尺規作圖學習成效的作圖策略多樣性

生一共發展出四種有效的作圖策略，如圖14、圖 15、圖 16 與圖 17，有兩種無

圖14 菱形法作垂線

利用菱形作圖策略的學生很多是模仿其他同組成員的作法，不是自己發展出 來的作圖策略，並且不瞭解菱形法作垂線的過程中使用的幾何特性與圖形性質。

提供這種作圖策略的同學經訪談了解是在補習班或是家教老師看過老師演示的 方法，繼而模仿作圖步驟，僅能從直觀中發現對稱並未察覺出圖形中隱含的菱形 或是其它的幾何性質。

正三角形有效作圖策略

圖15 的作圖策略是利用 A 點作出一個等腰三角形再畫出同底的正三角形，

利用正三角形與等腰三角形的對稱性，作出垂線。正三角形策略是實驗組學生使 用第二多的作圖策略，是對照組學生使用最多的有效作圖策略。經過訪談發現學 生並不是在畫正三角形或等腰三角形，而是與圖14 相同利用菱形法作圖策略，

差別在於並未使用A 點為菱形的一個頂點，所以搭配 A 點後只需要畫出一個交 點就能連出中垂線完成作圖，不需要像菱形作圖策略找出兩個交點，所以省略對 稱側的交點作圖步驟。

研究者與實驗組S3的對話節錄

T：怎麼想到要先畫這個弧？(指與直線 L 相交的弧) S3：不是要畫中垂線？就要先畫這個

T：對啊！那你怎麼發現要先畫這個弧再畫中垂線？

S3：補習班老師說的 T：你知道為什麼嗎？

S3：沒有這個就沒辦法畫中垂線呀！(指直線 L 上的交點) T：你有看到裡面有對稱圖形嗎？

S3：哪裡？

T：找看看！

S3：這樣(指等腰三角形的高) T：形狀勒？

S3：這個(指正三角形)

T：這是什麼形？

S3：等腰

T：只是等腰嗎？

S3：正嗎？有嗎？

S3進行是否為正三角形的反覆一陣子 S3：真的耶！

T：為什麼？

S3：就一樣長啊！

圖15 正三角形法作垂線

使用正三角形作圖策略的同學與菱形作圖策略的學生一樣，並未察覺到圖形 中有正三角形或等腰三角形，僅是依據學過的作圖步驟完成作圖，但是經過研究 者提醒後可以找出圖形中的正三角形並自行驗證。

箏形有效作圖策略

圖16 是利用畫出給定線段兩端點與 A 點畫出箏形，再連接通過 A 點的對角 線完成作圖。實驗組中僅有兩位學生使用箏形作圖策略，對照組學生在課堂中並 未提出箏形作圖策略僅由教師自行提出補充於黑版上。箏形作圖策略是利用原本 直線的兩端點進行作圖，無須再畫出以A 點為圓心與直線 L 相交於兩點的弧，

操作步驟上比菱形和正三角形策略更簡單，無論在實驗組或對照組實際使用人數 卻遠低於前面的菱形作圖策略和正三角形作圖策略。

研究者與實驗組S4的對話節錄 T：你當初是怎麼想到要這樣畫的？

S4：感覺是這樣

T：數學哪有在感覺的？

S4：剛剛不是都插著這樣畫嗎？(指直線 L 的端點) T：你是說前面在畫中垂線？

S4：嗯！

T：那你有看到什麼對稱圖形嗎？

S4：對稱(指直線 L)

T：你是因為上下對稱所以覺得會垂直嗎？

S4：(點頭)

T：那這裡有看到對稱圖形嗎？像是正方形、菱形、等腰三角形 S4：(搖頭)

T：你再看仔細一點，把這裡連起來(指箏形的四個邊) S4：菱形

T：你怎麼知道是菱形不是其它四邊形？

S4：看起來像

T：你量一下這裡和這裡的長度 S4：差一點點

T：那你覺得是什麼形 S4：(搖頭表示不知道)

T：把這裡再量一下(指箏形剩下的兩邊) S4：兩邊等長的是誰？喔！鳶形

圖16 箏形法作垂線

作圖學生不知道這是利用箏形對角線互相垂直的特性作圖，只是仿照中垂線 作圖試看看，利用現有線段的兩端為圓心，通過A 點畫弧，發現交點與 A 點相 連所得的線段看起來與L 垂直，完全憑著自己的直覺作圖，對於訪談中教師的 提問，多回答「看起來像」或「感覺像是」，在訪談過程中無法說明也無法確定 自己的作法是否正確。

對照組的學生在隨堂練習的作出三角形高的題目中，並未有同學採用箏形作 圖策略，研究者在對照組課堂上補充這個有效的作圖策略。在研究者於黑板上演 示後，對照組學生可以在提示下找到圖形中隱藏的箏形，並利用對角線互相垂直 解釋作圖原理。

對稱角有效作圖策略

圖17 是利用對稱圖形的對稱角會相等找出 A 點的對稱點，並連接 A 點與其 對稱點完成作圖。對稱角作圖策略是實驗組學生發表的有效作圖策略中作圖步驟 最簡單的有效策略，學習單上僅有該生選用對稱角作圖策略，其他同學在分享後 也並未採用。實驗組學生在學習單上採用的方法傾向選擇較多組員使用而非作圖 步驟最精簡的作法。對照組在課堂中並未出現對稱角的有效作圖策略，研究者也 並未於課堂中補充這種作圖策略。

訪談過程中發現學生並非使用對稱角的概念，而是在直線L 的兩側作出兩 個全等的扇形，達到產生對稱圖形的目的。

研究者與實驗組S5的對話節錄 T：你是怎麼想到要這樣畫？

S5：不是要對稱

T：對啊！那你怎麼知道它就對稱了？

S5：這裡和這裡一樣啊！(指 L 上方到 A 點的弧和 L 下方到交點的弧) T：一樣又不一定會對稱，它又沒有垂直還是彎的

S5：吼~就這裡啊這個和這個不是一樣(指兩個對稱角的位置)，你不是說這個 一樣就對稱？

T：對稱角？

S5：扇形啦！你看兩邊長一樣就對稱啦！

T：嗯！為什麼就保證這個和 L 垂直？

S5：啊就！啊就！明明就可以這樣畫

T：我沒說不對啊！到底為什麼可以確定它垂直？

S5：明明就很垂直

T：你知道誰是對稱軸嗎？

S5：對稱軸是什麼？就這一條這樣摺(指直線 L) T：那對稱軸和對稱線段有什麼關係？

S5：不知道，反正就可以畫 T：和垂直有什麼關係？

S5：就對稱啊！一樣長這樣直直走就會垂直(指 A 點與交點連線) T：所以對稱軸和對稱線段會怎樣？

S5：垂直平分？

T：嗯！

圖17 對稱角法作垂線

作圖學生想要在直線兩側畫出對稱圖形，所以在線的兩側各畫出一個全等的 扇形，達到使直線L 成為對稱軸的目的，而且訪談過程中確信自己的作圖是正 確的，一直強調「這樣明明就可以」，只是無法完整說明所用到的幾何性質：對 稱軸垂直平分對稱線段。在研究者的引導下，該生發線對稱軸會垂直平分對稱線 段，所以找到對稱點就會有垂直發生。作圖學生以對稱為發想，創造出以直線L 為對稱軸且通過A 點的對稱圖形，以 L 為對稱軸找出 A 點的對稱點，但是並未 認知到兩弧交點是A 點的對稱點，單純是以對稱圖形會產生垂直的想法作圖。

模仿菱形的無效作圖策略

圖18 的學生嘗試以 A 點為圓心畫了一個圓，並在圓上任意找兩點畫出等半 徑的兩弧，最後並未連接任何線段。作圖學生根據畫中垂線的印象畫圓以及畫弧，

畫完後學生最後沒有連接A 點與另兩個交點，來自直觀發覺不會與直線 L 垂直，

所以沒有連接任何線段，直觀觀察可以協助學生察覺作圖的錯誤。面對教師的問 題多數回答「不知道」，訪談中無法解釋這些弧與圓為何而畫，也無法解釋為何 連接兩交點會通過A 點。

研究者與實驗組S6的對話節錄 T：為什麼沒有畫完？

S6：(搖頭)

T：為什麼沒有連起來？(指兩弧交點) S6：我不會

T：同學不是有教你嗎？

S6：就畫不出來

T：那你畫這兩個弧的圓規插在哪裡畫的？

S6：咦？不知道，好像在這裡(指著以 A 為圓心的圓周某兩處) T：為什麼要選在這裡？

S6：不知道，不要問我

T：那你為什麼沒有連起來？(指兩個交點) S6：不想連

T：如果連起來會不會碰到 A？

S6：不知道

圖18 仿菱形無效作圖(仿中垂線)

該生直接選擇放棄作圖，在同學分享各種作法後，依然保留原作圖痕跡並未 採納任何分享的作法。該生為數學學習成就較低的學生，且與小組內其他同學互 動較少，因此遇到困難就採取放棄的方式。從作圖軌跡中可以推測出，該生想重 複菱形作圖策略，但並未選擇圓A 與直線 L 的交點為圓心，反而自己另外用目 測方式選擇兩點當圓心畫兩弧相交於兩點。在寫學習單的過程中，該生曾經詢問 過同組同學，可以推測該生想模仿菱形有效作圖策略但作圖步驟出現失誤而未能 完成作圖。

菱形無效作圖策略

圖19 是利用線段兩端點為圓心畫出相同半徑長分別畫弧相交於兩點，連接 兩交點看起來有通過A 點。學生說明的作法與圖 16 的學生類似，以現有線段的 兩端為圓心，但缺乏未通過A 點畫弧，反而採用中垂線作法中相同長度的半徑 畫了兩個弧，再連接兩弧交點。研究者在實驗組課堂上有邀請該作法學生分享，

並補充箏形作圖法，如圖16，讓同學比較兩種作圖的異同。

研究者與實驗組S7的對話節錄 T：你是怎麼想到要這樣畫？

S7：就畫圓

T：你的半徑有一樣嗎？

S7：(聳肩)

T：畫的時候圓規的腳有變嗎？

S7：沒有

T：那就是一樣的半徑，你怎麼知道要多長？(指半徑) S7：(聳肩)

T：線段有碰到 A 嗎？(指兩弧交點連線) S7：(點頭，指圖形)

T：A 點到這裡和這裡你量量看(指 A 到兩端點距離) T：有一樣嗎？

S7：差一點點

T：你覺得 A 點有在正中央嗎？

S7：有

T：可是量起來不一樣 S7：可能量錯

T：你看這裡和這裡用看的就不一樣長(指 L 上兩弧外剩餘部分) S7：可是有畫到(指 A 點在連線上)

T：那是因為點很大產生的誤差，A 點根本不在正中間，不然你摺看看 S7：有啊！

T：沒有！再看一下，明明沒有，還差一點 S7：就很靠近啊！

T：不然你還畫這個看看(另外畫一條直線 L，A 點靠近其中一個端點) T：有碰到嗎？

S7：(搖頭)剛剛可以

T：對！那是因為 A 點很靠近中間，看起來有，但是不對 S7：不然要怎麼畫

T：畫圓的時候要通過 A 點這樣畫(使用箏形作圖策略演示) S7：不是差不多？

T：差很多

圖19 菱形無效作圖(未過 A 點)

訪談過程中發現作圖學生認為使用相同半徑才會產生垂線，並且利用目測說 明連線會通過A 點，自己有完成題目要求作圖是正確的，在訪談中引導學生測 量A 點到現存線段兩端是否等距，學生測量完發現約有 1 公釐多的差距，但認 為是自己測量時的誤差。驗證過程中因為視覺直觀的誤差，導致該生非常堅持這 是正確的作圖。

訪談後，給予圖16 與圖 19 作圖學生看對方的作圖，兩人均認為對方的作法

度角先裁切成一個 90 度角和一個 45 度角，接下來再利用角平分線作圖將 90 度

度角先裁切成一個 90 度角和一個 45 度角，接下來再利用角平分線作圖將 90 度