討論與建議

一、基本尺規作圖的教材順序和教師教學

坊間教科書對於尺規作圖的教材安排上，皆是以對稱的概念藉由摺紙引入基 本尺規作圖（垂直平分線、角平分線皆然），也就是利用學生在視覺直觀上的學 習優勢，先進行「解釋與統整」的教學（詮釋幾何性質），再回到「擷取與辨識」

的教學（進行尺規操作），但教材內容在尺規操作步驟的呈現上，並未強化”幾 何性質”和”尺規操作”兩者間的連結（也就是說，為何這樣操作可以得到這樣 的幾何性質），因此學生若沒有主動地思考，加上教師未對”幾何性質”和”尺 規操作”間作連結、說明，學生在面對尺規操作仍只淪為機械式的操作。

因此研究者認為教科書這樣的安排，優點是：能先從學生直觀（對稱）、熟 悉（摺紙）的優勢出發，可能增加學生的學習意願和成效；缺點是：教材若無法 和教師的教學作結合，則可能會喪失教材安排的美意。否則，既然視覺直觀是學 生的優勢，但在本研究中基本尺規作圖的「解釋與統整」的表現，為何沒有高於

「擷取與辨識」的表現呢？

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若是這樣，如果教科書先呈現「擷取與辨識」的內容（尺規操作）再呈現「解 釋與統整」的內容（幾何性質），如此的安排從學生的角度來看，優點是符合學 生的理解歷程，適合學生自行藉由閱讀來學習；從教學的角度來看，又可避免因 教材與教學未能統合，導致學生無法理解尺規作圖中的幾何性質，在操作上仍只 淪為記憶式的操作！

二、重視基本尺規作圖的深化教學

無論初階應用還是進階應用尺規作圖，基本尺規作圖都是提供相對的技巧、

技能，才得以建立在這上面繼續學習應用尺規作圖，從本研究可以看到要學生察 覺基本尺規作圖背後的原理，與察覺進階應用尺規作圖背後的原理難度相同！以 本研究中的基本尺規作圖-垂直平分線作圖為例，其作圖原理（菱形的對角線性 質）也屬於題目中未提及的數學概念之定義與性質！

從本研究的結果顯示，學生面對基本尺規作圖最主要的困難為：「學生對於 作圖原理嚴重缺乏，僅淪為機械式的記憶操作」，其實這一點跟進階尺規作圖的 閱讀困難：「學生無法看到作圖中使用到的幾何性質」，兩者之間其實並沒有差別；

換句話說，教師在教導尺規作圖之初，還有學生在學習尺規作圖之初，其實就是 在面對一個難度與”進階應用尺規”相同的作圖題；而在坊間課本的教材編輯上，

也為了以較直觀的方式呈現，因此多以對稱的方式進行尺規原理的說明（此處指 的是說明，並非嚴謹的證明），而往往老師也將基本尺規作圖視為一種技能，有 多少老師回過頭來對這些基本尺規作圖做更嚴謹的說明（證明）呢？是否這也就 是造成學生將基本尺規作圖淪為機械式的記憶作圖原因呢？

李耀堂（2013）針對坊間的三個版本教科書有關幾何內容作分析，並以本研 究之三種尺規作圖類型為依據作次數分配表，統計數據如下：

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A 教科書 B 教科書 C 教科書

基本尺規作圖 8 10 10

初階應用尺規作圖 17 28 22

進階應用尺規作圖 6 11 9

總計 31 49 41

以尺規類型出現的次數來看，初階應用尺規作圖的比例皆佔全部的一半以上，

但本研究的結果顯示學生對於初階應用的理解比較較佳，因此研究者認為在教材 編排或是教師教學中，是否考慮不要這麼快的進入初階作圖的教學，應多強調基 本作圖背後的原理這一部分。

因此無論在教材上或是教學上，不因基本尺規作圖是基本的、常見的，而忽 略了基本尺規作圖的原理，如此對基本尺規作圖來說才是個完整的教學和完整的 學習。既然應用尺規作圖是建立在基本尺規作圖之上，是否教師們更應該重視基 本尺規作圖的深化教學！

三、不同尺規作圖類型的教學順序安排

本研究中看到中學生在初階應用尺規作圖的「理解層次」面向之趨勢與其他 兩個版本不同，在「解釋與統整」的表現優於「擷取與辨識」的表現，再優於「反 思與評鑑」的表現（基本和進階應用尺規作圖兩版本，在「擷取與辨識」的表現 優於「解釋與統整」的表現，再優於「反思與評鑑」的表現）；若換成以教學的 角度來看這個趨勢，是否意味著老師可調整其教學順序，依照「解釋與統整」→

「擷取與辨識」→「反思與評鑑」這樣的理解歷程教學？

也就是說，先從「解釋與統整」的表現優勢下手-引導學生每個步驟產生的 性質及目的；再回到「擷取與辨識」的層面-選擇該步驟使用的物件進行尺規操 作的過程來產出的產物；最後再延伸至「反思與評鑑」的層次-教導學生應用此 作圖、學習其他的作圖法。研究者認為這樣的教學順序安排是可行的，理由一：

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呼應討論一，這不就是教科書在基本尺規作圖教材內容上的編排順序？理由二：

如上所述（本研究中學生在初階應用「解釋與統整」的表現優於「擷取與辨識」

的表現）。對於理由一仍有待未來的研究做實徵性的探討，確認這樣的教材內容 可套用於初階應用中，以及其教學成效為何？對於理由二，研究者在下一段分析 為何會有如此的趨勢。

再者，本研究發現學生對於初階的理解表現優於基本作圖，因此研究者分析 此現象：基本尺規作圖所謂基本，研究者認為並非是簡單或是容易理解的，而是 它且具有明確的作圖結果，且這些作圖結果是常用的、常見的，所以學生能明確 掌握這些基本作圖的結果（例如：角平分線就是將已知角平分、垂直平分線就是 垂直且平分已知線段）；而初階應用的每個作圖步驟就是在使用這些基本尺規作 圖，因此學生對於初階的每個步驟目的（結果）掌握度高（因為作圖的結果很明 確），從研究中的結果確實顯示初階在解釋與統整的表現較高，也造成反思與評 鑑（證明作圖原理、進行問題解決的能力）的表現較高。這樣的理解歷程就有如 是在執行一個計畫，先對每個大目標有方向，再去執行細節的部分，對計畫的掌 握度和理解相對就會提高。

然而，既然初階的整體理解表現優於基本尺規作圖，是否能從初階應用先做 教學再對基本尺規作教學呢？研究者認為，教材或教學若以先教初階再教基本的 方式編排，優點是：學生可深刻的體驗這些基本尺規作圖的重要（因為在初階都 需用到，但卻無法實際利用尺規作出），一體兩面地，這樣編排的缺點是，學生 體驗基本尺規的重要性時，無形中卻喪失許多操作基本尺規作圖的機會和經驗。

最後，進階應用既然也是建立在基本作圖上，但在「解釋與統整」的表現為 何沒有跟初階作圖一樣表現較好呢？如研究結果所顯示，學生無法察覺進階作圖 中使用到的幾何性質，因此研究者提出下一個建議。

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四、加強學生察覺題目脈絡外的數學知識

從本研究量的資料可以看到，學生在無關脈絡外的幾何性質之面向表現不俗

（0.684 至 0.889），與其他兩個版本相異不大，但在有關於脈絡外的幾何性質之 面向表現皆明顯的低落（0.253 至 0.376），如何才能加強學生察覺題目脈絡外的 數學知識呢？

尺規歷程 理解層次

物件 動作 產物

擷取與辨識 0.631 0.889 0.686 解釋與統整 0.795 0.684 0.301 反思與評鑑 0.376 0.253 0.254

研究者以坊間某版本對於「過圓 O 外一點 P，作此圓的切線」的教材編排為 例：1.首先課本直接點出「我們將利用”半圓所對的圓周角都是90”這個性質，

用尺規作圖的方式作出過圓外一點的切線」；2.接著呈現尺規作圖的內容（題目、

作圖步驟敘述、作圖軌跡）；3.利用隨堂練習讓學生”說說看”為何如此作圖是 正確的。

朱德祥 (1985)認為解作圖題的四個步驟：1.分析、2.作法、3.證明、4.討 論，從閱讀的角度來看，讀者即是在重現、經歷這樣的一個過程；在第一個階段 -分析，必須研究已知條件和求作條件間的關係，從而得出作圖的線索（兩者間 具有的幾何性質）；以上面的教材編排為例，縱使學生剛學完此性質，但在第 1 個步驟直接將已知條件和求作條件間的關係點出，其實已無形間喪失了學生練習 分析的機會，因此在第 3 個步驟要學生說明作圖原理，其實只是要學生說明並不 是要學生練習分析，套一句俗語『我們要教學生如何釣魚，而不是給學生魚』！

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若教師在教學過程中或教材編排上，以訓練學生分析做首要的安排，長期下 來，研究者相信無論學生日後面臨「解作圖題」或是「閱讀作圖題」，學生慣於 這樣的思維模式去思考、分析，期能改善學生在解題、閱讀尺規作圖的困難。

五、增加多元解法進行問題解決的評量方式

評量的類型可以影響學生的學習方法(郭生玉, 2004)，有一些研究也指出，

學生對考試類型的預期會影響他們學習的方式(Coffman, 1971)，當準備選擇題 測驗時，學生就會花較多的時間記憶一些事實，當準備申論題考試時，學生就會 花較多的時間思考事實之間的關係。

以這樣的觀點來看臺灣自民國 90 年開始，執行 12 年來的基本學力測驗所形 成的現象，先從學習的角度，因沒有實作的評量，學生可能因此缺乏尺規操作的 經驗，另外學生也不清楚基測（選擇題型）的評量重點，造成學生僅對尺規作圖 視為一種記憶的操作技能；再從教學的角度，教師難以要求學生將作圖步驟的敘 述寫出，而洪志宗 (2013)指出寫作圖步驟可使學生反思自己的解題過程，有助 於學生回憶犯錯的原因，進一步改進錯誤的地方，並幫助將學習經驗內化成自己 知識的一部分。

研究中分析尺規作圖教科書的內容和基測試題，教科書中為了容易使初學者

研究中分析尺規作圖教科書的內容和基測試題，教科書中為了容易使初學者