研究工具

由於文獻上尚未出現對於尺規作圖閱讀理解的相關研究，因此先透過前置研 究的訪談來探討尺規作圖閱讀理解的面向，並依這些面向來發展評量工具，將評 量工具進行施測後的結果，以統計分析方法來估計和檢驗中學生在尺規作圖閱讀 理解上的表現，結合量的統計分析中，確認中學生對於尺規閱讀理解的困難。

所以本研究的研究工具，可分為量化資料與質性資料兩類。在量化資料的部 分，本研究依不同的尺規作圖類型設計了三個版本的『尺規作圖閱讀理解問卷』， 以下就編製過程和問卷內容做進一步的說明。在質性資料的部分，在前置研究訪 談中設計了開放性訪談問題，訪談對象為中學數學教師及數學家，去探討中學生 在學習尺規作圖時面臨的困難及理解面向；在主要研究訪談中設計了半結構式訪 談問題，訪談對象為施測後的學生，確認中學生在閱讀尺規作圖中的困難，兩部 分的訪談目的和訪談工具在後面做說明。

一、前置研究的訪談架構與目的

透過開放式的訪談數位國中教師以及幾何數學專家，欲探討中學生在尺規作 圖的閱讀理解面向，對本研究做初步的認識及瞭解。前置研究訪談架構如下表 3-2-1，訪談內容請詳見附錄十三。

表 3-2-1 前置研究的訪談架構表及訪談目的

步驟 訪談問題 目的

問題 1 您認為中學生在學習尺規 作圖的目的與意義為何？

瞭解尺規作圖這單元中學生的學習目標為 何？要學生學習什麼內容？要學生理解什 麼？以此來聚焦本研究的方向。

問題 2 您會透過其他教學媒材來 教師會選擇不同的媒材來做教學，必定有

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中垂線後，則中垂線的任一點都具有和 A、B 兩點等距離的性質。

“對作圖完後帶來的幾何性質認識不高，例如作完中垂線後，這些中垂線擁有的 基本性質為何？如此才有辦法去作一些較難的作圖題”

“作中垂線，為什麼要這樣作？沒有想到中垂線定理，中垂線上到兩端點等距離，

反過來講，距離兩端點等距離會落在中垂線上，看學生能不能看到這些東西。回 到學習尺規作圖的目的和意義，等距離這個作法，圓規就是最好的工具不是 嗎？”

“一個幾何的題目中會有很多條件，因為敘述太多，學生往往會忽略一些條件，

譬如說學生會忽略這兩條線是平行、會忽略這條線是角平分線、中垂線。對作圖 題來說也是一樣，對於中等程度的學生，往往作圖的關鍵藏在這條線是中垂線或 是角平分線，他們沒有發現中垂線性質或角平分線性質，就算他們知道這個性質，

但他們用不出來。”

另外他們還提到學生無法看到作圖中應用的性質，指的是在作圖過程中為了 達到題目所要求的條件，需引入的數學性質、數學定理，例如：過圓 O 外一點 P，

對圓 O 做切線，則需藉由另一圓的直徑所對的圓周角為90。

“作圖題就好像解方程式一樣，你要作這個圖，需要用什麼樣的性質？你可以先 假設你已經作出來了，再去看看裡面有什麼性質，再利用這個性質去看如何運用 尺規來作圖？解方程式也是一樣，令 x 是它的解，再去看看它的關係，就可以列 出關係式，這個關係式再利用等量公理去解出來，這裡的等量公理的角色就跟尺 規一樣。解方程式跟解作圖題的思維方式都是相同的，是不是！學生就是欠缺分

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析的這個能力。”

“學生無法把他們學到的性質應用在作圖上面，面對一個較為複雜的尺規作圖，

要學生將所學的幾何知識應用上去，對他們來講就有點像大海撈針一樣。”

“學生無法從尺規作圖步驟中看到其中應用的幾何性質，就像要中學生用尺規作 圖作出正十七邊形，就算他很有耐心的看完步驟並作完，他還是無法理解，這是 一種數學的挑戰。我們要學生學習尺規作圖，只是要培養學生在數學上思維的素 養。”

總而言之，專家和教師們認為作圖中所應用到的幾何性質是會影響學生在面 對尺規作圖時的困難，這兩者之間很像，研究者認為前者是作圖的過程中，除了 產生了新物件外同時具有了這些幾何性質；而後者是利用尺規作圖營造（作出）

一個幾何情境，使得幾何性質得以引用這些幾何性質。

2.閱讀相關文獻：

為瞭解學生對於尺規作圖的閱讀理解，研究者先對尺規作圖做內容分析，尺 規作圖包含了題目、作法和圖形，研究者將歷屆基測的尺規作圖題目統整後發現，

多數的題目對於尺規作圖作法的部分，都是建立在一些尺規作圖的基礎上做說明

（例如：對某線段作垂直平分線、對某角度作角平分線），和中學課本中出現的 基本尺規作圖，作法都是詳細敘述的方式（例如：以 O 為圓心，以

AB

認知理論的閱讀研究將閱讀視為文本與閱讀者之間的互動，是兩者之間互動 交流的動態歷程。因此，造成閱讀困難的來源主要也是來自於文章架構和閱讀者 本身兩方面(楊凱琳, 2004)，既然尺規作圖的類型將會影響文本的內容，進而影

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響中學生尺規作圖的閱讀理解，造成中學生的閱讀困難，因此將尺規作圖類型作 分類是必要的。

如何才稱為基礎的尺規作圖？建立在這些基礎的尺規作圖類型又具有什麼 特徵？這些分類在中學數學課本中並未出現說明，民國 97 年九年一貫課程綱要 中提及：「學生應能認識尺規作圖並能做基本的尺規作圖」，指標的說明中提到所 謂的基本尺規作圖。

表 3-2-2 民國 97 年九年一貫課程綱要 8-s-11

8-s-11 能認識尺規作圖並能做基本的尺規作圖。(修 8-s-04) 說明：

 只利用直尺(沒有刻度)及圓規製作圖形之方法， 稱為尺規作圖。

 本細目只強調會做基本的尺規作圖即可，基本的尺規作圖明列如下面。

在每一尺規作圖應能明確的說明此尺規作圖的原理，這種說明在教學上 是必須的，但可以不做評量。

 能以尺規作圖複製已知的線段、圓、角、三角形。

 能以尺規作圖平分一已知線段。

 能以尺規作圖作一已知線段之中垂線。

 能以尺規作圖作一已知角的角平分線。

 過一直線外的已知點，能以尺規作圖作此直線之平行線與垂直線。

 過一直線上的已知點，能以尺規作圖作此直線之垂直線。

 如果已知三個正數滿足任兩數和大於第三數，則可用尺規作圖作出以此 三數為邊長之三角形。

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而劉繕榜 (1999)所做的尺規作圖分類中的題目，「作 60 度角」和「過圓上 一點作切線」並不在民國 92 年九年一貫課程綱要能力指標 8-s-11 所列的基本尺 規作圖，從這個地方可以看出尺規作圖的分類上，似乎還需要有更明確的分類依 據，才能更精確的劃分出不同類型的尺規作圖。

3.題目分析

Kramer et al. (1986)指出，學生在思考一個尺規作圖題時，需分析「已知 條件」、「幾何性質」和「基本尺規作圖」，並找出三者之間的關係，接著多次地 使用基本的尺規作圖，才能解決此作圖題。學生在解作圖題是如此，換個角度來 看，學生在閱讀一個尺規作圖內容時，只能看到作圖題題目（已知條件）和步驟

（基本尺規作圖的操作），但卻無法看到尺規作圖中所使用到的「幾何性質」，這 對閱讀來說無疑是個很大的盲點。因此我們可以分出另一類尺規作圖，是建立在 基本作圖的基礎上，並且使用到了「幾何性質」的作圖題，就稱作「應用作圖題」。

但研究者先用這樣的分類法去看課本的隨堂練習（以坊間某版本 101 年八下 的其中一題隨堂練習為例）

這樣類型的題目，既不是民國 97 年九年一貫課程綱要能力指標 8-s-11 中提 到的基本尺規作圖，卻也沒用到額外的「幾何性質」，這種經過包裝，具有數學 情境的作圖題似乎要歸在基本作圖題不對，歸在應用作圖題也不是，研究者認為 這樣的分類法仍過於粗糙，無法包含所有的作圖題類型，不足以詳盡的將尺規作

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圖分類完整，也就是說介於「基本作圖題」和「應用作圖題」之間還有一個尚未 定義的模糊區域。

因此研究者再次分析陳宥良 (2009)和劉繕榜 (1999)兩文獻中尺規題目的 內容，有些作圖題的類型研究者認為文獻中的分類有待討論，舉陳宥良的「應用 作圖題 2」為例如下：

分析本作圖題並不在民國 97 年九年一貫課程綱要能力指標 8-s-11 中提到的 基本尺規作圖；學生若依照題目敘述，使用一次「過線上一點作垂直線」和兩次 的「複製一已知線段」這兩種基本尺規作圖；陳宥良將本題放在應用作圖題，但 並不需要使用到題目脈絡以外的「幾何性質」，就可以完成本作圖題。

我們再看劉繕榜的「基本作圖題 7」如下：

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本題作圖題也不在民國 97 年九年一貫課程綱要能力指標 8-s-11 中的基本尺 規作圖；要完成本作圖題，需先將 A 點和 O 點的半徑畫出，再作一次「過線上一 點作垂直線」即可完成，使用到了題目脈絡下的「幾何性質」（圓心與切點的連 線垂直過切點的切線）；劉繕榜將本題放在基本作圖題，雖然有使用到「幾何性 質」，但這幾何性質是在題目的脈絡下的數學知識，從閱讀的角度來看，這類型 的尺規作圖內容，若學生對於作圖題題目本身的幾何名詞、定義不熟悉，何況是 要學生理解作圖過程中，幾何定義所延伸出的幾何性質；以本題做說明，學生讀 不懂本作圖題，若學生根本不理解題目中「切線」和「切點」的定義，學生當然

本題作圖題也不在民國 97 年九年一貫課程綱要能力指標 8-s-11 中的基本尺 規作圖；要完成本作圖題，需先將 A 點和 O 點的半徑畫出，再作一次「過線上一 點作垂直線」即可完成，使用到了題目脈絡下的「幾何性質」（圓心與切點的連 線垂直過切點的切線）；劉繕榜將本題放在基本作圖題，雖然有使用到「幾何性 質」，但這幾何性質是在題目的脈絡下的數學知識，從閱讀的角度來看，這類型 的尺規作圖內容，若學生對於作圖題題目本身的幾何名詞、定義不熟悉，何況是 要學生理解作圖過程中，幾何定義所延伸出的幾何性質；以本題做說明，學生讀 不懂本作圖題，若學生根本不理解題目中「切線」和「切點」的定義，學生當然