尺規作圖的任務分析與閱讀理解層次

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：楊凱琳博士. 尺規作圖的任務分析與閱讀理解層次 Task analysis and reading comprehension of geometry with compass and ruler. 研究生：李建霖. 撰. 中華民國一○三年一月.

(2) 致謝在此首先感謝楊凱琳教授的指導，口試委員鄭英豪教授與曹博盛教授的建議，以及在研究過程中協助問卷專家效度及訪談的鄭英豪教授、陳創義教授與林延輯教授，更有很多協助幫忙的光中數學團隊。三年中，我最想感謝的是家人們，接下了訓育組長和拼論文的這段期間，適逢我最愛的母親病倒，對媽媽無微不至的照顧是我那偉大的爸爸，還有哥哥、姐姐、阿姨、舅舅…其他家人對我們家的陪伴與照顧，讓我能在這煎熬的幾年終於走了出來，當然還有那被我晾在一旁的女朋友 XD，感謝妳在這幾年的陪伴，聽到妳豪邁的笑聲，能抒解我不少壓力:p 工作上，感謝訓導處的夥伴在這段期間對我的包容，尤其是主任，雖然囉唆（這是一定要提的=.=+）但您把我時常爆發的原子彈全收納到肚皮和頭髮裡；對了對了，還有訓育組的小志工、大叔們，每天犧牲午休時間來處理訓育組繁雜的業務，除了分擔苦勞外也分享了許多喜悅；在光明國中這個大家庭，有好多好多人要感謝，慢跑八卦社、吃飯四人組…等。最後，感謝研究所的團隊，表率慧珍學姐、老大哥耀堂學長、好同事兼好室友兼好學長兼好同學順良，還有一定會成功的志錩學長。. i.

(3) 中文摘要基測試題對於尺規作圖評量的目的，在尺規作圖的閱讀理解，如何構圖並不是重點，理解為何如此構圖才是基測的評量目的。從尺規作圖歷程和閱讀理解歷程思考尺規作圖的閱讀理解時，其具體的元素和內涵為何？以及對應此元素和內涵的評量試題為何？都是本研究欲探討的研究問題。本研究根據課程綱要、數位教師及專家的訪談以及透過文獻，將尺規作圖分成三類：基本、初階應用、進階應用尺規作圖。另一方面，將尺規作圖閱讀理解分成兩個向度，第一個向度為『尺規歷程』，分成三個元素：物件、動作、產物；第二個向度為 PISA 的閱讀素養檢視的歷程，本文稱之為『理解層次』，這個向度有三個元素：擷取與辨識、解釋與統整、反思與評鑑，由這兩個向度為架構形成九個理解面向；並對三種類型尺規作圖的九個理解面向設計相對應試題，以學生作答結果視為本研究之尺規作圖閱讀理解表現。本研究以 3（尺規作圖類型）×3（尺規歷程）×3（理解層次）三因子混和設計變異數分析，考驗尺規類型、尺規歷程及理解層次之間的交互作用。這三個因子中，尺規作圖類型是受試者間因子，尺規歷程和理解層次是受試者內因子。研究結果顯示三因子的交互作用達顯著水準，二因子的交互作用也都達顯著水準，而三者的主要效果也都達顯著水準。進一步考驗單純交互作用及單單純主要效果。分析結果顯示 9 個單純交互作用全部達顯著水準；在 27 個單單純主要效果中，僅有 2 個未達顯著水準，其餘 25 個單單純主要效果都達統計的顯著水準。最後研究者透過半結構式的訪談，藉此發現中學生在尺規作圖在不同版本中閱讀理解上的困難，供日後的研究者去分析某個作圖內容的困難、複雜度在哪裡。. 關鍵詞：尺規作圖、閱讀理解、三因子混合變異數分析 ii.

(4) 目錄致謝………………………………………………………………………………i 摘要………………………………………………………………………………ii 目錄………………………………………………………………………………iii 表目錄……………………………………………………………………………v 圖目錄……………………………………………………………………………vi 第一章緒論第一節研究動機………………………………………………………………1 第二節研究目的………………………………………………………………6 第三節研究問題………………………………………………………………6 第四節名詞界定………………………………………………………………7 第二章文獻探討第一節閱讀理解之相關研究…………………………………………………9 第二節尺規作圖之相關研究…………………………………………………17 第三章研究方法第一節研究設計………………………………………………………………25 第二節研究樣本………………………………………………………………36 第三節研究工具………………………………………………………………38 第四節資料處理與分析………………………………………………………56 第五節研究流程………………………………………………………………61 第六節研究限制………………………………………………………………64 第四章研究結果與討論第一節尺規作圖閱讀理解表現………………………………………………66 第二節幾何作圖類型、尺規歷程與理解層次之關係………………………70 第三節中學生在各面向閱讀理解困難………………………………………75 第五章研究結論與建議第一節研究結論 ……………………………………………………………95 第二節討論與建議 …………………………………………………………99 參考文獻一、英文部分………………………………………………………………107 二、中文部分………………………………………………………………108 iii.

(5) 附錄附錄一：甲版本（基本尺規作圖）閱讀理解問卷………………………109 附錄二：乙版本（初階應用尺規作圖）閱讀理解問卷…………………115 附錄三：丙版本（進階應用尺規作圖）閱讀理解問卷…………………120 附錄四：甲版本（基本尺規作圖）各試題專家效度及試題分析………126 附錄五：乙版本（初階應用尺規作圖）各試題專家效度及試題分析…142 附錄六：丙版本（進階應用尺規作圖）各試題專家效度及試題分析…168 附錄七：甲版本（基本尺規作圖）編碼表………………………………181 附錄八：乙版本（初階應用尺規作圖）編碼表…………………………184 附錄九：丙版本（進階應用尺規作圖）編碼表…………………………187 附錄十：甲版本（基本尺規作圖）給分方式……………………………190 附錄十一：乙版本（初階應用尺規作圖）給分方式……………………192 附錄十二：丙版本（進階應用尺規作圖）給分方式……………………194 附錄十三：前置研究的訪談架構及內容…………………………………196. iv.

(6) 表目錄表 1-1-1 表 2-1-1 表 2-1-2 表 2-2-1 表 2-2-2 表 2-2-3 表 3-1-1 表 3-1-2. 歷屆基測有關尺規作圖題數、作法數、題號統計表………………4 Gagn’e 的閱讀理解的成分歷程……………………………………12 PISA 閱讀歷程及說明 ………………………………………………15 劉繕榜評量學生尺規作圖基本能力之作圖題類型…………………19 陳宥良補救教學的尺規作圖試題類型………………………………20 朱德祥（1985）解尺規作圖題的四個步驟…………………………21 尺規作圖在教科書的內容分析………………………………………29 坊間某版本 101 學年度教科書例題與隨堂練習之對照……………29. 表 3-1-3 表 3-1-4 表 3-1-5. 本研究尺規歷程各元素之說明………………………………………33 尺規作圖理解層次各元素之說明……………………………………34 尺規作圖閱讀理解架構………………………………………………35. 表 3-2-1 表 3-2-2 表 3-2-3 表 3-2-4 表 3-2-5 表 3-2-6 表 3-2-7 表 3-2-8. 前置研究的訪談架構表及訪談目的…………………………………38 民國 97 年九年一貫課程綱要 8-s-11………………………………42 陳宥良（2009）與劉繕榜（1999）尺規分類比較…………………43 本研究尺規作圖類型之定義…………………………………………47 本研究基本尺規作圖文本……………………………………………48 本研究初階應用尺規作圖文本-第一版 ……………………………49 本研究初階應用尺規作圖文本-第二版 ……………………………50 本研究進階應用尺規作圖文本………………………………………51. 表 3-2-9 「閱讀理解問卷」訪談架構表 ………………………………………53 表 3-3-1 基本尺規作圖閱讀理解問卷之雙向細目表…………………………56 表 3-3-2 初階應用尺規作圖閱讀理解問卷之雙向細目表……………………56 表 3-3-3 進階應用尺規作圖閱讀理解問卷之雙向細目表……………………57 表 3-3-4 尺規作圖閱讀理解計分範例…………………………………………59 表 4-2-1 中學生在不同版本、面向之尺規作圖閱讀理解表現平均數與標準差………………………………………………………………………66 表 4-2-2 中學生在三種版本閱讀理解表現得分分佈表………………………67 表 4-3-1 作圖類型×尺規歷程×理解層次之三因子混合設計變異數分析摘要表 …………………………………………………………………………71 表 4-3-2 表 4-3-3. 尺規作圖類型×尺規歷程×理解層次之單純交互作用結果摘要表…72 尺規作圖類型(A)×尺規歷程(B)×理解層次(C)之單單純主要效果分析摘要表…………………………………………………………………73. v.

(7) 圖目錄圖 1-1-1 圖 1-1-2 圖 1-1-3 圖 3-1-1 圖 3-5-1 圖 4-4-1 圖 4-4-2 圖 4-4-3. 民國 100 年第 1 次基測第 33 題題目…………………………………2 研究動機圖示 …………………………………………………………3 民國 98 年第 1 次基測第 33 題題目 …………………………………3 尺規作圖閱讀理解的研究架構………………………………………26 研究設計流程圖………………………………………………………63 基本尺規作圖各理解面向表現柱狀圖………………………………75 初階應用尺規作圖各理解面向表現柱狀圖…………………………85 進階應用尺規作圖各理解面向表現柱狀圖…………………………89. vi.

(8) 第一章. 緒論. 在研究者的國中求學過程中，學習「幾何證明」及「尺規作圖」這兩單元時，老師們都要求我們在證明及作圖過程的寫作上講求嚴謹、系統化，而在研究者轉變身份為教師時，由於國中基本學力測驗以選擇題的型式評量，故在教學實務上要求學生這樣嚴謹的訓練過程難以執行，取而代之的是填空式的證明、只要會作圖即可。從閱讀的角度來看，「幾何證明」及「尺規作圖」最大的相異處在於幾何證明的內容中有論述、說理的部分，而尺規作圖的內容只會說明作圖的步驟，並不會呈現為什麼這樣作圖的理由，因此研究者好奇學生在閱讀完尺規作圖的內容後，到底理解了什麼？是否只是會跟著操作尺規？是否瞭解為什麼如此作圖的原理？因此研究者想要探討中學生在尺規作圖的閱讀理解現象. 第一節. 研究動機. 西元前五世紀，希臘數學家就使用直尺和圓規來作圖，且規定直尺只能用來畫直線，不能使用上面的刻度，而圓規只能用來畫圓和畫弧，就因為有了以上的限制，學生在尺規作圖過程中，必須主動地應用幾何知識。解決一個作圖題是一種創造性的活動(Hansen, 1998)，因此尺規作圖被認為是訓練學生幾何思維最好的教材之一(Austin, 1982)，但學生學習尺規作圖時，常常只是機械式的記憶作圖步驟，而未能理解尺規作圖步驟中擁有的幾何性質特徵(Lim, 1997)。我國自民國九十年起，為了讓學生均衡的發展且「快樂學習，健康成長」，並推動高中多元入學，實施國中基本學力測驗（以下簡稱基測），目的是為減輕學生壓力，顧名思義，它是考學生應該具備的「基本能力」，評量的重點是帶的 1.

(9) 走的能力。國中基本學力測驗中的「基本」並非代表「簡單」，基測所測量的「基本學力」是指學生在經過國中三年的學習所應當具備的基礎的、核心的、重要的知識與能力。而基測的題型皆為選擇題，如何利用選擇題的型式，評量學生對於尺規作圖這種需要「實作」的內容呢？評量的重點為何呢？評量的目的為何呢？以民國 100 年第 1 次基測第 33 題題目為例：. 圖 1-1-1. 民國 100 年第 1 次基測第 33 題題目. 常見的作圖題都是評量「到兩點距離相等」如何作圖（作兩點連線的重直平分線），或者是「到兩線距離相等」如何作圖（作兩線夾角的角平分線），但此題是評量「到一線及一點距離相等」如何作圖，研究者首次看到本試題，試著將選項遮住思考如何作答，最後還是打開選項來判斷答案，且研究者看到選項時立即能判斷出正確答案，從這個經驗研究者發現，學生對於幾何作圖的閱讀理解能力，才是基測中解作圖題的關鍵！在於學生是否能從選項裡的尺規操作中，理解過程運用到了哪些性質？如何構圖並不是基測所評量學生的目的，理解為何如此構圖才是基測的評量目的。也因為基測題型的關係（皆為選擇題），對於學生在學習上產生了改變，進而也造成教師在教學上的改變，在教學實務上多數學生漸漸無法要求他們寫尺規作圖過程（證明過程也是如此），還有實際操作尺規上的作圖練習；在缺乏更多 2.

(10) 尺規作圖上的練習下，學生在尺規作圖的表現也越來越弱，在閱讀一個尺規作圖內容時，學生可能只是字面上看的懂，但不是真正的懂，學生到底理解到了哪裡教師無法得知。尺規作圖. 實作. 如何作圖基本學力測驗（選擇題）. 教師教學. 圖 1-1-2. 理解作圖. 學生學習. 研究動機圖示. Schoenfeld (1988)提到，在學生的學習經驗裡，證明的東西是需要被數學家確認過的，同樣地，作圖法也是要被數學家確認過的，要學生去創造一個作圖法，再對這個作圖法提出證明的相關敘述卻是很難的。我們再看民國 98 年第 1 次基測第 33 題題目為例：. 圖 1-1-3. 民國 98 年第 1 次基測第 33 題題目 3.

(11) 此題與 100 年的作圖題相比，有兩組的尺規作圖法，若無法正確判斷兩作法的正確性，仍然無法判斷此題的正確選項，研究者的一位同事提到：「作圖的步. 驟一步一步呈現出來，學生能夠跟著步驟去完成，也確實能夠作出交點，學生就會認為作法無誤，不一定有能力去判斷作法的正誤」；而在研究者的教學經驗中也發現，要求學生證明對的作圖是正確的較為容易，但要求學生證明一個作圖法是錯誤的卻是較為困難的，因為學生無法反駁作圖的錯誤點在何處，研究者曾遇到學生提到：「既然一個東西是錯誤的，那要如何去”證明”？」。研究者整理歷屆基測評量尺規作圖的題目，發現從民國 90 年至民國 100 年中每年 2 次，以及民國 101、102 年只有一次基測，共 24 次的題本中唯獨 93 年（第一次基測、第二次基測）、95 年（第一次基測、第二次基測）及 96 年（第一次基測）這五個題本並無出現尺規作圖題目，出題率近八成高達 79%，而這 19 題題目當中，都會出現兩種以上的作法讓學生判斷正誤（11 題中有 4 種作法給學生判斷，另 8 題中出現 2 種作法給學生判斷），更顯示出尺規作圖的閱讀理解重要性。而往往這些題目都是在坊間參考書中並未出現過的題目，更別提題目中出現的兩種甚至四種的作法，在在都需要學生去理解其正確與否，其難度可想而知，也因此這 19 題中有 18 題的編排皆位在基測試卷的後半部（基測編排通常以其難度做順序的編排，越簡單擺放至前面，反之越難的擺放至後面），統計如下表 1-1-1。. 表 1-1-1. 歷屆基測有關尺規作圖題數、作法數、題號統計表. 年度. 次別. 題數. 尺規作法數. 題號. 第1 次. 1. 4. 31. 第2 次. 1. 4. 31. 第1 次. 1. 4. 29. 第2 次. 1. 4. 28. 90 年. 91 年. 4.

(12) 第1 次. 1. 4. 27. 第2 次. 1. 4. 26. 第1 次. 0. 第2 次. 0. 第1 次. 1. 2. 30. 第2 次. 1. 4. 9. 第1 次. 0. 第2 次. 0. 第1 次. 0. 第2 次. 1. 4. 31. 第1 次. 1. 2. 33. 第2 次. 1. 2. 34. 第1 次. 1. 2. 33. 第2 次. 1. 4. 32. 第1 次. 1. 2. 28. 第2 次. 1. 4. 34. 第1 次. 1. 4. 33. 第2 次. 1. 2. 34. 101 年. 1. 2. 33. 102 年. 1. 2. 31. 92 年. 93 年. 94 年. 95 年. 96 年. 97 年. 98 年. 99 年. 100 年. 然而，從目前的尺規作圖題目看來，有些是要學生辨別出作圖的結果，有些是要學生辨別作圖的依據。但是，如果從尺規作圖歷程和閱讀理解層次重新思考尺規作圖的閱讀理解時，其具體的元素和內涵為何？以及對應此元素和內涵的評量試題為何？都是值得進一步探討的研究問題。 5.

(13) 1970 年代中期所發展出來的學習理論都企圖描繪一般的學習原則，並沒有考慮到學習題材的影響，將這些理論內容用在不同領域，這些題材的細節在理論裡都被忽略了其重要性，因此題材在很多地方都扮演了”變量”的角色，因此這些理論應該把題材考慮在實驗設計裡(Schoenfeld, 1988)；相同地，閱讀理解的理論並未以各題材為變因下作分析及探討，因此本研究企圖建立有關於尺規作圖的閱讀理解架構。. 第二節. 研究目的. 綜合以上所述，本研究想要探討中學生在尺規作圖的閱讀理解現象。尺規作圖在國中的數學課程中，是一個可以將所學的數學幾何知識實際應用、動手操做的單元，學生可以從作中學，因此學生必須先學習如何閱讀數學，才能藉由閱讀來學習數學，所以本研究欲探討在目前的幾何作圖課程教學下，中學生對尺規作圖的閱讀理解，進而從中探討學生在閱讀尺規作圖中的困難。. 研究目的：探究中學生在尺規作圖閱讀理解的特徵。. 第三節. 研究問題. 閱讀理解的面向和內涵隨著閱讀的內容與結構的改變而有所不同，根據本研究中建構出的幾何作圖閱讀理解面向，探討中學生在各面向上的表現程度（研究問題 1）。接著，就可以從這些閱讀理解表現著手瞭解中學生在各理解面向的交互作用，及中學生在不同類型的尺規作圖中的表現差異（研究問題 2）。最後從. 6.

(14) 這些關係去瞭解中學生在閱讀尺規作圖內容的困難處為何（研究問題 3）綜言之，根據上述研究目的所衍生的研究問題如下：. 研究目的之研究問題 1.中學生在各面向尺規作圖閱讀理解的表現為何？ 2.各面向間是否存在交互作用？中學生在尺規作圖表現是否隨著不同的尺規作圖類型而異？ 3.中學生在各面向閱讀理解困難處為何？. 第四節. 名詞界定. 1.尺規作圖內容、文本本研究中的「尺規作圖內容」或「尺規作圖文本」包含了三個部分：「尺規作圖題目」、「尺規作圖過程說明」、「作圖軌跡圖形」；第一個部分「尺規作圖題目」指的是，給定的已知條件下，所欲達到某個作圖目的的敘述（包含這些已知條件的圖形）；第二個部分「尺規作圖過程說明」指的是，為了達成題目中的作圖目的，所作的尺規過程之文字敘述；「作圖軌跡圖形」指的是，對應作圖過程說明所執行的尺規作圖形成的軌跡圖形。因本研究僅討論尺規作圖的「尺規作圖題目」、「尺規作圖過程說明」、「作圖軌跡圖形」，並不包含教科書中呈現的「引言」、「說明」、「應用」…等部分，故研究中多以「尺規作圖內容」表示之，惟文中有時為了敘述順暢僅以「文本」代替之（若僅以「內容」表示之，可能會讓讀者有過於模糊、廣泛的想像）。. 2、尺規作圖閱讀理解學生在閱讀給定的尺規作圖內容後，其對於尺規作圖題目、作圖步驟的敘述、 7.

(15) 作圖步驟的軌跡圖形、作圖步驟中敘述和軌跡的連結、作圖過程中產生的性質、每個作圖步驟的目的等方面所建構的意義，即是該生的尺規作圖閱讀理解。. 3.尺規作圖閱讀理解的表現尺規作圖閱讀理解的面向和內容，將在現象分析後再給予明確的定義。本研究依據各理解面向的操作型定義發展問卷，來測量受試者在尺規作圖閱讀理解各面向問題的表現。受試者得分越高，表示其在各面向的閱讀理解越多且正確。. 8.

(16) 第二章. 文獻探討. 研究者根據研究目的：探究中學生在尺規作圖閱讀理解的特徵，首先研究者從文獻中對閱讀理解做相關的研究，探討閱讀與閱讀理解的意義和概念，以及閱讀理解歷程的理論；接著討論尺規作圖的相關研究，探討尺規作圖的歷史脈絡及其重要性，再探討尺規作圖於文獻中出現的分類、學習歷程和學習困難。故本章共分為兩節論述：第一節在討論閱讀理解的相關概念，內容包含（一）閱讀的意義，（二）閱讀理解的概念，（三）閱讀理解的歷程；第二節在討論尺規作圖的相關研究，內容包含（一）尺規作圖的歷史，（二）尺規作圖的重要，（三）尺規作圖的類型，（四）有關尺規作圖的學習，（五）尺規作圖的學習困難。. 第一節. 閱讀理解之相關研究. 一、閱讀的意義人類浩大的文化、知識結晶及歷史脈絡，長久以來依不同的種族、文化以不同的樣貌被記載下來，像是壁畫、甲骨文、楔型文字…等，直自現代社會也是如此，在這知識爆炸的年代裡，便利且多元的網路資訊每天都在我們的生活周遭，而不變的是「閱讀」總離不開我們的生活，人們只要透過閱讀就能夠吸收這些的資訊。 Goodman (1996)提到，閱讀是一個文本與閱讀者之間的互動行為，是作者與閱讀者之間的溝通橋樑，而閱讀者扮演著主動的角色，用自身的經驗和價直觀去建構、理解文本屬於自己的意義。因此不同經驗、文化、知識背景的閱讀者對於相同的文本，接收到的訊息也不盡相同，因此將會建構出不同的理解和解釋，也. 9.

(17) 可以說閱讀是一種讀者與作者間交互的過程。因此造成閱讀理解困難的來源主要也是來自於文章架構和閱讀者本身兩方面(楊凱琳, 2004)。閱讀不單只是文字在字面上的辨認、字詞字義上的解碼或將文字轉換為口語語言，在閱讀的過程中，閱讀者運用理解力與思考連結自身的舊有經驗、知識，來解讀文本的意義，進而對這文本產生屬於閱讀者的評價。所以 Spodek (1985) 將閱讀定義為（1）閱讀是解碼的過程，學會書寫符號和口語發音之間的關係就能學會閱讀；（2）閱讀是從文字中汲取意義，除了解碼外，還包含文字和字音連結後的解釋；（3）閱讀更是一種智力運作的延伸。 Tierney (1990)將閱讀定義為 1.閱讀是一種建構的過程（reading as constructive processes）；2.閱讀如同寫作（reading as writing）；3.閱讀就像一場約會（reading as engagement）；4.是閱讀的情境基礎（situation-based）。將閱讀視為一種動態的過程，是主動的汲取內容中出現的訊息。. 二、閱讀理解的概念閱讀包含了「識字」與「理解」兩個部分。識字是一種重要的基本技能，但是理解才是閱讀的最終目的，因為唯有理解，才能從文章中獲得意義(柯華葳, 2006)。對於閱讀理解從傳統的觀點來看，是指對文章內容的理解，認為讀者是被動的接受內容中出現的訊息，因此出現在文章內容中的意義，讀者只要經過閱讀就能自動獲得理解；從心理語言學的觀點，閱讀理解是讀者既有知識和新知識之間的橋樑。引自近代許多學者主張閱讀理解是讀者和文本間的一個互動關係，讀者能藉著閱讀建立有意義的知識，Richgels (1982)認為閱讀理解可視為讀者和文字間成功互動的結晶；而 Kucan (1993)將閱讀理解視為讀者自文本中引伸出意義的歷程，在讀者、文本、情境三者互動下，建構出意義的歷程。 10.

(18) 三、閱讀理解的歷程閱讀是一個複雜的過程，Goodman 認為閱讀是一種抽象的認知歷程，也就是理解文章的歷程(洪月女, 1998)，以下對閱讀理解歷程做更詳實的文獻資料探討。. （一）認知心理學的閱讀歷程認知心理學領域主張學習是訊息的獲得與應用，認為閱讀的認知歷程是一種訊息處理的過程，通常涉及新訊息的獲得、就訊息的提取、運作、整合、儲存等，其目的是理解文章的意義(吳惠琪, 2004)，因此 Mayer (1989)以訊息處理理論為基礎，提出對閱讀歷程的看法，認為讀者需透過三個步驟來對文章產生有意義的學習，這三個主動的歷程為： 1.選擇（selection）：讀者在閱讀的文章中選擇特定、重要的訊息。 2.組織（organizing）：讀者能將上一個步驟中選擇的訊息重新組織建立內在連結後，形成具有關連性、一致性的的概念。 3.整合（integrating）：讀者連結舊有的先存知識與新資訊，整合新舊知識而達成有意義的學習。因此在閱讀時，讀者會因為文章的結構內容、自身的先備知識，和情境差異而有不同的理解，. （二）Gagn’e 的閱讀歷程理論 Gagne, Yekovich, and Yekovich (1993)在分析閱讀理解方面被廣為採用，他們將閱讀歷程分為四個階段：一、解碼（decoding）；二、字義的理解（literal comprehension）；三、推論的理解（inferental comprehension）；四、理解的監控（comprehension monitoring），詳細的說明整理如下表 2-1-1. 11.

(19) 表 2-1-1. Gagn’e 的閱讀理解的成分歷程. 理解歷程群組. 群組中的元素. 說明. 解碼. 配對. 讀者將所看到的字和記憶中已知的. （decoding）. (matching). 字型相互比較，並加以配對使其字義從長期記憶裡抽取出來。. 譯碼. 讀者將文字轉譯成聲音，經由發音的. （recoding）. 搭配檢索出長期記憶中的字義。. 字義的理解. 字義取得. 從解碼過程中辨認出字型或字音. （literal. （lexical access）. 後，即與讀者的長期記憶作連結，活. comprehension）. 化固有的知識，並再從其中找出該字適當的意義。語法分析. 當文字組合成較長的句子時，針對該. （parsing）. 句的語法及結構作分析，在這當中使用句法及語言的原則，連結相關的字詞後，形成有意義的概念。. 推論的理解. 整合. 使文章中的概念具有連慣性的敘述. （comprehension （intergration）. 性表徵。透過這個過程，將使兩個不. monitoring）. 同的概念句子結合成一個統整的概念，也可能將兩個句子間做一個因果的統整。摘要. 讀者將記憶內容作一個全盤性或具. （summarization）. 關的結構，用來幫助讀者擷取文章的主要概念。. 詳細論述. 藉由文章所觸動的先備知識，來建構. （elaboration）. 出新的相關訊息。 12.

(20) 理解的監控. 目標設定及策略選擇. 閱讀開始之初，讀者會先設定一個閱讀的目標，並依據這個目標選擇適合的閱讀策略，以達成先前設定的目標。. 目標檢視及修正補強. 檢視讀者自身是否達成原先設定的閱讀目標；當目標檢視不如預期時，讀者便透過修正補強的過程重新檢視原先的各項歷程是否該修正。. Gagne et al. (1993)對於閱讀理解的成分歷程，雖其子群組的部分元素仍偏向於文學上的閱讀理解，似乎無法全然套用於本研究對於尺規作圖的閱讀理解，但仍有助於研究者瞭解閱讀理解的功能性和原則性；歷程中的解碼如同學生對個別幾何名詞的配對及辨識，字義的理解如同學生活化這些幾何名詞並理解作圖的敘述，歷程中的推論理解如同學生結合敘述與圖形摘要出步驟的相關訊息，最後，歷程中的理解監控就如同學生檢視自身對於尺規內容的理解程度。. （三）「由上而下」、「由下而上」的模式 Pashler, Johnston, and Ruthruff (2001)認為，人類受到刺激牽動、引發了反應和行為，這樣的歷程稱作為「由下而上（Bottom-Up）」，而對於自身設定的目標所做的行為，這樣就稱為「由上而下（Top-Down）」；「由下而上」是從具體到抽象的，對於文字的辨識歷程步驟又可分為：1.辨認字母（萃取文字的重要特徵）、2.字的偵測及字義的理解（對文字的辨認並產生文字的意義）、3.段落及全文的理解（理解多個文字組成的句子或全文）；「由上而下」是從讀者的舊有經驗出發，去理解新的訊息，其歷程步驟可分為：1.檢閱理解（讀者設定不同的理解程度）、2.設定目標（依不同的理解程度設定閱讀目標）、3.選擇策略（依不同 13.

(21) 的閱讀目標及內容組合不同的閱讀策略）、4.檢視目標（檢視閱讀後是否正確地收到關鍵的資訊）。. （四）PISA 閱讀理解歷程國際學生評量計畫 (the Programme for International Student Assessment，簡稱 PISA)為經濟合作發展組織（Organisation for Economic Co-operation and Development，簡稱 OECD）自 1997 年起籌劃，在評量閱讀、數學和科學三個領域的素養程度，從 2000 年起三年一次的國際評量，宗旨是針對十五歲學生，生活知能的學習成效提供跨國際的比較，以及各國教育效能的分析，並由此界定國民素養的內涵，提供給各國教育體系有關的省思以及國際間不同教育系統效能評量與監督的參酌。而台灣則是從 2006 年開始加入這項跨國的教育評鑑計畫，直至 2012 年共參與了 3 次。2006 年以科學為主科，閱讀和數學為輔；2009 年以閱讀為主科，科學和數學為輔；2012 年則是以數學為主科；閱讀和科學為輔。（整理自台灣 PISA 國家研究中心）根據 PISA（OECD,2012）在「閱讀素養」兼顧廣度和深度，所涵蓋的閱讀評量分為三個層面，情境（situation）、文本（text）、歷程（aspect）。所謂情境就是涉及閱讀行為的各種情境脈絡與目的，包含四個情境，1.個人：為滿足私人其興趣、需求或目的所進行的閱讀，如小說、書信、傳記、散文；2. 教育：通常作為實現教學的目標，從學習的任務中獲得資訊，如教育用途的教科書、學習手冊；3.職業：通常與個人工作內容有關，如從報紙分類廣告取得資訊、工作交辦事項等、職業用途的手冊或報告；4.公共事務：閱讀的內容與社會活動與公共事件有關，如官方文件或聲明。文本是指文本材料的範圍，包含 1.連續文本：通常是由文字句子組成，組織成段落，甚至可能變成較大的結構，像是章、節、和書，如紙本的報紙、小說、故事、信件，電子評論、網路文章、網路報導；2.非連續文本：通常由較小單位. 14.

(22) 的連續文本組成，因組織不同於連續文本，故閱讀方式與連續文本不同，如表格、圖形、廣告、憑證、證照；3.混合文本：合併連續文本與非連續文本的內容、主題；4.多元文本：由多個來源所組成，各個來源獨立產生意義，如網路資訊。閱讀歷程是指讀者對文本所進行的認知運作，包含 a.訊息的擷取（retrieving information）、b.形成概括的理解（forming a broad understanding）、c.發展解釋（developing an interpretation）、d.反思與評鑑文本內容（reflecting on and evaluating the content of a text）、e.反思與評鑑文本形式（reflecting on and evaluating the form of a text）；2009 年 PISA 是以閱讀為主科，在台灣 PISA2009 的精簡報告中（英文版）， PISA 2009 計畫主持人洪碧霞 (2011)將這五個認知面向統整為擷取與檢索、統整與解釋、省思與評鑑。整理如下表 2-1-2 表 2-1-2. PISA 閱讀歷程及說明閱讀歷程擷取訊息. 閱讀歷程說明依據問題要求或指明的特點找出文中. 擷取與檢索清楚寫出的訊息。形成廣泛普遍的理解. 正確解讀閱讀內容。. 發展解釋. 對所閱讀的內容有明確、完整的解釋。. 省思並評鑑文本內容. 將所閱讀的內容與自己原有的知識、想法和經驗相連結，經過判斷與省思過後，就文本內容提出自己的見解。. 省思並評鑑文本型式. 運用自己既有的知識、想法和經驗評價本文，經過判斷與省思過後，就文本形式提出自己的觀點。. 統整與解釋. 省思與評鑑. 本研究依據此三個主要歷程，將中學生對尺規作圖的閱讀理解分層，因此另外詳細說明如下：. 15.

(23) 1.擷取與檢索：讀者必須從閱讀的文字資料中找到所需訊息，擷取指的是尋找訊息的過程，檢索則是指讀者選擇其所需要訊息的過程。例如：找尋明確陳述的訊息，進行表層意義的配對，連結、整合相關訊息。在此類的評量題目中，讀者需要依據題目所指定的要求或特徵來搜尋資訊，必須將題目所提供的訊息與閱讀文本中相等詞彙或同義的資訊相連結，以找到所需要的新訊息。. 2.統整與解釋：讀者需正確地解釋所閱讀的內容，並從整體或廣泛的觀點來思考文本，以形成廣泛普遍的理解，進而對閱讀的內容有明確、完整的解釋；統整指的是讀者能整合文本中各訊息以理解其主要概念，解釋則關注在讀者能否解釋文本中未提及的內容。在此類的評量題目中，讀者可能被要求選擇或建立文本中的目的或用途，比較和對照文章訊息、連結訊息間的關係、推論作者意圖。. 3.省思與評鑑：讀者必須思考文本中所隱含的訊息，以便於連結文本訊息與個人的知識與經驗，其中省思指的是讀者必須透過個人的知識與經驗進行比較或假設，而評鑑則指讀者必須提出個人的標準進行判斷。在此類的評量題目中，讀者需提取自己既有的知識，建構自己對文章深層的理解，並不受文本的影響，客觀的評價文本的品質與適當性。. 16.

(24) 第二節. 尺規作圖之相關研究. 一、尺規作圖的歷史從歷史的角度來看，古希臘的數學發展史中，首推歐幾里德的『幾何原本』最具有代表性，因為歐幾里德僅用了幾個公理，演繹出整個幾何知識，締造了數學之美（Kline，張祖貴譯，1995，p.40-60）；在『幾何原本』中從幾個基本公理出發，演繹出一系列的定理，這就是希臘數學的基本精神。而這基本的公理越少越好，演繹出的定理越多越好，歐幾里德在『幾何原本』中對作圖僅作了三個公設：1.任兩點之間可連一直線、2.直線可任意延伸、3.以任一點任一長度可做一圓，因此在這三條的公理設定下，作圖工具就只能使用直尺和圓規。直尺和圓規的使用有著嚴格的規定，直尺僅能用來連接兩點所連成的直線，而圓規僅能用來畫圓或畫弧，並且只准許使用有限次來解決幾何問題。而歐幾里德所使用的圓規跟我們一般所認識的圓規功能並非全然相同，現代圓規利用針尖與筆尖複製完長度後，離開紙面我們仍視為長度固定，但歐幾里德對圓規所做的限制，圓規無法在離開紙面後，視為針尖和筆尖的距離固定，雖然如此，但這兩種尺規的作圖能力並無差異(Eves & Eves, 1965)。. 二、尺規作圖的重要尺規作圖具有嚴格的使用限制，使得學生在使用直尺和圓規的過程中，就必須自發性的應用所學幾何知識，才能作出特定的圖形(Kramer, Hadas, & Hershkowitz, 1986)，因此 Austin (1982)認為尺規作圖是訓練學生在幾何思維上最好的教材之一。Eves and Eves (1965)認為尺規作圖是一個人就能玩的經典遊戲。朱德祥 (1985)認為幾何作圖的價值有以下四點：. 17.

(25) 1.幾何作圖是建立學生的具體幾何觀念的重要手段，是克服學生單純死記硬背定理條文的好辦法。 2.幾何作圖可以提供題材，把所學的命題用來解決某些具體問題，使學生學會學以致用，也就是說，幾何作圖為初等幾何課程的幾乎每個章節提供了練習的材料。 3.幾何作圖的學習給製圖學提供理論基礎，它在實際上的意義是不可忽視的。 4.在解作圖題的過程中，要運用一系列相當複雜的邏輯思維，解作圖題的各個步驟的術語”分析”、”討論”就是這一點的具體表現。. 三、尺規作圖的類型朱德祥 (1985)認為常見的基本作圖問題有以下 16 個，將這些作圖相互組合就可以得到一些較複雜的作圖： 1.以一已知線為一邊作一角等於給定的角（複製角） 2.求作一三角形，依以下三種不同狀況，已知三邊、已知兩邊及其夾角、已知兩角及其夾邊。（SSS、SAS、ASA 三角形作圖） 3.過一點作已知直線的垂線。（過線上、線外一點作已知直線的垂線） 4.過一點作已知直線的平行線。（過線外一點作已知直線的平行線） 5.平分一角。（角平分線作圖） 6.平分一弧。 7.作定線段的中垂線。（中垂線作圖） 8.分一線段成若干等分。（等比例線段作圖） 9.作線段的和或差，作角的和或差。 10.已知弓形的弦長和其內接角（圓心角），求作弓形弧。 11.內分或外分一線段成已知比。 12.作三已知線段的第四比例項。 18.

(26) 13.作二已知線段 a、b 的第三比例項（a：b＝b：x）。 14.作二已知線段 a、b 的等比中項或比例中項（a：x＝x：b）。 15.已知線段 a、b，求作線段 x  a 2  b2 。 2 16.已知線段 a、b，求作線段 x  a 2  b（a>b）。. 而劉繕榜 (1999)在對國中數學資優生尺規作圖表現之探討中，為了評量學生尺規作圖基本能力之高低與其在幾何證明題表現及教學後作圖問題表現之相關性，該研究中發現部分資優生在解作圖題時會犯兩類型錯誤：一是基本概念的錯誤；另一則是圖形的錯誤引導，當中圖形的錯誤引導又可分為「草圖的錯誤引導」、「給定圖形的錯誤引導」等；而發生該兩類型錯誤可能原因是學生存有迷思概念或是未能建立起邏輯的聯繫，學生「內在驗證」的能力不足。該測驗將尺規作圖題目分成「基本題」與「挑戰題」兩部分，兩部分的測驗範圍整理如下表 2-2-1。. 表 2-2-1. 劉繕榜評量學生尺規作圖基本能力之作圖題類型基本題. 挑戰題. A1.作三角形（SSS）. B1.作三角形（ASA）. A2.作一已知角. B2.過圓外一點作該圓之切線. A3.作 60 度角. B3.給定兩線段 a、b 作一線段√𝑎𝑏. A4.平分 60 度角 A5.作已知線段之中點 A6.過線外一點作垂線 A7.過圓上一點作切線 A8.過線上一點作垂線. 19.

(27) 而陳宥良 (2009)在探討中學生透過摺紙進行尺規作圖補救教學之成效研究，該研究的結果為，關於國三學生的尺規作圖學習表現：1.不清楚尺規作圖的工具使用規定、2.不熟練基本尺規作圖步驟，不清楚該等作圖步驟與幾何性質之間的關係、3.在應用尺規作圖解決作圖問題方面有困難；另外透過摺紙學習尺規作圖： 1.能幫助學生熟練基本尺規作圖步驟，理解作圖步驟所應用的對稱性質、2.能幫助分析作圖問題，檢驗想法的正確性，找出正確的作圖步驟、3.能提升學生尺規作圖學習興趣。該研究工具的試題分成三部分：「基本尺規作圖」、「尺規作圖概念」、「應用尺規作圖」，其中尺規作圖概念是針對直尺和圓規的使用限制、用法去作評量，在基本尺規作圖與應用尺規作圖整理如下表 2-2-2。. 表 2-2-2. 陳宥良補救教學的尺規作圖試題類型基本尺規作圖. 應用尺規作圖. a1.中垂線作圖. b1.中垂線應用的尺規作圖. a2.角平分線作圖. b2.等腰直角三角形作圖. a3.線外一點作垂線. b3.等腰梯形對稱軸. a4.線上一點作垂線. b4.等面積三角形作圖. a5.線外一點作垂線. b5.鳶形問題. 四、有關尺規作圖的學習利用直尺和圓規所設計出的作圖題是什麼呢？大陸學者朱德祥提到：假設給了一些條件，而設法求作具備這些條件的圖形，這便是作圖問題。完成作圖以後，便可斷言具備某些條件的圖形存在，或在什麼情況下這樣的圖形存在，因而使言之有物。這樣解幾何作圖問題在某種意義上說，就是存在問題的證明(朱德祥, 1985)，他還提到解作圖題的步驟，分成了四個步驟，整理如下表 2-2-3 所示。. 20.

(28) 表 2-2-3 步驟. 朱德祥（1985）解尺規作圖題的四個步驟內容. 步驟一分析. 說明遇到比較困難不是一目了然的作圖題，常假定合於條件的圖已作出，研究已知條件和求作條件間的關係，從而得出作圖的線索，這過程稱為分析，是解題重要的步驟。. 步驟二作法. 根據分析的線索，按作圖公法及已知作圖題作圖，利用已知作圖題時，只需說明清楚，不必將它本身的作圖過程一一道來，教師對學生可隨時追查他們掌握一些基本作圖題的熟練情況。. 步驟三證明. 用以表明所作圖形確具所設條件。. 步驟四討論. 作圖題解的有無多寡，定與不定，決定於已知條件的大小、位置及其相互關係，這種研究稱為討論。. Smart(1988)在尺規作圖的學習中，提出了幾乎與朱德祥相同的四個步驟，步驟一：分析(analysis)：解題者假定已完成該作圖題，從圖形中分析未知元素與已知條件獲得兩者之間的關係；步驟二：作圖(construction)：使用直尺與圓規作圖（其中的直尺並無刻度可使用），並且標記出適當的符號；步驟三：證明 (Proof)：證明作圖的結果合乎題目的要求；步驟四：討論(Discussion)：討論、解釋可能的解答與情形(Smart, 1988)。以上解尺規作圖題的分析步驟中，提到「假定合於條件的圖已作出，研究已知條件和求作條件間的關係」，這觀點也和 Polya (1957)在「How to solve it」一書中提到的觀點不謀而合，Polya 主張「欲解答一個作圖題，先將題目所求的未知條件當成已知的條件，並將這些條件畫成一個草圖，再從草圖中將已知圖形和未知圖形依據一些條件，將它們聯繫起來。」Kramer et al. (1986)指出：「在分析的這個步驟中，學生需要從已知條件、幾何性質和基本尺規作圖裡，找出這 21.

(29) 三者之間的關係，並在作圖過程中一再地使用這些基本尺規作圖。」若學生無法熟練基本尺規作圖能作出什麼幾何性質，就無法分析尺規作圖題目，也失去尺規作圖題欲學生思考的功能。洪志宗 (2013) 在「尺規作圖的評量中要求寫出作圖步驟」和對照組學生「尺規作圖的評量中只排出作圖步驟」於學習尺規作圖的成就上有無顯著差異的研究中，在教學上要求學生寫出作圖步驟有助於老師瞭解學生的想法、發現學生在作圖方面的迷失概念、缺失與學生的個別差異，有利於教師改進自己的教學方法並於課後實施補救教學；在學習上，寫出作圖步驟可以使學生更清楚反思自己的解題過程，有助於學生回憶起犯錯的原因，經由後設認知的過程，進一步改進自己錯誤的地方並幫助學生將學習經驗內化成自己知識的一部分，有助於學生的長期記憶與概念保留。尺規作圖長久以來都是國民中學教科書的一個學習單元，但並未明確指出尺規作圖的學習應該包含哪些部分，除了寫出尺規作圖過程外，讀懂（理解）尺規作圖更應該是值得培養的能力，更能達到基測評量的目的--帶得走的能力。在國內教科書中，多以先教作圖再教證明的順序去作編排，與朱德祥和 Smart 所提出的尺規作圖學習的第 3 步驟（證明）有所違背（尚未學習證明的單元，但在尺規作圖的學習中需證明其正確性），因此教科書上對於六個基本尺規作圖（複製線段、複製角、中垂線、角平分線、線上一點作垂線、線外一點作垂線），利用對稱圖形的概念、利用摺紙的實作經驗，或是利用菱形、箏形的對角線性質來做說明。. 五、尺規作圖的學習困難學生學習尺規作圖時，常常只是機械式的記憶作圖步驟，而未能理解尺規作圖步驟中擁有的幾何性質特徵(Lim, 1997)，也就是說學生未能從作圖過程中理解作圖的目的（例如：作法步驟中出現作出中垂線，其背後目的是要與兩端點等 22.

(30) 距離）。因此縱使學生知道了作圖題的作圖方法，若稍將題目作改變，或是要學生判斷另一個作法的正確與否，對於尺規作圖閱讀理解能力差的學生恐怕無法解決問題。另外學生在面對尺規作圖時，反而是以視覺輔助作圖，例如：圓外一點做切線，學生直接將直尺對線和圓做切線，對於正確的作法沒有去理解為何如此構圖。部分學生在歐氏尺規作圖時，並無法以符合工具規定的方式作圖，反而是以視覺輔助作圖，或是利用直尺的兩平行對邊作平行線(葉福進, 2005)。陳宥良 (2009)曾在課堂中，要求國中三年級學生利用尺規作圖作出「以已知線段 AB 為一邊的長方形」，很多學生的作法是直接將直尺擺放在 A 點之上，依據視覺校準到直尺的邊看起來與 AB 互相垂直，接著用筆畫出直線，重複上述步驟完成作圖；從這可看出學生擁有解題所需的幾何知識（長方形的四個內角均為直角），卻因不熟練基本尺規作圖和不瞭解尺規作圖的限制而無法完成作圖。該研究的結果為，關於國三學生的尺規作圖學習表現：1.不清楚尺規作圖的工具使用規定、2.不熟練基本尺規作圖步驟，不清楚該等作圖步驟與幾何性質之間的關係、3.在應用尺規作圖解決作圖問題方面有困難。 Schoenfeld(1989)自 1979 到 1984 年之間的教學實驗中要求學生解完「一圓圓心位於其兩條切線的角平分線上」的證明後，對於「求作過線上一點且切另一條直線的圓」的作圖題，對高中與大學學生進行一系列的訪談結果發現，有超過九成的學生經由重複試驗與嘗試錯誤的方式重複地作圖，判斷作圖是否正確的標準為，作圖結果從視覺經驗上看起來是否與題目所要求的圖形相像。儘管學生認為證明與作圖之間有密切的關係，但他們面對作圖題時無法察覺到證明中使用到的知識對解作圖題是有幫助的，無法將「證明」與「作圖」兩者之間聯繫起來，並對於解作圖題仍然處於直觀階段且利用經驗來驗證正確性。上述學生的幾何學習表現被 Schoenfeld 稱為「幾何經驗主義」，指學生在幾何作圖中並不是依據所學的幾何知識去對作圖的正確性做判斷，單憑直觀的經驗去決定，以上面的作圖題例子，高達九成的學生對於為何如此作圖的理解思考過 23.

(31) 程都忽略了。劉繕榜 (1999)在學校正式教導幾何教材之前，提前對 21 位國中數學資優生教導尺規作圖，觀察該群資優學生的作圖表現，以及作圖能力和幾何證明之間的關聯性，其研究發現，資優學生的作圖錯誤原因可能來自基本概念錯誤或圖形的錯誤引導，而學生的作圖表現與作圖後的證明達到統計上的顯著相關。. 24.

(32) 第三章. 研究方法. 本研究係採質與量兼併的方式進行尺規作圖閱讀理解的分析，希望透過調查研究法探討中學生在尺規作圖閱讀理解的表現；另一方面，也希望透過訪談研究法探討學生對於尺規作圖閱讀理解的困難。由於文獻上尚未出現對於尺規作圖閱讀理解的因素關係，因此先過過前置研究的訪談來探討尺規作圖閱讀理解的面向，並依據這些閱讀理解面向發展評量工具進行施測；在質性研究的設計上，則結合量的統計分析中具顯著差異處，以半結構式的訪談，探討中學生對於尺規閱讀理解困難的因素。本章就研究設計、研究工具、資料處理與分析、研究樣本、研究流程、研究限制六節說明本研究之研究方法。. 第一節. 研究設計. 一、研究設計學生在閱讀尺規作圖內容時，用舊有的知識去理解此內容，學生對文本中的內容可能僅是表層的理解，或是具有深層的理解，欲透過問卷調查法來瞭解學生尺規作圖閱讀理解的現象與結構；在作答閱讀理解問卷過程中，學生可能呈現出舊有的認知，或調整舊有的進而建構出新的認知，為了進一步瞭解學生的閱讀困難，研究者透過晤談法來推測學生內隱的認知。再從臆測、檢驗這些資料來回答本研究的問題。. 25.

(33) 內隱尺規作圖內容. 個體用舊有的知識去理解. 外顯. 問卷調查. 重現對文本的認知. 調整對文本的認知. 晤談法圖 3-1-1. 尺規作圖閱讀理解的研究架構. 研究者依據擬定的研究目的搜尋相關的文獻後，經由前置研究訪談數學專家及教師，試圖從訪談中找出影響尺規作圖閱讀理解的面向，最後研究者析取出三個影響中學生尺規作圖閱讀理解的向度，第一為尺規作圖的類型，教師們提到尺規作圖的類型影響整個尺規作圖的內容，包含其題目難度、作圖步驟敘述、圖形呈現方式，進而影響學生在尺規作圖的閱讀理解，因此研究者依據民國 97 年九年一貫課程綱要以及文獻中，對尺規作圖分成了基本作圖題、應用作圖題兩類，經過專家訪談及分析後，研究者進而將應用作圖題再細分為「初階應用作圖題」及「進階應用作圖題」；第二為尺規作圖的歷程，專家及教師們發現國中生閱讀尺規作圖的困難處，在於無法掌握尺規作圖後產物所擁有的性質，在經過多次的尺規步驟後，最終步驟所形成的交點、直線或弧，都是性質堆疊後的產物，因此學生普遍形成死記硬背尺規作圖方法，知其然而不知其所以然；第三為閱讀理解層次，專家及教師們認為理解尺規作圖，可分為幾個層次，學生只知道如何跟著步驟依樣畫葫蘆，抑或是能知悉每個作圖步驟的目的、產生的性質，更深地知道為何這樣作、是否有其他方法？依據這三個向度，形成本研究的尺規作圖閱讀理解架構，對於架構中每個面向與指導教授討論後，設計相對應的評量試題（其中尺規作圖類型為受試者間的因子，而尺規作圖歷程及閱讀理解層次為受試者內的因子），這些試題經由指導. 26.

(34) 教授及兩位大學數學教授檢視及建議後，形成尺規作圖閱讀理解預試問卷，並先進行小樣本的預試，除了評估施測的時間外，並從預試的資料中與指導教授討論試題的合宜性，對尺規作圖閱讀理解預試問卷加以修正改良後，完成正式測驗的問卷，進行大樣本的施測，施測時間為 30 分鐘。彙整、收集施測的問卷後進行問卷的資料整理，並利用套裝軟體 SPSS 21 進行分析，進一步的解釋資料所呈現的現象。最後依據尺規作圖閱讀理解表現，依照半結構式的訪談，觀察學生在閱讀理解尺規內容時的困難，收集質性資料。. 二、研究工具的設計理念由尺規作圖閱讀理解所發展的研究工具，來探討尺規作圖閱讀理解各面向間的關係。研究工具可分為蒐集量的和質的資料兩種類型，所以本研究分別就兩種資料型態的設計理念加以說明。在量的方面，提出設計尺規作圖閱讀理解問卷時的理論依據；在質的方面，前置研究的訪談提出開放式式的訪談設計，主要研究訪談提出半結構式的訪談設計。以下針對前置研究的訪談、閱讀理解問卷以及主要研究訪談三個部分做說明。. （一）前置研究訪談由於尺規作圖的閱讀理解相關文獻不多，本研究先從前置研究的訪談中，透過開放式的訪談數位國中教師以及幾何數學專家，以數學教師及數學專家的角度來看，欲提出中學生在尺規作圖的閱讀理解面向，對本研究做初步的認識及瞭解。在前置研究的訪談中，首先探討尺規作圖這單元在中學數學上所扮演的角色，中學生在學習尺規作圖的目的與意義，有了學習的目的才有教學上的目標，要學生學習什麼？要學生理解什麼？以此來聚焦本研究的方向。另外，本研究想透過 27.

(35) 教師在多元的媒材教學中，去探討教師選擇不同的教學方法，是為了克服學生在尺規作圖中的哪些學習困難？各教學方法的優缺點為何？再從國內中學的三個版本教材安排上，去探討不同的教材順序、教材內容是否造成教師教學上的困難？學生在學習上的困難？最後，從教師的教學過程探討中學生在尺規作圖學習中的困難，如何設計診斷評量來確認學生在學習的困難處？如何透過教學來克服學生這些困難？. （二）尺規作圖閱讀理解問卷分析訪談的內容，本研究提出三個中學生在尺規作圖閱讀理解的因子-尺規作圖類型、尺規歷程、理解層次，本研究以這三個因子建構中學生在尺規作圖閱讀理解的各面向，再以這些面向設計相對應的閱讀理解試題，以下就依這三個因子的設計理念作說明。 1.尺規作圖類型我們先對尺規作圖作內容分析，有什麼內容是需要學生理解的？分析在坊間三個版本的課本，一開始所介紹的尺規作圖，大致上皆包含了三大部分，1.題目（含圖形） 2.作圖步驟 3.作圖軌跡。在例題後的隨堂練習題目，則是應用例題中的作圖法來完成題目的尺規目的，在教師版的解答中發現，在 2.作圖步驟和 3.作圖軌跡，會跟著題目的差異而改變其結構；在 2.作圖步驟中，例題以詳細敘述的方式呈現（例如：圓心、半徑的取法都交代的很仔細），隨堂練習則以統整概括的方式呈現(直接使用例題的結論，例如：對 AB 作垂直平分線)；在 3. 作圖軌跡中，例題中的作圖軌跡都是一個步驟給一個相對應的圖形，下一個步驟再給一個新的對應圖形，並且在新圖形中保留前面所作出的軌跡，新作出的軌跡以不同顏色的曲線或線段標記，以利初學者理解每個步驟所形成的新軌跡，但隨堂練習呈現的方式則為將所有的作圖步驟形成的軌跡，同時畫在一個圖形呈現，且作圖軌跡都是完整的（例如：作圖敘述中僅說明作出垂直平分線，但圖形中仍 28.

(36) 有畫垂直平分線過程中圓規所作出的弧軌跡，並非只有中垂線本身）。以上說明統整如表 3-1-1。. 表 3-1-1. 尺規作圖在教科書的內容分析例題. 隨堂練習. 題目. 應用例題中的作圖法來完成題目的尺規目的。. 作圖步驟. 以詳細敘述的方式呈現。. 以統整概括的方式呈現。(直接使用例. （包含圓心、半徑的取法）題的結論) 作圖軌跡. 一個步驟給一個圖形，下一所有作圖步驟畫在同一個圖形，且作個步驟再給一個圖形。. 圖軌跡是完整的。. 下面以坊間某版本 101 學年度教科書內容為例。. 表 3-1-2. 坊間某版本 101 學年度教科書例題與隨堂練習之對照例題. 29.

(37) 隨堂練習. 研究者也分析歷屆基測的尺規作圖題目，發現多數的題目在作圖步驟的敘述上，都是建立在一些尺規作圖的基礎上做說明（例如：對某線段作垂直平分線、對某角度作角平分線），且作圖過程中必須藉由其他數學定理或性質，間接的完成題目所求，更增加學生在閱讀理解上的困難。經過以上尺規作圖的內容分析，透露出題目的異同，影響了尺規作圖的圖文內容，可能間接的影響中學生在閱讀不同類型的尺規作圖，可能有不同的閱讀理解程度，因此將尺規作圖作分類是必要的。然而，如何才稱為基礎的尺規作圖？建立在這些基礎的尺規作圖類型又具有什麼特徵？這些分類在中學數學課本中並未出現說明，民國 97 年九年一貫課程綱要中提及：「學生應能認識尺規作圖並能做基本的尺規作圖」，而指標的說明中明確的指出數個的基本尺規作圖。比較大陸學者朱德祥及國內學者劉繕榜和陳宥良的研究，朱德祥（1985）在初等幾何研究中，提到的 16 個基本尺規作圖，是將常見的作圖題納入其中，並無所謂難易之分；劉繕榜將尺規作圖分為「基本題」與「挑戰題」兩部分，但對於兩者之間的差異和定義並未提出來；而陳宥良根據當時的民國 92 年九年一貫 30.

(38) 課程綱要作為分類依據，將尺規作圖分為基本尺規作圖與應用尺規作圖，但對於應用尺規作圖仍未做更精準的名詞解釋與定義；本研究將在第二節研究工具中對尺規作圖的分類詳加說明。. 2.尺規歷程閱讀一個尺規作圖的內容，就是在重新體驗、欣賞解題者當初解題時的經驗和想法，因此欲探討一個尺規作圖歷程中包含了哪些元素，研究者從學生解尺規作圖歷經的步驟這個角度來分析、討論。假設給了一些條件，而設法求作具備這些條件的圖形，這便是作圖問題(朱德祥, 1985)。另一方面，研究者透過校內教師以及專家的訪談後，有兩種學生在閱讀尺規作圖內容時的困難點，第一個為尺規作圖的內容並不會讓學生知道為. 何這樣做?依步驟所作出來的為什麼是正確的？（例如：為何選擇這樣的半徑？為何選擇這個點當圓心？為什麼這兩弧所交出來的點即為所求？），相較於「幾何證明」這個單元，在國中課程中，幾何證明和尺規作圖同樣有較多文字敘述需學生理解：但不同於尺規作圖內容的地方是，幾何證明的敘述本身就是個說明（論述）的過程，但在尺規作圖的敘述中說明（論述）的部分並不會呈現出來，所以學生能理解如何作圖，並非代表學生理解為何這樣作圖，也不代表學生理解為什. 麼依序這樣的作圖步驟，所作出的圖形是正確的。也就是說學生缺乏分析的能力。. “作圖題就好像解方程式一樣，你要作這個圖，需要用什麼樣的性質？你可以先假設你已經作出來了，再去看看裡面有什麼性質，再利用這個性質去看如何運用尺規來作圖？解方程式也是一樣，令 x 是它的解，再去看看它的關係，就可以列出關係式，這個關係式再利用等量公理去解出來，這裡的等量公理的角色就跟尺規一樣。解方程式跟解作圖題的思維方式都是相同的，是不是！” 31.

(39) 第二個為，學生無法解釋和理解尺規作圖作出的產物和已知條件之間的關係，更深一層的，尺規作圖通常會分成好幾個步驟，前面尺規步驟所作出的產物，往往是接下來的尺規步驟所使用到的條件，因此一個步驟接著一個步驟所作出的產物，具有一層又一層的性質堆疊，對於學生在理解的認知上造成很大的負擔。. “學生之所以認為尺規作圖困難的原因，就是幾何物件透過了尺規動作這個過程，作出的產物擁有的性質無法掌握，無法解釋和理解尺規作圖作出的產物和已知條件之間的關係。”. “一個尺規作圖在多重步驟下，許多性質疊合下的產物，學生更難去掌握最後產物擁有的性質了。”. 呼應朱德祥 (1985)、Smart (1988)提到尺規作圖的第一個步驟-分析，解題者需研究已知條件和求作條件間的關係，但在尺規作圖的內容中，只會呈現了分析後的作法步驟，並不會呈現分析的過程。以閱讀者的角度來看，則是需要從作圖內容的步驟中，去理解、體驗、欣賞解題者分析的過程。楊凱琳 (2004)由幾何證明的歷程（文本中的內容是屬於前提、結論還是引用的性質）中發展出幾何證明閱讀理解表現的架構，理解面向中包含表層、邏輯定位、摘要、一般性以及應用。用同樣的概念分析尺規作圖的歷程，尺規作圖的歷程就是在將幾何物件經過直尺和圓規的功能，作出新的幾何物件，綜合上述的文獻分析，在本研究中將『尺規歷程』步驟分成三個元素：物件、動作、產物，對各元素說明如下：. 32.

(40) 表 3-1-3. 本研究尺規歷程各元素之說明. 尺規歷程物件. 說明尺規作圖題中的給定的已知條件，和作圖步驟中使用到的幾何元素。. 動作. 依據尺規作圖公法（直尺僅能用來連接兩點成一直線，不能利用上面的刻度；而圓規只能用來畫給定一點 O 為圓心，且通過另外一點 A 的圓。）所進行的作圖過程、方法。. 產物. 使用前面所述的物件，再經由尺規動作所產生的新幾何元素。. 3.理解層次而在前置訪談中，問到如何辨別學生是否理解尺規作圖的內容時，有一位數學專家及一位教師都將理解分成了三個層次，都和 PISA 的閱讀歷程有異曲同工之妙。. “給他尺規作圖步驟，學生是否可以照著作，這就好像是說明書一樣，這是第一個層次；看的懂為什麼這麼作並說出理由，這又是另一個層次；為什麼會想到這麼作，或者想出其他方法這又是另一個層次，這是比較創造性的東西。這些層次就有差別了。”. “學生在尺規作圖上的理解，可分成是否理解尺規的內容？理解尺規的目的？理解尺規之後的應用？如果是內容的話就讓學生去作作看，在這個階段他只是模仿，學生無法讓數學知識帶進來，數學知識在這階段是死的；如果是目的的話，應該要設計一些題目問學生，確認這樣作的目的是什麼；如果是應用的話，一樣要去設計題目讓學生解決面對的新問題。”. 33.

(41) 綜合以上的分析及探討，研究者將各位專家及教師的想法用 which、what、 why 來詮釋這三個層次，當閱讀尺規作圖內容時，一開始需要能解碼尺規內容中呈現出的符號和語言，以連結相對應的既有知識，擷取出適合的訊息（Which）。接著從作圖步驟中低階地推論出產生的性質，再從這些性質中統整出重要且關鍵的想法（What），最後學生能利用這些關鍵的性質，論證整個作圖的正確性（Why）。本研究中依據 PISA 的閱讀歷程(台灣 PISA, 2008)，將中學生針對尺規作圖內容所進行的認知運作稱作為『理解層次』，將『理解層次』這個向度分成三個元素：擷取與辨識、解釋與統整、反思與評鑑，對各元素說明如下表 3-1-4：. 表 3-1-4. 尺規作圖理解層次各元素之說明. 理解層次擷取與辨識. 說明能從閱讀的文字與圖形中，尋找明確的訊息並進行表層意義的配對，連結與整合圖形和文字的相關資料；並能辨識（內容中有出現）熟悉且常見的幾何名詞的表層訊息。. 解釋與統整. 能從閱讀的文字與圖形中，微觀地比較和連結文字和圖形間的關係，低階地推論、詮釋出未提及的訊息；巨觀地根據所讀內容的脈絡（題目命題、作圖步驟和圖形），過濾相關的訊息，掌握出關鍵的資訊。. 反思與評鑑. 要能全面且詳細地理解一個或多個不熟悉的文本，應用所閱讀的文字與圖形中的準則，進行問題解決的歷程；並能整合多個文本的訊息，精確地作出推論、假設或比較。. 4.尺規作圖閱讀理解架構：依據上述尺規歷程、理解層次這兩個向度為架構，形成了本研究中對於尺規作圖閱讀理解的九個理解面向，針對每個理解面向衍生出的意涵詳如下表 3-1-5 34.

(42) 所示. 表 3-1-5. 尺規作圖閱讀理解架構物件. 尺規歷程理解層次. 動作. 產物. 能辨識文本裡尺規能配對文本中尺規能辨識文本裡尺規步驟擷取與辨識. 步驟中，使用的物步驟中，文字和圖中，作出的產物符號、件符號、文字的訊形之間的對應關息。. 文字的訊息。. 係。. 比較兩個使用不同能詮釋出尺規作圖過濾尺規作圖步驟產生解釋與統整. 物件的圖文關係，步驟中，未提及的的新訊息，掌握產物的判斷其合理性。. 新訊息。. 關鍵資訊。. 面對新的尺規作圖能整合原本的尺規能透過精確的推論過題，能利用原尺規作圖法，和另一個程，證明尺規作圖的正反思與評鑑. 作圖的解題原則，不熟悉的尺規作圖確性。並且面對另一個做合適的修正，進法，比較出兩者的不熟悉的尺規作圖，推行問題解決。. 相同處及相異處。論出作圖的目的。. （三）主要研究訪談依據本研究對於尺規作圖閱讀理解架構，針對不同的尺規作圖類型（基本、初階應用、進階應用尺規作圖），設計對應於架構中各理解面向的題目，形成三份尺規作圖閱讀理解問卷，經由專家協助檢驗內容效度後施測，依據施測結果分析各理解面向間的表現進行主要研究訪談。透過半結構式的問題，確認中學生在閱讀不同類型的尺規作圖上的差異，以及探討中學生在閱讀過程中，尺規歷程和理解層次兩個向度形成的九個面向上產生的理解困難。. 35.

(43) 第二節. 研究樣本. 本研究的樣本全來自研究者所任教學校的九年級學生，研究者任教於桃園縣某地區的大型學校，全校共 64 個班級，其中有 2 個班級為體育特色招生班級，專門訓練本地區具有棒球、羽球及田徑專長之學生，其餘學生按照入學前所施測的學力測驗（施測科目為國文、英文、數學、自然）成績高低 S 型常態分班。每個班級人數約在 31 人至 35 人之間，全校學生總人數約為 2100 人，學生普遍上均為純樸、品行良好，於學科能力上屬於中等。全校的教職員人數約 150 人，教師在教學上認真負責，同事之間相處融洽，在教學內容及進度上均正常化（藝能科教學正常、無超前進度狀況）。而本研究學生樣本均為九年級學生，施測時間在國中基本學力測驗前，但所有班級皆在進行總複習的課程，故樣本學生已學習完所有國中數學內容，因此沒有班級與班級間進度不一情況。樣本依不同的研究階段分為預試版問卷調查與正式版問卷調查研究兩部分，依不同的研究方法分為問卷調查和訪談兩部分，共形成四種不同狀況來描述本研究的樣本。. 一、預試版問卷調查的樣本在預試版問卷調查中，為了評估問卷試題的合宜性及施測時間，從本校九年級挑選一個班級做施測。該班在全九年級數學成績的排名大多在中後（以班為單位比較），並已學習完國中所有課程，正進行總複習的課程，因此與主要研究學生的差別只在於複習課程的多寡。. 二、預試版問卷訪談的樣本於預試施測後，從施測完的問卷中，有特殊答案的學生，抽出訪談關於預試. 36.