小數的除法教材分析

壹、除法問題之相關研究

在除法問題的研究取向上，大多專注在探討問題之整體因素，分為問題結構的取 向和問題轉換成數學式子的取向（邱瑤瑢，2005）：

一、問題結構的取向

（一）問題結構

包含問題的表面特質及數學結構，如題目的字數、問句的位置及關鍵字或線索字 等。

（二）各類型乘除問題的結構分析

以下所蒐集的文獻包含乘除的文獻，因為除法的程序性知識也包含了乘法的概念 性知識，而另一方面部分研究學者雖只探究除法知識部份，但大多數學者兼看乘和除 兩種知識（Bell,Fischbein & Greer,1984；林碧珍，1991；林原宏，1994）。

二、問題轉換成數學式子的取向

在研究如何將題目的文字敘述轉換成數學式子，問題的難度乃根據轉換步驟的多 少及難易來決定。Greer（1897）指出兒童對文字題選擇運算的依據是：

（一）找出數字相加。

（二）亂猜運算符號。

（三）決定答案的大小，變大則用加法或乘法，變小則用減法或除法。

（四）找出關鍵字再選擇運算。

（五）觀察數字是否接近，如果兩數接近，則用加法或減法，如果兩數相差較大，則 用除法。

根據本研究目的，將相關之乘除問題研究整理如表 2-2： Fischbein

& Greer

（1984）

Fischbein, Deri

& Marino

（1985）

影響乘除解題因素的 相關研究

提出乘除的「暗隱模式」（implicit models）的假設，認為 學生對乘除的直覺想法影響他們解題策略的選擇，其中學生 乘法的直覺模式是與累加的假設連結，而除法包括等分和包 含兩種直覺模式，且認為「除法會使結果變小」。

綜合上述，本研究單元「小數的除法」測驗，一方面主要目標是會整數除以小數 和小數除以小數的計算，另一方面受題數和選擇題之限制，加上研究者的教學經驗，

故文字題誘答選項僅以大數除以小數、以整數為乘數或除數作為偵測受試者是否了解 題意或小數概念是否清楚。

貳、小數的除法相關研究

一、小數的除法問題分析

小數的除法問題，主要包括等分除問題、包含除問題和當量除問題（劉曼麗，

1998）。

（一）等分除是指除數為整數、商為小數的情形，可分成除盡和不能除盡兩類。

例如：「將 20 塊餅乾平分給 16 位小朋友，全部分完，則每位小朋友可以 分到幾塊？」其中因為全部分完的條件限制，使學生必須對所有餅乾進行 分割，而答案從原先整數的表示方式，進一步擴大到小數。

（二）包含除是指除數為小數、商為整數的情形，可分成餘數是 0 和餘數是小數 兩類。例如：「咖啡豆 20 公斤，每 0.4 公斤裝成一袋，共可裝成幾袋？」

學童可能以異單位小數加減的解題經驗為基礎，採用包含除策略，將總量 逐次分解後再計算分的次數，或用分量逐次累積後，在計數累積的次數，

若有剩餘，再繼續分解，直到剩餘的量不足以製成一份為止，而獲得商和 餘數。

（三）當量除可分成單位當量未知和當量數未知。教材通常會分成兩階段來佈題 第一階段先佈成包含除問題「將 2.7 公升的牛奶，每 0.4 公升裝成 1 杯，

最多可倒滿幾杯？還剩多少公升？」等學童得到分成 6 杯剩下 0.3 公升的 答案後，第二階段再佈成給定單位量及分量，使用小數詞描述此分量是單 位量的小數倍的問題（剩下的 0.3 公升相當於是多少杯？）要求學童將餘

數轉為除數的小數倍，最後學童可以合併一、二階段的結果而得到答案。

二、小數的除法錯誤類型之相關研究

從國內外相關研究中發現學生在小數的除法概念表現並不理想。

Chein（1998）的研究指出由於學生缺乏概念性知識，所以分數化小數時，不 知道為什麼是分子除以分母，所以 Hiebert & Wearne（1983）、D＇Entremont（1991）

和艾如昀（1994）、劉曼麗（1998）的研究發現學生將分數化成小數時，常犯的 錯誤類型就是「將分子、分母分別放在小數點的前後位置」，比如

20

16 化成小數，

答案易寫成 16.20 或 20.16。

艾如昀（1994）、陳永峰（1998）、劉曼麗（2001）、簡茂發、劉湘川（1993）

的研究提到學生在乘除小數的計算時，會誤用算則而將商的小數點點錯，或是未 點餘數之小數點。其中，劉曼麗（1998）的研究則是發現，學生在處理小數除法 中的餘數，可能犯的錯誤為餘數整數型、餘數小數點錯放位置，最常犯的錯誤是 將餘數的小數點與移位後的被除數的小數點對齊所致。

美國 NAEP（National Assessment of Educational Progress）的報告發現學 生缺乏小數基本概念的理解，有些學生會忽略小數點的存在，而將小數看作整數 來處理（Carpenter,Corbitt,Kepner,Lindquist, & Reys,1983）。因此，常有商 數、餘數沒有點小數點的情況發生。

Bell,Swan & Taylor（1981）的研究中發現，在小數數值的文字題中之換算 策略的選擇，發現學生的迷思概念有：學生認為除法是「大的數除以小的數」和

「a÷b＝a b」。Fischbein,Deri & Marino（1985）和陳永峰（1998）的研究也提 出學生在做除法的文字題時，會因數字大小影響，而產生不一樣的列式策略，將 原本是「小數÷大數」的題目列式為「大數÷小數」，並不考慮情境因素。

林軍治（1986）認為小數的運算原理和整數幾乎相同，但學生會因為小數點 的關係而產生學習上的干擾，對於除數小於 1，商比被除數大，學生很難接受這

種事實。簡茂發、劉湘川（1993）的研究提到，學生認為乘法使結果變大，除法 使結果變小。林原宏（1996）的研究也有類似的結果，學生會以預期結果量作為 運算符號的依據，使結果量變大就用乘法，使結果量變小就用除法。

周筱亭（1990）的研究指出，我國國小學生在小數計算方面，學生只是模仿 解題程序，卻不了解其意義。

簡茂發、劉湘川（1993）曾進行全國性「國民教育階段學生基本學習成就評 量」，報告中發現，在下列式子中，0.28÷0.15＜0.28，3.96÷1.05＞3.96，

10.8÷0.8＞10.8，9.87÷4＞9.87，哪一個是正確的關係，只有 38.1%的學生答對。

顯示出除數為小數時，除數與 1 的大小關係，決定被除數與商的大小關係，概念 並不清楚。

Fischbein,Deri & Marino（1985）的研究中提出「暗隱模式」（implicit models），認為每一種基本算術運算都與一個暗隱（implicit）、下意識

（unconscious）而且源於直覺的模式相連接。所以學生除法的暗隱模式中，認為

「除法會使結果變小」，所以當除數小於 1，商會比被除數大的題目，錯誤率會 大增。

此外，南一版數學第十一冊教師手冊上，提及一種教師須特別注意的錯誤類 型：忘記在缺位上補 0。當進行除法運算時，因為運算過程中可能商數會產生其 中一位數是 0 的情形，學生可能會因為疏忽而忘記添 0，餘數在點小數點時，亦 有同樣的錯誤發生。

茲將相關文獻與本研究分析之錯誤類型對照如下表：

艾如昀（1994）、陳永峰（1998）、劉曼麗（1998，

2001）、簡茂發、劉湘川（1993）、

Carpenter,Corbitt,Kepner,Lindquist, & Reys

（1983）

Hiebert & Wearne（1983）、D＇Entremont（1991）

和艾如昀（1994）、劉曼麗（1998）

B11 分數換小數時，用分母除以分子 研究者教學經驗（預試分析誘答率 0.02 同 B10）

B12 被除數小餘除數的文字題中，一律用 大數÷小數(不懂題意)

Bell,Swan & Taylor（1981）、Fischbein,Deri &

Marino（1985）和陳永峰（1998）

B13 文字題以整數為除數 林原宏（1996）

Fischbein,Deri & Marino（1985）

B18 不清楚何時該加 1 減 1 或不必加減 研究者教學經驗（預試分析誘答率最高到 0.61）

B19 粗心大意 研究者教學經驗（預試分析誘答率最高到 0.17）

B20 直式除法中，被除數的小數點移位未 與除數相同

劉曼麗（1998）

綜合以上國內外學者的研究，本研究將利用這些錯誤類型來進行診斷測驗題