第五章 結論與建議
第二節 建議
一、課程的反思與建議
實驗組課程反思與建議
教學時間配置應以學生分享與驗證為主
在教學時數有限的情形下，臆測活動的重點應該擺在讓學生充分提出各式解 法並彼此進行驗證的活動上。本次實驗組課程進行時間不足，造成最後一個活動 畫出30 度角的兩種方法並未進行各組分享，僅由教師演示兩種不同作法，第一 種作法：畫出兩個圓心在另一個圓上的等圓，連接兩圓的交點與兩個圓心畫出特 殊菱形，並連接菱形的對角線，由教師詢問學生 30 度角在哪裡並且解釋圖形中 各個角的角度；第二種作法：使用中垂線畫出90 度角後，再作出一個正三角形，
由教師詢問學生30 度角在哪裡並且解釋圖形中各個角的角度。許多學生的不同 想法沒有提出與討論，收回學習單後才發現有一些很常見的迷思，像是沒有先畫 出正三角形，而是直接用中垂線作圖，或是未注意到圓心必須在另一個圓的圓周 上，都是學生在複製教師演示的作圖法時常出現的錯誤，如圖 31。錯失澄清和 驗證的好時機，讓臆測活動的效能降低。因此設計課程時應該多增加討論時間，
並在執行課程時減少時間浪費。
圖32 缺乏 60 度角
實驗組大部分的學生不擅長提出自己的想法，通常是在同組同學慫恿下才會 自願，所以部分時間浪費在等待學生上台，因而壓縮到真正的討論時間非常可惜。
教師可以在小組討論學習單的時間，先觀察學生產生哪些不同的作法，進入分享 時間後等自願者結束，教師可視學生平時的表現狀況和個性，選擇指名學生上台 分享或是由教師轉達學生的想法甚至直接演示出來。一來可以加快分享流程節省 時間，二來對於較為內向或常被同學揶揄的學生可以產生較小的壓力。
注意低數學學習成就學生的思路歷程
解法無論對錯在驗證的過程中，學生都能得到不同的收穫，但較低數學學習 成就的學生不會主動提供想法，尤其是以小組為單位時，這些學生的真正想法行
不通時他們會直接複製數學學習成就高的同組同學作法而不進行思考，喪失臆測 活動的意義。
教師若採取分組教學實施臆測活動，最好在每次分享活動中都能由教師提出 無效作法。教師在小組討論學習單的時間應先觀察學生使用的無效作法或直接詢 問低數學學習成就的學生對該題的想法，討論時間再由教師演示無效作法給全班 同學，並提問「這樣對不對？」、「哪裡不對？」、「怎麼改就可以了？」讓所有學 生思考。既可以修正學生的迷思概念，又能讓其他學生進行驗證、反駁或支持的 思考歷程，還可以讓低數學學習成就的學生實際體驗到如何將自己直觀無效的想 法修改成有效的方法。如圖32 是無效作法，修正後的圖 33 是有效作法。圖 32 的迷思在於學生找到𝐴𝐶̅̅̅̅的中垂線上的一點在直線 L 上，無法證明 L 就是中垂線，
因此只要將𝐴𝐶̅̅̅̅的中垂線完整畫出來，發現與直線 L 重疊，如圖 33。
圖33 中垂線作圖典型錯誤
圖34 修正後的方法
研究者設計這個部分的學習單時，希望學生能用到摺紙的方式或是實際測量 進行檢查，實際實施時發現，數學學習成就較低的學生受到剛學完的中垂線作圖 影響，會分別利用A、C 為圓心，等半徑畫弧，試圖畫出中垂線表達對稱。所以 在這裡可以發現低數學學習成就學生畫中垂線時常常只畫出一個交點的常見錯 誤，若能及時討論將提供學生修正的機會。
臆測活動裡教師的引導和學習單內容一樣重要
對題目已經很熟悉，二來在練習時可能是採用不同方法，無須再多費力就可以分
有幸在教學實驗的過程中，研究者由兩組學生在課堂中不同的互動與回饋感 受到兩組學生學習上的差異性，再從實驗組學生的作業與學習單整理出作圖策略 的多樣性，進而在實驗接下來的所有測驗中得到驗證，並追加非結構式訪談進行 質的研究，才得以窺探到教學模式不同對學生學習成效產生的影響式在學習當下 就產生了，只是傳統筆試成績要在延後測時才會得到統計上證據。藉由這樣的經 驗建議未來相關的研究，對於學習成效的檢驗可以採用更多元的方式進行，不要 只使用傳統紙筆測驗成績作為學習成效的檢驗工具。
釐清幾何學習對學生數學學習動機的影響
譚克平(2009)指出學生在學習尺規作圖時遇到的困難有兩個，一個是因為尺 規作圖工具上的限制，學生無法用原本經驗中熟悉的方式進行作圖，例如尺用直 尺測量長度再進行複製線段，尤其是數學學習成就較低的學生會常常忘記工具的 限制；另一個困難是學生無法判斷要達成作圖目標需要哪些尺規作圖的動作才能 達成。這樣的困難造成學生感覺題目變化多，僅能靠教師教導不同類型的題目並 多練習將作圖步驟熟記。
這樣的學習方式，缺乏幾何推理的部分著重記憶和熟練，造成沉重的認知負 荷。除了低數學學習成就的學生容易放棄，降低其數學學習動機，對於數學學習 成就較高的學生，當遇到不常見或沒見過的作圖題時，也常常會不知如何下手，
造成學習數學的信心下降，也影響數學學習動機。
本次研究因為「數學學習動機問卷」後測施測時間的延宕，無法釐清學生數 學學習動機的變化是單純來自單元特色還是不同教學模式所導致。國中幾何教材 中有許多需要大量應用所學的幾何特性進行推理的單元，例如三角形全等、推理 證明以及三心等，這些單元的題目變化較多。學生常會逃避進行幾何推理並採用 多聽不同類型題目的解法與多做類似題進行熟悉與記憶的方式學習，這恰好與尺 規作圖單元相似，希望未來可以研究這些單元學習前後學生學習動機的變化，以 釐清單元特性對於學生數學學習動機的影響。
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附錄 附錄一臆測活動學習單(中垂線)
班級： 組別： 座號：
一、中垂線探索活動 (一) 暖身活動
1. 請檢查下方(圖一)中 A、B、C、D 四個點，哪些點恰好到 P、R 兩點的距 離相等？哪些點到P、R 兩點的距離不相同？並提出判斷的依據。
名稱 相等打Ｏ 不相等打 X 判斷理由(提出數據或檢驗方式) A 點
B 點 C 點 D 點
(圖一) (圖二)
2. 在上圖(圖二)中，至少標示出三個點(必須與圖(一)中的點不同)，而且這些點 必須到P、R 等距離。根據剛剛作圖的經驗，你發現了這些點或圖形間有什 麼特點或關係？(至少寫出三項)
R
P
B
C A
D
R
P
3. 聚焦提問
(1) 猜一猜所有到 P、R 等距離的點會形成什麼圖形？ 答：____________。
(2) 這個圖形的點除了到 P 點與 R 點距離相同，觀察一下它和PR̅̅̅̅有什麼關係？
答：
_________________________________________________________________。
因此，所有到P、R 等距離的點所形成的圖形會被稱為__________________。
因此，所有到P、R 等距離的點所形成的圖形會被稱為__________________。