國立臺中教育大學數學教育學系
在職進修教學碩士學位班碩士學位論文
指導教授：胡豐榮 博士
國小六年級學童小數除法概念結構分析之研究
國立臺中教育大學數學教育學系
在職進修教學碩士學位班
碩士學位論文考試委員會審定書
賴文溥
君所撰論文
國小六年級學童小數除法概念結構分析之研究
經本委員會審議，符合碩士論文標準，特此證明。
論文考試委員會
主 席：
委 員：
指導教授：
所 長：
中文摘要
本研究旨在應用試題關聯結構分析法（item relational structure analysis）形成 學童小數除法概念結構圖，並分析學童在小數除法概念的迷思。 本研究以臺中縣某公立國民小學六年級某一班學童為研究對象，採用試題關 聯結構理論及相關電腦程式（IRSP）分析測驗資料，以期從中獲得學童在小數 除法概念中所呈現的訊息。根據結構圖，茲將研究結果羅列如下： 壹、課程安排順序為先學會「小數除以整數，商為整數，有餘數」，其次是「小 數除以整數，商為小數，沒有餘數」，但結構圖呈現的訊息卻是相反；其外， 應先學會「小數除以小數，商為整數，有餘數」，接著為「小數除以小數， 商為小數，沒有餘數」，但做出的結果卻是相反。 貳、在進行小數除以小數之計算時，小數單位轉換策略中，學童對商和餘數分別 代表的意義不清楚，也就是對餘數及商之單位解讀產生錯誤。同時也發現當 學童在處理沒有餘數的題目時，表現比有餘數的題目還要來得好，顯示許多 學童對於小數點位置之意義沒有完全瞭解。 參、許多學童仍屬於「大數除以小數」型，也就是不管實際情境為何，只在乎數 字大小，並且一定是以小數去除大數。 肆、學童在處理小數除法時，對於「位值」及「不夠除時，商要先補零」的概念 很不清楚。 伍、學童對四捨五入進位概念仍需做加強，當數字經過四捨五入要進位時，又剛
A Research of Division of Decimal Construction Analysis
on 6
thGrade Primary School Students
Abstract
The purpose of this study was to apply the item relational structure analysis to make construction of division of decimal, and analysis these misconception of division of decimal.
This research take a some public national elementary school sixth grade class of schoolchild in Taichung Country as the object of study, uses item relational structure analysis analysis examination material, the findings display is as follows:
1. While the schoolchild does have no the remainder in a topic, his displays is better then that have the remainder in a topic, it is show that many schoolchildren still only understand the computational method, but did not understand actually the dividend, the divisor, business and the remainder of a number represent
significance.
2. Many schoolchildrens still belong to "big number in addition to with small number" type, it means ignoring actual scenario , only take care of numerical size.
3. When the schoolchildren is in the division of the processing decimal for the concept of "value" and"not enough in addition to, the business has to repair first zero" isn't very clear.
4. While carrying on the calculation of thedeciaml division, schoolchildren does not understand clearly that the decimal point move before and the after respectively represent of meaning, it means that the reading creation of the remainder unit is
the concept of " the meaning of remainder", and the schoolchildren in low group has an confuses thinking on the meaning of remainder.
7. The school-children in low group needs to be strengthened on the calculation of "the tenth in the decimal in addition to with the hundredth in the decimal".
According to results and findings of the research, some suggestions of this research can take as the reference of related research at a lated date.
目 次
第一章
緒論 ...1
第一節 研究動機 ...1 第二節 研究目的 ...3 第三節 待答問題 ...3 第四節 名詞釋義 ...3 第五節 研究限制 ...5第二章
文獻探討 ...6
第一節 小數概念之分析...6 第二節 小數除法的迷思概念 ...9 第三節 小數除法教材課程之分析 ...11 第四節 試題關聯結構分析法 ...14第三章
研究方法與步驟...27
第一節 研究架構 ...27 第二節 研究對象 ...28 第三節 研究工具 ...28 第四節 研究流程 ...32 第五節 資料處理 ...34第四章
研究結果與分析...35
第一節 試題性質分析...35 第二節 試題關聯順序性係數之分析 ...41第二節 建議...76
參考文獻 ...78
中文部分...78 外文部分...80附錄一 小數除法概念測驗試題 ...82
附錄二 試題檢核表...86
表目次
表 2-1 九年一貫課程暫行綱要數學領域小數教材之分析 ...11 表 2-2 五、六年級有關小數除法之各單元教學目標...13 表 2-3 A、B 組學生試題得分情形 ...15 表 2-4 A、B 組學生試題得分情形簡表 ...16 表 2-5 A、B 組學生試題得分排序表 ...17 表 2-6 A、B 組學生試題得分、人數排序表...18 表 2-7 試題 i 與試題 j 之答對與答錯人數統計表 ...21 表 2-8 A 組試題順序性係數表...22 表 2-9 A 組試題順序性關係表...23 表 4-1 試題之 Cronbach’s α 係數表 ...35 表 4-2 小數除法相關概念命題內容一覽表 ...36 表 4-3 小數除法相關概念命題內容之雙向細目表...37 表 4-4 鑑別度的評鑑標準 ...38 表 4-5 試題難易度指標值及鑑別度指標值 ...39 表 4-6 試題點二系列相關係數與鑑別度指標值一覽表 ...40 表 4-7 試題關聯順序性係數一覽表...41 表 4-8 試題關聯順序性係數之 0-1 矩陣表...42 表 4-9 小數除法試題橫斷層面分析...43 表 4-10 「小數除以整數」子概念試題之各題答對率一覽表 ...50 表 4-11 「小數除以小數」子概念試題之各題答對率一覽表...54 表 4-12 「商為整數，有餘數」子概念試題之各題答對率一覽表...59 表 4-13 「商為小數，沒有餘數」子概念試題之各題答對率一覽表...62圖目次
圖 2-1 A、B 組學生試題關聯結構圖 ...20 圖 2-2 A 組試題關聯結構圖（未簡化） ...24 圖 2-3 A 組試題關聯結構圖（已消除遞移指向）...24 圖 2-4 A 組試題關聯結構圖（已完成消除遞移指向及等價關係合併） ...25 圖 3-1 研究架構圖...27 圖 3-2 小數教材地位圖 ...29 圖 3-3 小數除法概念之專家結構圖...30 圖 3-4 小數除法概念之試題架構圖...31 圖 3-5 研究流程圖...33 圖 4-1 群體受試者之試題概念結構圖 ...46 圖 4-2 試題概念系列結構圖 ...48 圖 4-3 試題關聯結構圖之概念發展過程 ...49 圖 4-4 「小數除以整數」子概念試題之試題概念結構圖 ...50 圖 4-5 「小數除以小數」子概念試題之試題概念結構圖 ...55 圖 4-6 「商為整數，有餘數」子概念試題之試題概念結構圖 ...60 圖 4-7 「商為小數，沒有餘數」子概念試題之試題概念結構圖...63 圖 4-8 「小數除以小數，商為整數」子概念試題之試題概念結構圖 ...66 圖 4-9 「小數除以小數，商分為可除盡或四捨五入取到指定小數位數」子概念 試題之試題概念結構圖 ...69第一章
緒論
一位從事教職的工作者，在其進行教學時，除了將知識灌輸給學生之外，也 想瞭解究竟自身的教學是否有效？學生的概念發展的情形為何？是否如預期的情 形？或是在意料之外？種種的疑問，相信是每個教師急欲得到的答案。長期以來 教師一直缺乏有效且快速的工具來檢視自己的教學，因此試題關聯結構分析法就 提供了一個解套的門徑。本研究將針對「小數除法」概念，以專家概念結構為主 來編製試題，再以試題關聯結構分析法來分析測驗結果，目的用來瞭解學童的概 念結構，並作為日後「小數除法」教學之參考。第一節 研究動機
數學在國小階段是不可或缺且不得不面對的學習重點，不只是學生最反感的 科目，其教學理論及方式也是教師最需費心思研究的課題。在國小的課堂中，常 常發生學生不了解上課重點及內容，而教師卻不了解為何學生總是學不會，儘管 雙方兩者都很認真在聽課及上課，但效果總是事倍功半，導致這堂課結束後，學 生對數學的反感只增不減，而師生關係也因此更加惡化。此時，教師該如何檢測 自己的教學以及瞭解學生的學習狀況為何，就成為非常重要的一項工作。而以目 前的教學環境來看，教師仍以紙筆測驗為主要測驗方式，但僅以一張試卷是無法 斷言學生的學習過程，而與學生晤談卻又是耗時費神的工作。因此，若能經過種文、航海、工程、甚至戰爭等，在在都需要快速而精確的數值計算，這項需要已 在四個重要的發明（印度—阿拉伯數字、小數、對數、計算機）之下得以達成。」 由此可以得知小數與我們的生活已是密不可分，只要是在周遭環境中映入眼簾的 事物都可跟小數有關，因此小數是數學教材中非常重要且必須的教學內容。然而， 學童在學習小數的過程中卻屢遭嚴重的挫敗，學童在學習小數時常會因整數、分 數概念而產生干擾（Fischbin, Deri& Marino, 1985；Greer, 1987；Hiebert & Wearne,
1985；1986；1988；Resnick et al.,1989），也有研究結果顯示學童在學習小數的表
現並不理想（陳永峰，1998；劉曼麗，1999，2000）。而 Calhonn, Emerson, Flores, & Houchins（2007）提出高中學生在整數加減乘除計算能力雖有不錯的表現，但在 乘除法運算、分數與小數的計算方面表現不佳，其中又以小數除法的計算能力最 弱。艾如昀（2004）發現在四則運算當中以除數是小數的題目最容易用錯規則而 計算錯誤。劉曼麗（1997）更指出師院生在做小數除法有餘數的題目時，大部分 只能做對求商的問題，只有四分之一的師院生能做對求餘數的問題。因此，我們 可以瞭解即使是師院生，在小數除法的計算上也容易失敗，更遑論國小學童。此 外，Bell, Swan, and Taylor（1981）提出學生認為除法是「大的數除以小的數」以
及 a b a b 。簡茂發與劉湘川（1993）發現選出「18.1÷2.97」正確的商與餘數時， 只有 33﹪的學生答對。而陳永峰（1996）指出學生也易放錯商與餘數的小數點。 這些研究顯示學生對於小數除法的概念及意義並非相當透徹。。 小數的教學從三年級下學期開始，到五年級下學期始接觸小數除法（只討論 小數除以整數，商為小數），直到六年級上學期才開始討論小數或整數除以小數， 商為整數或小數，以及餘數的問題。雖然小數的除法占了相當長的時間，但學生 在學習過程中，真正了解小數除法意義及用途的時間卻很短，絕大部分的時間是
學習小數除法問題的概念學習情形是刻不容緩。 因此，本研究以測驗理論編製一份試卷，並使用此試卷來收集學生作答資料。 使用試題關聯結構分析法分析學生作答情形，最後呈現出試題關聯結構圖，來說 明受試學童對小數除法的概念結構，以期本研究可作為教師在小數除法教學的參 考資料。
第二節 研究目的
根據上述之研究動機，不難得知學童在學習小數除法時常常產生許多無法結 合小數除法事實的主觀價值。學童在學習小數除法時，沒有踏實及透徹地瞭解其 意義與價值，反而只死記其計算過程。因此，本研究目的可分成三點說明： 壹、 將過去有關小數除法的文獻研究加以整理與探討。 貳、 藉由試題關聯結構分析法探討國小六年級學童的學習結構圖，以瞭解學童小 數除法概念結構。 參、 闡明學童在小數除法上學習困難的部份，提供日後教師進行教學的參考憑據。第三節 待答問題
根據研究目的，本研究待答問題如下： 壹、探討學童在小數除法概念方面之概念結構為何？限制在有理數的範疇內。對於三位以上的小數、循環小數或無理數則不包含在內。 詳細的小數內容將於第二章再行探究。 貳、小數除法概念 小數除法概念在現行高年級國小教材中，五年級重點放在能處理除數為整數 的題目，六年級重點則放在能處理除數為小數的題目。此外，在本研究中只討論 被除數為小數，除數可為整數或小數，並小數除法分成七個概念。現將五、六年 級針對小數除法之概念列於下方： 一、小數除以整數，商為整數，有餘數。 二、小數除以整數，商為小數，沒有餘數。 三、小數除以整數，要補零才能除盡。 四、小數除以小數，商為整數，沒有餘數。 五、小數除以小數，商為整數，有餘數。 六、小數除以小數，商為小數，可以除盡。 七、小數除以小數除不盡，使用四捨五入法取到指定小數位數。 參、國小六年級學童 在本研究中，預測對象為臺中縣大雅鄉某公立國民小學六年級某一班的學 童，共 33 人；施測對象為臺中縣沙鹿鎮某公立國民小學六年級某一班的學童，人 數為 33 人。施測時間為九十七學年度第二學期，而此兩班數學課程為九年一貫暫 行綱要課程。 肆、試題關聯結構分析法
日本學者竹谷誠改良美國學者 P.W.Airasian 和 W.M.Bart 的次序論理（ordering theory），於 1980 年發表了試題關聯結構分析法（item relational structure analysis）， 簡稱 IRS 分析法，可以用來分析題目之間的順序關係，並可製成具有指向性的圖
第五節 研究限制
本研究限制可分成研究對象及研究工具兩方面來說明： 壹、研究對象 本研究對象只限於臺中縣沙鹿鎮某公立國民小學六年級某一個班級的學童， 故本研究結論只適合有類似環境之國小作為參考。 貳、研究工具 本研究測驗試題在施測時，受試者本身可能因個人情緒、作答態度等而影響 作答，而這些影響是研究者所無法完全控制的，因此本研究的結果不能過度解釋。第二章 文獻探討
本章在探討與本研究相關之文獻，共分成小數概念之分析、小數除法的迷思 概念、小數除法教材課程之分析及試題關聯結構分析法共四部分來說明。第一節 小數概念之分析
壹、小數的起源 縱觀世界的數學史，不難發現各個民族使用小數的時期比分數晚很多，無一 例外。然而，世界上最先使用小數的國家就是中國。由魏晉時期數學家--劉徽所編 寫的九章算術注中，可以知道劉徽在當時為了處理開方開不盡時所提到的「微 數」 ，指的就是小數，所以說劉徽是小數之先導，也當之無愧。另外根據《孫子 算經》的記載：度之所起，起於忽。欲知其忽，蠶所生，吐絲為忽。十忽為一秒， 十秒為一毫，十毫為一釐，十釐為一分，十分為一寸，十寸為一尺，十尺為一丈， 因此可知古代用釐、毫、秒、忽表示小數部分，如三丈二尺四寸六分一釐九毫七 秒八忽，而「一釐九毫七秒八忽」就是小數部分。而在西元八世紀的《夏侯陽算 經》中，常常只以一個單位來說明數量，並不再列出它以下的單位。如 456 丈 4 尺 5 寸 1 分，會將這個數化為 456 丈 451，這時候「丈」這個單位便有了兩種意義， 其一是長度單位，其二就是扮演小數點的角色。之後，南宋數學家秦九韶及元朝 數學家李冶都受其影響並加以改良小數的記法，使記法與今日的記法更為接近。 再回顧其他國家，中亞的阿爾‧卡西在 13 世紀才掌握十進分數。在 1585 年， 荷蘭的 Simon Stevin 才在他的著作「De Thiende」中，第一次明確地陳述了小數的 理論，而且 Simon Stevin 的小數記法還遠不如唐宋時期的中國。先指導學童學會整數的教材，再進而導入分數，最後才會利用分數概念將小數引 進。國外有許多研究也顯示已有的整數與分數知識會影響到小數的學習（Payne, 1984；Resnick, 1987；Resnick, Nesher, Leonard, Magone, Omanson, & Peled, 1988,
1989），而劉曼麗（1998，2000）也提出可從整數與分數的剖析小數的結構與意義。 因此，以下將小數概念的構成要素分成小數的結構及意義兩個不同角度來探討： 一、 小數的結構 中國人在春秋時期已發展出十進位值制記數及四則運算，顯示在更早以 前，中國人就已經使用十進位法，直到現在。所以，中國人與十進位法有很深 的淵源。甯自強（1997）提出兒童的數概念除了必須有以 1 為單位的數概念結 構外，兒童至少需要能多使用另一個單位─「十」來結構他們的數概念。事實上， 需要能同時使用，包含百、千、萬等的更多的單位，來組織他們的數概念，並 且在使用的過程中還不能相互混淆。也就是說在學習整數時，不只是使用「1」 為單位來表示，還要能知道這個整數是由多少個「十」、「百」、「千」、「萬」等 其他單位所合成的一個數。更簡單的來說，像這樣利用相關位置來說明一個數 內各個數字的意義，稱之為「位值概念」。 小數的多單位記數系統只是整數的多單位記數系統的延伸，同樣與整數只 使用 0 到 9 的數字，並結合位值概念來表示小數。例如 0.462 可以表示是由 4 個 0.1、6 個 0.01 及 2 個 0.01 所合成的數。 此外，Hiebert（1992）對於小數的位值概念提出三項定理來解釋：
而 Hart 等人（1981）比 Hiebert 更早提出學童要發展小數位值概念，就要先 具有整數位值概念，並且將小數位值概念的認知層次分成以下六個階層： 層次1：千位以內的整數位值概念（Place-value in whole numbers up to
thousands）。
層次2：一位小數（Decimals - tenths）。
層次3：二、三位小數（Decimals – hundredths, thousandths）。
層次4：與左邊的位值關係（Decimals – relation with adjacent place on left）。 層次5：更複雜的位值關係（Decimals – more complex relations between places）。 層次6：商為小數；小數有無限多個（Decimals – as the result of a division; infinite
number of decimals）。 Hart 的研究更進一步指出 12 歲的學童大多能達到層次 3，但達到層次 6 的 學生不超過 10％。 由 Hart 及 Hiebert 的研究，可以瞭解必須透過整數的多單位記數系統，也就 是整數的位值概念，來幫助學生了解小數的結構。劉曼麗（1998）也提出透過 多單位記數系統的說明，能幫助學生更瞭解小數的結構。 二、 小數的意義 小數的意義建立在分數的意義上，所以要先從分數的意義開始說明。分數 的意義是指把一個或多個單位量透過等分活動分成為 a 等分，而再合成一部分 的量成為 b 分，此時也表示了部分與全體的關係。當全體被分成十的乘冪等分 時，則分數有了另外一種記法，例如 10 1 可記成小數為 0.1， 100 1 可記成小數為 0.01， 1000 1 可記成小數為 0.001，諸如此類的記法稱為小數的記法。由此可知， 學習小數的意義應從分數的角度來導入說明。
學生產生助益，小數的結構（右邊的數字是左邊數字的 10 1 ）是由整數知識類推， 而小數的意義（小數與分數可互換）是由分數概念了解。
第二節 小數除法的迷思概念
在許多的研究中指出，學童對小數除法缺乏理解，導致學童對小數除法只講 求學會計算而忽略其意義，進而使學童產生迷思。雖然小數教材在國小課程中， 只出現在三到六年級，但小數對於往後的學習卻有著無比深遠的影響。許多研究 指出，學童的小數除法表現並不理想，現將國內外學者相關之研究報告整理歸納 如下： 研究者及年代 內容Calhonn, Emerson, Flores, & Houchins（2007）
高中學生在整數計算方面有表現不錯，但在乘除法 運算、分數與小數的計算方面表現不佳，其中又以 小數除法的計算能力最弱。
Hiebert & Wearne（1985） 學童在計算小數的除法時，會誤判「小數點的位置」
的錯誤答案，例如：計算 0.56÷7 時，出現答案為 0.8 的情形。
Bell, Swan, & Taylor（1981）； Hiebert, &Wearne （ 1986 ）；
學生會將整數概念用於小數除法上，產生「除會越 除越小」的迷思概念。Bell, Swan, & Taylor（1981）
Bell, Swan, & Taylor（1981） 學生認為aba b 。
Fishbein, Deri, Nello,& Marino （1985） 學童存在「被除數必比除數大」、「除數必須是一個 整數」、「商數必比被除數小」的迷思概念。 艾如昀（1994） 在四則運算當中以除數是小數的題目最容易用錯 規則而計算錯誤。 林軍治（1986） 學生很難去接受「除數小於 1，商比被除數大」的 事實。 Bell, Swan, & Taylor（1981）；劉
曼麗（2002）； 陳永峰（1998）； 林原宏（1994） 在除法的文字題中，會拿大數除以小數，而不去考 慮題目的情境因素。 劉曼麗（2002） 在求有餘數的小數除法中，關於餘數部分會出現 「未標小數點」或「所標的小數點對齊商數的小數 點」兩種情形。 劉曼麗（2001） 學童在求餘數問題中，常以四捨五入法求商。 陳永峰（1998） 學生也易放錯商與餘數的小數點。 簡茂發與劉湘川（1993） 發現選出「18.1÷2.97」正確的商與餘數時，只有 33﹪的學生答對。同時也發現學生會認為乘法會使 結果變大，除法會使結果變小。 林原宏（1994） 學生會先預測結果大小來作為選擇運算符號的根 據，想使結果變大就用乘，反之則用除。以及學生 在處理乘除法題目的列式，在題目為純小數時的表
劉曼麗（1996） 師院生在做小數除法有餘數的題目時，大部分只能 做對求商的問題，只有四分之一的師院生能做對求 餘數的問題。 從以上相關文獻可知，在小數除法上學童易產生許多迷思概念，故本研究將 於第四章建立學童小數除法之結構概念，並依結構圖進行分析，深入了解學童在 小數除法概念之發展情形。
第三節 小數除法教材課程之分析
綜合觀察國內十年內的國小數學課程共有兩次課程綱要修訂，教育部於 2001 年公布九年一貫課程暫行綱要，於 2003 年公布九年一貫課程正式綱要。本研究的 六年級學童，其數學課程屬於九年一貫課程暫行綱要，故本研究工具的編製是以 九年一貫課程暫行綱要為依據，其有關小數教材綱要之分析如表 2-1 所示。 表 2-1 九年一貫課程暫行綱要數學領域小數教材之分析 編號 分段能力指標說明 N-1-8 在一個整體 1 被明確十等分的具體生活情境中(包含離散量、連續量)， 能以一位小數描述其中的幾分，並能進行一位小數的合成、分解活動(和 及被減數<1)。 N-2-7 能以二位小數描述具體的量，並解決二位小數的合成、分解及簡單整數表 2-1 說明了在九年一貫暫行綱要中，小數的學習安排在第一階段，也就是一 到三年級就可以開始，但在各版本的課程安排皆是從三年級開始，目的是為了要 學童先學完整數與分數。有了整數與分數的經驗，再進行小數的學習會更容易駕 輕就熟。小數教材的分量以第二、三階段最多，從四年級開始直到六年級，整個 小數教學活動集中在此。 而本研究工具是依據現行六年級課程綱要，並分析五、六年級有關小數除法 的單元，其各單元教學目標如表 2-2 所示。
表 2-2 五、六年級有關小數除法之各單元教學目標 年段 分段能力指標 教學目標 五下 N-2-19 能利用等分好的線段上， 做 出 一 條簡 單的 整 數 數 線，並能進一步延伸至簡 單的分數和小數的數線。 N-3-5 能延伸小數的認識到三位 以上(小數)，並解決生活 中與小數有關的加、減、 乘、除問題。 ◎認識小數數線。 ◎能解決小數除以整數的除法問題。 ◎能解決小數除以整數的除法問題。 ◎能解決小數除以整數的，商為小數的除法問題。 ◎能做分數和小數的互換。 六上 N-3-2 能嘗試理解乘、除的直式 算則。 N-3-5 能延伸小數的認識到三位 以上(小數)，並解決生活 中與小數有關的加、減、 ◎能解決小數除以整數的除法問題。 ◎能解決小數(或整數)除以小數的除法問題。 ◎察覺小數除法問題中，被除數、除數與商的變 化關係。
關聯。
第四節 試題關聯結構分析法
在班級中，教師在實施教學之後，到底學生概念結構變化的情形為何，一直 以來是教學上極欲知道的訊息，如果能夠掌握這項訊息，不論是在教材或教學上 必大有裨益。但能夠準確地得到這項訊息的方法，遲遲未能出現，直到日本學者 竹谷誠提出的試題關聯結構分析法（Item relational structure analysis），簡稱 IRS 分 析法。而國內學者許天維（1995）提出利用這種結構分析理論來分析學生的概念 發展狀況，可以一窺學生組群對某特定範圍概念之結構，這種結構分析理論頗被 重視且具發展性。因此，藉由 IRS 分析法，可以進行對於概念形成過程逐一探討， 也可以藉此檢討學生學習情形及教師教學成果。
壹、試題關聯結構法的構想由來
美國學者 Airasian P.W. & Bart W.M.在 1973 年提出的次序理論（Ordering
theory），將次序理論應用在教育工學上。1977 年，竹谷誠經由 Baker 的介紹而得 知此理論，在返回日本後，全力改良次序理論的缺點，終於在 1979 年發明試題關 聯結構分析法，在 1980 年完成試題關聯結構分析法的理論，並將此理論實際用在 教育研究中，經過將近十年的研究，顯示這是一個有效的分析工具。 貳、試題關聯結構法理論 以下試以一個例子說明 IRS 分析法，假設有 A、B 兩組學生，每組各有九位， 兩組學生同時參加共七題的相同測驗，每個試題各代表一個數學概念。答對者得 一分，代表通過此概念，答錯者得零分，代表未通過此概念，假設這兩組學生施 測後的得分情形如表 2-3
表 2-3 A、B 組學生試題得分情形 由表 2-3 可知，在測驗之後，各組在試題通過人數上均相同，為了方便觀測， 簡化成表 2-4： A 組 試 題 1 試 題 2 試 題 3 試 題 4 試 題 5 試 題 6 試 題 7 通過 試題 數 B 組 試 題 1 試 題 2 試 題 3 試 題 4 試 題 5 試 題 6 試 題 7 通過 試題 數 學生 1 1 1 1 1 1 1 1 7 學生 1 1 1 1 1 1 1 1 7 學生 2 0 0 1 0 0 1 0 2 學生 2 0 0 0 1 0 1 0 2 學生 3 1 0 0 1 1 0 1 4 學生 3 1 0 1 1 1 1 0 5 學生 4 0 0 0 1 0 1 0 2 學生 4 0 0 0 1 0 0 0 1 學生 5 0 0 0 1 0 1 0 2 學生 5 0 0 0 0 0 0 0 0 學生 6 1 0 0 1 1 0 0 3 學生 6 1 0 0 1 1 1 0 4 學生 7 1 1 1 1 1 1 1 7 學生 7 1 1 1 1 1 1 1 7 學生 8 1 0 1 1 1 1 0 5 學生 8 1 0 1 1 1 1 1 6 學生 9 1 0 0 1 1 1 0 4 學生 9 1 0 0 1 1 1 0 4 試題通 過人數 6 2 4 8 6 7 3 36 試題通 過人數 6 2 4 8 6 7 3 36
表 2-4 A、B 組學生試題得分情形簡表 其次，依照每位學生試題所得總分高低，由上往下依序排列可得表 2-5： 試 題 試 題 A 組 1 2 3 4 5 6 7 通過 試題 數 B 組 1 2 3 4 5 6 7 通過 試題 數 1 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 1 1 1 1 7 2 0 0 1 0 0 1 0 2 2 0 0 0 1 0 1 0 2 3 1 0 0 1 1 0 1 4 3 1 0 1 1 1 1 0 5 4 0 0 0 1 0 1 0 2 4 0 0 0 1 0 0 0 1 5 0 0 0 1 0 1 0 2 5 0 0 0 0 0 0 0 0 6 1 0 0 1 1 0 0 3 6 1 0 0 1 1 1 0 4 7 1 1 1 1 1 1 1 7 7 1 1 1 1 1 1 1 7 8 1 0 1 1 1 1 0 5 8 1 0 1 1 1 1 1 6 學 生 9 1 0 0 1 1 1 0 4 學 生 9 1 0 0 1 1 1 0 4 試題通 過人數 6 2 4 8 6 7 3 36 試題通 過人數 6 2 4 8 6 7 3 36
表 2-5 A、B 組學生試題得分排序表 接著，按照學生在各試題通過人數的多寡，由左而右排列，可得表 2-6，而這 表也就是佐藤隆博的 S-P 表： 試 題 試 題 A 組 1 2 3 4 5 6 7 通過 試題 數 B 組 1 2 3 4 5 6 7 通過 試題 數 1 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 1 1 1 1 7 7 1 1 1 1 1 1 1 7 7 1 1 1 1 1 1 1 7 8 1 0 1 1 1 1 0 5 8 1 0 1 1 1 1 1 6 3 1 0 0 1 1 0 1 4 3 1 0 1 1 1 1 0 5 9 1 0 0 1 1 1 0 4 6 1 0 0 1 1 1 0 4 6 1 0 0 1 1 0 0 3 9 1 0 0 1 1 1 0 4 2 0 0 1 0 0 1 0 2 2 0 0 0 1 0 1 0 2 4 0 0 0 1 0 1 0 2 4 0 0 0 1 0 0 0 1 學 生 5 0 0 0 1 0 1 0 2 學 生 5 0 0 0 0 0 0 0 0 試題通 過人數 6 2 4 8 6 7 3 36 高 分 低 分 試題通 過人數 6 2 4 8 6 7 3 36 高 分 低 分
表 2-6 A、B 組學生試題得分、人數排序表 由上表 2-6 可知兩組學生不論是在通過試題數的次序或是試題通過人數的次 序，兩者是一模一樣的，也就是兩組試題難易分配及試題號碼的對應完全一致， 但若研究這兩組所呈現出來的試題順序結構圖時，可以發現有顯著的不同。 在 A 組中，通過試題 2 的學生有 1 號和 7 號，他們同時也通過試題 7，代表 通過試題 2 的學生同時通過試題 7，那就會在試題 7 到試題 2 之間產生了箭頭，而 試 題 試 題 A 組 4 6 1 5 3 7 2 通過 試題 數 B 組 4 6 1 5 3 7 2 通過 試題 數 1 1 1 1 1 1 1 1 7 1 1 1 1 1 1 1 1 7 7 1 1 1 1 1 1 1 7 7 1 1 1 1 1 1 1 7 8 1 1 1 1 1 0 0 5 8 1 1 1 1 1 1 0 6 3 1 0 1 1 0 1 0 4 3 1 1 1 1 1 0 0 5 9 1 1 1 1 0 0 0 4 6 1 1 1 1 0 0 0 4 6 1 0 1 1 0 0 0 3 9 1 1 1 1 0 0 0 4 2 0 1 0 0 1 0 0 2 2 1 1 0 0 0 0 0 2 4 1 1 0 0 0 0 0 2 4 1 0 0 0 0 0 0 1 學 生 5 1 1 0 0 0 0 0 2 學 生 5 0 0 0 0 0 0 0 0 試題通 過人數 8 7 6 6 4 3 2 36 高 分 低 分 試題通 過人數 8 7 6 6 4 3 2 36 高 分 低 分 多 少 多 少
而通過試題 1 及試題 5 的學生有 1 號、3 號、6 號、7 號、8 號及 9 號，他們也通 過試題 4，所以產生 4→1 及 4→5；此外，通過試題 2 的學生是 1 號及 3 號，他們 也通過試題 3，通過試題 3 的學生有 1 號、2 號、7 號及 8 號，同時也通過試題 6， 所以產生 3→2 及 6→3；另外，通過試題 1 及試題 5 的情形是完全一樣，表示通過 試題 1 的學生都通過試題 5，通過試題 5 的學生都通過試題 1，故可產生 1→5 及 5→1；然而通過試題 7 的學生中，3 號學生雖然有通過，但他沒通過試題 3，所以 不會產生試題 3 到試題 7 的箭頭，依此類推可以得到 7→2、3→2、6→3、1→7、5→7、 1→5、5→1、4→1 及 4→5。 在 B 組中，通過試題 2 的學生是 1 號和 7 號，同時也通過試題 7，故可產生 7→2； 通過試題 7 的學生有 1 號、7 號及 8 號，同時通過試題 3，故可產生 3→7；通過試 題 3 的學生有 1 號、3 號、7 號及 8 號，同時通過試題 1 及試題 5，所以可產生 1→3 及 5→3；通過試題 1 和試題 5 的學生有 1 號、3 號、6 號、7 號、8 號及 9 號，同 時也通過了試題 6，所以產生 6→1 及 6→5；通過試題 1 及試題 5 的情形是完全一 樣，表示通過試題 1 的學生都通過試題 5，通過試題 5 的學生都通過試題 1，故可 產生 1→5 及 5→1；通過試題 6 的學生有 1 號、2 號、3 號、6 號、7 號、8 號及 9 號，同時也通過試題 4，所以產生 4→6。 到此，我們先定義答對率為 受試學生答對的人數
圖 2-1 A、B 組學生試題關聯結構圖 觀察上面兩組試題關聯結構圖，很明顯可以看出兩者是迥然不同的，雖然 A、 B 兩組在各試題答率是相同的，可是在結構圖上呈現出來的概念結構皆是全然不 同。A 組結構圖顯示有兩個系列存在，即試題 2、試題 3 及試題 6 為一系列，而試 題 2、試題 7、試題 1、試題 5 及試題 4 則為另一系列，而 B 組結構圖則顯示形成 答對率 A 組結構圖 B 組結構圖 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 6 2 3 7 1 5 4 2 7 3 5 1 6 4
參、試題關聯結構法的分析法 由之前的敘述可知，試題關聯結構分析法可建立兩測驗試題之間的順序性， 來作為試題高低概念局次之基礎，利用此種關係建立試題關聯結構圖，茲將試題 關聯結構的分析順序敘述如下（許天維，1995）： 一、設置試題關聯結構順序性係數 順序性係數是用來決定試題之間的順序，而順序性係數的求法，說明如下： 設有 N 個受試者，則在試題 i 與試題 j 的關係之中，可存在四種情形。第一種為 試題 i 與試題 j 均答對的人數，給予代號 A；第二種為試題 i 答對，但試題 j 答 錯的人數，給予代號 B；第三種為試題 i 答錯的人數，但試題 j 答對，給予代號 C；最後一種為試題 i 與試題 j 均答錯的人數，給予代號 D。以上四種情形可用 表 2-7 表示，其中 1 代表答對，0 代表答錯： 表 2-7 試題 i 與試題 j 之答對與答錯人數統計表 試題 j 答題情形 1 0 總計 1 A B A+B 0 C D C+D 試題 i 答題情形 總計 A+C B+D N
而試題順序係數是一個數值，若此數值超過閥值，則表示順序性存在，反之則 不存在。根據竹谷誠（1991）的研究顯示，此閥值為 0.5，也就是 rij* 0.5，則試題 i 與試題 j 存在順序關係。 5 . 0 * ij r ，則試題 i 與試題 j 沒有存在順序關係。 二、 繪製試題關聯結構圖 依照上述的說明，求出所有試題順序性係數後，以閥值 0.5 為標準，若順序 性係數 * ij r 大於 0.5 以上，則用 1 取代；若 * ij r 小於 0.5，則用 0 代表，試以表 2-3-4 之 A 組學生試題得分、人數排序表來說明，並以表 2-8 及表 2-9 分別呈現試題順 序性係數表及試題順序性關係表： 表 2-8 A 組試題順序性係數表 試題 j 試題 i 1 2 3 4 5 6 7 1 1 0.25 0.25 1 -0.29 1 2 0.14 0.36 0.04 0.14 0.08 0.57 3 0.1 1 -0.13 0.1 0.23 0.4 4 1 1 -1.25 1 -0.29 1 5 1 1 0.25 0.25 -0.29 1 6 -0.5 1 1 -0.13 -0.5 -0.5 7 0.25 1 0.25 0.06 0.25 -0.07
表 2-9 A 組試題順序性關係表 接著可依據表 2-9 進行圖形繪製，在繪製前，先將繪製要點簡述如下： (一) 試題通過率代表結構圖的縱座標，縱座標下方代表通過率高的試題，上 方則代表通過率低的試題，並將各試題的位置標記在試題結構圖中。 (二) 根據表 2-3-7，繪出各試題間的指向箭頭。 (三) 若兩試題間存在遞移指向時，也就是若試題 i 指向試題 j，而試題 j 指向 試題 k，同時試題 i 也指向試題 k，則可將試題 i 指向試題 k 的箭頭消除， 增加圖的可讀性。 試題 j 試題 i 1 2 3 4 5 6 7 1 0 1 0 0 1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 1 0 1 5 1 1 0 0 0 0 1 6 0 1 1 0 0 0 0 7 0 1 0 0 0 0 0
5 2 3 7 1 4 6 圖 2-2 A 組試題關聯結構圖（未簡化） 再執行步驟 3，也就是消除遞移指向，可以得到圖 2-3 2 3 7 1 5 4 6
2 3 7 1 5 4 6 最後執行步驟 4，亦即合併等價關係，可得圖 2-4 圖 2-4 A 組試題關聯結構圖（已完成消除遞移指向及等價關係合併） 肆、試題關聯結構分析法之功能 試題關聯結構分析法有下列五種功能（許天維，1995）： 一、教學設計之運用： 在單元教學活動前，教師可以將欲進行的課程內容的先前經驗概念，作一 概念結構分析後，再依結構所對應的知識概念分別提出，並加以施測，所得的 結果以「試題關聯結構分析法」進行分析，可以考驗出先前經驗概念不足之處，
形成性評量的反應結果，亦可利用佐藤 S-P 表獲得注意係數，從而偵測出 異質性的學童，此類學童所畫出結構圖與班上的結構圖可以互相比較，即可知 道此類學童異質的原因，從而加強輔導教學。 四、概念形成過程之考驗： 對縱貫研究（longitudinal study）而言，學童概念的形成過程有層次之分， 例如山田完對教師進行評定學童設有四層次，即操作經驗層次、知覺內化層次、 言語抽象層次和因果理論層次，如果以此四層次來評定各年級班上學生的形成 過程，並建立各年級的結構圖，即可知學生的概念形成過程的發展。對橫向研 究而言，亦可知班上學生的概念形成過程的分布。 五、課程教材構造之解析： 由母群體隨機抽出樣本進行考驗後，透過試題關聯結構圖，可以更加瞭解 學生的學習構造，對編輯教科書或是設計課程的人而言，是重要的參考資料。 他們可以依據學生所呈現出來的試題關聯結構，設計出更適合學生的教材或課 程。 許多研究也說明了試題關聯結構分析法實際應用的功能：郭伯臣和田聖才 （1995）指出藉由 IRSP1 的分析結果，可以了解學生的能力變化及試題間結構 況狀，藉此發掘出概念的發展過程；陳敏華（1998）指出利用試題關聯結構圖， 可以獲得學童概念的發展過程，並可以針對先前提出的概念結構作修正；黃盈 君（2001）指出，利用試題關聯結構分析法，除了獲得學生三角形圖形的概念 結構，也發現不同性別對概念結構的影響不大。
第三章 研究方法與步驟
本研究理論基礎為試題關聯結構分析法，由研究者自行編寫一分有關小數除 法概念之試題，藉由這份試卷測出國小學童小數除法概念結構，並進行研究。現 依序就研究架構、研究對象、研究工具、研究流程及資料處理加以說明。第一節 研究架構
本研究根據研究目的與文獻探討資料，提出如圖 3-1 之研究架構，並用此圖說 明整個研究流程： 學童小數除法概念 國小小數除法教材 小數除法概念圖 雙向細目表 編製小數除法試題 IRS 分析 抽樣班級第二節 研究對象
試題編寫完成後，以臺中縣大雅鄉某所智類學校之國小六年級學童為前測對 象，隨機抽取一個班級，共計 33 人來進行前測，並求得 Cronbach’s α 係數，獲得 信度，並依此將試題進行修改。 正式施測對象是臺中縣沙鹿鎮某智類國民小學之國小六年級學童，隨機抽取 一個班級，共計 33 人進行施測。 施測地點為各班級教室，由班級導師進行監考，作答時間為 40 分鐘。施測前， 研究者先向各班班級導師說明測驗的目的及答題方式，為提高學生答題的意願， 與班級導師配合進行獎勵制度，藉此鼓勵學生認真作答。第三節 研究工具
本研究之主要研究工具為「國小六年級學童小數除法概念測驗試卷」，此試卷 在經過專家審查，並使用相關的統計軟體，進行修改、前測及信度考驗後，才正 式完成測驗評量工具，同時使用 IRSP 軟體（郭伯臣、田聖才，1995）繪製受試者 的試題關聯結構。試卷內容詳見附錄一。現將研究工具說明如下： 壹、國小六年級學童小數除法概念測驗 本研究使用的試卷編製依據現行國民中小學九年一貫課程暫行綱要數學學習 領域（教育部，2001），以及各出版社經教育部審核通過之數學科教科書及教師手 冊，並依此建構出如圖 3-2 所示之小數概念地位教材圖。一位小數的認識 分數與小數的連結關係 認識小數的位值、 化聚及帶小數 一、二、三位小數的認識 比較一、二、三位小數的大小 小數之二階單位化聚 一、二、三位小數加減法 兩步驟解決小數加減問題 小數乘以整數的乘法 小數除以整數的除法 認識小數數線 小數與分數互換 小數除以小數的除法 被乘數、乘數 及積的變化關係 整數乘以小數的乘法 小數乘以小數的乘法
因此，受試學童皆為已學完小數除法概念，並準備學習小數與分數混合四則 運算。 除小數教材地位圖外，再結合小數除法概念之專家結構圖（如圖 3-3）及試題 架構圖（如圖 3-4），完成共 21 題的單選選擇題試卷，答題正確者得 1 分，答題錯 誤者得 0 分，故最高共計 21 分。 圖 3-3 小數除法概念之專家結構圖 小數除以小數，商為整數，沒有餘數。 小數除以小數，除不盡，商使用 四捨五入法取到指定小數位數。 小數除以小數，商為小數，沒有餘數。 小數除以小數，商為整數，有餘數。 小數除以整數，要補零才能除盡。 小數除以整數，商為小數，沒有餘數。 小數除以整數，商為整數，有餘數。
圖 3-4 小數除法概念之試題架構圖 貳、預試結果分析處理方法 預試分析分預試試題研究範圍、信度、效度、難度及鑑別度來說明，各項目 詳細內容則羅列於第四章，現針對以上各項做簡述： 一、研究範圍 試題編製完成後，任意挑選大雅鄉之某國民小學六年級一個班級，共 33 小 數 除 法 概 念 小數除以整數 商為小數，沒有餘數 補零才能除盡 商為整數，有餘數 小數除以小數 商為整數 沒有餘數 有餘數 商為小數 可除盡 不可除盡，使用四 捨五入法取到 指定小數位數
分數的有效程度，亦即是測驗能夠提供適切資料以做成決策的程度。而余民 寧（2002）提出效度是指測驗分數能夠代表其所要測量之能力或潛在特質的 程度，或測驗能夠達到其編製目的的程度。本預試試題參考教科書教材地位 及研究者多年教學經驗，並在設計完成後，經由數學教育專家及國小資深教 師依試題檢核表（如附錄二）修正，使試題具有專家效度。 二、難度 難度指標用來顯示試題的難易程度，難度指標愈小則代表題目愈難。當 難度指標接近.50 時，則表示該試題是難易適中。 三、鑑別度 鑑別度是利用各題的高分組平均與低分組平均之差來判別，數值愈接近 1，則表示鑑別度愈高。 參、統計軟體 本研究使用之電腦軟體包括兩種，現列於下方： 一、SPSS（10.0 for Windows）統計套裝軟體：用來進行預試資料之信度、效度、 難度及鑑別度等分析。 二、IRSP1：由郭伯臣、田聖才(1995)所開發，用來繪製試題關聯結構圖。
第四節 研究流程
本研究針對國小學童小數除法概念作研究，為了能流暢且明確地進行本研 究，將研究流程以圖 3-5 呈現：閱讀國內外有關 小數除法之文獻 分析國小小數教材 小數除法教材地位圖 建立專家結構圖 擬定雙向細目表 小數除法試題架構圖 編製試題 試題檢核表 學科專家質性檢核 通 過 不通過 通 過 不通過 預試 通 過 不通過 正式施測 形成 IRS 結構圖
第五節 資料處理
本研究針對學童在小數除法概念的結構，主要採取量化研究的分析方法。在 處理施測資料上，使用 SPSS/PC 統計套裝軟體進行試題的項目分析，如試題之信 度、效度、難度及鑑別度等。 此外，利用試題關聯結構法進行群體受試者試題關聯結構圖之分析，繪圖工 具為 IRSP1 軟體（郭伯臣、田聖才，1995）。此種軟體只需輸入測驗資料，即可在 電腦上繪出試題關聯結構圖，在研究及分析群體受試者之概念結構上是相當便利 的。第四章 研究結果與分析
在本章節將針對結果作分析與討論，共分成三部分。第一節為試題性質分析， 包含測驗之信度、效度、難度及鑑別度；第二節為試題關聯順序性係數的分析； 第三節為藉由試題關聯結構分析軟體來繪製受試者的試題關聯結構圖，並藉此來 分析學童小數除法概念。第一節 試題性質分析
壹、 信度分析 根據 De Vellis（1991）所提出的 Cronbach’s α 係數取捨標準，α 值大於.7 則為 高信度，小於.35 則為信度過低，應捨棄。經由 SPSS/PC 分析資料取得 Cronbach’s α 係數為.847，符合 De Vellis 的建議值.7，說明此試題為一高信度的測驗工具。其 信度分析情形如表 4-1 所示： 表 4-1 試題之 Cronbach’s α 係數表 題號 刪除某題後 之整體信度 題號 刪除某題後 之整體信度 題號 刪除某題後 之整體信度 1 .833 8 .845 15 .840 2 .833 9 .837 16 .836 3 .846 10 .837 17 .846 4 .838 11 .847 18 .842貳、 效度分析 本研究中的測驗試題為了能將有關小數除法概念的教材內容全部呈現，在編 製過程中會經由內容效度及專家效度兩方面來進行分析。 在內容效度方面，測驗試題若能涵蓋所有的教材目標和教材內容，並且是根 據雙向細目表來命題，且具有充分的代表性，即能夠確立該測驗具有適當的內容 效度（余民寧，2002）。所以，本研究試題之編製所依據的是小數除法相關文獻及 國小高年級現行小數除法的教材。先將小數除法之子概念先製成小數除法相關概 念命題內容一覽表（如表 4-2），再結合如表 4-3 所示之小數除法相關概念命題內容 之雙向細目表進行命題。在此先說明表 4-3 的橫軸項目，項目是根據美國教育學者 Bloom 的認知領域教育目標進行分類。Bloom 將教育目標分為三大認知層次，也 就是知識、理解及批判性思考，而批判性思考能力又包括應用、分析、綜合、評 鑑等四個層次。在表 4-3 中，只包含三大認知層次，並未包含批判性思考下的四個 層次。 表 4-2 小數除法相關概念命題內容一覽表 小數除法概念 教材內容 小數除以整數 小數除以小數 題數小計（百分比） 商為整數，有餘數 3、6、12 2、8、20 6（29％） 商為小數，沒有餘數 4、13、16 5、9、19 6（29％） 要補零才能除盡 11、15、21 3（14％） 商為整數，沒有餘數 1、7、17 3（14％） 商使用四捨五入法取到指 定小數位數 10、14、18 3（14％）
表 4-3 小數除法相關概念命題內容之雙向細目表 教學目標 教材內容 知識 理解 批判性思考 題數總計 百分比 小數除以整數，商為 整數，有餘數。 1 2 3 題 14.3％ 小數除以整數，商為 小數，沒有餘數。 1 2 3 題 14.3％ 小數除以整數，要補 零才能除盡 2 1 3 題 14.3％ 小數除以小數，商為 整數，有餘數。 2 1 3 題 14.3％ 小數除以小數，商為 小數，沒有餘數。 1 1 1 3 題 14.3％ 小數除以小數，商為 整數，沒有餘數。 1 1 1 3 題 14.3％ 商使用四捨五入法 取到指定小數位數。 1 2 3 題 14.3％ 題數總計 6 7 8
參、 難易度及鑑別度分析 難易度可以顯示每個試題的難易程度，以難度指標值接近.50 的試題最為恰 當，也就表示試題的難易適中。同時，難易適中的試題也顯示其鑑別度指標值可 以達到最大，而 Chase（1978）主張抉擇試題選擇題的難易度指標值範圍以.40 到.80 之間為佳，故試題挑選以此為依據。而在鑑別度指標值方面，美國學者 Ebel 與 Frisbie（1991）提出一套鑑別度的評鑑標準（如表 4-4）。因此，挑選試題的標準以 此表為根據。 表 4-4 鑑別度的評鑑標準 鑑別度指標值 試題評鑑結果 .40 以上 非常優良 .30-.39 優良，但可能需要修改 .20-.29 尚可，但須作局部修改 .19 以下 劣，需要刪除或修改 而本研究難易度指標值及鑑別度指標值計算方式茲列如下： 一、將受試者之總分按高低排序。 二、由最高分向下選取全體受試人數的 27％為高分組，再計算高分組的答對 率，以 PH記之；同理，從最低分向上選取全體受試人數的 27％為低分組再 計算低分組的答對率，以 PL記之。 三、難易度指標值的計算方式即為高分組答對率及低分組答對率的平均，也就 是(PH+PL)/2，在本研究中以 P * 記之。鑑別度指標值為高分組答對率減去低 分組答對率，也就是 PH-PL，以 D * 記之。計算結果如表 4-5 所示：
表 4-5 試題難易度指標值及鑑別度指標值 由表 4-5 可知難易度指標值超過.70 的題目有 3、6、7、11、12、13、15、17、 19、21，共十題，屬於容易一些的題目；難易度指標值在.60 到.69 之間的題目有 1、 題號 全體 答對率(P) 高分組 答對率(PH) 低分組 答對率(PL) 難易度 指標值(P* ) 鑑別度 指標值(D* ) 第1題 .67 1.00 .22 .61 .78 第2題 .67 .90 .22 .56 .68 第3題 .85 1.00 .67 .83 .33 第4題 .79 .90 .44 .67 .46 第5題 .67 1.00 .33 .67 .67 第6題 .79 1.00 .56 .78 .44 第7題 .85 1.00 .56 .78 .44 第8題 .70 .90 .44 .67 .46 第9題 .73 .90 .33 .62 .57 第10題 .61 1.00 .22 .61 .78 第11題 .79 1.00 .67 .83 .33 第12題 .73 1.00 .44 .72 .56 第13題 .85 1.00 .56 .78 .44 第14題 .48 .70 .22 .46 .48 第15題 .85 1.00 .56 .78 .44 第16題 .73 .90 .22 .56 .68 第17題 .76 1.00 .56 .78 .44 第18題 .52 .80 .22 .51 .58 第19題 .73 1.00 .44 .72 .56 第20題 .67 .90 .11 .51 .79 第21題 .73 1.00 .56 .78 .44
與測驗總分的關聯性，也就是試題得分愈高，與測驗總分的關聯性就愈高，也就 是試題鑑別度愈高。經 SPSS/PC 統計軟體運算結果如表 4-6 表 4-6 試題點二系列相關係數與鑑別度指標值一覽表 由上表可知相關係數除第 11 題及第 14 題外，其餘試題皆達顯著水準，而第 11 題與第 14 題由於與教學內容的相關性極高，且第 11 題之顯著水準為.067、第 14 題之顯著水準為.058，與.05 相差不遠，故將此兩題保留。鑑別度指標值除第 3 題及第 11 題外，其餘皆在.40 以上。由此可見，本測驗試題具有鑑別度。 題號 鑑別度指標值D* 相關係數 第1題 .78 .653** 第2題 .68 .653** 第3題 .33 .345* 第4題 .46 .550** 第5題 .67 .512** 第6題 .44 .420* 第7題 .44 .585** 第8題 .46 .393* 第9題 .57 .583** 第10題 .78 .578** 第11題 .33 .322 第12題 .56 .493** 第13題 .44 .456** 第14題 .48 .333 第15題 .44 .511** 第16題 .68 .598** 第17題 .44 .356* 第18題 .58 .477** 第19題 .56 .493** 第20題 .79 .765** 第21題 .44 .344* ** 在顯著水準為.01時 (雙尾)，相關顯著。 * 在顯著水準為.05 時 (雙尾)，相關顯著。
第二節 試題關聯順序性係數之分析
在本章節中，根據正式施測時受試者答題反應的原始資料，並利用 IRSP 軟體 求出試題與試題之間的試題關聯順序性係數 * ij r （如表 4-7）。 表 4-7 試題關聯順序性係數一覽表 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 – 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 2 0.00 – -0.03 0.00 -0.18 -0.07 0.00 1.00 -0.18 -0.38 1.00 -0.27 1.00 1.00 -0.07 -0.07 0.00 -0.32 -0.22 -0.32 -0.50 3 0.00 -0.03 – 0.00 -0.18 -0.07 0.00 -0.74 -0.18 -0.38 -0.10 -0.27 -0.18 1.00 -0.07 -0.07 0.00 -0.32 -0.22 -0.32 1.00 4 1.00 1.00 1.00 – 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 5 0.00 -0.03 -0.03 0.00 – 0.15 0.00 -0.04 -0.18 -0.10 -0.10 -0.02 0.06 0.31 0.15 -0.07 0.00 0.47 0.27 0.21 0.40 6 0.00 -0.03 -0.03 0.00 0.41 – 0.00 0.13 -0.18 -0.38 -0.10 -0.27 -0.18 -0.74 -0.07 -0.07 0.00 -0.32 -0.22 0.34 -0.50 7 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 – 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 8 0.00 0.04 -0.03 0.00 -0.01 0.01 0.00 – 0.16 0.02 0.06 0.18 -0.01 0.13 0.01 0.09 0.00 0.25 0.21 0.34 0.25 9 0.00 -0.03 -0.03 0.00 -0.18 -0.07 0.00 0.65 – -0.10 -0.10 0.24 -0.18 -0.39 0.15 0.15 0.00 0.21 0.51 0.47 0.10 10 0.00 -0.03 -0.03 0.00 -0.05 -0.07 0.00 0.04 -0.05 – 0.14 0.01 0.08 0.04 0.17 0.05 0.00 -0.03 0.19 0.12 0.33 11 0.00 0.31 -0.03 0.00 -0.18 -0.07 0.00 0.42 -0.18 0.54 – -0.27 0.21 0.42 -0.07 -0.07 0.00 -0.32 0.19 -0.32 0.50 12 0.00 -0.03 -0.03 0.00 -0.01 -0.07 0.00 0.50 0.16 0.02 -0.10 – -0.01 0.01 -0.07 0.09 0.00 0.43 0.30 0.62 0.36 13 0.00 0.18 -0.03 0.00 0.06 -0.07 0.00 -0.04 -0.18 0.18 0.12 -0.02 – 0.31 0.15 0.15 0.00 0.21 0.02 0.21 0.10 14 0.00 0.04 0.04 0.00 0.07 -0.07 0.00 0.13 -0.09 0.02 0.06 0.00 0.07 – 0.01 -0.07 0.00 0.06 0.13 0.06 0.36 15 0.00 -0.03 -0.03 0.00 0.41 -0.07 0.00 0.13 0.41 1.00 -0.10 -0.27 0.41 0.13 – 0.47 0.00 0.34 1.00 1.00 1.00 16 0.00 -0.03 -0.03 0.00 -0.18 -0.07 0.00 1.00 0.41 0.31 -0.10 0.37 0.41 -0.74 0.47 – 0.00 0.34 0.39 1.00 1.00 17 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 1.00 – 1.00 1.00 1.00 1.00 18 0.00 -0.03 -0.03 0.00 0.26 -0.07 0.00 0.57 0.12 -0.03 -0.10 0.37 0.12 0.13 0.07 0.07 0.00 – 0.39 0.51 0.44 19 0.00 -0.03 -0.03 0.00 0.21 -0.07 0.00 0.71 0.41 0.31 0.08 0.37 0.02 0.42 0.29 0.11 0.00 0.56 – 0.78 0.75 20 0.00 -0.03 -0.03 0.00 0.12 0.07 0.00 0.78 0.26 0.14 -0.10 0.52 0.12 0.13 0.20 0.20 0.00 0.51 0.54 – 0.63表 4-8 試題關聯順序性係數之 0-1 矩陣表 由表 4-8 可以繪製出試題關聯結構圖，以縱座標為通過率，愈上方表示通過率 愈低，愈下方表示通過率愈高。繪製步驟於第二章第三節已說明，故不再重覆敘 述。
第三節 試題關聯結構圖之分析與討論
學童在學習小數除法時，常遭遇到許多困難。因而利用試題關聯結構分析法， 找出學童在小數除法概念的學習結構，以求明瞭目前學童的小數除法概念結構以 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 4 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 12 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 16 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 17 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 18 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 19 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 20 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 1 21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0壹、整體試題關聯結構圖 在此部分，以兩個層面來看。其一是橫斷層面，意指由試題的答對率來分析； 其二是縱貫層面，意指由試題關聯結構圖來說明。分析說明茲列如下： 一、就橫斷層面來看 由受試者答題的答對率來看整體試題的橫斷層面，依答對率高低可分成四 個類別，如表 4-9 所示。 表 4-9 小數除法試題橫斷層面分析 答對率類別 試題特性 題號 小數除以整數，商為整數，有餘數。 3、6 小數除以整數，商為小數，沒有餘數 4、16 小數除以整數，要補零才能除盡 11、15 小數除以小數，商為整數，有餘數 2 .90-1 小數除以小數，商為整數，沒有餘數 1、7、17 小數除以整數，商為小數，沒有餘數 13 .80-.89 小數除以小數，商為小數，沒有餘數 5、9、19 小數除以整數，商為整數，有餘數 12 小數除以小數，商為整數，有餘數 20 .70-.79 小數除以小數，商使用四捨五入法取到指定小數位數 10、18
再談到答對率在.80 到.89 之間的試題，試題 13 與試題 4、16 同屬「小數除 以整數，商為小數，沒有餘數」之概念，但通過率卻不與試題 4、16 一樣高， 經分析題目後發現試題 13 的選項中，含有比試題 4、16 較多似真性及合理性的 錯誤選項，也因此可由此題區分出真正會作答與不會作答的學童。另外，試題 5、 9、19 皆屬「小數除以小數，商為小數，沒有餘數」之概念，其答對率比前一類 別來得低，且由專家結構圖可知這一個部分的概念屬於較上位的概念。因此， 試題 5、9、19 的位置是符合專家結構圖。 最後，將後兩項類別一起合起來看。試題 10、14、18 同屬「小數除以小數， 商使用四捨五入法取到指定小數位數」之概念，而試題 14 又比試題 10 及 18 的 答對率來得更低，經分析題目及晤談學童後發現三個原因：其一是題目較生活 化，也就是非課本或試卷制式的問題，使學童看到不熟悉的問題而慌了手腳； 其二是題目要求不同，試題 10 及 18 皆要求學童把商四捨五入到小數第一位， 但試題 14 則要求到小數第二位，有不少的學童沒有看清楚題目而作答；其三是 題目要求商四捨五入到小數第二位，但因此題四捨五入牽涉到連進兩位的問 題，如 13.897…≒13.90，學童在回答時需要結合概數的概念，因此使此題的難 度提昇不少，而表 4-9 也可看出試題 14 的難易度指標值是最低的。但在後兩項 類別中，試題 8、12、20、21 這四題應屬於下位的概念，可是答對率跟與其同 一概念的試題來比較卻相對的低。尤其是試題 8 與試題 20，這兩題同屬一個概 念，可是答對率卻差了.16。接下來，將分成試題 8 與試題 20、試題 12、試題 21 共三部分來探究。 分析題目後，試題 8 可以很清楚知道學童答題時的困難為何。試題 8 顯示 學童在學習小數的運算時，仍停留在只重於學會如何計算，卻不去注意小數運 算的意義。而試題 20 與試題 2 的題型及選項大同小異，但試題 20 的答對率卻
個步驟所代表的意義為何。再談到試題 12，試題 12 與試題 3、6 同屬「小數除 以整數，商為整數，有餘數」之概念，且由專家結構圖中顯示這個概念是屬於 非常下位的概念，但由於試題 12 題目的數字較大，使得學童在回答時需計算較 多位值，也間接使計算錯誤的情形發生率提高不少。最後，學童在作答試題 21 時，證明學童在學習除法時，只著重在如何計算而忽略了除法的意義，也更證 明許多學者提出的看法—學童在作除法時，會拿大數去除以小數，而忽略題目 的情境。 二、就縱貫層面來看 本測驗共有 21 題，以閥值 0.5 為標準，以答對率為縱軸，縱軸愈往上代表 答對率愈低，依試題關聯順序性係數之 0-1 矩陣表（如表 4-8）將群體受試者之 試題關聯結構圖畫出，並經過消除遞移關係及合併等價關係，經簡化後如圖 4-1。
0.9 0.8 0.7 0.6 2 5 9 19 18 20 10 14 8 3 6 15 11 13 12 21 16
由圖 4-1 可以發現群體受試者之結構圖是由試題 1、4、7、17 為最下位概念再 向上延伸，以試題 8、10、14、21 為上位概念，其中又以試題 8 及 14 位置最高， 形成最上位概念。 觀察結構圖，發現其中有三組等價關係，即為試題 1、7、17 為一組，試題 18、 20 為一組，及試題 12、20 為一組。這三組等價關係，試題 1、7、17 本屬同一概 念，因此產生等價關係是合乎預測的。但試題 18、20 及試題 12、20 卻各自分屬 不同概念，但在試題關聯結構圖中卻呈現等價關係。另外，按照試卷設計，應該 為等價關係的試題，如試題 10、14、18，之間卻沒有呈現順序關聯，類似情況也 出現在其他的試題之間。由上述可顯示試題關聯結構法仍有需要做進一步修正之 處。 除此之外，等價關係試題 1、7、17 及試題 4 位於最下位概念，並由等價關係 試題 1、7、17 及試題 4 各自向上發展延伸出兩個系列結構，如圖 4-2。觀察圖 4-2， 不難發現小數除以小數概念試題，如試題 8、10、14，大部分散布在上位概念中， 而小數除以整數概念試題，如試題 6、15、16 等，大多數分布在下位概念中，顯 示學童在學習小數除法時，要先進行小數除以整數的教學，之後才再進行小數除 以小數。 但在小數除以整數的系列結構中，應該試題 3、6 或 12 為最下位概念，但結 構圖卻呈現試題 4 為最下位概念，再分別指向試題 3、6、12，試題 4 屬於「小數 除以整數，商為小數，沒有餘數」，而試題 3、6、12 屬於「小數除以整數，商為
0.9 0.8 0.7 0.6 2 5 9 19 18 20 10 14 8 3 6 15 11 13 12 21 16 小 數 除 以 小 數 小 數 除 以 整 數
因此，由試題關聯結構圖可以呈現出學童的結構概念發展（如圖 4-3），和專 家結構圖（如圖 3-3）有些許出入。 圖 4-3 試題關聯結構圖之概念發展過程 小數除以整數， 商為小數，沒有餘數 小數除以小數， 商為整數，沒有餘數 小數除以小數， 商為小數，沒有餘數 小數除以小數， 商為整數，有餘數 小數除以小數，商使用四 捨五入取到指定小數位數 小數除以整數， 商為整數，有餘數 小數除以整數， 要補零才能除盡
關係及孤立點來分析及由個別試題來分析，現將分析說明一一列於下方： 一、「小數除以整數」子概念試題關聯結構圖之分析 「小數除以整數」之子概念試題共 9 題，分別為第 3、4、6、11、12、13、 15、16、21 題。子概念試題之各題答對率一覽表及試題概念結構圖如表 4-10 及 圖 4-4 表 4-10 「小數除以整數」子概念試題之各題答對率一覽表 題號 3 4 6 11 12 13 15 16 21 全 體 答對率 .97 1.00 .94 .91 .79 .85 .94 .94 .67 高分組 答對率 1.00 1.00 1.00 1.00 .92 .92 1.00 1.00 1.00 低分組 答對率 1.00 1.00 1.00 .80 .50 .70 .80 .80 .20 3 4 6 15 16 11 13 12 21 0.9 0.8 0.7 0.6
(一)由答對率來分析 由答對率可知，試題 3、4、6、11、13、15、16 答對率皆為.85 以上，對 六年級學童而言，屬於較為簡單的概念。但試題 12 答對率只有.79，試題 21 答對率只有.67，屬於稍有難度的概念。 此外，低分組學童在試題 12 的答對率是最低的，顯示低分組學童在處理 較多位數的小數除法時，所遇到的困難比較多。 (二)由結構圖來分析 由圖 4-4 得知，受測孩童在「小數除以整數」概念上，其概念結構圖為 與專家概念結構圖比對，發現專家概念結構圖認為「小數除以整數，商 為整數，有餘數」應該是最下位概念，但做出的結果卻是「小數除以整數， 小數除以整數，要補零才能除盡 小數除以整數，商為整數，有餘數 小數除以整數，商為小數，沒有餘數
(三)由等價關係及孤立點來分析 在此結構圖中，沒有存在等價關係及孤立點。 (四)由個別試題來分析 觀察結構圖，最上位概念為試題 21，符合專家概念結構圖，但與試題 21 同屬一個概念的試題 11、15，答對率明顯比試題 21 來得高很多。試題 21 的 答對率只有.67，其題目如下： （ ）21. 一條緞帶長 1.2 公尺，平分剪成 30 段，每段長多少公尺？ ○1 25 公尺。○2 2.5 公尺。○3 0.4 公尺。○4 0.04 公尺。 此題正確答案為
○
4 ，而作答情形如下： 在此題中，第○1 選項為誘答選項，意指選擇○1 的學童表示其屬於「大數 除以小數」型，也就是不管實際情境為何，只管數字大小而已。但發現選擇○2 跟○3 的學童也不少，表示學童在處理小數除法時，對於「位值」及「不夠除 時，商要先補零」的概念很不清楚。 觀察試題 3、6、12 發現這三題同屬一個概念，但試題 3、6 之答對率明 顯比試題 12 來得高很多。試題 3 及 6 之答對率皆在.90 以上，但試題 12 之答 對率只有.79，其題目如下： （ ）12.摺一顆星星需要 9 公分長的紙帶，一卷 128.25 公分長的紙帶， 可以摺幾顆星星？還剩下少公分長的紙帶？ ○1 可以摺 15 顆，還剩下 2.2 公分。 ○2 可以摺 15 顆，還剩下 2.25 公分。 ○3 可以摺 14 顆，還剩下 2.2 公分。 ○4 可以摺 14 顆，還剩下 2.25 公分。 選項 ○1 ○2 ○3 ○4 人數 4 3 4 22 百分比 12.12％ 9.09％ 12.12％ 66.67％在此題中，第○2 及○3 選項為誘答選項，選擇○2 的學童可能屬於粗心大意 型，如下圖，看到餘數為 2.25，就選擇第○2 選項，但沒有再去檢驗商是否正 確；
14
9 128.25
9
38
36
2.25
選擇○3 的學童可能只看到餘數有出現 2.2，但沒有注意小數第二位的數值 是否有加入到 2.2 中。表示學童在處理小數除法時，對於「算到固定位值，呈 現餘數的意義」之概念不清楚，而在低分組的學童，此題答對率只有.50，顯 示低分組的學童對餘數的意義更有迷思。 二、「小數除以小數」子概念試題關聯結構圖之分析 「小數除以小數」之子概念試題共 12 題，分別為第 1、2、5、7、8、9、10、 選項 ○1 ○2 ○3 ○4 人數 0 2 5 26 百分比 0％ 6.06％ 15.15％ 78.79％表 4-11 「小數除以小數」子概念試題之各題答對率一覽表 題號 1 2 5 7 8 9 10 14 17 18 19 20 全 體 答對率 1.00 .97 .85 1.00 .58 .85 .73 .58 1.00 .76 .82 .76 高分組 答對率 1.00 1.00 .92 1.00 .92 .92 .92 .77 1.00 .92 1.00 1.00 低分組 答對率 1.00 .90 .70 1.00 .10 .70 .60 .30 1.00 .40 .40 .30
圖 4-5 「小數除以小數」子概念試題之試題概念結構圖 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 7 17 1 2 5 9 19 18 20 10 14 8
