以知識結構及貝氏網路為基礎之數學教材及電腦適性測驗

(1)

國立臺中教育大學教育測驗統計研究所

教學碩士學位暑期在職進修專班碩士論文

指導教授：胡豐榮博士

以知識結構及貝氏網路為基礎

之數學教材及電腦適性測驗

研究生：白曉珊撰

中華民國九十七年七月

(2)

以知識結構及貝氏網路為基礎之數學教材及

電腦適性測驗

摘要

本研究主要在建立一套以知識結構和貝氏網路為基礎之數學教材與電腦適性測驗，供教師進行數學教學與補救教學使用，希冀達到「因材施測」與「因材施教」之效果。首先根據教材內容，建立專家知識結構，依此結構及欲放入貝氏網路分析的錯誤類型編製適性測驗試題，進行紙筆預試。接著依施測結果分析學生的知識結構，再依此結構建立電腦適性測驗系統的選題規則及題庫。同時，編製以知識結構為基礎之數學教材供實驗教學使用。正式施測後，根據所得資料加以分析。研究結果摘述如下：一、使用「小數的除法」單元以知識結構為基礎之指導教材進行實驗教學後，實驗組學生的平均分數顯著高於控制組學生的平均分數（F 值 =8.673；p=0.004），表示此教材具有使用價值。二、實驗組學生進行補救教學後，學生的平均分數有顯著的進步（t＝ 2.477;p=0.019），表示此教材具有使用價值。三、電腦適性診斷測驗能節省約 40-42％左右之題目，並且達到 93.04％～ 95％的精準度。四、貝氏網路的推論在適性選題與完整作答下的一致性分析結果得到，前測的預測精準度為 93.69％，後測的預測精準度為 90.95％。關鍵字：知識結構、貝氏網路、電腦適性測驗、小數的除法

(3)

A Knowledge Structure and Bayesian Networks

Based Mathematical Teaching Materials

and Computerized Adaptive Testing

Abstract

This study aims to establish a knowledge structure and bayesian networks based mathematical teaching materials and computerized adaptive testing. It helps teachers with mathematics teaching and remedial instruction.We hope it can reach significant effect on testing students’ individual abilities and meeting students’ individual needs.

First, we analyzed the content of the textbook, and established the expert knowledge structures of the content . According to the knowledge expert structures and mistaken types which can be calculated in the bayesian networks, items were designed. After the pre-test, ordering theory is used to decide the students' knowledge structure and those parameters were used in the item bank. Then, establish mathematical materials of experimental teaching. After the experiment, analysis the data。

Some findings are briefly outlined as follows:

1.After taking the experimental teaching, experimental group students' average grades were better than comparison group’s significantly. （ F=8.673 ； p=0.004） It shows that thisteaching material is valuable for using.

2. After experimental group students taking the remedial instruction, they have significant progress on their average grades. （t＝2.477;p=0.019） It shows that thisteaching material is valuable for using.

3.The rate of saving items by KSAT is above 50% and prediction accuracy can reach 93.04%~95%.

4. Analysis the regularity of mistaken types and sub- skill under the CAT and full respondence. Obtains the result: the regularity of pre-test is 93.69%,and the regularity of post-test is 90.95%.

Keywords: knowledge structure, bayesian networks, computerized adaptive test, decimal division

(4)

第一章緒論 ………1

第一節研就動機………1 第二節研究目的………2 第三節名詞釋義………2

第二章文獻探討 ………5

第一節以知識結構為基礎之電腦適性診斷測驗………5 第二節小數的除法教材分析………9 第三節貝氏網路 ………17 第四節補救教學 ………23

第三章研究方法 ………27

第一節研究對象 ………27 第二節研究工具 ………27 第三節研究流程 ………29 第四節實驗處理與分析 ………32

第四章研究結果 ………35

第一節以知識結構為基礎之診斷測驗 ………35 第二節以知識結構為基礎之教材編製 ………38 第三節以知識結構為基礎之教材成效 ………41 第四節電腦適性測驗之省題率和精準度 ………45 第五節貝氏網路的推論在適性選題與完整作答下的一致性 …46

第五章結論與建議 ………47

第一節研究結論 ………47 第二節研究限制 ………48 第三節研究建議 ………49

參考文獻 ………51

中文部份 ………51 英文部分 ………55

(5)

附錄 ………57

附錄一：專家知識結構 ………57 附錄二：學生知識結構 ………60 附錄三：補救教學結構 ………63 附錄四：試題範例… ………66 附錄五：教學多媒體 ………67 附錄六：單元講義 ………68 附錄七：學生加油手冊 ………71 附錄八：教學指引 ………72

(6)

表目次

表 2-1 知識結構檢核表……… 7 表 2-2 乘除問題之相關研究……… 10 表 2-3 相關文獻與錯誤類型之對照表……… 14 表 2-4 貝氏網路在教育上之應用……… 21 表 3-1 研究實施時間表……… 28 表 3-2 實驗處理流程表……… 30 表 4-1 「小數的除法」單元診斷測驗預試之難度、鑑別度分析表 34 表 4-2 全體受試者前測平均分數表……… 38 表 4-3 受試者起點行為組內迴歸係數同質性考驗表……… 38 表 4-4 前測分數單因子共變數分析檢定摘要表……… 39 表 4-5 前測分數調整後的平均數摘要表……… 39 表 4-6 全體受試者後測平均分數表……… 40 表 4-7 受試者前測組內迴歸係數同質性考驗表……… 40 表 4-8 後測分數單因子共變數分析檢定摘要表……… 40 表 4-9 後測分數調整後的平均數摘要表……… 40 表 4-10 實驗組受試者前、後測成績成對樣本檢定表……… 42 表 4-11 電腦適性測驗的省題率和精準度……… 42

(7)

圖目次

圖 2-1 利用試題結構節省施測題數……… 5 圖 2-2 數學科「小數的除法」單元教材地位……… 15 圖 2-3 貝氏網路圖……… 17 圖 2-4 多節點貝氏網路結構圖……… 19 圖 2-5 建立貝氏網路模型的流程……… 20 圖 3-1 知識結構試題化流程圖……… 26 圖 3-2 研究實施流程圖……… 29 圖 4-1 「小數的除法」專家知識結購(節取) ……… 36 圖 4-2 「小數的除法」學生試題結購(節取) ……… 37

(8)

第一章緒論

第一節研究動機

近年來教育改革如火如荼的展開，隨著九年一貫課程的實施，國小老師們除了要準備教學課程、輔導學生以外，還有許多的行政工作，此外，編寫評量也是非常重要的工作，評量之後的補救教學，又是重要的一環，對老師而言，真是沉重的負荷(許志毅，2004)。而在進行評量時，教師容易遇到的問題，主要分為三方面：一、診斷測驗的編製，二、施測後測驗的記分和紀錄，三、如何根據測驗結果進行適當的補救教學(郭伯臣，2003)。自從一綱多本實施以來，教師每學期每次月考都要重新備課，再從廠商所提供既有的題庫出題，既無結構性又無效率。況且，也少有與評量結果配套的補救教材來進行補救教學，花了很多時間編製測驗與改考卷，卻無法及時補救學生的迷思概念，而影響學生日後的學習。因此，希望藉由電腦科技的進步，能夠有一套理想的電腦化適性診斷測驗，以及跨版本的輔助指導教材和配套的補救教學教材，來處理這些問題，減輕教師的負擔，以期能結構化、系統性的「因材施測」，而後「因材施教」，達到節省學習及施測時間，並增進學習效果之目的。由郭伯臣(2003，2004，2005)主持的國科會專題研究「國小數學科電腦化適性診斷測驗（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）」中的「以知識結構為基礎之適性測驗」（knowledge structure based adaptive testing，KSAT），乃依據學生知識結構建立電腦化適性診斷測驗，提供學生一個適性測驗以及立即性的成績回饋，來達到「因材施測」的效果，而相關研究亦顯示，電腦化適性診斷測驗確實可以節省施測題數、時間，且有不錯的精準度(蔡昆穎，2004；許志毅，2004；黃碧雲，2005)，故本研究將使用此套系統加以延伸及驗證。然而，現有各版本的內容安排順序不一，多少都有出入，故而希冀發展出一套完

(9)

整之輔助指導教材，透過能力指標與單元概念分析而建立，未來國小教師便能擁有一套完整而有系統性的教材，單元結束也能直接線上測驗，馬上取得學生分數及迷思概念或錯誤類型，進而及時進行有效之補救教學。本研究亦預期透過與貝氏網路的結合，有效精準辨識出學生之迷思概念，藉由偵測出之錯誤類型，及缺乏之技能、概念，建構補救教學路徑。有鑒於此，研究者嘗試以六年級數學領域「小數的除法」單元為例，研發以知識結構為基礎之輔助指導教材，建立電腦化適性診斷測驗題庫，及配套之補救教學教材，透過準實驗研究設計探討學生學習成效。

第二節研究目的

基於上述研究動機，本研究的主要目的，分述如下：壹、編製並分析「小數的除法」單元之以知識結構為基礎之診斷測驗貳、編製「小數的除法」單元之輔助指導教材與補救教學教材參、檢驗以知識結構為基礎之輔助指導教材與補救教學教材是否具有成效。肆、探討以知識結構為基礎之輔助指導教材與補救教學教材與傳統教學模式對學生學習成效的差異。伍、探討電腦化適性測驗之省題率和精準度。陸、探討貝氏網路的推論在適性選題與完整作答下的一致性。

第三節名詞釋義

壹、以知識結構為基礎之電腦適性測驗

專家學者根據概念發展順序整理出上下位關係形成專家知識結構，依此所編製的測驗預試後，將測驗結果經順序理論(ordering theory，OT)分析得到學生的學習概念順序，也就是學生知識結構，再以此為基礎所編製的電腦化適性診斷測

(10)

驗，與傳統紙筆測驗有很大的不同，電腦可以依據受試者的能力或特質，選取最適合該受試者的題目予以作答，若作答正確，便選取更難的題目，若作答錯誤，則選取較簡單之題目。透過這樣的選題策略，快速而精準的找出學生的迷思概念，進而進行補救教學。

貳、錯誤類型

「錯誤類型」是指在數學解題歷程中所產生的系統性錯誤（system error），也就是它並非隨機所造成的錯誤，其成因來自於穩定的錯誤，或因不完全、誤導的學習所造成，也就是迷思概念所造成的結果。

參、貝氏網路

貝氏網路也叫作信念網路（Bayesian belief networks）、因果關係網路（casual networks）、機率網路（probabilistic networks）或是知識地圖（knowledge map），主要以有向的無迴路圖（directed acycle graph,DAG）為基礎，應用其變數之間的因果關係與其相互影響的機率。在貝氏網路中，節點（node）代表欲研究的變項，連結（link）代表變項間的相互關係，有關係的節點皆以有方向性的連結（link）串聯起來。在給定證據之後，利用貝氏定理的先驗機率和聯合機率，推論後驗機率，用以了解事件發生的機率有多大。

(11)

(12)

第二章文獻探討

為達到本研究目的，將相關資料及文獻整理成：一、以知識結構為基礎之電腦化適性測驗，二、小數的除法教材分析，三、貝氏網路，四、補救教學。加以闡述如下：

第一節以知識結構為基礎之電腦適性測驗

壹、以知識結構為基礎之電腦適性測驗概述

隨著電腦科技大量運用於教育上，對傳統的教學活動造成很大的衝擊，目前電腦輔助教學（Computer-Assisted Instruction,CAI）已經相當普及，而電腦輔助測驗（Computer-Assisted Testing,CAT）也正在逐漸發展當中（周倩，1998）。電腦科技的發達，提供超大的容量來儲存測驗訊息、編製測驗、實施測驗和紀錄測驗分數，使得推行適性測驗越來越可行（Bunderson,Inouye & Olson,1989；蕭顯勝、黃啟彥、游光昭，2006）。近十幾年來，相關研究證實電腦適性測驗（CAT）不僅可以節省施測時間，更可以達到精確估計學生能力或有效辨識學生迷思概念。一、電腦適性測驗郭伯臣（2004）將電腦化適性測驗分成二大類：一是以試題反應理論（Item Response Theory，IRT）為基礎，另一種則是以知識或試題結構為基礎。以試題反應理論為基礎的電腦適性測驗，主要目的是在精確估計受試者的能力所在，透過試題訊息來選題，測驗得到一個分數「能力值」，但是相同分數並不代表他們的錯誤概念是相同的，因此使用以試題反應理論為基礎的電腦適性測驗，並不恰當，故以知識或試題結構為基礎的電腦適性測驗作為學習診斷及進行補救教學之用，亦為其主要目的。二、以知識或試題結構為基礎的電腦適性測驗

(13)

它是根據受試者答對答錯的情形，選擇上位或下位節點題目，上位節點若答對，代表下位節點概念皆能理解，而結束施測，達到節省大量試題、可精確分析受試者的錯誤概念，並具有良好的預測精準度（蔡昆穎，2004；許志毅，2004；黃碧雲，2005）。假設有一試題結構如圖 2-1 所示，在紙筆測驗中 A-I 的所有試題均必須施測作答，以了解學生學習狀況，但在電腦化適性診斷測驗中，假如某位受試者答錯 A 概念，則需進一步施測 B 和 C 概念，以了解學生迷思概念為何；而如果 B 概念錯 C 概念對，在電腦化適性診斷測驗中，則僅需再施測 D、E 試題，不用再施測 F、G、H、I，因此可達到節省試題的功能（盧炎成，2006）。因此，結構建立的方式會影響到預測的精準度，也就相對的非常重要了。圖 2-1 利用試題結構節省施測題數知識或試題結構的建立方式有許多種，也各有其優缺點，何政翰（2004）的研究中，將專家知識結構、Diagnosys、OT（ordering theory）、IRS（item relational structure analysis）建立試題結構的四種方法，比較分析如下：（一）使用專家結構的電腦適性測驗演算法預測精確度較難控制，使用學生試題結構的電腦適性測驗演算法，由於可藉由閾值的控制，來獲得較令人滿意預測精確度。（二）根據 Diagnosys 演算法建立的結構需要更多樣本才能達到令人滿意的預測精確度，且適性測驗速度也比較慢。（三）OT 演算法建立的結構，其預測精準度較 IRS 理想。（四）OT 演算法與其他演算法比起來，其對樣本大小較不敏感，也就是較穩定，因此 A B C D E F G H I

(14)

就以試題順序結構為基礎的適性測驗的來說，OT 演算法是一個較好的選擇。經過以上之探討，本研究將採用 OT 演算法將學生預試資料整理成學生知識結構，作為電腦適性診斷測驗選題策略及編製輔助指導教材之依據。而近年隨著貝氏網路的發展，更能藉由與貝氏網路的結合，有效辨識受試者的錯誤類型，進而配合知識結構進行補救教學。

貳、診斷測驗題庫建置

余民寧（1997）認為題庫是根據雙向細目表命題，經過施測與試題分析，再將這一群試題建立起試題特徵資料，並依所需內容給予編碼，用來組成評量各種教學成果的工具。陳怡如、吳慧珉和黃碧雲（2004）的研究中設計出一套診斷測驗試題題庫的建立方式，茲說明如下：一、編製預試紙筆測驗（一）編製知識結構原則以課程資料（課本、習作與教學指引等）中所呈現的知識結構及概念教學順序作為分析的主體，先熟讀課本、習作和教學指引，再針對課本與習作的練習題，分析出正確的解題概念和所需要運用的概念，進而列出該單元的知識結構。編製知識結構的原則如下： 1.每一節點為單一概念。 2.每一節點皆可出題。 3.了解上位節點則推論受試者了解其所有下位節點。 4.同層節點難度可能不一。

(15)

5.注意數字大小之影響。 6.注意非文字題及文字題之不同。 7.當無法明確界定節點間次序性時，宜定義為無次序性。（二）知識結構檢核表知識結構檢核表主要的用途在於初步建立節點內容與節點順序後，再仔細這樣的設定是否適切。表 2-1 知識結構檢核表（引自陳怡如、吳慧珉和黃碧雲，2004）項目檢核內容是否一每一節點是否都是單一概念？二每一節點是否都可以出題？三上位節點和下位節點的次序性是否明確合理？四節點的設定是否有考慮到數字位數大小的問題？五節點的設定是否有考慮到文字題和非文字題的不同？六節點的敘述是否清楚明確？七節點的設定是否有符合課程資料的教學目標？（三）命題程序編製完成單元的知識結構後，便可以根據下列的命題程序開始進行命題： 1.依據知識結構，再參考課程資料命題，每個試題都只針對一個節點（概念）出題。 2.依照知識結構和課程資料選定合適之試題結構類型，設計出適當的題幹。為了符合日後電腦化的趨勢，試題型式以選擇題為主。 3.依據題幹內容，設計正確選項，並根據學生易犯錯誤類型設計誘答選項。

(16)

4.完成試題後，進行校對與驗算工作，即校對該題的設計是否符合節點的內容，且驗算正確選項的合理性。（四）命題卡及相關檢核表（盧炎成，2006） 1.命題卡。每題皆有一張命題卡，上面填寫各題之版本、概念、內容及其他相關資料，包含每個試題的編碼紀錄。 2.命題檢核表。針對節點選定具代表性的問題後，再次確認其內容、題幹和選項等三方面的設計是否適當。 3.試卷檢核表。選定能代表某一單元全部節點的各個試題後，進而將所有試題組成一份試卷後，能再仔細評估整份試卷的設計編排是否恰當，是否已能完全代表該單元的知識結構，完成預試試卷。二、預試收集學生資料三、收集學生資料後，一方面分析試題難度、鑑別度及信、效度，一方面根據 OT 演算法建立學生知識結構，作為適性測驗選題的依據，進行題庫之建置。

第二節小數的除法教材分析

壹、除法問題之相關研究

在除法問題的研究取向上，大多專注在探討問題之整體因素，分為問題結構的取向和問題轉換成數學式子的取向（邱瑤瑢，2005）：

(17)

一、問題結構的取向（一）問題結構包含問題的表面特質及數學結構，如題目的字數、問句的位置及關鍵字或線索字等。（二）各類型乘除問題的結構分析以下所蒐集的文獻包含乘除的文獻，因為除法的程序性知識也包含了乘法的概念性知識，而另一方面部分研究學者雖只探究除法知識部份，但大多數學者兼看乘和除兩種知識（Bell,Fischbein & Greer,1984；林碧珍，1991；林原宏，1994）。

二、問題轉換成數學式子的取向在研究如何將題目的文字敘述轉換成數學式子，問題的難度乃根據轉換步驟的多少及難易來決定。Greer（1897）指出兒童對文字題選擇運算的依據是：（一）找出數字相加。（二）亂猜運算符號。（三）決定答案的大小，變大則用加法或乘法，變小則用減法或除法。（四）找出關鍵字再選擇運算。（五）觀察數字是否接近，如果兩數接近，則用加法或減法，如果兩數相差較大，則用除法。

(18)

根據本研究目的，將相關之乘除問題研究整理如表 2-2：表 2-2 乘除問題之相關研究研究者研究主題研究結果劉湘川、許天維、林原宏（1995）國小高年級學生乘除問題解題策略及理解層次之分析研究林原宏（1996）國小高年級學生解決乘除文字題之研究─ 以列式策略與試題分析為探討基礎發現學生對乘除問題會使用下列四種解題策略及概念：1.以預期結果量作為選擇運算符號的依據：此種策略是指學生認為「欲使結果量變大，就用乘法；欲使結果量變小，就用除法」2.以較大的數除以較小的數 3.以整數為乘數或除數 4. 利用關鍵字（如：把附有某單位的數字當被乘數或被除數）。陳啟明（2000）不同題目表徵型式對學生解題表現之影響發現學生在不同題目表徵型式之應用問題的解題表徵上，彼此存在著顯著差異，其中，學生在「畫圖題」上的解題表現優於「短語題」和「應用問題」，在「短語題」上的表現也優於「應用問題」。尤彥喬（2004）了解國小三年級學童在學習除法過程中對除法應用問題的解題表現及策略變化發現影響學童理解除法應用問題的主要原因是學童未將題目的字句轉譯成自己的資訊，且不同學習能力的學童解題策略的轉變路徑與策略迴轉的次數均不同。鐘世帆（2005）國小學童整數乘除概念知識結構與認知型式相關之探討-以六年級為例發現 1.學生對乘除應用問題的解題表現，以叉積型及比較型最佳，其次為量數同構型，而以多重比例型最差 2.學生在各乘除類型之不同未知數位置的解題表現有差異 3.場地獨立型學生在乘除問題的解題能力優於場地依賴型學生。邱瑤瑢（2005）國小四年級學生對除法概念與其擬題策略之相關研究 1.擬題能力愈好的學生，其除法能力也就越好 2.學生在「平分」及「包含除」的解題表現明顯較差，且高、中、低擬題能力學生未能通過 3.「未知數在商」與「未知數在餘數」的擬題能力顯著優於「未知數在除數」4.低擬題能力組學生比中擬題能力組所欠缺的除法概念是「除法算則」；而中擬題能力組比高擬題能力組學生所欠缺的是「等分除」的概念 5.在不同性別學生的「除法概念」及「擬題表現」，皆無顯著差異存在 6.「運算符號錯誤」佔所有擬題錯誤類型的比例最高。 Bell, Fischbein & Greer （1984）探究數字大小、問題結構及情境對選擇乘、除問題解決策略的影響發現學生普遍存在數字的迷思概念，且熟悉的應用問題情境也影響學生的表現，顯示數字大小、問題結構及情境皆為影響學生表現之因素。 Fischbein, Deri & Marino （1985）影響乘除解題因素的相關研究提出乘除的「暗隱模式」（implicit models）的假設，認為學生對乘除的直覺想法影響他們解題策略的選擇，其中學生乘法的直覺模式是與累加的假設連結，而除法包括等分和包含兩種直覺模式，且認為「除法會使結果變小」。

(19)

綜合上述，本研究單元「小數的除法」測驗，一方面主要目標是會整數除以小數和小數除以小數的計算，另一方面受題數和選擇題之限制，加上研究者的教學經驗，故文字題誘答選項僅以大數除以小數、以整數為乘數或除數作為偵測受試者是否了解題意或小數概念是否清楚。

貳、小數的除法相關研究

一、小數的除法問題分析小數的除法問題，主要包括等分除問題、包含除問題和當量除問題（劉曼麗， 1998）。（一）等分除是指除數為整數、商為小數的情形，可分成除盡和不能除盡兩類。例如：「將 20 塊餅乾平分給 16 位小朋友，全部分完，則每位小朋友可以分到幾塊？」其中因為全部分完的條件限制，使學生必須對所有餅乾進行分割，而答案從原先整數的表示方式，進一步擴大到小數。（二）包含除是指除數為小數、商為整數的情形，可分成餘數是 0 和餘數是小數兩類。例如：「咖啡豆 20 公斤，每 0.4 公斤裝成一袋，共可裝成幾袋？」學童可能以異單位小數加減的解題經驗為基礎，採用包含除策略，將總量逐次分解後再計算分的次數，或用分量逐次累積後，在計數累積的次數，若有剩餘，再繼續分解，直到剩餘的量不足以製成一份為止，而獲得商和餘數。（三）當量除可分成單位當量未知和當量數未知。教材通常會分成兩階段來佈題第一階段先佈成包含除問題「將 2.7 公升的牛奶，每 0.4 公升裝成 1 杯，最多可倒滿幾杯？還剩多少公升？」等學童得到分成 6 杯剩下 0.3 公升的答案後，第二階段再佈成給定單位量及分量，使用小數詞描述此分量是單位量的小數倍的問題（剩下的 0.3 公升相當於是多少杯？）要求學童將餘

(20)

數轉為除數的小數倍，最後學童可以合併一、二階段的結果而得到答案。二、小數的除法錯誤類型之相關研究

從國內外相關研究中發現學生在小數的除法概念表現並不理想。

Chein（1998）的研究指出由於學生缺乏概念性知識，所以分數化小數時，不知道為什麼是分子除以分母，所以 Hiebert & Wearne（1983）、D＇Entremont（1991）和艾如昀（1994）、劉曼麗（1998）的研究發現學生將分數化成小數時，常犯的錯誤類型就是「將分子、分母分別放在小數點的前後位置」，比如 20 16 化成小數，答案易寫成 16.20 或 20.16。艾如昀（1994）、陳永峰（1998）、劉曼麗（2001）、簡茂發、劉湘川（1993）的研究提到學生在乘除小數的計算時，會誤用算則而將商的小數點點錯，或是未點餘數之小數點。其中，劉曼麗（1998）的研究則是發現，學生在處理小數除法中的餘數，可能犯的錯誤為餘數整數型、餘數小數點錯放位置，最常犯的錯誤是將餘數的小數點與移位後的被除數的小數點對齊所致。

美國 NAEP（National Assessment of Educational Progress）的報告發現學生缺乏小數基本概念的理解，有些學生會忽略小數點的存在，而將小數看作整數來處理（Carpenter,Corbitt,Kepner,Lindquist, & Reys,1983）。因此，常有商數、餘數沒有點小數點的情況發生。

Bell,Swan & Taylor（1981）的研究中發現，在小數數值的文字題中之換算策略的選擇，發現學生的迷思概念有：學生認為除法是「大的數除以小的數」和「a÷b＝a b」。Fischbein,Deri & Marino（1985）和陳永峰（1998）的研究也提

出學生在做除法的文字題時，會因數字大小影響，而產生不一樣的列式策略，將原本是「小數÷大數」的題目列式為「大數÷小數」，並不考慮情境因素。

林軍治（1986）認為小數的運算原理和整數幾乎相同，但學生會因為小數點的關係而產生學習上的干擾，對於除數小於 1，商比被除數大，學生很難接受這

(21)

種事實。簡茂發、劉湘川（1993）的研究提到，學生認為乘法使結果變大，除法使結果變小。林原宏（1996）的研究也有類似的結果，學生會以預期結果量作為運算符號的依據，使結果量變大就用乘法，使結果量變小就用除法。周筱亭（1990）的研究指出，我國國小學生在小數計算方面，學生只是模仿解題程序，卻不了解其意義。簡茂發、劉湘川（1993）曾進行全國性「國民教育階段學生基本學習成就評量」，報告中發現，在下列式子中，0.28÷0.15＜0.28，3.96÷1.05＞3.96， 10.8÷0.8＞10.8，9.87÷4＞9.87，哪一個是正確的關係，只有 38.1%的學生答對。顯示出除數為小數時，除數與 1 的大小關係，決定被除數與商的大小關係，概念並不清楚。

Fischbein,Deri & Marino（1985）的研究中提出「暗隱模式」（implicit models），認為每一種基本算術運算都與一個暗隱（implicit）、下意識（unconscious）而且源於直覺的模式相連接。所以學生除法的暗隱模式中，認為「除法會使結果變小」，所以當除數小於 1，商會比被除數大的題目，錯誤率會大增。此外，南一版數學第十一冊教師手冊上，提及一種教師須特別注意的錯誤類型：忘記在缺位上補 0。當進行除法運算時，因為運算過程中可能商數會產生其中一位數是 0 的情形，學生可能會因為疏忽而忘記添 0，餘數在點小數點時，亦有同樣的錯誤發生。

(22)

茲將相關文獻與本研究分析之錯誤類型對照如下表：表 2-3 相關文獻與錯誤類型之對照表代號錯誤類型相關文獻 B1 商數整數型 Carpenter（1983） B2 商數的小數點錯放位置艾如昀（1994）、陳永峰（1998）、劉曼麗（2001）、簡茂發、劉湘川（1993） B3 商數忘記在缺位補 0 南一版數學第十一冊教師手冊 B4 商數只算到整數就停止研究者教學經驗（預試分析誘答率最高到 0.03） B5 把餘數當成小數位數研究者教學經驗（預試分析誘答率最高到 0.06） B6 餘數整數型艾如昀（1994）、陳永峰（1998）、劉曼麗（1998， 2001）、簡茂發、劉湘川（1993）、

Carpenter,Corbitt,Kepner,Lindquist, & Reys （1983） B7 餘數的小數點與移位後被除數的小數點對齊劉曼麗（1998） B8 餘數的小數點錯放位置(非對齊被除數移位前後的小數點) 劉曼麗（1998） B9 餘數忘記在缺位補 0 南一版數學第十一冊教師手冊 B10 將分子、分母分別放在小數點前後位置

Hiebert & Wearne（1983）、D＇Entremont（1991）和艾如昀（1994）、劉曼麗（1998）

B11 分數換小數時，用分母除以分子研究者教學經驗（預試分析誘答率 0.02 同 B10） B12 被除數小餘除數的文字題中，一律用

大數÷小數(不懂題意)

Bell,Swan & Taylor（1981）、Fischbein,Deri & Marino（1985）和陳永峰（1998） B13 文字題以整數為除數林原宏（1996） B14 被除數、除數同乘以 10 或 100，誤以為商也變成 10 倍、100 倍或 0.1 倍、 0.01 倍簡茂發、劉湘川（1993）、林原宏（1996） B15 被除數不變，除數×10（÷10）誤以為商也是×10（÷10）研究者教學經驗（預試分析誘答率最高到 0.31） B16 除數不變，被除數×10（÷10）誤以為商是÷10（×10）研究者教學經驗（預試分析誘答率最高到 0.25） B17 被除數一樣大時，除數大於 1（小於 1）誤以為商大於（小於）被除數林軍治（1986）、簡茂發、劉湘川（1993） Fischbein,Deri & Marino（1985）

B18 不清楚何時該加 1 減 1 或不必加減研究者教學經驗（預試分析誘答率最高到 0.61） B19 粗心大意研究者教學經驗（預試分析誘答率最高到 0.17） B20 直式除法中，被除數的小數點移位未

與除數相同

(23)

綜合以上國內外學者的研究，本研究將利用這些錯誤類型來進行診斷測驗題庫及輔助指導教材的編製，希望藉由與貝氏網路的結合，迅速發現學生存在的錯誤概念，及時給予適當的回饋及進行適切的補救教學，達到因材施教的目標。

參、小數的除法教材地位

依據教育部（2003）公佈的國民中小學九年一貫課程綱要，所要達成的國民小學階段數學學習領域目標，能力指標如下： N-1-10 能認識一位小數，並作比較與加減計算。 N-2-10 能認識多位小數，理解其比較，及用直式處理加、減與整數倍的計算，並解決生活中的問題。 N-2-12 能用直式處理乘數是小數的計算，並解決生活中的問題。 N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。 N-3-04 能用直式處理除數為小數的計算，並解決生活中的問題。本研究的單元設計係根據 N-3-04 之能力指標而來，從能力指標的敘述更可以發現小數和分數的關係相當密切，在教材的安排上，都是先進行分數的活動，再安排相關小數部分的活動。圖 2-2 數學科「小數的除法」單元教材地位第十册 ◎ 能解決一、二位小數除以整數的問題第十二册 ◎ 能解決分數除以整數的問題 ◎ 能解決整數、分數除以分數的問題本單元 ◎ 解決小數除法（三位以內）的問題，並用直式算式紀錄解題過程與結果 ◎ 理解小數除法被除數、除數、商間的關係 ◎ 分數和小數的互換第十二册 ◎ 分數的四則運算 ◎ 小數的四則運算

(24)

第三節貝氏網路

壹、貝氏網路概述

高健智（2007）在其研究前指出與學習診斷相關研究存在幾個問題：1.概念關聯圖建立不易，2.錯誤概念推論缺乏驗證，3.補救學習路徑閥值制定缺乏理論支持，4. 受測學生數受限制，5.普遍缺乏對概念認知程度的診斷。但相關研究（郭伯臣、李俊儀、許雅菱、林文質，2005；許雅菱，2005；高健智，2007）陸續證實了貝氏網路存在著可依條件變化而動態的變化機率值特性，藉由貝氏網路推論，能有效辨識出學生的錯誤概念及缺乏之子技能，依此提供受測學生應加強的概念或補救教學路徑，以下是相關文獻對貝氏網路的介紹：一、貝氏網路簡介許雅菱（2005）提到貝氏網路是一個應用十分廣泛的工具，主要以機率圖形模式的方式呈現，利用機率分佈將特定領域中的不確定性組合成模型。因為貝氏網路是以非循環有向圖（directed acyclic graph,DAG）為基礎，應用其變數之間的因果關係，與其相互影響的機率，所以貝氏網路也叫作信念網路（Bayesian belief networks）、因果關係網路（casual networks）、機率網路（probabilistic networks）或是知識地圖（knowledge map）（蘇俊和，2002）。完整的貝氏網路包含兩個部份，分別是節點（node）和連結（link）。在貝氏網路中，節點對應於有限範圍內的任意變數，在本研究中，節點分為三種，包含子技能（skill）、錯誤類型（bug）和試題（item）。而節點之間利用有向邊連結，連結之有無代表節點之間的關係是否為條件相依或條件獨立的情形，沒有連結表示兩節點是條件獨立。在貝氏網路中，圖示扮演了一個十分重要的角色，在機率和統計學上有三個重要

(25)

的意義（許雅菱，2005）：1.提供較為簡單的方法來表示獨立的假設，2.可以經濟的表示其聯合機率函數，3.可有效地從觀察中推論。因此，貝氏網路以圖形模式網路呈現時，有向圖頂點之關係可藉「親屬關係」表示，如下圖，我們稱 S1 為 B1、B2、B3 的父節點，B1、B2、B3 為 S1 的子節點。圖 2-3 貝氏網路圖高健智（2007）將貝氏網路的定義及優點說明如下：（一）定義 1. 貝氏網路為一建立在條件機率上的圖形網路模式。 2. 貝氏網路是由一群隨機變數當作網路節點所組成的網路。 3. 有關係的任一對網路節點間皆以有方向性的連結或箭號所串聯。 4. 每一個節點均有一個條件機率表，用以說明該節點之父節點對此節點的影響情形。 5. 網路中不允許有方向性的循環存在。（二）優點 1. 可以輕易的處理不完整性或具不確定性資料的問題。 2. 允許使用對網路節點之因果關係進行推論。 3. 可結合貝氏統計方法輕易的整合學習診斷。 4. 節點內的機率值可隨時更新。 5. 可結合其他型態的模式，提供一個有效且具有原則性的方法，以避免某些特殊的例外性資料，造成推論上的誤差。 B1 B2 B3 S1

(26)

二、貝氏定理貝氏網路根據貝氏定理建立的，說明如下: ) ( ) ( ) | ( ) | ( B P A P A B P B A P = (2.1) 條件機率 P(B|A)表示，在給予 A 的條件之下，B 發生的機率。機率 P(A)和機率 P(B) 表示 A 和 B 各自發生的機率。P(B|A)，P(A)和 P(B)在本研究中先用訓練的資料求得。 （楊智為，2007）在多節點的貝氏網路中，令U =(X1,X2,X3,...,Xn)為所有變數的範圍，其聯合機率 ) ,..., , , (X1 X2 X3 Xn P 為P(U)，若在U中條件獨立依然成立，P(U)可以從貝氏網路的條件機率中被明確的求出，聯合機率分佈P(U)即為所有的條件機率的乘積，其數學式子如下(Jensen, 2001)： ) ,..., , , ( ) (U P X1 X2 X3 Xn P =

∏

= − = n i i i X X X X P 1 1 2 1, ,..., ) | (

∏

= = n i i i pa X X P 1 )) ( | ( )) ( | ( ) ,..., , | (Xi X1 X2 Xi1 P Xi pa Xi P ₋ = (2.2) 在此pa(Xi)為X 的父節點。i

(27)

圖 2-4 多節點貝氏網路結構圖例如圖2-4的貝氏網路結構圖。X 是₁ X 的父節點，條件機率是2 P(X2 |X1)。X 和2 X3 是X 的父節點，所以條件機率是₄ P(X4 | X2,X3)。貝氏網路全部節點的聯合機率則為 ) , | ( ) ( ) | ( ) ( ) , , , (X1 X2 X3 X4 P X1 P X2 X1 P X3 P X4 X2 X3 P = (2.3) 因此，若已知觀測節點X ，可以依貝氏定理推論，求其他節點發生的條件機率，₄ 如下: ) ( ) , , , ( ) | , , ( 4 4 3 2 1 4 3 2 1 X P X X X X P X X X X P = (2.4) 三、建立步驟要建立一個貝氏網路來進行推論，必須先取得研究資料樣本後，根據資料及學科專業知識的分析，建立一個完整的貝氏網路結構模型，再根據資料來進行推論。建立模型的過程如圖2-5所示，分成以下三個步驟：（楊智為，2007） 1 X 3 X 2 X 4 X

(28)

圖 2- 5 建立貝氏網路模型的流程 (一) 根據研究資料，設立貝氏網路節點及連結根據所設定的研究資料，進行學科專業知識探討與分析，建立節點與節點之間的連線關係，其連結需符合該領域資料群體特性及專業知識，組成完整的貝氏網路結構。 (二) 設定模型中，節點的機率分布計算所有可觀測節點和未觀測節點的先驗機率及條件機率分布。以觀測的資料當證據，透過貝氏網路推論，獲得所感興趣的未觀測節點後驗機率分布。 (三) 評估後驗機率的正確性評估模型填入這些資料是否適合，以及這後驗機率對建立模型中所要知道的節點推論是否正確。根據以上步驟取得一個完整而且最合適的貝氏網路模型後，便可依據此貝氏網路模型來進行推論。本研究將根據相關研究結果，採二元資料輸入值，及動態決斷值選取法（許雅菱，設定研究資料建構貝氏網路驗證貝氏網路模型設定模型中，節點的機率分布觀測資料

(29)

2005；郭伯臣、李俊儀、許雅菱、林文質，2005）來獲得較佳之辨識率。

貳、貝氏網路在教育測驗的應用

許多心理計量的先進均以此統計方法應用於教育評量（Mislevy,1995,1998； Almond,2003），在國內亦有許多研究將貝氏網路應用在教育測驗上，例如能力指標的診斷測驗（施淑娟，2006；黃雅鳳，2006）、電腦化適性測驗（李俊儀，2005；林煊昕， 2006）等，顯示貝氏網路應用在教育測驗上有許多優點，而最基本且最主要的應用是診斷錯誤概念，藉此建立補救教學之路徑，相關文獻如表 2-4：（楊智為，2007）表 2-4 貝氏網路在教育上之應用 研究者 研究內容摘要 施淑娟、許雅菱、李俊儀、郭伯臣、劉湘川 (2004) 以國小四年級「小數加減」單元為研究範圍，建立貝氏網路來進行診斷測驗汪端正、蘇文君、郭伯臣、楊智為 (2006) 以數學領域「數與量」能力指標為研究範圍，探討技能層之間的上下位關係，應用四層之貝氏網路進行診斷測驗。黃雅鳳(2006) 以數學領域「分數小數」相關指標建立貝氏網路，並製作補救教學動畫，以利在診斷測驗後進行有效的補救教學。許雅菱(2005) 探討以證據中心為基礎的評量設計，以貝氏網路為基礎，建構以概念性的評量架構為主的評量傳遞模式。郭伯臣、李俊儀、許雅菱、林文質、 (2005) 建立符合證據為中心的數學評量設計的貝氏網路，以教材單元為例，進行研究探討。

(30)

楊智為、劉育隆、楊晉民、曾彥鈞 (2006) 利用試題順序理論進行電腦化適性測驗後，使用貝氏網路作為診斷工具。能節省施測題數並保有一定的辨識率。李俊儀(2005) 以國小數學診斷測驗為例，探討以貝氏網路為基礎的電腦適性測驗選題策略。謝典佑(2006) _{探討單一貝氏網路模組和多重貝氏網路模組在不同融合演算法} 下辨識率的比較，發現多重貝式網路模組於不同融合演算法下其辨識率確實有大幅的提升，提出此一結果對於建構電腦化適性測驗系統時有實質上的幫助。楊智為(2007) _{提出後驗機率值輸入SVM分類器的方法，結合多重貝氏網路，} 能更加有效的提升辨識率，此一結果對於建構電腦化適性測驗系統時有實質上的幫助。高健智(2007) _{針對學童在數學分數概念學習，開發出一套以貝氏網路為基礎} 的分數學習診斷系統，以診斷出學童在分數學習上的錯誤概念並提出補救學習路徑。

第四節補救教學

壹、補救教學的意義

補救教學（Remedial Instruction）主要是教師根據課程標準及教學目標，在實施教學後，針對學習成就較低或學習意願低落的學生，以其他更有效的教學策略來補救，提升其學習成就的教學方式，以期達到「把每個學生帶上來」與「學習帶著走的能力」之理念。由於學生具有學習能力的個別差異，以同樣的教材和教法，當然學生的學習成就也不盡相同，這種現象可能跟學生的智力、能力和學習態度有關。（吳清山、林天

(31)

佑、2003；陳漢洲，2007）郭為藩（1993）在特殊兒童心理與教育中提到，補救教學是一種用來協助有學習困難和障礙的學生的特殊教學方法，首先要實施診斷工作，了解學生的問題與癥結，對症下藥，再給予適當的安置。郭生玉（2004）認為補救教學的實施內容，是依據診斷測驗所提供的訊息而定，診斷測驗是在教學的過程中或教學後，用來評量學生的學習困難所在，使用分項的分數或逐題分析學生的反應，來確定學生在學習時所產生的困難。

貳、補救教學的原則與策略

一、補救教學原則（許天威，1986）（一）運用診斷測驗資料設計教學：診斷測驗結果提供教師有關學童的學習狀況，教師可從資料中得知學童學習困難的所在，再針對學習困難處，設計補救教學活動。（二）教材與教學法的多元性：教師對於整個教學活動與教材，必須做有效的安排，使整個教學活動有意義。（三）個別化：針對不同需求學生，考量其個別差異，選擇最適切的教材教法。（四）教師積極投入：教師投入程度會影響補救教學成效。（五）評量方法多元化：診斷評量影響著補救教學的成效。（六）持續評量：對補救教學而言，一開始得診斷測驗只是教學的起點，教師必須在「評量→教學→再評量」的歷程中，持續觀察學生的學習表現。（七）指導學習：整個補救教學的目標要清楚，逐步進行，隨時透過評量了解學生學習的狀況，立即獲得回饋。

(32)

（八）早期鑑定：越早診斷出學童的學習困難，補救教學成功的機率也越大。二、補救教學的策略（蘇楣雅、林紀慧，2003；洪清一，1993；陳長春，1992；許志毅，2004）（一）補救教學要趁早：越早實施成效越好。（二）補救不忘要輔導：補救同時多要給學生鼓勵與心理建設。（三）具體實物加圖表：具體到抽象，圖像表徵有助於學童思考解題方式。（四）因材施教有功勞：針對各種原因，進行不同補救方式。

参、補救教學的模式

目前國內常見的補救教學方式有：1.傳統整班的補救教學，2.導生教學法（cross-agetutoring）3.同儕教學法（peergroup tutoring）4.個別處方教學法（individually prescribed instrution）5.合作學習法（cooperative learning）6.電腦輔助教學（Computer

Assisted Instruction , CAI ）等。

本研究之教學設計，受限於時間因素，在正式教學過程中，有設計 PPT 輔助教學，而補救教學則採用傳統整班的教學模式，唯不同的是教學內容係根據電腦化適性診斷測驗結果，依學生知識結構和專家知識結構所建立之補救教學結構，依序進行補救教學，而非傳統錯一題教一題。

(33)

(34)

第三章研究方法

本研究採準實驗研究法，加上觀察、訪談方式蒐集資料。

第一節研究對象

壹、預試對象

紙筆測驗採方便抽樣，對象為九十五學年度彰化市南郭國小六年級十個班級的學生，有效樣本共 341 人。

貳、正式施測對象

電腦適性測驗採方便抽樣，考量研究者的時間與行政支援等因素，對象為九十六學年度彰化市南郭國小六年級兩個班級為實驗組與對照組，有效樣本共計 68 人。

第二節研究工具

依研究目的之需要，本研究所使用的工具包括：診斷測驗、學生試題分析 OT 演算法、電腦化適性診斷測驗系統、輔助指導教材和補救教學教材。其說明如下：

壹、診斷測驗

本研究參考康軒版及南一版數學科「小數的除法」教材，依據「電腦化適性診斷測驗之研究」（陳怡如、吳慧珉、黃碧雲，2004），將教材內容試題化，主要分成二部分，ㄧ個是以專家知識結構所編製的紙筆診斷測驗，另一個是根據預試結果分析出的學生知識結構所建立的電腦化適性診斷測驗。一、建立專家知識結構研究者根據單元教材參考相關文獻，並依據知識結構編製原則（附錄一）建立知

(35)

識結構草案，再由八至十位具有編製電腦化適性診斷測驗的國小教師及數學領域、測驗領域之專家學者各一位，根據知識結構檢核表（附錄二），建立「小數的除法」單元專家知識結構圖。二、編製診斷測驗之試題研究者根據上述專家知識結構及命題程序（附錄三）每一節點編製一至三個試題，並再次由上述國小教師及二位專家學者檢核試題（附錄四）。如圖 3-1 圖 3-1 知識結構試題化流程圖教材內容試題化後，組成紙筆診斷測驗試卷，進行預試。根據預試學生作答結果，分析建立學生知識結構，在檢討測驗信、效度及錯誤類型辨識率，並適度修正後，依學生知識結構設定電腦適性測驗選題順序，完成電腦化適性診斷測驗之編製。本測驗邀集八至十位具有測驗編製及教學經驗之專家學者及國小老師共同編製，故本研究認為此測驗具有良好之內容效度及專家效度。而預試結果分析，α 值為 0.853，故具有良好之信度。教材內容知識結構草案知識結構檢核表專家知識結構編製試題命題檢核表知識結構試題化試題組卷

(36)

貳、以 OT 演算法分析學生試題

本研究使用 OT 演算法，以順序理論來分析學生試題順序結構，以設計系統的選題策略，建立以學生知識結構為基礎之適性診斷測驗系統。

參、電腦化適性診斷測驗系統

此系統係郭伯臣、何政翰（2004）所架設，依據學生知識結構設定選題策略及終止測驗條件，以進行達到省時、省題之線上測驗，但資料庫及程式設計不在此研究範圍內。

肆、輔助指導教材及補救教學教材

一、輔助指導教材：根據專家知識結構之各節點順序，開發一套「小數的除法」單元教學用教材，其中包含各活動之教學媒體（附錄五）。二、補救教學教材：根據專家知識結構和學生知識結構及錯誤類型文獻，開發一套「小數的除法」單元補救教學用教材，其中考量計算題及應用題在教學上之不可分性，合併成一個活動。

第三節研究流程

本研究利用知識結構分析法，將「小數的除法」單元教材內容結構化，編製診斷測驗試題。透過紙筆預試結果分析學生知識結構，彙整預試結果適當修正不良試題，並依此建立電腦化適性診斷測驗題庫。同時開發以知識結構為基礎之輔助指導教材和補救指導教材，進行教學實驗。正式施測後，根據資料分析撰寫研究結果。研究計畫流程如下表：

(37)

表 3-1 研究實施時間表步驟說明實施時間 1 以從事教學的國小教師為主，配合研究人員及專家學者召開紙筆診斷測驗編製會議，討論「小數的除法」單元專家知識結構。 96 年 2-3 月 2 根據專家知識結構，參考現行版本課本及習作，設計一份測驗試題，再由專家會議選擇並修改後，完成單元之紙筆診斷測驗。 96 年 4 月 3 找到學校配合預試施測，並將試卷回收，統一進行批閱及建檔。 96 年 5 月 4 分析預試資料信、效度，各式題之難度、鑑別度，適度修改試題，建立學生知識結構及電腦化適性診斷測驗題庫。 96 年 6 月 5 一方面設計試題複本兩份，建立複本題庫，另一方面編製以知識結構為基礎之指導教材。 96 年 7-8 月 6 找到班級以開發的指導教材進行四節課的實驗教學後，實施一節課的電腦測驗（前測），接著依據測驗結果，以開發之補救教學方式進行一節課的補救教學，最後再實施一節課的電腦測驗（後測）。同時，對照組進行傳統教學，電腦測驗後（前測），接著傳統補救教學，最後再實施電腦測驗（後測），收集對照組資料。 96 年 10 月 7 實施完畢，進行資料分析，並與實驗組、對照組教師進行訪談。 96 年 11-12 月 8 撰寫研究報告。 97 年 1-4 月

(38)

本研究實施流程如下圖：圖 3-2 研究實施流程圖國小教師測驗學者數學專家 1.建立專家知識結構 2.編製紙筆診斷測驗試題 3.預試（紙筆） 4.資料分析 5.建立題庫 5.編製指導教材 6.進行實驗實驗組對照組實驗教學傳統教學前測前測實驗補救傳統補救後測後測 7.分析結果與訪談 8.撰寫研究報告 ◎ 建立學生知識結構 ◎ 建立補救教學結構 ◎ 修題 ◎ 建立貝氏網路決斷值

(39)

第四節實驗處理與分析

壹、實驗設計

本研究為探討適性診斷測驗及以知識結構為基礎之指導教材成效，採準實驗設計，方便抽樣以南郭國小六年級兩個班級為研究對象，一班為實驗組，另一班為對照組，為免實驗誤差，以兩班剛考完之數學月考成績為起點能力，進行實驗分析，如下表說明：表 3-2 實驗處理流程表內容組別實驗組對照組起點能力月考成績月考成績實施教學進行以知識結構為基礎之指導教材教學（四節課）傳統教材教學（四節課）前測線上診斷測驗（一節課）線上診斷測驗（一節課）補救教學進行以知識結構為基礎之補救教材補救教學（一節課）傳統補救教學（一節課）後測線上診斷測驗（一節課）線上診斷測驗（一節課）其中「以知識結構為基礎之指導教材教學」為使用本研究開發之教材進行教學，「傳統教材教學」則是使用現行學校之課本、習作進行一般教學。

貳、資料處理與分析

一、預試及正式施測原始資料

使用 Microsoft Office 的 Excel 軟體進行登錄及二元資料轉換。

(40)

二、診斷測驗的難度與鑑別度

使用 Microsoft Office 的 Excel 軟體進行計算。公式： 1.難度＝（高分組通過率＋低分組通過率）÷2 2 鑑別度＝高分組通過率－低分組通過率三、診斷測驗的信度使用 SPSS 套裝軟體計算 Crobach α 值。四、正式施測資料的統計分析使用 SPSS 套裝軟體進行前、後測的統計分析，顯著水準 α＝0.05。 1.共變數分析：先滿足「組內迴歸係數同質性」的假設，再進行共變數分析。首先以「不同教材教法」為自變數，「前測分數」為依變數，排除共變量「起點行為」探討實驗組與對照組是否有差異；再以「不同補救教材教法」為自變數，「後測分數」為依變數，排除共變量「前測分數」探討實驗組與對照組是否有差異。 2.相依樣本 t 檢定：檢定實驗組前、後測成績是否因為實驗操弄而有顯著差異，具有明顯的進步。五、CAT 省題率和預測精準度

使用Microsoft Office 的Excel軟體進行計算。公式： 1.省題率＝測驗總題數題數電腦適性診斷測驗節省 2.預測精準度＝測驗總題數正確題數電腦適性診斷測驗預測實際做答題數+

(41)

六、貝氏網路的辨識率與決斷值

使用 MATLAB 軟體進行預試的貝式網路辨識率分析及建立決斷值。

七、貝氏網路的推論在「適性選題」與「完整作答」下的一致性使用 Microsoft Office 的 Excel 軟體進行計算。

公式：一致性＝數錯誤類型與子技能總個符的個數下錯誤類型與子技能相在適性選題與完整作答

(42)

第四章研究結果

本章將依據前述的研究動機和研究目的，呈現本研究的結果，茲就「以知識結構為基礎之診斷測驗」、「以知識結構為基礎之教材編製」、「以知識結構為基礎之教材成效」、「電腦適性測驗之省題率和精準度」、「貝氏網路的推論在適性選題與完整作答下的一致性」等五部份，說明如下：

第一節以知識結構為基礎之診斷測驗

依據「電腦化適性診斷測驗之研究」（陳怡如、吳慧珉、黃碧雲，2004），將教材內容試題化，以作適性診斷測驗之用。

壹、編製「小數的除法」單元之以知識結構為基礎之診斷測驗

首先依據「小數的除法」單元之教材內容，建立專家知識結構，再根據專家知識結構編製診斷測驗之試題，最後，經由學者專家審查後，組成試卷，以進行紙筆測驗之預試。此單元共計 24 個節點，30 題試題。

貳、進行預試

預試對象為彰化市南郭國小九十五學年度六年級學生，剛學完「小數的除法」單完便馬上施測，有效樣本共計 341 人。

參、試題品質分析

一、預試效度本研究邀請 8 至 10 位具有測驗編製及教學經驗之專家學者及國小教師，依「小數的除法」教材內容及知識結構編製原則，並根據知識結構檢核表，完成此單元的專家

(43)

知識結構。接著，按照命題程序編製測驗之試題，最後，再以電腦化適性診斷測驗之命題檢核表檢核試題，皆認為試題合宜，故本研究認為此份測驗具有良好之內容效度及專家效度。二、預試信度測驗預試結果分析，總試題 α 值為 0.853。一份優良的教育測驗至少應該具有.80 以上的信度，當以基礎研究為目的時，信度係數最好在.80 以上（吳明隆，2003）。所以此份試卷具有良好之信度。三、試題難度本研究以通過率作為試題之難度值。難度值越高表示試題越容易；反之，難度值愈低，表示試題越難。本測驗難度值除了試題 30 通過率低於 50%，其他介於 51.9%～ 97.1%，故將試題 30 加以分析及修改，分析表如 4-1。四、試題鑑別度本測驗鑑別度採點二相關係數，分析如表 4-1，除試題 16、30 之外，其他試題均在 0.25 以上，大多介在 0.3～0.5，故鑑別度應屬良好。表 4-1 「小數的除法」單元診斷測驗預試之難度、鑑別度分析表古典理論模式答題比率 ITEM 鑑別度難度正解答 1 答 2 答 3 答 4 未答 MATH01 0.256 97.1 3 0.01 0.01 0.96 0.01 0.00 MATH02 0.419 93.5 1 0.94 0.02 0.02 0.02 0.00 MATH03 0.434 77.7 3 0.03 0.17 0.77 0.02 0.01 MATH04 0.371 95.0 1 0.95 0.00 0.04 0.00 0.00 MATH05 0.409 93.5 2 0.01 0.93 0.02 0.04 0.00 MATH06 0.460 93.8 1 0.94 0.02 0.01 0.02 0.00 MATH07 0.491 88.0 1 0.88 0.08 0.03 0.01 0.00

(44)

MATH08 0.462 89.4 4 0.04 0.02 0.05 0.89 0.00 MATH09 0.476 84.5 2 0.07 0.84 0.06 0.02 0.00 MATH10 0.337 90.9 3 0.02 0.01 0.90 0.06 0.00 MATH11 0.473 83.3 3 0.06 0.04 0.83 0.07 0.00 MATH12 0.333 83.9 3 0.11 0.03 0.83 0.02 0.00 MATH13 0.417 91.8 2 0.04 0.91 0.03 0.02 0.00 MATH14 0.413 53.7 4 0.37 0.02 0.06 0.54 0.00 MATH15 0.432 86.2 1 0.87 0.09 0.03 0.01 0.00 MATH16 0.154 51.9 1 0.52 0.06 0.06 0.36 0.00 MATH17 0.454 67.7 1 0.67 0.14 0.10 0.07 0.02 MATH18 0.423 71.8 4 0.04 0.17 0.06 0.71 0.01 MATH19 0.440 63.0 1 0.63 0.10 0.15 0.11 0.01 MATH20 0.375 63.3 2 0.26 0.63 0.08 0.02 0.01 MATH21 0.424 69.5 1 0.70 0.08 0.20 0.02 0.00 MATH22 0.333 57.5 4 0.05 0.31 0.07 0.56 0.01 MATH23 0.330 71.8 3 0.18 0.06 0.71 0.02 0.01 MATH24 0.449 61.0 2 0.06 0.61 0.06 0.25 0.01 MATH25 0.367 68.3 4 0.02 0.17 0.10 0.68 0.01 MATH26 0.397 61.6 1 0.62 0.16 0.15 0.05 0.03 MATH27 0.520 79.5 3 0.09 0.04 0.79 0.05 0.02 MATH28 0.400 71.0 1 0.71 0.11 0.12 0.03 0.04 MATH29 0.349 69.8 2 0.16 0.70 0.08 0.05 0.02 MATH30 -0.018 20.2 3 0.61 0.11 0.20 0.04 0.03 綜上所述，試題 16、30 分析及處理如下： 1、第 16 題：原先題幹敘述不容易讓學生了解（美金的部份）且容易誤導學生（算錯了又剛好有答案可以選），故修改題幹，但大數除以小數本來就是欲檢測之錯誤類型，故選項不作修改。 [修改前題目] 媽媽用 1.4 美金買 11.2 公斤的進口糖果，請問 1 公斤的糖果賣多少美金？ c 0.125 d 0.8 e 1.25 f 8 [修改後題目] 水龍頭流水量固定，流出 1.4 公噸的水，需要 11.2 小時，水龍頭平均 1 小時流出多少公噸的水？

(45)

c 0.125 d 0.8 e 1.25 f 8 2、第 30 題：難度值顯示題目很難，造成鑑別度與信度值均不佳，檢視題目及學生作答情況，發現小數除以小數有餘數的問題本來就是最難的，加上還要考慮商要不要加 1，導致高能力學生答錯機率增加，而低能力學生猜測作答情況也增加，使得鑑別度等出現不佳的情形。因此，研究者與其他專家討論結果，因為這是最上位節點，最難也是最後教的觀念，並且商要不要加 1 亦是欲檢測之錯誤類型，故將題目保留，僅在關鍵字(環狀繩子)處加底線。 [題目] 將一條周長 4.23 公尺的環狀繩子，每 0.345 公尺剪成一段，最多可剪幾刀？還剩下多少公尺？ c 12，0.09 d 12，0.9 e 13，0.09 f 13，0.9

肆、建立電腦化適性診斷測驗題庫及編製指導教材

根據預試結果適當修正題目後，建立電腦化適性診斷測驗題庫及編製指導教材。

第二節以知識結構為基礎之教材編製

根據專家知識結構與補救教學結構，編製實驗研究用之指導教材與補救教學教材。「小數的除法」單元共涵蓋了十六個活動，此節僅以前五個活動說明編製之過程，其他活動均比照之。

壹、建立單元補救教學結構

圖 4-1 是專家知識結構，共有八個節點，每個節點只含單一概念。將「小數的除

(46)

法」單元紙筆測驗預試結果的資料經 OT 分析，產生學生試題結構圖，如圖 4-2。圖 4-1 「小數的除法」專家知識結構(節取) 【重點一】能解決整數除以整數，商為有限小數的計算問題【重點五】能解決整數除以整數，商為有限小數的應用問題【重點四】能解決小數（三位以內）除以一位整數，商為有限小數的計算問題【重點二】將分數化成小數（有限小數）【重點三】將分數化成小數（除不盡，題目指定用四捨五入法求商到小數點以下第幾位）【重點七】能解決小數（三位以內）除以一位整數，商為有限小數的應用問題【重點六】能解決小數（三位以內）除以二位整數，商為有限小數的計算問題【重點八】能解決小數（三位以內）除以二位整數，商為有限小數的應用問題

(47)

圖 4-2 「小數的除法」學生試題結構(節取) 根據討論決定採用圖 4-1 專家結構當作補救教學的結構圖。而就教學的觀點來看，「計算問題」和「應用問題」不可分割，且為了讓補救教學組織更有系統，因此將二者合併，並以活動形式呈現。

貳、編製指導教材及補救教學教材

「小數的除法」單元共有 24 個節點，即二十四個教學重點，而就教學的觀點來看，「計算問題」和「應用問題」不可分割，因此將二者合併，形成十六個教學活動編製【重點一】能解決整數除以整數，商為有限小數的計算問題【重點五】能解決整數除以整數，商為有限小數的應用問題【重點四】能解決小數（三位以內）除以一位整數，商為有限小數的計算問題【重點二】1 將分數化成小數（有限小數）【重點三】將分數化成小數（除不盡，題目指定用四捨五入法求商到小數點以下第幾位）【重點七】能解決小數（三位以內）除以一位整數，商為有限小數的應用問題【重點六】2-1 能解決小數（三位以內）除以二位整數，商為有限小數的計算問題【重點八】能解決小數（三位以內）除以二位整數，商為有限小數的應用問題

(48)

指導教材。接著參考有關小數的除法迷思概念及錯誤類型相關文獻及教材，根據教材編製原則，編製補救教學教材。除了清楚明瞭，容易使用也是設計的重點。其中包含單元講義、學生加油手冊、多媒體教材及教學指引，本研究僅列部份內容於附錄作為參考。

第三節以知識結構為基礎之教材成效

實驗結果分為二部份作探討：第一，探討使用以知識結為基礎開發之教材教學與傳統教材教學對學生學習成效的差異，從實驗組與對照組之前測與後測分數進行分析；第二，檢驗以知識結為基礎開發之教材是否具有成效，從實驗組的前後測分數進行分析。

壹、探討使用以知識結為基礎開發之教材教學與傳統教材教學對學生

學習成效的差異

一、指導教材實驗成效以本研究研發之指導教材進行教學的班級為實驗組，傳統課本教科書上課的班級為對照組，為避免班級間的不同質影響實驗結果，故以剛考完之數學月考成績為起點行為測驗分數，進行共變數分析，表 4-2 為受試者前測分數的描述性統計。表 4-2 全體受試者前測平均分數表組別個數前測平均分數前測標準差實驗組 34 85.38 12.51 對照組 34 73.32 12.49

(49)

表 4-3 受試者起點行為組內迴歸係數同質性考驗表來源型Ⅲ平方和自由度平均平方和 F 檢定 _顯著性組別*起點行為分數 44.10 1 44.10 0.499 0.483 誤差 5659.10 64 88.42 表 4-4 前測分數單因子共變數分析檢定摘要表來源型Ⅲ平方和自由度平均平方和 F 檢定 _顯著性組別 760.94 1 760.94 8.673 0.004** 誤差 5703.20 65 87.742 ** 表 p<.01 表 4-5 前測分數調整後的平均數摘要表組別調整後的平均數平均數差異標準誤 _顯著性實驗組 82.85 控制組 75.86 6.99 2.38 0.004 本研究以單因子共變數分析實驗資料，在進行共變數分析之前，先進行「組內迴歸係數同質性考驗」，以前測分數為依變數，起點行為測驗分數為共變數，組別為固定因子，檢定結果如表 4-3。由表 4-3 可發現，F 值=8.673；p=0.483，未達顯著，接受虛無假設，也就是兩組迴歸線的斜率相同，符合共變數分析中組內迴歸係數同質性的假定，繼續進行單因子共變數分析。由表 4-4 可發現，在排除起點行為對前測分數的影響後，檢定 F 值=8.673； p=0.004，達顯著差異，表示受試學生的前測分數因使用不同教材教法而有差異。由表 4-5 可知，實驗組前測分數的平均分數調整後為 82.852 高於對照組的 75.854，在經過實驗教學後，兩組的前測成績達顯著差異，推得實驗組優於對照組。

(50)

二、補救教學實驗成效根據電腦化適性診斷測驗結果，按研究補救教學教材進行補救教學的為實驗組，傳統補救教學方式的為對照組，以前測分數為共變數進行共變數分析，表 4-6 受試者後測分數的描述性統計。表 4-6 全體受試者後測平均分數表組別個數後測平均分數後測標準差實驗組 34 88.88 10.499 對照組 34 77.24 14.149 表 4-7 受試者前測組內迴歸係數同質性考驗表來源型Ⅲ平方和自由度平均平方和 F 檢定 _顯著性組別*起點行為分數 130.458 1 130.458 1.920 0.171 誤差 4348.411 64 67.944 表 4-8 後測分數單因子共變數分析檢定摘要表來源型Ⅲ平方和自由度平均平方和 F 檢定 _顯著性組別 95.158 1 95.158 1.381 0.244 誤差 4478.869 65 68.906 表 4-9 後測分數調整後的平均數摘要表組別調整後的平均數平均數差異標準誤 _顯著性實驗組 84.38 控制組 81.74 2.64 2.241 0.244 本研究以單因子共變數分析實驗資料，在進行共變數分析之前，先進行「組內迴

(51)

歸係數同質性考驗」，以後測分數為依變數，前測分數為共變數，組別為固定因子，檢定結果如表 4-7。由表 4-7 可發現，F 值=1.920；p=0.171，未達顯著，接受虛無假設，也就是兩組迴歸線的斜率相同，符合共變數分析中組內迴歸係數同質性的假定，繼續進行單因子共變數分析。由表 4-8 可發現，在排除前測分數對後測分數的影響後，檢定 F 值=1.381； p=0.244，未達顯著差異，表示受試學生的後測分數不會因不同的補救教法而有差異。由表 4-9 可知，實驗組後測分數的平均分數調整後為 84.38 和對照組的 81.74，相差 2.64 分，未達顯著差異。推測可能原因如下： 1.對照組的學生，雖然以傳統方式教學，但是前後測均為電腦化適性診斷測驗，可能造成前測完的對照組學生以為自己是實驗的班級，而產生類似霍桑效應之結果。 2.經過研究者與對照組老師的訪談後發現，對照組在前測與後測中間，除了進行一般的補救教學外，老師還另外做了紙筆測驗，也就是平常班級的小考，因此，對照組學生在第二層的壓力下產生明顯進步，此乃研究者研究期間還必須上課而所未料之情況。為了解本研究之補救教學模式是否有效，故進行實驗組的前後測分數相依樣本 t 檢定。

貳、檢驗以知識結構為基礎開發之教材是否具有成效

(52)

以本研究研發之指導教材進行教學的班級為實驗組，將實驗組受試者前測分數與補救教學後的後測分數進行成對樣本 t 檢定。表 4-10 實驗組受試者前、後測成績成對樣本檢定表平均數標準差個數自由度皮耳森相關係數 t 統計 P 值前測 85.38 12.51 後測 88.88 10.499 34 33 0.757 2.477 0.019* * 表 p<.05 由表 4-10 發現，前測平均分數是 85.38，後測平均分數是 88.88，進步 3.5 分，根據檢定結果，t＝2.477;p＝0.019 達顯著，拒絕虛無假設，也就是前測分數與後測分數有顯著差異，經過實驗補救教學後，有明顯進步。

第四節電腦適性測驗之省題率和精準度

在實施電腦適性測驗時，根據學生作答反應選題給予施測，文獻探討指出，電腦適性測驗能有效省題並有不錯的精準度，為探究本適性測驗的省題率和精準度，因此實驗時，要求學生全部作答，根據電腦預測答對答錯，與學生實際答對答錯的比對，得到電腦適性測驗的省題率和精準度，如下表 4-11：表 4-11 電腦適性測驗的省題率和精準度前測後測省題％：學生節省作答題數/全部題數 40.83％ 42.11％ CAT 精準％：（學生實際作答題數+預測答對實際答對）/ 全部題數 95％ 93.04％