尺規作圖之相關研究

一、尺規作圖的歷史

從歷史的角度來看，古希臘的數學發展史中，首推歐幾里德的『幾何原本』

最具有代表性，因為歐幾里德僅用了幾個公理，演繹出整個幾何知識，締造了數 學之美（Kline，張祖貴譯，1995，p.40-60）；在『幾何原本』中從幾個基本公 理出發，演繹出一系列的定理，這就是希臘數學的基本精神。而這基本的公理越 少越好，演繹出的定理越多越好，歐幾里德在『幾何原本』中對作圖僅作了三個 公設：1.任兩點之間可連一直線、2.直線可任意延伸、3.以任一點任一長度可做 一圓，因此在這三條的公理設定下，作圖工具就只能使用直尺和圓規。

直尺和圓規的使用有著嚴格的規定，直尺僅能用來連接兩點所連成的直線，

而圓規僅能用來畫圓或畫弧，並且只准許使用有限次來解決幾何問題。而歐幾里 德所使用的圓規跟我們一般所認識的圓規功能並非全然相同，現代圓規利用針尖 與筆尖複製完長度後，離開紙面我們仍視為長度固定，但歐幾里德對圓規所做的 限制，圓規無法在離開紙面後，視為針尖和筆尖的距離固定，雖然如此，但這兩 種尺規的作圖能力並無差異(Eves & Eves, 1965)。

二、尺規作圖的重要

尺規作圖具有嚴格的使用限制，使得學生在使用直尺和圓規的過程中，就必 須自發性的應用所學幾何知識，才能作出特定的圖形(Kramer, Hadas, &

Hershkowitz, 1986)，因此 Austin (1982)認為尺規作圖是訓練學生在幾何思維 上最好的教材之一。Eves and Eves (1965)認為尺規作圖是一個人就能玩的經典 遊戲。

朱德祥 (1985)認為幾何作圖的價值有以下四點：

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1.幾何作圖是建立學生的具體幾何觀念的重要手段，是克服學生單純死記硬背定 理條文的好辦法。

2.幾何作圖可以提供題材，把所學的命題用來解決某些具體問題，使學生學會學 以致用，也就是說，幾何作圖為初等幾何課程的幾乎每個章節提供了練習的材 料。

3.幾何作圖的學習給製圖學提供理論基礎，它在實際上的意義是不可忽視的。

4.在解作圖題的過程中，要運用一系列相當複雜的邏輯思維，解作圖題的各個步 驟的術語”分析”、”討論”就是這一點的具體表現。

三、尺規作圖的類型

朱德祥 (1985)認為常見的基本作圖問題有以下 16 個，將這些作圖相互組合 就可以得到一些較複雜的作圖：

1.以一已知線為一邊作一角等於給定的角（複製角）

2.求作一三角形，依以下三種不同狀況，已知三邊、已知兩邊及其夾角、已知兩 角及其夾邊。（SSS、SAS、ASA 三角形作圖）

3.過一點作已知直線的垂線。（過線上、線外一點作已知直線的垂線）

4.過一點作已知直線的平行線。（過線外一點作已知直線的平行線）

5.平分一角。（角平分線作圖）

6.平分一弧。

7.作定線段的中垂線。（中垂線作圖）

8.分一線段成若干等分。（等比例線段作圖）

9.作線段的和或差，作角的和或差。

10.已知弓形的弦長和其內接角（圓心角），求作弓形弧。

11.內分或外分一線段成已知比。

12.作三已知線段的第四比例項。

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13.作二已知線段 a、b 的第三比例項（a：b＝b：x）。

14.作二已知線段 a、b 的等比中項或比例中項（a：x＝x：b）。 15.已知線段 a、b，求作線段

x  a

 b

16.已知線段 a、b，求作線段

x  a

 b

而劉繕榜 (1999)在對國中數學資優生尺規作圖表現之探討中，為了評量學 生尺規作圖基本能力之高低與其在幾何證明題表現及教學後作圖問題表現之相 關性，該研究中發現部分資優生在解作圖題時會犯兩類型錯誤：一是基本概念的 錯誤；另一則是圖形的錯誤引導，當中圖形的錯誤引導又可分為「草圖的錯誤引 導」、「給定圖形的錯誤引導」等；而發生該兩類型錯誤可能原因是學生存有迷思 概念或是未能建立起邏輯的聯繫，學生「內在驗證」的能力不足。該測驗將尺規 作圖題目分成「基本題」與「挑戰題」兩部分，兩部分的測驗範圍整理如下表 2-2-1。

表 2-2-1 劉繕榜評量學生尺規作圖基本能力之作圖題類型

基本題 挑戰題

A1.作三角形（SSS）

A2.作一已知角 A3.作 60 度角 A4.平分 60 度角 A5.作已知線段之中點 A6.過線外一點作垂線 A7.過圓上一點作切線 A8.過線上一點作垂線

B1.作三角形（ASA）

B2.過圓外一點作該圓之切線 B3.給定兩線段 a、b 作一線段√𝑎𝑏

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而陳宥良 (2009)在探討中學生透過摺紙進行尺規作圖補救教學之成效研究，

該研究的結果為，關於國三學生的尺規作圖學習表現：1.不清楚尺規作圖的工具 使用規定、2.不熟練基本尺規作圖步驟，不清楚該等作圖步驟與幾何性質之間的 關係、3.在應用尺規作圖解決作圖問題方面有困難；另外透過摺紙學習尺規作圖：

1.能幫助學生熟練基本尺規作圖步驟，理解作圖步驟所應用的對稱性質、2.能幫 助分析作圖問題，檢驗想法的正確性，找出正確的作圖步驟、3.能提升學生尺規 作圖學習興趣。該研究工具的試題分成三部分：「基本尺規作圖」、「尺規作圖概 念」、「應用尺規作圖」，其中尺規作圖概念是針對直尺和圓規的使用限制、用法 去作評量，在基本尺規作圖與應用尺規作圖整理如下表 2-2-2。

表 2-2-2 陳宥良補救教學的尺規作圖試題類型

基本尺規作圖 應用尺規作圖

a1.中垂線作圖 a2.角平分線作圖 a3.線外一點作垂線 a4.線上一點作垂線 a5.線外一點作垂線

b1.中垂線應用的尺規作圖 b2.等腰直角三角形作圖 b3.等腰梯形對稱軸 b4.等面積三角形作圖 b5.鳶形問題

四、有關尺規作圖的學習

利用直尺和圓規所設計出的作圖題是什麼呢？大陸學者朱德祥提到：假設給 了一些條件，而設法求作具備這些條件的圖形，這便是作圖問題。完成作圖以後，

便可斷言具備某些條件的圖形存在，或在什麼情況下這樣的圖形存在，因而使言 之有物。這樣解幾何作圖問題在某種意義上說，就是存在問題的證明(朱德祥, 1985)，他還提到解作圖題的步驟，分成了四個步驟，整理如下表 2-2-3 所示。

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表 2-2-3 朱德祥（1985）解尺規作圖題的四個步驟

步驟 內容 說明

步驟一 分析 遇到比較困難不是一目了然的作圖題，常假定合於條件的圖 已作出，研究已知條件和求作條件間的關係，從而得出作圖 的線索，這過程稱為分析，是解題重要的步驟。

步驟二 作法 根據分析的線索，按作圖公法及已知作圖題作圖，利用已知 作圖題時，只需說明清楚，不必將它本身的作圖過程一一道 來，教師對學生可隨時追查他們掌握一些基本作圖題的熟練 情況。

步驟三 證明 用以表明所作圖形確具所設條件。

步驟四 討論 作圖題解的有無多寡，定與不定，決定於已知條件的大小、

位置及其相互關係，這種研究稱為討論。

Smart(1988)在尺規作圖的學習中，提出了幾乎與朱德祥相同的四個步驟，

步驟一：分析(analysis)：解題者假定已完成該作圖題，從圖形中分析未知元素 與已知條件獲得兩者之間的關係；步驟二：作圖(construction)：使用直尺與圓 規作圖（其中的直尺並無刻度可使用），並且標記出適當的符號；步驟三：證明 (Proof)：證明作圖的結果合乎題目的要求；步驟四：討論(Discussion)：討論、

解釋可能的解答與情形(Smart, 1988)。

以上解尺規作圖題的分析步驟中，提到「假定合於條件的圖已作出，研究已 知條件和求作條件間的關係」，這觀點也和 Polya (1957)在「How to solve it」

一書中提到的觀點不謀而合，Polya 主張「欲解答一個作圖題，先將題目所求的 未知條件當成已知的條件，並將這些條件畫成一個草圖，再從草圖中將已知圖形 和未知圖形依據一些條件，將它們聯繫起來。」Kramer et al. (1986)指出：「在 分析的這個步驟中，學生需要從已知條件、幾何性質和基本尺規作圖裡，找出這

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三者之間的關係，並在作圖過程中一再地使用這些基本尺規作圖。」若學生無法 熟練基本尺規作圖能作出什麼幾何性質，就無法分析尺規作圖題目，也失去尺規 作圖題欲學生思考的功能。

洪志宗 (2013) 在「尺規作圖的評量中要求寫出作圖步驟」和對照組學生「尺 規作圖的評量中只排出作圖步驟」於學習尺規作圖的成就上有無顯著差異的研究 中，在教學上要求學生寫出作圖步驟有助於老師瞭解學生的想法、發現學生在作 圖方面的迷失概念、缺失與學生的個別差異，有利於教師改進自己的教學方法並 於課後實施補救教學；在學習上，寫出作圖步驟可以使學生更清楚反思自己的解 題過程，有助於學生回憶起犯錯的原因，經由後設認知的過程，進一步改進自己 錯誤的地方並幫助學生將學習經驗內化成自己知識的一部分，有助於學生的長期 記憶與概念保留。

尺規作圖長久以來都是國民中學教科書的一個學習單元，但並未明確指出尺 規作圖的學習應該包含哪些部分，除了寫出尺規作圖過程外，讀懂（理解）尺規 作圖更應該是值得培養的能力，更能達到基測評量的目的--帶得走的能力。在國 內教科書中，多以先教作圖再教證明的順序去作編排，與朱德祥和 Smart 所提出 的尺規作圖學習的第 3 步驟（證明）有所違背（尚未學習證明的單元，但在尺規 作圖的學習中需證明其正確性），因此教科書上對於六個基本尺規作圖（複製線 段、複製角、中垂線、角平分線、線上一點作垂線、線外一點作垂線），利用對 稱圖形的概念、利用摺紙的實作經驗，或是利用菱形、箏形的對角線性質來做說 明。

五、尺規作圖的學習困難

學生學習尺規作圖時，常常只是機械式的記憶作圖步驟，而未能理解尺規作 圖步驟中擁有的幾何性質特徵(Lim, 1997)，也就是說學生未能從作圖過程中理 解作圖的目的（例如：作法步驟中出現作出中垂線，其背後目的是要與兩端點等