臆測活動相關研究

Skemp(1987/2007)指出一般教科書直接以定義方式引入而非先提出例子，因 此學生在學習時所處理的是經過編排與整理的資料而非發展之初的例子。這樣的 教學優點在於學生可快速地學完發展幾百年的數學結果，缺點在於無法訓練學生 的數學思維。

訓練學生的數學思維要以問題為核心，Polya(1945/2006)指出有效的解題方 式，應該是要能意識到自己正在做的事情，對此進行自我監控、評估，並依據監 控與評估的結果調整自己的解題策略。在有效的解題過程中學生才能發展其重要 的數學概念與數學思考的能力，而所謂的作數學就是一種發現數學的過程 (NCTM, 2000)。

很多數學發現都是由臆測開始經由驗證得來。陳英娥(1998)指出提出猜測、

進行澄清、驗證或反駁猜想這樣的來回過程可以得到數學的發現，臆測就是發現 數學的途徑。在學習數學的過程中，學生應該要經歷對一些數學現象進行猜測、

澄清自己的猜測並驗證自己的猜測。將臆測活動融入教學可以讓學生使用數學家 發現數學的方式進行學習，培養學生的數學思維，讓學生能夠使用數學的方式思 考，而不是由教科書或教師提供的數學知識或做法進行學習。下面就臆測思維與 臆測活動進行說明：

一、臆測思維歷程

Polya(1954/1990)指出臆測的過程是在特殊化與一般化來回反覆的歷程，面 對一般化的題目通常會透過特殊化的例子將其簡化，經過多次檢驗後擴充特殊例 得到一般化的結果並形成通則，因此臆測的過程可以視為猜想、檢驗與修正來來 回回的過程。數學臆測是指在面對數學問題時，提出一個或數個猜想、利用特殊 化、一般化、歸納、類比等技巧檢驗我們的猜想、然後選擇相信與進行反駁，如 此一再反覆的動態歷程，最後得到可以取信大家的合理猜想或是反駁原猜想的思 考歷程(陳英娥，1998)。

陳英娥(1998)修改 Lakatos 和 Mason 的理論發展出數學臆測的思維模式，如 圖1。無論是學生或數學專家其思維歷程都是此模式或此模式的一部分，學生與 專家之間思維方法在品質的差別但功能上意義相同，例如學生的猜測一次只有一 個而專家可以有多個起點，或是在猜測方法上學生常用特殊化和形式類比而專家 可以使用不同的技巧，像是利用特殊化、一般化、歸納與類比等，因此學生經過 訓練也可以發展出較為成熟的數學臆測思維模式。

圖1 數學臆測思維模式

學生的數學臆測思維是在猜測、檢驗、相信與反駁之間遞迴，如果猜測的本 體是命題對錯，思維模式中的路徑會比較簡單；猜測的本體是找出正確結果，思 維模式的路徑會比較複雜。

二、臆測活動

臆測活動是指在學生學習的過程中能夠驅使學生啟動數學臆測思維模式，激 發學生數學臆測能力發展的教學活動。陳英娥(1998)提出數學臆測活動可以讓學 生在活動期間經歷四個階段，學生獨立思考、學生間溝通與師生間溝通、學生進 行合理的判斷以及反思回顧，讓學生能開始臆測思維。劉致演與秦爾聰(2016)在 研究中主張數學臆測活動是由教師特意建構一個學習環境，引導學生在解題過程 中由特殊化、一般化與類比等策略引動學生的數學臆測思維，並在學生互相溝通 的過程中協助學生建立數學知識。

在數學課堂上學生的數學臆測思維模式不會無端啟動，直接拋給學生學習的 素材要求學生進行臆測，只會讓學生不知如何下手或拒絕猜想。一個有效的數學 臆測活動需要教師事先安排適當的學習題材以及現場引導，才有可能引發學生進 行有效的猜想，達到啟動學生數學臆測思維歷程的啟動，增進學生數學臆測能 力。

陳英娥(1998)經過三次小規模教學實驗後提出設計臆測活動中第一個活動 設計的建議：教材方面，最好安排在思維內涵上是特殊化且類型是猜測命題對錯 的題目；材料方面，使用手冊讓學生可以把想法直接寫在手冊上面；活動方面，

讓學生上台、同儕討論；教師方面，教師提供學生需要的協助。這樣的安排教能 讓學生達到臆測活動的四個階段：獨立思考、與同儕或教師溝通、進行判斷以及

檢驗 猜測

反駁

相信

得到結論與評論。

陳英娥(1998)進行的數學臆測教學活動分為三個部分，第一部分為引入活動，

其重點目標為讓學生親身經歷合理猜想的過程、引導學生使用特殊化進行猜測以 及猜測可能有誤進行檢驗；第二部分為發展活動，其重點目標為讓學生使用特殊 化與一般化進行猜測作為下一部份作準備；第三部分也是發展活動，讓學生以歸 納進行猜測。參與研究的學生在臆測活動前都不敢猜想也不會進行檢驗，實施完 臆測活動後所有學生都能夠提出一個猜想後進行一種檢驗，有部分學生甚至能用 不同檢驗方法對自己的猜想進行檢驗，可見其數學臆測能力皆獲得提升。

本次研究參照陳英娥(1998)數學臆測活動的建議與模式，教材方面使用臆測 活動學習單，利用學習單的問題引導學生將自己的猜想記錄下來，教學流程分為 三個階段，分別為暖身活動、建構活動(一)與建構活動(二)；活動方面使用分組 討論以及小組上台發表的模式，啟動學生進行數學表達與數學溝通，增進其能力；

教師方面則是進行組間巡視提供學生討論時所需協助並且主持各組上台發表的 活動。本研究的臆測活動設計與陳英娥(1998)臆測活動設計建議比照表，如表 1。

表1

臆測活動設計對照表

教材 活動 流程 引入

陳英娥

臆測活動建議 手冊 學生上台發表

同儕討論 三部份 特殊化

猜測命題對錯 本次臆測活動設計 學習單 小組討論

學生上台發表

暖身活動 建構活動(一) 建構活動(二)

檢驗特殊例 找出一般化結果

本研究希望藉著將臆測活動引入尺規作圖教學，不僅可以啟動學生臆測思維 歷程，還可以提升學生數學五股素養能力，並且最終能反應在學生學習成效上面。

在下一節中將(Kilpatrick et al., 2001)提出的五股數學能力與Anderson and Anderson (2001) 修訂 Bloom(1956)提出的認知領域教育目標分類進行比較。