第四章 研究結果與分析
第二節 試題關聯順序性係數之分析
表 4-8 試題關聯順序性係數之 0-1 矩陣表
壹、整體試題關聯結構圖
在此部分，以兩個層面來看。其一是橫斷層面，意指由試題的答對率來分析；
其二是縱貫層面，意指由試題關聯結構圖來說明。分析說明茲列如下：
一、就橫斷層面來看
由受試者答題的答對率來看整體試題的橫斷層面，依答對率高低可分成四 個類別，如表 4-9 所示。
表 4-9 小數除法試題橫斷層面分析
答對率類別 試題特性 題號
小數除以整數，商為整數，有餘數。 3、6
小數除以整數，商為小數，沒有餘數 4、16
小數除以整數，要補零才能除盡 11、15
小數除以小數，商為整數，有餘數 2
.90-1
小數除以小數，商為整數，沒有餘數 1、7、17
小數除以整數，商為小數，沒有餘數 13
.80-.89
小數除以小數，商為小數，沒有餘數 5、9、19
小數除以整數，商為整數，有餘數 12
小數除以小數，商為整數，有餘數 20
.70-.79
小數除以小數，商使用四捨五入法取到指定小數位數 10、18
再談到答對率在.80 到.89 之間的試題，試題 13 與試題 4、16 同屬「小數除 以整數，商為小數，沒有餘數」之概念，但通過率卻不與試題 4、16 一樣高，
經分析題目後發現試題 13 的選項中，含有比試題 4、16 較多似真性及合理性的 錯誤選項，也因此可由此題區分出真正會作答與不會作答的學童。另外，試題 5、
9、19 皆屬「小數除以小數，商為小數，沒有餘數」之概念，其答對率比前一類 別來得低，且由專家結構圖可知這一個部分的概念屬於較上位的概念。因此，
試題 5、9、19 的位置是符合專家結構圖。
最後，將後兩項類別一起合起來看。試題 10、14、18 同屬「小數除以小數，
商使用四捨五入法取到指定小數位數」之概念，而試題 14 又比試題 10 及 18 的 答對率來得更低，經分析題目及晤談學童後發現三個原因：其一是題目較生活 化，也就是非課本或試卷制式的問題，使學童看到不熟悉的問題而慌了手腳；
其二是題目要求不同，試題 10 及 18 皆要求學童把商四捨五入到小數第一位，
但試題 14 則要求到小數第二位，有不少的學童沒有看清楚題目而作答；其三是 題目要求商四捨五入到小數第二位，但因此題四捨五入牽涉到連進兩位的問 題，如 13.897…≒13.90，學童在回答時需要結合概數的概念，因此使此題的難 度提昇不少，而表 4-9 也可看出試題 14 的難易度指標值是最低的。但在後兩項 類別中，試題 8、12、20、21 這四題應屬於下位的概念，可是答對率跟與其同 一概念的試題來比較卻相對的低。尤其是試題 8 與試題 20，這兩題同屬一個概 念，可是答對率卻差了.16。接下來，將分成試題 8 與試題 20、試題 12、試題 21 共三部分來探究。
分析題目後，試題 8 可以很清楚知道學童答題時的困難為何。試題 8 顯示 學童在學習小數的運算時，仍停留在只重於學會如何計算，卻不去注意小數運 算的意義。而試題 20 與試題 2 的題型及選項大同小異，但試題 20 的答對率卻
個步驟所代表的意義為何。再談到試題 12，試題 12 與試題 3、6 同屬「小數除 以整數，商為整數，有餘數」之概念，且由專家結構圖中顯示這個概念是屬於 非常下位的概念，但由於試題 12 題目的數字較大，使得學童在回答時需計算較 多位值，也間接使計算錯誤的情形發生率提高不少。最後，學童在作答試題 21 時，證明學童在學習除法時，只著重在如何計算而忽略了除法的意義，也更證 明許多學者提出的看法—學童在作除法時，會拿大數去除以小數，而忽略題目 的情境。
二、就縱貫層面來看
本測驗共有 21 題，以閥值 0.5 為標準，以答對率為縱軸，縱軸愈往上代表 答對率愈低，依試題關聯順序性係數之 0-1 矩陣表（如表 4-8）將群體受試者之 試題關聯結構圖畫出，並經過消除遞移關係及合併等價關係，經簡化後如圖 4-1。
0.9 0.8 0.7 0.6
2
9 5 19
18 20 10
14 8
3
6 15 11
13 12
21
16
由圖 4-1 可以發現群體受試者之結構圖是由試題 1、4、7、17 為最下位概念再 向上延伸，以試題 8、10、14、21 為上位概念，其中又以試題 8 及 14 位置最高，
形成最上位概念。
觀察結構圖，發現其中有三組等價關係，即為試題 1、7、17 為一組，試題 18、
20 為一組，及試題 12、20 為一組。這三組等價關係，試題 1、7、17 本屬同一概 念，因此產生等價關係是合乎預測的。但試題 18、20 及試題 12、20 卻各自分屬 不同概念，但在試題關聯結構圖中卻呈現等價關係。另外，按照試卷設計，應該 為等價關係的試題，如試題 10、14、18，之間卻沒有呈現順序關聯，類似情況也 出現在其他的試題之間。由上述可顯示試題關聯結構法仍有需要做進一步修正之 處。
除此之外，等價關係試題 1、7、17 及試題 4 位於最下位概念，並由等價關係 試題 1、7、17 及試題 4 各自向上發展延伸出兩個系列結構，如圖 4-2。觀察圖 4-2，
不難發現小數除以小數概念試題，如試題 8、10、14，大部分散布在上位概念中，
而小數除以整數概念試題，如試題 6、15、16 等，大多數分布在下位概念中，顯 示學童在學習小數除法時，要先進行小數除以整數的教學，之後才再進行小數除 以小數。
但在小數除以整數的系列結構中，應該試題 3、6 或 12 為最下位概念，但結 構圖卻呈現試題 4 為最下位概念，再分別指向試題 3、6、12，試題 4 屬於「小數 除以整數，商為小數，沒有餘數」，而試題 3、6、12 屬於「小數除以整數，商為
0.9
因此，由試題關聯結構圖可以呈現出學童的結構概念發展（如圖 4-3），和專 家結構圖（如圖 3-3）有些許出入。
圖 4-3 試題關聯結構圖之概念發展過程 小數除以整數，
商為小數，沒有餘數
小數除以小數，
商為整數，沒有餘數
小數除以小數，
商為小數，沒有餘數
小數除以小數，
商為整數，有餘數
小數除以小數，商使用四 捨五入取到指定小數位數 小數除以整數，
商為整數，有餘數
小數除以整數，
要補零才能除盡
關係及孤立點來分析及由個別試題來分析，現將分析說明一一列於下方：
(一)由答對率來分析
由答對率可知，試題 3、4、6、11、13、15、16 答對率皆為.85 以上，對 六年級學童而言，屬於較為簡單的概念。但試題 12 答對率只有.79，試題 21 答對率只有.67，屬於稍有難度的概念。
此外，低分組學童在試題 12 的答對率是最低的，顯示低分組學童在處理 較多位數的小數除法時，所遇到的困難比較多。
(二)由結構圖來分析
由圖 4-4 得知，受測孩童在「小數除以整數」概念上，其概念結構圖為
與專家概念結構圖比對，發現專家概念結構圖認為「小數除以整數，商 為整數，有餘數」應該是最下位概念，但做出的結果卻是「小數除以整數，
小數除以整數，要補零才能除盡
小數除以整數，商為整數，有餘數
小數除以整數，商為小數，沒有餘數
(三)由等價關係及孤立點來分析
在此題中，第○2 及○3 選項為誘答選項，選擇○2 的學童可能屬於粗心大意 型，如下圖，看到餘數為 2.25，就選擇第○2 選項，但沒有再去檢驗商是否正 確；
14 9 128.25
9 38 36
2.25
選擇○3 的學童可能只看到餘數有出現 2.2，但沒有注意小數第二位的數值 是否有加入到 2.2 中。表示學童在處理小數除法時，對於「算到固定位值，呈 現餘數的意義」之概念不清楚，而在低分組的學童，此題答對率只有.50，顯 示低分組的學童對餘數的意義更有迷思。
二、「小數除以小數」子概念試題關聯結構圖之分析
「小數除以小數」之子概念試題共 12 題，分別為第 1、2、5、7、8、9、10、
選項 ○1 ○2 ○3 ○4
人數 0 2 5 26
百分比 0％ 6.06％ 15.15％ 78.79％
表 4-11 「小數除以小數」子概念試題之各題答對率一覽表
題號 1 2 5 7 8 9 10 14 17 18 19 20 全 體
答對率
1.00 .97 .85 1.00 .58 .85 .73 .58 1.00 .76 .82 .76
高分組 答對率
1.00 1.00 .92 1.00 .92 .92 .92 .77 1.00 .92 1.00 1.00
低分組 答對率
1.00 .90 .70 1.00 .10 .70 .60 .30 1.00 .40 .40 .30
圖 4-5 「小數除以小數」子概念試題之試題概念結構圖 1.0
0.9 0.8 0.7 0.6
7 17 1
2
5 9
19 18 20
10
14 8
就試題 8 來分析，高分組學童之答對率在此題表現佳，但低分組學童卻 相當低，顯示低分組學童在小數除法中，對小數點移位前後代表的意義有所 迷思。但在試題 14 中，不論是高分組或低分組學童，兩組在答對率的表現都 不理想，顯示學童對於學習四捨五入進位法仍有不足之處。
(二)由結構圖來分析
由圖 4-5 得知，受測孩童在「小數除以整數」概念上，其概念結構圖為
與專家概念結構圖比對，發現專家概念結構圖認為「小數除以小數，商 為整數，有餘數」應該是指向「小數除以小數，商為小數，沒有餘數」，但做 出的結果卻是相反，經分析題目選項發現原因就如同第一項所陳述「學童對 商的計算表現都相當不錯，但選擇餘數時，表現卻不佳」。這點再次說明在教 學上必定要再思索小數除法的意義。
(三)由等價關係及孤立點來分析
小數除以小數，商使用四捨五入取到 指定小數位值
小數除以小數，商為整數，有餘數
小數除以小數，商為小數，沒有餘數
小數除以小數，商為整數，沒有餘數
以出現等價關係是預料中的事。而試題 18 及試題 20 雖分屬不同的概念，但 卻出現等價關係，顯示試題 18 及 20 對學童而言具有相同的難度，然而，學 童對試題 18 與試題 20 的迷思卻不相同。由試題的選項可以瞭解試題 18 對學 童的難處有二，其一是四捨五入進位，其二是在除法計算過程中，借位減法 的熟練度，這兩項實實在在影響學童對試題 18 的答對率。而在試題 20 中，
可以瞭解學童在小數除法中，被除數及除數先將小數點移位的意義沒有完全 理解，學童不清楚移位後及移位前的小數點所代表的意義，導致在寫餘數的 小數點時，常點錯位置。所以由上述可知，試題雖出現等價關係，但不代表 它們具有的意義是相同的，也可以瞭解試題關聯結構圖仍有其不足之處。
而在此結構圖中，沒有出現孤立點。
(四)由個別試題來分析
觀察結構圖，最上位概念為試題 8 及 14，試題 14 符合專家概念結構圖，
但試題 8 卻在專家概念結構圖中，屬於下位概念，與同屬一個概念的試題 2
但試題 8 卻在專家概念結構圖中，屬於下位概念，與同屬一個概念的試題 2