實證資料分析結果

壹、國小數學第九冊「分數」單元測驗之表現

本研究所使用之實證分析資料共有127 位受試者，經由 PCAISM 系統 進行資料分析後，為進一步瞭解不同受試者的個別化概念階層結構之差異 所在，研究者以全體受試者的通過率平均值為依據，將通過率高於平均值 一個標準差以上的所有受試者歸類並命名為高分組；針對通過率介於平均 值上下一個標準差之間的所有受試者，將其歸類並命名為中分組；而通過 率低於平均值一個標準差以下的所有受試者則歸類並命名為低分組。全體 受試者與各分組的測驗表現，以及各組人數比例如表4-3-1 所示。

表4-3-1 全體受試者與各分組測驗表現以及人數比例 平均通過率 通過率標準差

全體 0.65 .2483 人數 比例

高分組 0.96 .0372 20 15.75%

中分組 0.69 .1419 84 66.14%

低分組 0.24 .1045 23 18.11%

由表4-3-1 可知，三組中以中分組人數比例最高，所佔比例為 66.14%；

其次是低分組，所佔比例為 18.11%；人數比例最低者為高分組，僅佔 15.75%。由上述資料顯示，大部分的受試者在此單元測驗上的能力表現 相當平均。

本測驗共有 10 題，總共測量 4 個概念，全體受試者與各組受試者於 每個概念的精熟度平均值，以及各概念所屬試題，如表4-3-2 所示。

表4-3-2 全體與各組受試者之概念精熟度以及各概念所屬試題 概念1 概念2 概念3 概念4

所屬 試題

1,2,3,6,

7,8,9,10 5,7,8,9 3,4,5,6 ,9,10

2,3,4,5, 6,7,8,10

精熟度

平均值 標準差 全體 0.62 0.54 0.56 0.58 0.58 高分組 0.96 0.85 0.71 0.76 0.81 .1464 中分組 0.69 0.61 0.52 0.54 0.57 .0510 低分組 0.46 0.48 0.46 0.45 0.46 .0106

由表4-3-2 可歸納受試者於四個概念的精熟度表現如下：

1. 就全體受試者而言，以概念 1 的精熟度最高，精熟度最低者為概念 2，

即受試者對於「能用約分、擴分處理等值分數的換算」最為精熟，而 最不精熟於「能用通分做簡單異分母分數的比較與加減」此概念。

2. 就高分組與中分組而言，二組受試者皆以概念 1 的精熟度最高，概念 3 的精熟度最低，即二組受試者皆對於「能用約分、擴分處理等值分 數的換算」最為精熟，且最不精熟於「能在測量情境中，理解分數之 整數相除的意涵」此概念。

3. 就低分組而言，則以概念 2 的精熟度最高，概念 4 的精熟度最低，即 該組受試者對於「能用通分做簡單異分母分數的比較與加減」最為精 熟，對於「能理解乘法為分數的意義及計算方法，解決生活中的問題」

此概念最不精熟。

貳、不同組別受試者的概念階層結構圖之比較

研究者從高分、中分及低分三組中各隨機選取二位受試者，作為比較 不同組別受試者的概念階層結構圖之舉例，並探討其特徵及差異，各組受 試者代表及比較結果說明如下。

一、高分組

挑選自高分組的兩位受試者代表，分別為受試者 43 及受試者 70，將 此二位受試者的作答反應資料及試題概念屬性資料經由 PCAISM 系統進

行分析運算後 ( .53)，可得到受試者之概念精熟度，如表 4-3-3 所示，

以及個人化概念階層結構圖，如圖4-3-1 和圖 4-3-2 所示。

表4-3-3 高分組兩位受試者之通過率與概念精熟度 概 念 精 熟 度

受試者

編號 通過率

概念1 概念2 概念3 概念4 平均精熟度 43 0.93 0.79 0.61 0.66 0.74 0.70 70 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00

圖4-3-1 受試者 43 的概念階層結構圖

由圖4-3-1 可知，在階層數方面，受試者 43 的概念階層結構圖共有四 層，即四個概念皆位於不同階層，由下往上依序為概念1、概念 4、概念 3 以及概念 2。就概念間連結關係而言，概念 1 指向概念 4，表示概念 1 為 概念4 的先備概念；同理，概念 4 為概念 3 的先備概念，概念 3 為概念 2 的先備概念。

圖4-3-2 受試者 70 的概念階層結構圖

由圖4-3-2 可知，受試者 70 的概念階層結構圖為一層，即概念 1~4 皆 位於第一階層。就階層中的概念而言，各個概念互為等價概念且各個概念 精熟度均為1，顯示其為完全精熟且類似專家的知識結構。

綜合以上所述，高分組受試者的概念階層結構圖，其比較結果如下：

1. 就階層中的概念而言，受試者 43 有四層，且四個概念分屬不同階層，

而受試者70 的四個概念皆位於第一層中。

2. 就概念精熟度方面，對於受試者 43 而言，其以「能用約分、擴分處理 等值分數的換算」為最精熟且為最下位的基礎概念。而以「能用通分 做簡單異分母分數的比較與加減」為最不精熟的概念。而對於受試者 70 而言，四個概念都達到完全精熟，顯示該受試者已完全學會此單元 的所有概念。

二、中分組

挑選自中分組的兩位受試者代表為受試者55 及受試者 110，其概念精 熟度與通過率，如表4-3-4 所示；其個人化概念階層結構圖，如圖 4-3-3、

圖4-3-4 所示。

表4-3-4 中分組兩位受試者之通過率與概念精熟度 概 念 精 熟 度

受試者

編號 通過率

概念1 概念2 概念3 概念4 平均精熟度 55 0.80 0.66 0.51 0.61 0.65 0.61 110 0.61 0.56 0.52 0.50 0.56 0.54

圖4-3-3 受試者 55 的概念階層結構圖

由圖4-3-3 可知，受試者 55 的概念階層數共有三層。就階層中的概念 方面，第一層有概念1 與概念 4，第二、三層分別為概念 3、概念 2。在概 念間的連結關係方面，概念1 與概念 4 都指向概念 3，顯示概念 1 與概念 4 均為概念 3 的先備概念；而概念 3 指向概念 2，則表示概念 3 為概念 2 的先備概念。

圖4-3-4 受試者 110 的概念階層結構圖

由圖 4-3-4 可知，受試者 110 的概念階層數共有二層。就階層中的概 念方面，第一層有概念 1 與概念 4，第二層有概念 2 與概念 3。就概念間 的連結關係，第一層中互為等價關係的概念1 與概念 4，皆指向概念 2 與 概念3，顯示二者同時為概念 2 與概念 3 的基礎。

綜合以上所述，中分組受試者的概念階層結構圖，其比較結果如下：

1. 在階層數方面，受試者 55 有三層，受試者 110 有二層。

2. 就階層中的概念方面，受試者 55 與受試者 110 皆以位於第一階層的概 念1 與概念 4 為基礎，顯示二位受試者在「能用約分、擴分處理等值 分數的換算」與「能理解乘法為分數的意義及計算方法，解決生活中 的問題」兩概念較為精熟。

3. 就連結關係而言，兩位受試者的概念 1 與概念 4 都有指向概念 3，代 表要學會「能在測量情境中，理解分數之整數相除的意涵」此概念之 前，必須先學會「能用約分、擴分處理等值分數的換算」與「能理解 乘法為分數的意義及計算方法，解決生活中的問題」兩概念。

三、低分組

挑選自低分組的兩位受試者代表為受試者23 及受試者 101，其概念精 熟度與通過率，如表4-3-5 所示；其個人化概念階層結構圖如圖 4-3-5、圖 4-3-6 所示。

表4-3-5 低分組兩位受試者之通過率與概念精熟度 概 念 精 熟 度

受試者

編號 通過率

概念1 概念2 概念3 概念4

精熟度 平均值 23 0.32 0.47 0.49 0.45 0.47 0.47 101 0.20 0.47 0.47 0.45 0.46 0.46

圖4-3-5 受試者 23 的概念階層結構圖

由圖4-3-5 可知，受試者 23 的概念階層數為二層。就階層中的概念方 面，第一層有概念2，第二層有概念 1、概念 3 與概念 4。而概念間的連結 關係僅有概念2 指向概念 3 一種，由此可知，概念 2 為概念 3 的先備概念。

圖4-3-6 受試者 101 的概念階層結構圖

由圖4-3-6 可知，受試者 101 的概念階層數為一層，亦即概念 1、概念 2、概念 3 與概念 4 皆位於同一階層中。且四個概念之間，沒有任何連結 關係存在，顯示受試者101 的概念學習不具有結構性。

綜合以上所述，低分組受試者的概念階層結構圖，歸納結果如下：

1. 在階層數方面，受試者 23 有二層，受試者 101 有一層。

2. 就階層中的概念方面，受試者 23 以「能用通分做簡單異分母分數的比 較與加減」此概念位於最下層，顯示此概念較為精熟，而其他三個較 不精熟的概念則位於第二層；而受試者101 的四個概念皆位於第一層。

3. 就連結關係而言，比較兩位受試者，僅有受試者 23 有一個連結關係，

即欲精熟「能在測量情境中，理解分數之整數相除的意涵」概念，必 須先精熟「能用通分做簡單異分母分數的比較與加減」此概念。

四、不同組別受試者其概念階層結構圖之差異

研究者將前述各分組之比較結果歸納後，得到以下結論：

（一）就概念階層數而言，三組受試者的概念階層數皆不盡相同，受試者 70 (高分組) 與 101 (低分組) 的概念階層結構圖皆為一層，受試者 23

(低分組) 與 110 (中分組) 的概念階層結構圖皆為二層，受試者 55 (中 分組) 的概念階層結構圖有三層，而受試者 43 (高分組) 的概念階層 結構圖則為四層，此說明由受試者的概念階層數量，並無法推測其能 力表現的高低。

（二）就概念精熟度而言，從三組受試者都可發現，位於愈高階層的概念，

對於受試者而言則愈困難，亦即該概念的精熟度愈低。且概念精熟度 從高分組、中分組到低分組呈現往下遞減的趨勢，顯示受試者於概念 的精熟程度會直接影響其能力表現。

（三）就概念間連結關係而言，不同組別的受試者其概念階層結構有所不 同，因此其連結指向關係也就有差異存在，但整體看來，呈現出能力 表現愈好的受試者，其概念與概念之間的連結關係愈多的現象；也顯 示能力愈好的受試者，其概念階層結構圖愈完整，且愈具結構性。

參、總分相同作答反應組型不同受試者的概念階層結構圖之比較

研究者首先將三組中以總分為依據，將相同總分的受試者歸類為各分 組中的子分組，接著從各組中隨機挑選一個子分組，再從此子分組中隨機 選取兩位受試者並檢查是否符合作答反應組型不同，若符合，則選取完 畢；否則，重新挑選子分組並重新選取受試者。

完成抽選後，將各組中總分相同但作答反應組型不同的兩位受試者，

進行其概念階層結構圖的特徵與差異之比較，各組受試者的比較結果說明 如下。

一、高分組

高分組中兩位相同總分的受試者，分別為受試者35 及受試者 117，其 作答反應組型如表 4-3-6 所示，進行 PCAISM 分析 ( .53) 後所得到的 個人化概念階層結構圖，如圖4-3-7、圖 4-3-8 所示。

表4-3-6 高分組兩位同分受試者之作答反應組型

表4-3-6 高分組兩位同分受試者之作答反應組型