第三章 研究方法與模擬
第三節 模擬結果
本文以統計上常見的估計評量指標：均方誤差(Mean Square Error, MSE)作為 衡量四種估計方法的依據，MSE 同時考慮了估計值的偏誤(Bias)和變異(Variance)，
Normal T(df=10) gamma(2,1)
alpha
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(一) 模擬結果
1. 常態分配
模擬常態分配 10 萬筆樣本，Box-Cox 轉換（圖 3-6 左上）顯示最佳轉換次 方約為 1，亦即不需要轉換已是常態分配。
以 MSE 評量四種方法模擬 100 次的估計結果，MSE 越小表示估計越好：
Moment 法估計效果最好，誤差及變異皆最小；WLS(z)估計次佳，又樣本數 越多 MSE 越小，即右尾篩選樣本的方式對於 WLS(z)沒有幫助；而 WLS(log)和 EVT 估計較差，EVT 有右尾低估趨勢，而 WLS(log)有右尾高估的趨勢，但右尾 篩選樣本對於 WLS(log)和 EVT 有幫助，選樣比例越小 MSE 越低，又 EVT 門檻 比例為 1%時比 WLS(log)好、5%和 10%時比 WLS(log)差。
以常態分配而言，使 MSE 最小的估計方法為 10 萬筆全用的 Moment 法，其 次為 10 萬筆的 WLS(z)；若用 EVT 或 WLS(log)，採用右尾取樣 1%較全取資料 來的好。
圖 3-6 常態（左上）、T 分配（右上）和 Gamma（下）執行 Box-Cox 轉換
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2. T 分配（自由度 10）
模擬自由度 10 的 T 分配 10 萬筆樣本，Box-Cox 轉換（圖 3-6 右上）顯示 最佳轉換次方接近 1，約為 1.15，近似於常態分配，但由圖 3-7 的 Q-Q Plot（圖 中斜直線表示常態）顯示出原始樣本（左圖）尾端明顯偏離常態分配，1.15 次方 轉換後（右圖）尾端仍舊偏離常態，對此樣本而言，中心似常態但尾端偏離，
Box-Cox 轉換效果不佳。
以 MSE 評量四種方法模擬 100 次的估計結果，MSE 越小表示估計越好：
因 T 分配尾端偏離常態，WLS(z)和 Moment 皆有一定程度上的偏誤，又 WLS(z)比 Moment 多加了權重設定，故右尾偏誤情形沒有 Moment 法嚴重；
WLS(log)和 EVT 估計結果較好，又 WLS(log)篩選樣本比例對於 MSE 影響不大，
但對 EVT 有影響，其門檻比例越小 MSE 越小，門檻比例為 1%時比 WLS(log) 好、5%和 10%時比 WLS(log)差。
以 T 分配而言，使 MSE 最小的估計方法為門檻比例 1%的 EVT，而整筆樣 本選樣的 WLS(log)略差於 EVT，若以 WLS(z)，採用右尾 1%篩選樣本較使用整 筆樣本來的好，而 Moment 法則會嚴重低估尾端數值。
圖 3-7 之 10 萬筆樣本轉換前（左）和轉換後（右）Q-Q Plot
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3. Gamma 分配( 2, 1)
模擬 Gamma 分配( 2, 1)10 萬筆樣本，Box-Cox 轉換（圖 3-6 下）顯 示最佳轉換次方約為 0.303，由圖 3-8 的 Q-Q Plot（圖中斜直線表示常態）顯示 出原始樣本（左圖）尾端明顯偏離常態分配，0.303 次方轉換後（右圖）近似常 態，唯有最尾端稍微偏離常態，Box-Cox 轉換效果佳。
以 MSE 評量四種方法模擬 100 次的估計結果，MSE 越小表示估計越好：
因轉換後 Gamma 分配近似常態但尾端稍微偏離，故 Moment 法尾端有低估 趨勢；而考慮了尾端權重修正的 WLS(z)估計為最佳；WLS(log)整筆樣本全用時 會高估尾端數值，但隨著右尾篩選樣本的比例越少，MSE 越低，1%比例時甚至 比 Moment 估計來的好；而 EVT 有右尾低估趨勢，但隨著門檻值越小 MSE 越小，
1%取樣時估計結果傴次於 WLS(z)。
以 Gamma 分配而言，使 MSE 最小的估計方法為使用整筆樣本的 WLS(z)，
其次為門檻值 1%的 EVT，和右尾篩選樣本 1%的 WLS(log)，三種方法皆優於 Moment 法估計。
圖 3-8 Gamma(2,1)之 10 萬筆樣本轉換前（左）和轉換後（右）Q-Q Plot
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別採用 Moment 法、WLS(Z)、WLS(log)估計電流極值，其中 Moment 法為隨機 抽樣，而 WLS(Z)、WLS(log)為右尾取樣，並比較門檻值 1%的 EVT 估計方法，‧ 國
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