 存在且 ，則 會收斂至 三種非退化型分配 H，包含 Gumbel、Fréchet 和 Weibull 分配(Fisher－Tippet and Gnedenko Theorem)，稱之為極值分配(Extreme Value Distributions)；Jenkinson
(1955)將其表達成一般化極值分配(Generalized Extreme Value Distributions, GEV) 如下
其中 為形狀參數(shape parameter)、 為位置參數(location)、 為尺度參數 (scale)。當 為厚尾型態的 Fréchet family，如 Student t、log-gamma、Pareto 等分配； 為尾部指數衰退(exponentially decaying tail)型態的 Gumbel family，
例如 normal、log-normal、gamma、chi-squared、Gumbel 等分配； 為短尾型 態的 Weibull family，如 beta 等分配。
(二) 超越門檻值法
根據 Balkema and de Haan (1974)和 Pickands (1975)的推導，對於隨機變數 和 門檻值 u，超過門檻值 u 的餘額 )，其餘額累積函數(Excess
Distribution ) 為
當門檻值 u 越大， 會近似於廣義柏拉圖分配(Generalized Pareto Distribution, GPD)，其中 為形狀參數、 為尺度參數：
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使用 GPD 配適尾端極值分配時，如何權衡估計不偏性(Bias)和估計變異 (Variance)以選擇適當的門檻值是問題之一，因為過低的門檻值，會使得許多普 通的樣本被視為極端樣本，而導致估計偏誤，又若門檻值設定過高，則會選取過 少的極端樣本數，使得估計值變異過大。關於門檻值的選擇過去有許多的討論與 研究，但仍沒有一致性的準則，主要分成以下四種方法：
(1) 根據常識或背景知識，簡單的選擇某尾端比例為極值，大部分建議不超過 10%
至 15%，而 5%至 10%為經驗法則。
(2) 以圖形方法判斷，例如以 Q-Q plot 或 平均餘額圖(Mean Excess Plot)判斷圖形 呈直線關係或形狀改變時的門檻值，作為門檻值選擇依據。
(3) 以蒙地卡羅模擬方法，找到令均方誤差(Mean Squared Error, MSE)最小的門檻 值，例如 NcNeil and Frey (2000)與 Marimoutou, Raggad and Trabelsi (2006) 模 擬自由度 4 的 Student t 分配 1000 筆樣本資料，建議以第十分位數為門檻值，
因其 MSE 為最小。
(4) 以其他運算方法，如：拔靴法(Bootstrap)、迴歸法(Regression)計算使資料 MSE 最小的門檻值，以取代蒙地卡羅模型假設。
超越門檻方法的想法為：高過某門檻後會成為某個分配，將此想法連結至電 流值分配，低電壓下的電流值分配變異，即是過了尾端某部分比例的門檻電流值 後開始偏離常態，成為另一種分配型態，因此本文將極值理論中的超越門檻法應 用至罕見機率電流值的估計上，又因門檻值選擇並非本文重點，故門檻值參考經 驗法則，直接選擇特定比例的門檻值進行比較。
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