小數概念之分析

壹、小數的起源

縱觀世界的數學史，不難發現各個民族使用小數的時期比分數晚很多，無一 例外。然而，世界上最先使用小數的國家就是中國。由魏晉時期數學家--劉徽所編 寫的九章算術注中，可以知道劉徽在當時為了處理開方開不盡時所提到的「微 數」 ，指的就是小數，所以說劉徽是小數之先導，也當之無愧。另外根據《孫子 算經》的記載：度之所起，起於忽。欲知其忽，蠶所生，吐絲為忽。十忽為一秒，

十秒為一毫，十毫為一釐，十釐為一分，十分為一寸，十寸為一尺，十尺為一丈，

因此可知古代用釐、毫、秒、忽表示小數部分，如三丈二尺四寸六分一釐九毫七 秒八忽，而「一釐九毫七秒八忽」就是小數部分。而在西元八世紀的《夏侯陽算 經》中，常常只以一個單位來說明數量，並不再列出它以下的單位。如 456 丈 4 尺 5 寸 1 分，會將這個數化為 456 丈 451，這時候「丈」這個單位便有了兩種意義，

其一是長度單位，其二就是扮演小數點的角色。之後，南宋數學家秦九韶及元朝 數學家李冶都受其影響並加以改良小數的記法，使記法與今日的記法更為接近。

再回顧其他國家，中亞的阿爾‧卡西在 13 世紀才掌握十進分數。在 1585 年，

荷蘭的 Simon Stevin 才在他的著作「De Thiende」中，第一次明確地陳述了小數的 理論，而且 Simon Stevin 的小數記法還遠不如唐宋時期的中國。

貳、小數概念的構成要素

先指導學童學會整數的教材，再進而導入分數，最後才會利用分數概念將小數引 進。國外有許多研究也顯示已有的整數與分數知識會影響到小數的學習（Payne, 1984；Resnick, 1987；Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson, & Peled, 1988, 1989），而劉曼麗（1998，2000）也提出可從整數與分數的剖析小數的結構與意義。

因此，以下將小數概念的構成要素分成小數的結構及意義兩個不同角度來探討：

一、 小數的結構

中國人在春秋時期已發展出十進位值制記數及四則運算，顯示在更早以 前，中國人就已經使用十進位法，直到現在。所以，中國人與十進位法有很深 的淵源。甯自強（1997）提出兒童的數概念除了必須有以 1 為單位的數概念結 構外，兒童至少需要能多使用另一個單位─「十」來結構他們的數概念。事實上，

需要能同時使用，包含百、千、萬等的更多的單位，來組織他們的數概念，並 且在使用的過程中還不能相互混淆。也就是說在學習整數時，不只是使用「1」

為單位來表示，還要能知道這個整數是由多少個「十」、「百」、「千」、「萬」等 其他單位所合成的一個數。更簡單的來說，像這樣利用相關位置來說明一個數 內各個數字的意義，稱之為「位值概念」。

小數的多單位記數系統只是整數的多單位記數系統的延伸，同樣與整數只 使用 0 到 9 的數字，並結合位值概念來表示小數。例如 0.462 可以表示是由 4 個 0.1、6 個 0.01 及 2 個 0.01 所合成的數。

此外，Hiebert（1992）對於小數的位值概念提出三項定理來解釋：

而 Hart 等人（1981）比 Hiebert 更早提出學童要發展小數位值概念，就要先 具有整數位值概念，並且將小數位值概念的認知層次分成以下六個階層：

層次1：千位以內的整數位值概念（Place-value in whole numbers up to thousands）。

層次2：一位小數（Decimals - tenths）。

層次3：二、三位小數（Decimals – hundredths, thousandths）。

層次4：與左邊的位值關係（Decimals – relation with adjacent place on left）。

層次5：更複雜的位值關係（Decimals – more complex relations between places）。

層次6：商為小數；小數有無限多個（Decimals – as the result of a division; infinite number of decimals）。

Hart 的研究更進一步指出 12 歲的學童大多能達到層次 3，但達到層次 6 的

學生產生助益，小數的結構（右邊的數字是左邊數字的 10

1 ）是由整數知識類推，

而小數的意義（小數與分數可互換）是由分數概念了解。