臆測活動融入尺規作圖教學對國中生學習之影響

全文

(1)國立臺灣師範大學理學院數學系數學教學碩士在職專班碩士論文. 臆測活動融入尺規作圖教學對國中生學習之影響. 柴筱筠 Hsiao-Yun Chai. 指導教授：楊凱琳博士 Advisor: Dr. Kai-Lin Yang. 中華民國 109. 年. August 2020. 8 月.

(2) 致謝首先要感謝楊凱琳的指導，無論是選題、實驗設計或是資料分析，老師都很尊重我的想法並且在遇到困難時給予專業的協助與救援，沒有楊凱琳老師的幫助就沒有這篇論文的產生。另外要特別感謝楊凱琳老師、鄭英豪老師與王婷瑩老師願意在 COVID-19 疫情正嚴重時幫我進行口試並且給予許多實用的建議。最後要感謝給我很多參考資料的家萱以及與我一起努力完成論文的佩螢與雅俐，沒有你們的鼓勵、協助與相伴，我是沒有毅力可以完成這篇論文。這一路走來有太多的幸運與協助，衷心感謝所有參與的夥伴、老師以及學生。. i.

(3) 摘要本研究以「臆測活動融入尺規作圖教學」對照「教師講述式教學進行尺規作圖教學」，研究目的為探討以兩種不同教學模式進行中垂線尺規作圖與角平分線尺規作圖教學，對學生尺規作圖學習成效的影響。研究採用準實驗研究法，以台北市某國中八年級兩個常態編班的班級為研究對象，其中一班 20 位學生為實驗組實施「臆測活動融入尺規作圖教學」，另一班 22 位學生為對照組實施「教師講述式進行尺規作圖教學」。研究結果使用的統計方法為成對樣本 t 檢定、獨立樣本 t 檢定以及廣義估計方程式 GEE，並進行作圖策略多樣性的分析。自變項為兩種教學模式，依變項為(1) 尺規作圖與平分線性質成就測驗的得分、(2)作圖題的作圖策略多樣性、(3)數學學習動機問卷的得分。研究結果顯示(1) 教學前與教學後為自變項在平分線性質的前測與後測，以成對樣本 t 檢定分析實驗組與對照組均達到顯著水準，教學後明顯優於教學前，顯示臆測活動融入教學與教師講述式教學對於學生學習中垂線性質與角平分線性質皆為有效教學。(2) 教學模式為自變項在尺規作圖延後測的總分、分析面向以獨立樣本 t 檢定與廣義估計方程式 GEE 分析分析均達到顯著效果，實驗組在延後測中明顯優於對照組，顯示臆測活動融入教學在尺規作圖的學習保留效果優於教師講述式教學。(3) 教學模式為自變項在尺規作圖後測與延後測中，實驗組的作圖策略多樣性優於對照組，顯示臆測活動融入教學比教師講述式教學更能協助學生發展出多元的作圖策略。 (4)教學模式為自變項在數學學習動機以廣義估計方程式 GEE 分析，學習環境刺激面向達到顯著水準，實驗組明顯優於對照組，顯示臆測活動融入教學比教師講述式教學更能提升學生在學習環境刺激面向的數學學習動機。關鍵詞：尺規作圖、臆測活動. ii.

(4) 目錄第一章緒論...................................................................................................................... 1 第一節研究動機.................................................................................... 1 第二節研究目的與研究問題................................................................ 4 第三節名詞界定.................................................................................... 5 一、尺規作圖............................................................................................ 5 二、臆測活動............................................................................................ 5 三、教師講述式教學................................................................................ 5 四、學習成效............................................................................................ 5 第二章文獻探討.............................................................................................................. 7 第一節尺規作圖相關內容與研究........................................................ 7 一、國中數學教材中的尺規作圖............................................................ 7 二、尺規作圖的相關研究........................................................................ 8 第二節臆測活動相關研究.................................................................. 12 一、臆測思維歷程.................................................................................. 12 二、臆測活動.......................................................................................... 13 第三節數學學習成效的測量.............................................................. 15 第三章研究方法............................................................................................................ 17 第一節研究設計與研究流程.............................................................. 17 第二節研究樣本.................................................................................. 23 第三節研究工具.................................................................................. 25 一、「尺規作圖單元卷」........................................................................ 25 二、「平分線性質應用型問題試卷」.................................................... 27 三、「延後測考卷」................................................................................ 28 四、「數學學習動機問卷」.................................................................... 29 第四節教學設計.................................................................................. 32 一、設計理念.......................................................................................... 32 尺規作圖單元學習上的困難.................................................... 32 利用對稱圖形理解尺規作圖的作法........................................ 33 教學順序對尺規作圖學習的影響............................................ 34 減少工具限定造成的困擾........................................................ 34 中垂線尺規作圖教學................................................................ 35 角平分線尺規作圖.................................................................... 38 二、教學活動.......................................................................................... 41 中垂線作圖暖身活動................................................................ 42 中垂線作圖建構活動(一) ......................................................... 43 中垂線作圖建構活動(二) ......................................................... 45. iii.

(5) 角平分線作圖暖身活動............................................................ 45 角平分線作圖建構活動(一) ..................................................... 46 角平分線作圖建構活動(二) ..................................................... 47 第四章研究結果............................................................................................................ 49 第一節尺規作圖學習成效的紙筆測驗得分...................................... 49 基本尺規作圖測驗總得分分析................................................ 49 基本尺規作圖測驗認知面向得分分析.................................... 51 平分線性質測驗總得分分析.................................................... 54 平分線性質測驗認知面向得分分析........................................ 56 第二節尺規作圖學習成效的作圖策略多樣性.................................. 59. 第三節. 學習過程中展現的作圖策略.................................................... 59 「尺規作圖單元卷」中的作圖策略........................................ 68 延後測中的作圖策略................................................................ 75 尺規作圖學習成效的數學學習動機...................................... 83. 實驗前後數學學習動機變化.................................................... 83 實驗介入的組間差異................................................................ 85 第五章結論與建議........................................................................................................ 88 第一節結論.......................................................................................... 88 學習尺規作圖能增進學生對相關幾何特性的理解與應用.... 88 臆測活動融入尺規作圖教學更能提升學生尺規作圖的學習保留成效.............................................................................................................. 89 臆測活動融入尺規作圖教學更能協助學生發展出作圖策略的多樣性.............................................................................................................. 90 臆測活動融入尺規作圖更能增進學習環境刺激面向的數學學習動機.............................................................................................................. 91 第二節建議.......................................................................................... 93 一、課程的反思與建議.......................................................................... 93 實驗組課程反思與建議............................................................ 93 對照組教師講述式教學............................................................ 95 課堂時數不足時臆測活動教學應減少講解或練習的題目量 96 二、研究的反思與建議.......................................................................... 96 對於學習成效的檢驗方式應該更多元.................................... 96 釐清幾何學習對學生數學學習動機的影響............................ 97 參考文獻.......................................................................................................................... 98 一、中文文獻 ........................................................................................... 98 二、外文文獻 ......................................................................................... 100 附錄................................................................................................................................ 101 附錄一臆測活動學習單(中垂線) ........................................................... 101. iv.

(6) 附錄二臆測活動學習單(角平分線) ....................................................... 106 附錄三尺規作圖單元卷 ......................................................................... 110 附錄四平分線性質應用型試題試卷前測 ............................................. 115 附錄五平分線性質應用型試題試卷後測 ............................................. 116 附錄六尺規作圖延後測 ......................................................................... 117. v.

(7) 表目錄表1 表2 表3 表4 表5 表6 表7 表8. 臆測活動設計對照表...................................................................... 14 認知面向與五股數學力對照.......................................................... 16 練習量練習題.................................................................................. 19 統計方法控制.................................................................................. 20 八年級四次數學科段考成績比較.................................................. 24 「尺規作圖單元卷」試題分析...................................................... 25 「平分線性質應用型問題試卷」試題分析.................................. 27 「延後測考卷」試題分析.............................................................. 28. 表9 表 10 表 11 表 12. 「數學學習動機問卷」項目分析摘要.......................................... 29 「數學學習動機問卷」五面向...................................................... 30 「數學學習動機問卷」信度分析摘要.......................................... 31 教學方式對照.................................................................................. 32. 表 13 表 14 表 15 表 16 表 17 表 18. 中垂線作圖教學流程...................................................................... 37 角平分線作圖教學流程.................................................................. 40 基本尺規作圖獨立樣本 t 檢定結果摘要 ...................................... 50 基本尺規作圖 GEE 結果摘要 ........................................................ 51 後測認知面向獨立樣本 t 檢定結果摘要 ...................................... 52 延後測獨立樣本 t 檢定結果摘要 .................................................. 52. 表 19 表 20 表 21 表 22 表 23 表 24 表 25 表 26 表 27 表 28. 後測與延後測認知面向 GEE 結果摘要 ........................................ 53 平分線性質成對樣本 t 檢定結果摘要 .......................................... 54 平分線性質獨立樣本 t 檢定結果摘要 .......................................... 55 平分線性質 GEE 結果摘要 ............................................................ 55 認知面向獨立樣本 t 檢定結果摘要 .............................................. 57 平分線性質認知面向 GEE 結果摘要 ............................................ 57 學習單的作圖策略.......................................................................... 68 135 度角三等分作圖策略............................................................... 71 給定斜邊和一銳角作出直角三角形的作圖策略.......................... 75 延後測作圖題的作圖策略.............................................................. 76. 表 29 表 30 表 31 表 32 表 33 表 34. 實驗組數學學習動機成對樣本 t 檢定結果摘要 .......................... 83 對照組數學學習動機成對樣本 t 檢定結果摘要 .......................... 84 動機前測與後測獨立樣本 t 檢定結果摘要 .................................. 85 動機前測與後測 GEE 結果摘要 .................................................... 86 後測作圖題得分人數與有效作圖策略種類.................................. 90 延後測作圖題得分人數與作圖策略種類...................................... 90. vi.

(8) 圖目錄圖1 圖2 圖3 圖4 圖5 圖6 圖7 圖8. 數學臆測思維模式............................................................................... 13 研究流程圖........................................................................................... 22 中垂線暖身活動學習單之一............................................................... 42 中垂線暖身活動學習單之二............................................................... 42 中垂線暖身活動學習單之三............................................................... 43 中垂線暖身活動學習單之四............................................................... 43 中垂線建構活動(一)學習單之一 ........................................................ 44 中垂線建構活動(一)學習單之二 ........................................................ 44. 圖9 圖 10 圖 11 圖 12. 中垂線建構活動(一)學習單之三 ........................................................ 45 角平分線暖身活動學習單之一........................................................... 46 角平分線暖身活動學習單之二 ........................................................... 46 角平分線建構活動(一)學習單之一 .................................................... 47. 圖 13 圖 14 圖 15 圖 16 圖 17 圖 18. 角平分線建構活動(一)學習單之二 .................................................... 47 菱形法作垂線....................................................................................... 61 正三角形法作垂線............................................................................... 62 箏形法作垂線....................................................................................... 63 對稱角法作垂線................................................................................... 65 仿菱形無效作圖(仿中垂線) ................................................................ 66. 圖 19 圖 20 圖 21 圖 22 圖 23 圖 24 圖 25 圖 26 圖 27 圖 28. 菱形無效作圖(未過 A 點) ................................................................... 67 中垂線與角平分線作圖策略............................................................... 69 45 度等角作圖策略............................................................................ 69 等腰直角三角形作圖策略................................................................... 70 利用等線段、等角以及菱形法過直線外一點做垂線....................... 72 利用等線段、等角以及箏形法過直線外一點做垂線....................... 72 圓周角作圖策略................................................................................... 73 圓內接矩形作圖策略........................................................................... 74 中垂線作圖策略................................................................................... 78 等角作圖策略....................................................................................... 79. 圖 29 圖 30 圖 31 圖 32 圖 33 圖 34. 非等腰三角形作圖策略....................................................................... 81 自我效能面向....................................................................................... 84 學習環境刺激面向............................................................................... 86 缺乏 60 度角......................................................................................... 93 中垂線作圖典型錯誤........................................................................... 94 修正後的方法....................................................................................... 94. vii.

(9) 第一章緒論本研究主要探討在尺規作圖的單元中將臆測活動融入教學以及單純使用教師講述方式進行教學，這兩種不同教學模式對於國中學生在學習成效和學習動機造成的影響。本研究使用準實驗研究法，分別在兩個研究者任教的班級中實施。本章將分三節說明，第一節說明研究動機，第二節說明本研究目的和研究問題，第三節則是界定本研究重要名詞。. 第一節研究動機近年來國中數學課堂有許多不同的進行方式，像是翻轉教室、協同教學、探索式教學等，但這些不同的課堂模式被數學教師採用的頻率並不高，國中數學教師以講述式教學進行數學課堂的比例超過其它方式。以研究者教學的學校為例，學校中的數學教師每位都參加過協同教學、翻轉教室這兩種教學法相關研習數次，對於以學生導向為主的課堂模式並不陌生，但學校十九位數學老師中，僅有一位數學老師上課大部分時間使用分組合作學習模式進行，另兩位數學老師則是在檢討測驗卷時採取分組合作學習，其他數學教師仍採取以教師為中心的講述式教學，課堂主要時間都是在老師講述、學生聽講的方式中度過。研究者希望透過實驗的方式釐清教師中心的教學模式與學生導向的教學模式對於學生數學學習的影響，讓教師在選擇課堂進行方式時能採取更多元的選擇。國中數學教師廣泛使用教師講述式教學模式主要原因有兩個，除了教師自身的教學習慣外，國中數學教育需要在不多的授課時數下有效率地提升學生紙筆測驗成績，也是教師傾向選擇講述式教學的原因。教師中心的講述式教學具有能在短時間內傳遞許多知識的特性，學生通過教師在課堂上的講解並複製教師使用的方式進行解題，讓學生反覆練習後達到知識和能力的傳遞，這種方式能在短時間內讓學生練習更多的題目，使學生有足夠的熟練度完成紙筆測驗並得分。Yuen and Hau (2006) 指出教師講述式教學，能在短時間內傳遞大量訊息給學生並讓他們精熟。依據國中數學定期考與國中教育會考所採取的紙筆測驗方式，不難發現教師中心的講述式教學對現場教師有很大的吸引力。教師中心的講述式教學模式被採用的另一部分原因來自教師個人的學習經歷與教學習慣。經濟合作暨發展組織(Organization for Economic Co-operation and Development [OECD], 2016)指出教師們更願意選擇與自身求學經驗以及教學習慣相同的教學模式。坐在教室中聽老師講解著已經被整理好甚至條列的知識，看著老師在黑板上演示解題的流程，最後在老師指揮下完成課本或講義上的題目，就是數學教師本身的國中數學學習歷程。因為自身的數學知識與能力都是透過這樣的方式獲得，所以在擔任數學教師角色後也會傾向於使用相同的方式進行教學，加上同事們也使用相同教學模式，再再都讓數學教師更願意採用教師中心的講述式教學模式進行教學。. 1.

(10) 在科技發展蓬勃的現在，對於數學應用的需求越來越多，近年來數學課程的目標不再只是紙筆測驗的成績。十二年國民基本教育課程綱要數學領域中強調數學教育要能夠啟迪學習動機，培養好奇心、探索力、思考力、判斷力與行動力，願意以積極的態度、持續的動力進行探索與學習。培養學生探索數學的信心、學習數學的動機、以及運用數學進行思考、分析與解決問題的能力，成為數學教學當中重要的目標。學生導向的數學教學模式比教師中心的講述式教學模式更能提升學生數學的多元能力、獲得好的保留效果以及提升學生的學習動機。余民寧與韓珮華(2009) 發現，教師講述式教學在直接或間接增進學生的數學成就上有顯著提升，而學生導向的數學教學，在學生能力知覺、數學有效性以及數學學習興趣這些正向的心理特質的影響比教師講述式教學更為顯著，這些正向的心理特質被證明有助於數學成就表現。雖然教師中心的講述式教學模式的特點更吸引數學教師教使用，研究卻指出學生導向的數學教學模式更能提升學生數學的多元能力，而這些數學的多元能力正是當前數學領域課程綱要中重視的課程目標。學生導向的數學教學模式，主要是讓學生在課堂上親身經歷數學知識的探索與發現，從過程中體驗學習數學的快樂，讓學生願意主動探索數學。讓學生在數學課堂中進行探索的主要途徑就是猜想，學生對於未知的數學知識或題目提出自己的猜測，經過反覆的猜想與檢驗最後得到數學的發現。美國數學教師協會 (National Council of Teachers of Mathematics [ NCTM ], 2000)提出學生經歷數學的探索與發現的主要途徑是猜想。猜想並不是天馬行空地亂猜，而是讓學生進行數學臆測，所謂的數學臆測是指在數學思考的過程中藉由舉出特殊例或者觀察規則提出猜測，並且藉由反例、演繹、歸納或一般化等方式來檢驗自己的猜測，從而選擇相信自己的猜測或是反駁自己的猜測，經由這樣的歷程去得到正確的猜想。林福來與陳英娥 (1998)研究中指出不斷地來回進行猜想、檢驗、相信與反駁的歷程就是數學臆測。學生導向的數學教學模式中猜想是不可或缺的要素，將臆測活動融入在學生學習數學的過程中就成為十分關鍵的教學活動。將臆測活動融入教學不只能讓學生經歷數學探索的過程，在臆測活動中安排適當的問題可以引導學生使用理解、分析等數學能力進行問題解決，除了可以提升學生數學素養外，也能加強學生對於數學的學習動機。在歷次的 PISA 測驗中，我國國中生顯示出高數學能力與低數學信心的結果，顯現學生們有較它國學生強的數學能力卻不愛學習數學，而學習動機會影響日後的學習成就甚至是否願意終身學習的意願，增強學生對於數學的學習動機也是當前重要的課程目標，將臆測活動融入教學對於學生學習動機有增強的效果。秦爾聰、劉致演、張克旭與段曉林(2015)對高職學生實施一整學年的臆測教學活動，研究中顯示臆測教學活動讓學生對數學學習動機得到顯著提升。在數學素養中所強調的概念理解、程序順暢、策略運用、適性推理以及建設性傾向等五股數學能力(Kilpatrick , Swafford, & Findell, 2001)也能夠在學生進行臆測活動時展現。秦爾聰、劉致演與尤昭奇(2015)對七年級學生進行的實徵研究. 2.

(11) 中發現，課堂中安排適切的數學臆測活動可以迫使學生使用概念理解、程序順暢、策略運用、適性推理這四種能力。以往的研究中顯示，以學生導向的數學教學模式比教師中心的講述式教學模式中學生更能獲得較多元的能力，為何教學現場卻是以教師講述式教學為主呢？除了前面提到教學習慣與效率等誘因外，學生導向的教學模式在執行上也有一些困難需要克服。秦爾聰、林勇吉、林晶珮與段曉林(2009)在水里國中實施的行動研究顯示，以學生導向教學面臨的困難有三大類，第一是來自家長的質疑，認為這樣的上課方式浪費學生時間；第二為教學時間難以掌握，教師會補充許多題目造成教學時間過長；第三是課堂秩序不易管理，學生間容易產生一些不禮貌的發言。這些都造成教師不願意嘗試學生導向的教學模式。因此研究者希望可以不造成教學模式上大幅度改變、維持教師原本教學習慣，減少家長疑慮以及保持教學進度的前提下，藉由部分單元教學時階段性融入臆測活動並且使用相同的教學時數進行教學，以期達到提升學生數學的學習動機、增進學生數學多元能力並有助於增進學生在數學成就測驗的表現。基於以上的理由，本研究從研究者任教的三個八年級班級中挑選一班融入臆測活動、另一班則是採取教師講述，進行教學實驗研究。. 3.

(12) 第二節研究目的與研究問題研究者認為現場教師因為自身教學習慣與進度壓力傾向選擇較為熟悉的講述式教學，另外大幅度更改教學模式不僅會讓現場教師備感壓力也會讓家長感到不安與反彈。本研究在傳統的教師講述式教學中階段性融入臆測活動，在尺規作圖單元中選取部分內容設計為臆測活動變換教學模式，避免進行全面性地改變，以期能維持教學進度與教學習慣。本研究試圖釐清階段性融入臆測活動的教學模式對於學生的數學學習成效是否造成影響。研究採用比較兩組學生分別進行以融入臆測活動與教師講述式教學的方式學習尺規作圖後，兩組學生在傳統紙筆測驗的表現、作圖策略的多樣性以及數學學習的動機各有什麼不同的表現，提供現場教師更多可以參考的資訊，進而嘗試不同的教學活動。本研究預計探討臆測活動融入尺規作圖相較於教師講述式教學的教學成效。研究問題如下： 1、臆測活動融入尺規作圖教學是否比教師講述式教學更有助於學生在尺規作圖成就測驗的表現？ 2、臆測活動融入尺規作圖教學是否比教師講述式教學更能協助學生發展多元的作圖策略？ 3、臆測活動融入尺規作圖教學是否比教師講述式教學更能提升學生的數學學習動機？. 4.

(13) 第三節名詞界定本研究中的主要名詞界定：一、尺規作圖尺規作圖發展已久，相關的題材分布廣闊，國中數學教育僅擷取其中一小部分介紹，而本實驗中所指的尺規作圖其範圍侷限於現行國中翰林版數學課本第四冊尺規作圖單元。研究中的尺規作圖教學僅是針對利用無刻度直尺與無刻度圓規作出中垂線以及角平分線的教學，等角、等線段以及平行線作圖則不在本研究的尺規作圖教學範圍內。二、臆測活動臆測活動是指在學習過程中能啟動學生的臆測思維並經由活動內容增進學生臆測能力的學習活動。陳英娥(1998)在數學臆測中指出，數學課堂上的臆測活動主要有四個階段：第一階段為學生能進行獨立思考、第二階段是學生與學生間或學生與教師間可以溝通想法、第三階段則是學生要可以進行合理判斷以及在最後第四階段學生能做出回饋與反思。臆測活動的安排應注意學生各階段的發展，在獨立思考的階段，要引導學生寫下自己的想法、提出猜測以及檢驗猜測；溝通想法階段則要做到學生間能討論彼此的猜測與整理敘述；合理判斷則是要在討論後重新猜測，並且支持或反駁新猜測；回顧反思階段則是做出結論與評論。陳英娥(1998)利用實徵研究結果與臆測思維理論對設計臆測活動提出三項建議，起始活動最好使用判斷命題真偽的方式、發展活動要由特殊例推廣到一般化以及引導學生利用歸納的方式進行猜測。綜合前述研究結果與建議，本研究中的臆測活動以分組討論模式進行，利用觀察特殊例與驗證命題真偽作為起始活動，再使用學習單上的提問引導學生以歸納的方式提出猜想，最後讓學生利用幾何性質進行獨立思考以驗證自己的猜想是否正確，達到臆測活動中啟動學生的臆測思維以及增進其臆測能力的目標。三、教師講述式教學教師講述式教學被稱為教師主導(teacher-directed)，講述式教學中教師直接告訴學生必須學習那些內容、幫學生統整上一節課的內容、利用提問確定學生是否懂了以及給定明確的學習目標(OECD, 2016)。本研究中的教師講述式教學運用教師講解、提問或演示、學生自行練習和學生上台演示等方式進行。四、學習成效本研究中的學習成效分為學生在相關傳統紙筆測驗中的得分、作圖策略的多樣性以及數學學習動機三大類，利用統計方法進行檢驗傳統紙筆測驗得分與數. 5.

(14) 學學習動機問卷得分的量化分析，搭配作圖策略多樣性的質性分析，以界定學生的學習成效是否提升。成就測驗得分傳統紙筆測驗包括研究者編制的「尺規作圖單元卷」、「平分線性質應用型問題試卷」以及研究者任職學校段考考卷中相關題目所形成的「延後測考卷」。依據各測驗題目的認知能力面向和數學概念進行分類，對各分類面向得分使用兩種統計方法進行量化分析：t 檢定和廣義估計方程式 GEE，從量化結果解釋經過不同教學模式後兩組間得分平均數的變化。再利用「平分線性質應用型問題試卷」前測與後測兩組的得分進行成對樣本 t 檢定分析，觀察兩種不同教學模式是否有助於學生在中垂線性質與角平分線性質的學習。作圖策略多樣性作圖策略多樣性是針對「臆測活動學習單」、「尺規作圖單元卷」和「延後測考卷」裡學生在作圖題的作答狀況進行量化與質性分析。將學生在作圖時使用的策略分類，再依據學生的作圖策略種類進行統計，觀察實驗組與對照組在作圖題時使用的作圖策略種類是否有所不同，並且針對不同作圖策略挑選一名學生進行非結構式訪談，以了解學生使用該策略的原因。數學學習動機利用「數學學習動機問卷」(秦爾聰、劉致演、張克旭、段曉林， 2015) 將學生的數學學習動機分為自我效能、主動學習策略、數學學習價值、表現目標、成就目標以及學習環境刺激等六個面向，觀察兩種不同教學模式對學生在不同數學學習動機面向的影響。. 6.

(15) 第二章. 文獻探討. 第一節尺規作圖相關內容與研究一、國中數學教材中的尺規作圖本研究預計實施教學實驗時間為民國 106 學年度第二學期，教學內容遵循教育部頒布的國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域 97 年修訂版。 (一)尺規作圖相關的教材內容與尺規作圖相關的能力指標為 S-4-10 能根據直尺、圓規操作過程的敘述，完成尺規作圖。該能力指標對應的分年細目是 8-s-11 能認識尺規作圖並能做基本的尺規作圖。細目詮釋有以下幾點說明： 1. 只利用直尺(沒有刻度)及圓規製作圖形之方法，稱為尺規作圖。 2. 本細目只強調會做基本的尺規作圖即可，基本的尺規作圖明列如下面。在每一尺規作圖應能明確的說明此尺規作圖的原理，這種說明在教學上是必須的，但可以不做評量。 (1) 能以尺規作圖複製已知的線段、圓、角、三角形。 (2) 能以尺規作圖平分一已知線段。 (3) 能以尺規作圖作一已知線段之中垂線。 (4) 能以尺規作圖作一已知角的角平分線。 (5) 過一直線外的已知點，能以尺規作圖作此直線之平行線與垂直線。 (6) 過一直線上的已知點，能以尺規作圖作此直線之垂直線。 (7) 如果已知三個正數滿足任兩數和大於第三數，則可用尺規作圖作出以此三數為邊長之三角形。本次教學實驗取材範圍僅為細目詮釋的基本尺規作圖(4)、(5)以及(6)，其中 (5)過一直線外的已知點，能以尺規作圖作此直線之平行線與垂直線。修改為(5) 過一直線外的已知點，能以尺規作圖作此直線之垂直線。平行線的作圖非本次研究的內容。以翰林版數學課本第四冊內容而言，上述尺規作圖對應到的是尺規作圖基本作圖的中垂線作圖、角平分線作圖、過直線上一點做垂線以及過直線外一點作垂線這四個基本作圖，其餘細目詮釋並不在本次研究範圍內。 (二)線對稱圖形相關內容線對稱概念相關的學力指標有以下兩個 S-4-08 能理解線對稱圖形的幾何性質，並應用於解題和推理 S-4-12 能理解特殊三角形(如正三角形、等腰三角形、直角三角形)的幾何性質這兩個能力指標對應到的分年細目是 8-s-14 能用線對稱概念，理解等腰三角形、正方形、菱形、箏形等平面圖形。. 7.

(16) 細目詮釋有以下幾點說明： 1. 能理解兩組鄰邊等長的四邊形稱為箏形。 2. 能找到等腰三角形、正方形、長方形、菱形、箏形等平面圖形之對稱軸，並能利用線對稱概念來理解其幾何性質。例如： (1) 因為等腰三角形的頂角平分線是圖形的對稱軸，所以頂角平分線會垂直平分底邊，且兩底角會相等； (2) 因為菱形的對角線是圖形的對稱軸，所以菱形的兩條對角線互相垂直平分； (3) 因為箏形有一條對角線是圖形的對稱軸，所以箏形有一對角線為另一對角線之垂直平分線，並能利用三角形全等性質說明這些線對稱的特性。 3. 反之，若四邊形有上述的線對稱關係，則要能以線對稱概念，理解這些特殊四邊形。二、尺規作圖的相關研究 (一) 作圖工具影響尺規作圖學習成效國中數學教材裡的尺規作圖是使用無刻度直尺與圓規畫出幾何圖形。依據作圖公法： (1) 通過兩個點可作一直線。 (2) 給定圓心和半徑可作一個圓。 (3) 兩直線相交，可得其交點。 (4) 一直線與一圓相交，可得其交點。 (5) 兩圓相交，可得其交點符合作圖公法的原則下，直尺無法測量長度、本身的長度為無限長、只能使用單側、尺上不能畫記刻度，圓規本身沒有刻度但其半徑可以為任何已經存在的線段長甚至是無限長，因此尺規作圖中複製長度的功能就由直尺轉換為圓規。工具使用方式的限定與學生過往的經驗不同，容易造成學生學習上的困難。蔡福進(2005)對九年級學生進行尺規作圖實徵研究，給予學生三種不同作圖方式進行作圖，這三種方式分別為第一種學生可以實測長度的直尺與實測角度的量角器並搭配圓規與三角板；第二種是只利用直尺(沒有刻度)及圓規製作圖形，也就是說只能使用直尺與圓規，而且直尺只能畫直線和連接兩點形成線段，與國中數學教材中的尺規作圖工具限制相同；第三種是使用 GSP 繪圖軟體。結果顯示部分學生在第二種方式作圖時，會使用視覺觀察進行作圖，例如利用直尺兩邊畫平行線。這個研究中參與實驗的九年級學生已經於八年級學習過第二種作圖方式，不是尺規作圖的初學者，但再度使用尺規作圖時，發現學生仍然不遵守尺規作圖的規則而是使用直觀方式進行作圖。. 8.

(17) 研究者在自身的教學經驗中也發現這個現象，學生對於直尺的使用規定比圓規更難遵守，因為學生在日常生活中較常使用直尺作為製圖工具，當尺規作圖限定直尺的使用功能與生活經驗不同時，學生因為違背熟悉的使用方式，出現不符合工具限定的無效作圖。研究者觀察到已經學會課本中六大基本尺規作圖的學生，在基本作圖中很少出現誤用直尺功能的現象，但當學生挑戰應用基本作圖的變化題時，在部分步驟中會出現誤用直尺功能的無效作圖方式，例如題目是找出三角形重心時，在作圖過程中需要線段中點，學生會使用直尺測量線段長度後取一半長度的地方標上中點，反之題目若是將已知線段二等分，則學生會正確使用中垂線作圖。學生在作圖步驟繁複的題型中更容易忘記工具上的限制，顯示學生多是仰賴記憶或熟練的方式學習基本尺規作圖，而沒有真正學習到尺規作圖中的幾何特性與推理。根據陳宥良(2009)實徵研究中提到與蔡福進相似的觀察，學過尺規作圖的九年級學生使用尺規作圖畫出長方形時，已經忘記過一點作垂線的尺規作圖步驟，直接用目測的方式將直尺的邊移動到與線段視覺上有垂直關係的方向進行作圖。學生知道長方形四個角為 90 度的幾何性質，也知道需要進行過線段端點作垂線的動作，但是已經不熟練過線上一點作垂線的基本尺規作圖而無法正確作圖。根據這些實徵研究可以發現學生對於基本尺規作圖的學習保留效果不佳，即使學會了也容易忘記，無法在解題的過程中正確運用。譚克平與陳宥良(2009)在運用摺紙提升學生尺規作圖技巧中提出，完成尺規作圖的基本作圖所需要的動作不算多，但其應用卻很多，沒有既定的流程可以遵循，造成學生不易判斷想要達成作圖目標時需要使用何種作圖動作與步驟。如果學生僅是熟記作圖步驟會太偏重記憶，因此使用六種基本摺紙動作讓學生用操作的方式先進行學習，再過渡到尺規作圖。陳宥良(2009)指出大部分學生不熟悉基本尺規作圖，有些學生對於步驟較多的基本尺規作圖如過直線外一點作垂線，因為需要記憶較多的作圖步驟而無法完成。在對三位九年級低學習成就學生進行摺紙的補救教學後，發現學生能了解作圖步驟對應的幾何特性，對於應用基本尺規作圖的應用型題目有很大進步。這些研究顯示學生在尺規作圖的學習上除了受到工具限制的影響外，對於作圖步驟裡運用的幾何知識十分缺乏，僅憑記憶學習基本作圖的作圖步驟，學生即使學會基本尺規作圖也不夠熟悉且易於遺忘，在應用基本尺規作圖的題型中表現也不理想。當學生要利用所學去發展更新的知識時，光靠記憶學習會越來越困難，在發展的歷程中認知負荷會越來越大，(Skemp, 1987/2007)。因此尺規作圖的教學重點，不應只放在讓學生學會基本作圖的步驟，更應該加強學生對於作圖過程中運用的幾何圖形及其對應的幾何性質之理解。學生在理解尺規作圖步驟裡的幾何性質後，有助於學生熟練基本尺規作圖及其應用。. 9.

(18) (二)利用對稱圖形學習尺規作圖的相關研究除了陳宥良(2009)運用摺紙活動可以讓學生熟悉基本尺規作圖中的幾何特性外，觀察線對稱圖形也可以幫助學生學習尺規作圖。高東獻(2014)對八年級學生進行尺規作圖教學，利用箏形的對稱性質規畫與中垂線作圖相關的四種基本尺規作圖：中垂線作圖、角平分線作圖、過直線上一點作垂線作圖以及過直線外一點作垂線作圖之教學。Perks and Prestage (2006)在無所不在的等腰三角形中提出，中垂線作圖、角平分線作圖、過直線上或直線外一點作垂線以及過直線外一點做平行線皆可以用等腰三角形作圖完成，其中使用到兩個全等的等腰三角形拼成菱形或箏形，利用等腰三角形本身的對稱性，將原本各自獨立的中垂線、角平分線、垂線以及平行線的尺規作圖串聯起來。綜合以上研究可以發現，尺規作圖的教學與線對稱圖形密不可分。無論是等腰三角形、菱形甚至摺紙活動都是利用展現線對稱圖形的對稱特性，協助學生理解尺規作圖中對應的幾何性質。在國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域的五大領域說明幾何部分強調，國中幾何應該由學生的直觀出發，經過歸納，最後進入幾何推理，而對稱性是國中幾何的核心，對稱性的觀察既直觀又有效，線對稱是對稱性中最基本的概念，在國中時期應該讓學生充分學習運用線對稱的想法思考、解題和證明。線對稱的觀念是幾何推理中重要連結，而尺規作圖本身更是利用有限制的尺規使用規則進行圖形的非形式證明，所以線對稱的概念與學習尺規作圖息息相關。線對稱圖形在視覺上容易判別，只要找到對稱軸，學生就可以觀察到垂直、全等、平分等這些在尺規作圖過程中重要的幾何性質，學生在國小時期已經學習過對稱圖形，現行各版本數學課本的線對稱圖形都安排在尺規作圖之前，學生在學習尺規作圖時對於線對稱圖形已經十分熟悉。進行尺規作圖教學時引用線對稱圖形能在視覺上提供學生直觀的線索，因此本次研究採取線對稱圖形切入，利用觀察圖形對稱特性的活動，協助學生學習尺規作圖中與中垂線、角平分線相關的四種基本尺規作圖。 (三)教學順序影響尺規作圖學習成效林士立(2013)對七年級學生進行中垂線相關的基本尺規作圖教學，利用等腰三角形的對稱性與中垂線作圖為基模規劃模組化教學，分成兩種教學流程，一個是利用先給步驟再解釋其中用到的幾何圖形性質，另一種為先解釋各種作圖中幾何圖形性質再演示步驟。其研究發現教學流程會影響學生的學習成就表現。先解釋幾何圖形性質再演示的教學流程更利於學生學習尺規作圖，且不同的教學流程. 10.

(19) 對學生尺規作圖學習成效的影響已經達到顯著差異。由林士立(2013)研究結果可以得知傳統教學模式中直接給出基本尺規作圖的作圖步驟，再利用作圖中圖形的幾何結構進行解釋、證明的這種教學脈絡不利於學生尺規作圖的學習。因此本次研究將其更改為不給學生任何作圖步驟，也不對學生演示任何基本尺規作圖，而是利用學習單引導學生觀察尺規作圖目標，分析其結構找出隱藏的幾何圖形與對應的幾何特性，讓學生自行發展出中垂線與角平分線這兩種基本尺規作圖的步驟，之後再讓學生運用這兩種基本作圖，自行建構出過直線上一點作垂線、過直線外一點做垂線的基本尺規作圖、三等分 90 度角與作出 60 度角等尺規作圖。要如何達到教導學生尺規作圖卻完全不提供學生基本尺規作圖的作圖步驟？唯一的辦法是讓學生自己建構出學習的概念再發展出達成作圖目標的方法。將數學臆測活動引入尺規作圖教學可以藉由學生已經具備的數學知識，提供學生探索的經驗與推理的能力，藉著臆測活動讓學生進行思考、驗證、反駁等重要的思維活動，進而建構出中垂線與角平分線的概念，再發展出這兩種基本尺規作圖的方法。下面一節將就臆測活動相關研究進行說明。. 11.

(20) 第二節臆測活動相關研究 Skemp(1987/2007)指出一般教科書直接以定義方式引入而非先提出例子，因此學生在學習時所處理的是經過編排與整理的資料而非發展之初的例子。這樣的教學優點在於學生可快速地學完發展幾百年的數學結果，缺點在於無法訓練學生的數學思維。訓練學生的數學思維要以問題為核心，Polya(1945/2006)指出有效的解題方式，應該是要能意識到自己正在做的事情，對此進行自我監控、評估，並依據監控與評估的結果調整自己的解題策略。在有效的解題過程中學生才能發展其重要的數學概念與數學思考的能力，而所謂的作數學就是一種發現數學的過程 (NCTM, 2000)。很多數學發現都是由臆測開始經由驗證得來。陳英娥(1998)指出提出猜測、進行澄清、驗證或反駁猜想這樣的來回過程可以得到數學的發現，臆測就是發現數學的途徑。在學習數學的過程中，學生應該要經歷對一些數學現象進行猜測、澄清自己的猜測並驗證自己的猜測。將臆測活動融入教學可以讓學生使用數學家發現數學的方式進行學習，培養學生的數學思維，讓學生能夠使用數學的方式思考，而不是由教科書或教師提供的數學知識或做法進行學習。下面就臆測思維與臆測活動進行說明：一、臆測思維歷程 Polya(1954/1990)指出臆測的過程是在特殊化與一般化來回反覆的歷程，面對一般化的題目通常會透過特殊化的例子將其簡化，經過多次檢驗後擴充特殊例得到一般化的結果並形成通則，因此臆測的過程可以視為猜想、檢驗與修正來來回回的過程。數學臆測是指在面對數學問題時，提出一個或數個猜想、利用特殊化、一般化、歸納、類比等技巧檢驗我們的猜想、然後選擇相信與進行反駁，如此一再反覆的動態歷程，最後得到可以取信大家的合理猜想或是反駁原猜想的思考歷程(陳英娥，1998)。陳英娥(1998)修改 Lakatos 和 Mason 的理論發展出數學臆測的思維模式，如圖 1。無論是學生或數學專家其思維歷程都是此模式或此模式的一部分，學生與專家之間思維方法在品質的差別但功能上意義相同，例如學生的猜測一次只有一個而專家可以有多個起點，或是在猜測方法上學生常用特殊化和形式類比而專家可以使用不同的技巧，像是利用特殊化、一般化、歸納與類比等，因此學生經過訓練也可以發展出較為成熟的數學臆測思維模式。. 12.

(21) 猜測. 檢驗相信. 反駁. 圖1 數學臆測思維模式學生的數學臆測思維是在猜測、檢驗、相信與反駁之間遞迴，如果猜測的本體是命題對錯，思維模式中的路徑會比較簡單；猜測的本體是找出正確結果，思維模式的路徑會比較複雜。二、臆測活動臆測活動是指在學生學習的過程中能夠驅使學生啟動數學臆測思維模式，激發學生數學臆測能力發展的教學活動。陳英娥(1998)提出數學臆測活動可以讓學生在活動期間經歷四個階段，學生獨立思考、學生間溝通與師生間溝通、學生進行合理的判斷以及反思回顧，讓學生能開始臆測思維。劉致演與秦爾聰(2016)在研究中主張數學臆測活動是由教師特意建構一個學習環境，引導學生在解題過程中由特殊化、一般化與類比等策略引動學生的數學臆測思維，並在學生互相溝通的過程中協助學生建立數學知識。在數學課堂上學生的數學臆測思維模式不會無端啟動，直接拋給學生學習的素材要求學生進行臆測，只會讓學生不知如何下手或拒絕猜想。一個有效的數學臆測活動需要教師事先安排適當的學習題材以及現場引導，才有可能引發學生進行有效的猜想，達到啟動學生數學臆測思維歷程的啟動，增進學生數學臆測能力。陳英娥(1998)經過三次小規模教學實驗後提出設計臆測活動中第一個活動設計的建議：教材方面，最好安排在思維內涵上是特殊化且類型是猜測命題對錯的題目；材料方面，使用手冊讓學生可以把想法直接寫在手冊上面；活動方面，讓學生上台、同儕討論；教師方面，教師提供學生需要的協助。這樣的安排教能讓學生達到臆測活動的四個階段：獨立思考、與同儕或教師溝通、進行判斷以及. 13.

(22) 得到結論與評論。陳英娥(1998)進行的數學臆測教學活動分為三個部分，第一部分為引入活動，其重點目標為讓學生親身經歷合理猜想的過程、引導學生使用特殊化進行猜測以及猜測可能有誤進行檢驗；第二部分為發展活動，其重點目標為讓學生使用特殊化與一般化進行猜測作為下一部份作準備；第三部分也是發展活動，讓學生以歸納進行猜測。參與研究的學生在臆測活動前都不敢猜想也不會進行檢驗，實施完臆測活動後所有學生都能夠提出一個猜想後進行一種檢驗，有部分學生甚至能用不同檢驗方法對自己的猜想進行檢驗，可見其數學臆測能力皆獲得提升。本次研究參照陳英娥(1998)數學臆測活動的建議與模式，教材方面使用臆測活動學習單，利用學習單的問題引導學生將自己的猜想記錄下來，教學流程分為三個階段，分別為暖身活動、建構活動(一)與建構活動(二)；活動方面使用分組討論以及小組上台發表的模式，啟動學生進行數學表達與數學溝通，增進其能力；教師方面則是進行組間巡視提供學生討論時所需協助並且主持各組上台發表的活動。本研究的臆測活動設計與陳英娥(1998)臆測活動設計建議比照表，如表 1。表1. 臆測活動設計對照表教材陳英娥臆測活動建議. 手冊. 活動. 流程. 學生上台發表同儕討論. 三部份. 引入特殊化猜測命題對錯. 暖身活動小組討論檢驗特殊例本次臆測活動設計學習單建構活動(一) 學生上台發表找出一般化結果建構活動(二) 本研究希望藉著將臆測活動引入尺規作圖教學，不僅可以啟動學生臆測思維歷程，還可以提升學生數學五股素養能力，並且最終能反應在學生學習成效上面。在下一節中將(Kilpatrick et al., 2001)提出的五股數學能力與 Anderson and Anderson (2001) 修訂 Bloom(1956)提出的認知領域教育目標分類進行比較。. 14.

(23) 第三節數學學習成效的測量學生的數學臆測思維是否增進很界定與觀察，如何得知數學臆測活動對學生而言是成功且有效的學習？透過學生展現的數學素養判斷是否是成功的數學學習，數學素養能力是由五股數學能力交織而成的(Kilpatrick et al., 2001)。這五股數學能力分別為： 1. 概念理解：能對數學概念、運算和關係的了解。 2. 程序流暢：不只能理解數學的程序性知識，還具備挑選適當並準確執行程序的能力。 3. 策略運用：具備形成數學問題、找到適當的數學表徵與解決數學問題的能力。 4. 適應推理：能夠進行邏輯思考、反思、解釋與驗證。 5. 建設性傾向：視數學為有價值的知識，相信自己有能力與意願成為有效率的數學學習者，並實踐數學知識。讓學生擁有這五股數學能力的學習，被視為成功的學習。秦爾聰等人(2015) 使用數學素養五股能力檢核表發現學生在特殊化臆測過程中反覆主動展現了概念理解、程序流暢以及策略運用三種素養力，數學臆測能驅動學生數學素養力交織展現。在特殊化到一般化的數學臆測活動中，數學臆測驅動學生交織展現五股數學能力，顯示有效的數學臆測活動對學生而言的確是成功的數學學習歷程。我們要如何檢核學生運用五股數學能力是否得到提升？本次研究除了利用尺規作圖的多樣性觀察學生五股數學能力的展現、數學學習動機檢驗五股數學能力中的建設性傾向外，以 Anderson and Anderson (2001)提出的認知面向分類記憶、了解、應用、分析、評鑑和創作進行試題分析。 Bloom(1956)提出的認知領域教育目標分類一共分為六大類，分別是知識、理解、應用、分析、綜合和評鑑，而後推出了修訂版本(Anderson & Krathwohl， 2001)，調整原版本更改為記憶、理解、應用、分析、評鑑和創作。以下是修訂版本的分類在數學評量上的應用： 1. 記憶：識別問題中呈現的內容與記憶的數學知識一致，或藉著問題的提示回想知識內容。 2. 理解：學生能將資料轉換成不同表徵、對於已經學過的概念找到合適. 3. 4. 5. 6.. 的例子或說明、能將例子或說明正確歸因到合適的概念、對呈現的訊息摘要出主題或重點、找出例子與例子之間的規律或異同。應用：運用已學過的程序。分析：在所有題目訊息中區分出重要且有用的條件、分析一個結構中有用的成分元素、能做正確的歸因、解構。評鑑：能偵測一個過程的正確性、檢驗問題解決程序的合適性。創造：根據歸納建立替代假設、建立新程序完成工作、發現數學概念。. 表2. 15.

(24) 認知面向與五股數學力對照認知面向記憶五股數學力. 理解. 應用. 分析. 概念理解概念理解程序流暢. 評鑑. 創造. 策略運用策略運用策略運用程序流暢適應推理適性推理. 本次研究裡不包含形式證明，所有關於推理或證明的部分都侷限於非形式證明，不要求使用嚴謹的數學表達或形式證明，例如五股數學力中的適性推理、認知面向分類的創造或是臆測活動的檢驗都只到非形式證明。. 16.

(25) 第三章. 研究方法. 本章主要說明研究設計與流程、研究樣本及其背景、研究工具和分析以及教學設計。. 第一節研究設計與研究流程本研究主要研究目的在討論臆測活動融入尺規作圖教學對學生的影響，配合研究者任教現況，採取準實驗研究法，進行實驗。依據準實驗研究法選取自變項、依變項等，並於實驗處理前後實施測驗以蒐集資料。一、自變項本實驗中自變項為觀念建立的「教學模式」，實驗組在學習中垂線尺規作圖與角平分線尺規作圖時，使用研究者自編的「中垂線探索活動」學習單與「角平分線探索活動」學習單進行小組討論，「中垂線探索活動」學習單的練習題中包含過直線上一點作垂線以及過直線外一點作垂線，這兩種基本尺規作圖不另外再作教學；對照組則使用翰林版數學課本，以教師講述方式進行中垂線尺規作圖、角平分線尺規作圖、過直線上一點作垂線尺規作圖以及過直線外一點作垂線尺規作圖這四種基本尺規作圖教學。國中第四冊中尺規作圖單元的其餘部份，等線段與等角尺規作圖，實驗組與對照組於實驗實施前，以教師講述方式完成教學。二、依變項許多數學臆測活動相關的實徵研究例如張佩琦(2007)運用臆測教學提昇國三學生數學學習成效-以相似形為例、趙曉燕(2010)數形規律教學對國小六年級學生帶學習影響之研究和秦爾聰(2015)數學臆測探究教學對商職學生數學學習成就與動機之影響等研究中顯示，學生經由臆測活動學習後，在數學學習動機上都產生統計上的顯著差異，但現職教師和家長們重視的學習成效是指傳統紙筆測驗例如定期評量與平時評量的成效與其它教學法在統計上沒有顯現出顯著差異。研究者在這些實徵研究的質性分析裡可以發現經由數學臆測活動學習的學生，其數學的素養力展現較佳，因此認為數學臆測活動對於學生學習數學所帶來的改變，不只發生在學生的數學學習動機自評上，也應該會反應在學習成效紙筆測驗的表現上。部分研究也顯示出經過數學臆測活動學習的學生，其學習保留度較其它教學法好。因此本研究除了使用尺規作圖的單元測驗卷作為學生學習成效的依據外，還另外編製了與中垂線尺規作圖、角平分線尺規作圖過程中相關幾何性質的測驗卷作為學習成效的依據。與本實驗相關的幾何性質一是「中垂線上任一點到兩端點等距」的中垂線性質，另一個則是「角平分線上任一點到兩邊等距」的角平分線性質。因此本實驗採納的學習成效相關紙筆測驗除了尺規作圖的單元評量外，尚有中垂線性質與角平分線性質的評量。另外在定期評量中也同時採納了尺規作圖與. 17.

(26) 兩種平分線性質相關的題目，作為延後測，並希望藉由針對不同類型的學習成效紙筆測驗進行分析，採用量化分析與質性分析兩種方式，期待能更理解學生經由實驗後所產生的學習成效。綜合上述原因，本實驗的依變項分為「尺規作圖學習成效」與「數學學習動機」兩大類，而「尺規作圖學習成效」方面的依變項又分為兩種，第一種是學生在尺規作圖後測與延後測、平分線性質前測、後測與延後測等紙筆測驗中各種認知面向的得分作為尺規作圖學習成效的依變項，另一類則是分析學生在學習單與紙筆測驗的作圖題中，作圖過程裡利用的不同作圖策略，其策略的多樣性作為尺規作圖學習成效的依變項。在「數學學習動機」方面則是使用「數學學習動機問卷」進行學生自評，並將「數學學習動機問卷」分成自我效能、主動學習策略、數學學習價值、成就目標以及學習環境刺激等五種面向，各個面向的得分作為數學學習動機的依變項。三、控制變項主要的控制變項為時間控制、練習量控制與統計控制： (一) 時間控制：本實驗的實驗組與對照組的教學時間皆預訂為 120 分鐘，兩組在相同的三天進行。實際執行時，實驗組所有教學時間為 135 分鐘，對照組仍為 120 分鐘。原本預計在第三堂課最後的 15 分鐘給學生進行數學課本自我評量練習，剩餘部分作為當日的回家作業，因應兩組教學時數的差異，變更為實驗組的數學課本自我評量全部作為回家作業，於下次上課時檢討；對照組則是按照原本計畫，先於課堂最後 15 分鐘進行練習，部份學生未完成自我評量，請學生回家後自行完成，並於次日上課時間檢討。兩組的各種紙筆測驗則是控制在相近的時間，其中「數學學習動機問卷」前測、「平分線性質應用型問題試卷」前測與後測、「尺規作圖單元卷」與延後測都在同一天進行施測，維持時間上的一致性，避免學生間互相交流，僅有兩組的「數學學習動機問卷」後測因為教學進度的安排，對照組是在實驗組實施後兩天才進行「數學學習動機問卷」後測。 (二) 練習量控制：在兩組學生學習尺規作圖單元時，課堂上的練習量因為教學時數不同而有所不同，對照組比實驗組多出十五分鐘在課堂上進行課本自我評量的練習，實驗組未在課堂上進行的題目一併納入該組的課後作業，所以兩組在課堂與課後的練習總量是相同的。兩組學生自行練習的部分有翰林版本課本的自我評量、翰林版習作以及康軒文教事業出版的國中學習講義第四冊。兩組學生在學習過程中搭配的練習題力求相似，在情境上有些微差. 18.

(27) 異，如實驗組練習的題目為作出「給定線段的 1.5 倍長」對應到對照組的題目則是「將一個給定線段四等分」，兩組練習題目對照表如表 3。表3 練習量練習題練習種類. 實驗組(練習時間). 對照組(練習時間). 中垂線練習. 給定線段的中垂線(課堂) 給定線段的 1.5 倍線段(課堂) 過直線上一點作垂線(課堂) 過直線外一點作垂線(課堂). 無四等分給定線段(課堂) 過直線上一點作垂線(課堂) 給定三角形的高(課堂). 給定銳角的角平分線(課堂) 角平分線練習給定鈍角的角平分線(課堂). 課本自我評量國中學習講義尺規作圖單元. 三角形的銳角平分線(課堂) 給定鈍角的角平分線(課堂). 兩種方法作 30 度角(課堂). 兩種方法作 30 度角(課堂). 無(課堂) 回家作業(課後). 15 分鐘(課堂) 未完成部分(課後). 回家作業(課後). 回家作業(課後). 除了課堂與課後布置作業總量相同外，考試題目和試題總量也相同，兩組在課堂上進行的測驗也相同，無論實驗組或對照組都是使用研究者自編的「尺規作圖單元卷」以及「平分線性質應用型問題試卷」。 (三) 統計控制：本研究設計依據任教班級分組，無法將學生隨機分組，故利用實驗組與對照組八年級以來四次定期考成績進行獨立樣本 t 檢定以排除分組時組間差異的干擾。針對同一位受試者在實驗前後其表現是否不同，本研究使用成對樣本 t 檢定進行實驗前與實驗後資料的量化分析。對於實驗裡蒐集到依變項資料進行實驗組與對照組間差異的量化分析時，本研究採取兩種不同的統計分析方式。研究者考慮到同一位受試學生針對相同概念進行多次測驗時，即使題目的數據不相同，前測與後測的資料不一定具備獨立性，為避免因為統計方式影響組間差異的呈現，實驗組與對照組的組間差異相關分析同時採取建立在資料間具有獨立性的獨立樣本 t 檢定以及適用於資料非獨立的重複測驗常採用的廣義估計方程式 GEE。實驗者分別對於前測中、後測中以及延後測中的組間差異進行三次獨立樣本 t 檢定；再採用廣義估計方程式 GEE 檢驗針對「平分線性質應用型問題試卷」以及「數學學習動機問卷」兩種測驗的前測與後測觀察兩組成長幅度是否不同，以釐清實驗介入對於兩組產生的影響。利用兩種不同統計分析方法來排除因為資料間是否具備獨立性對組間差異結論的干擾，以達到統計上的控制。本研究所採取的統計控制如表 4，. 19.

(28) 表4 統計方法控制. 控制目標. 統計方法. 資料來源. 兩組實驗前的起點行為. 獨立樣本 t 檢定. 八年級四次定期考成績. 實驗介入後對受試者影響. 成對樣本 t 檢定. 「平分線性質應用型問題試卷」前測與後測「數學學習動機問卷」前測與後測. 實驗介入後對. 獨立樣本 t 檢定. 「尺規作圖單元卷」「平分線性質應用型問題試卷」前測「平分線性質應用型問題試卷」後測「數學學習動機問卷」前測「數學學習動機問卷」後測「延後測考卷」. 組間差異影響廣義估計方程式 GEE. 「平分線性質應用型問題試卷」前測與後測「數學學習動機問卷」前測與後測. 本研究之實施程序如下：一、擬定主題和研究問題經過研究者十多年的現場教學經驗、教授和教師同儕間討論確定研究主題為臆測活動對數學教學的影響，並開始聚焦於研究問題。二、蒐集與閱讀相關資料蒐集有關臆測、探究教學、尺規作圖等相關資料與文獻，查詢有關學習動機與學習成效的相關資料與工具。三、確定教學設計利用蒐集的尺規作圖資料、與專家教授討論以及與教師同儕間討論後，發展出「中垂線探索活動」學習單、「角平分線探索活動」學習單。四、編制工具依據研究問題的需求編制「尺規作圖單元卷」、「平分線性質應用型問題試卷」，蒐集「數學學習動機問卷」。五、實施前測為了解學生於實驗前的起點行為，蒐集實驗組與對照組學生八年級以來的所有數學段考成績，並於實驗教學實施前一週，實施「數學學習動機問卷」前測與「平分線性質應用型問題試卷」前測。. 20.

(29) 六、進行實驗研究者非擔任導師的兩個任教班級隨機分配為實驗組和對照組，於正式課程進行到中垂線與角平分線的尺規作圖時進行教學實驗。實驗組利用「中垂線探索活動」學習單與「角平分線探索活動」學習單進行課程，分小組討論以完成學習單，其間由教師在各組巡視給予鷹架支持；對照組則是以教師講述、提問和黑板上演示方式傳遞知識給學生，並於課堂中要求學生上台演示和完成課本的隨堂練習。因對照組學生反對未進行錄影，以教師教學日誌、學生解題歷程記錄與上課學習單代替。七、實施後測、延後測為了解學生經過實驗處理後的學習成效以及數學學習動機是否提升，於實施實驗後，選在同一天進行實驗組與對照組的「尺規作圖單元卷」測驗，另一天實施兩組的「平分線性質應用型問題試卷」後測。實驗實施五週後進行的段考中相關試題作為兩組的延後測，並於段考結束的當週進行「數學學習動機問卷」後測。八、分析研究結果 (一) 分析「尺規作圖單元卷」：為了解學生在實驗後兩組在提升尺規作圖的學習成效上是否不同，以獨立樣本 T 檢定與 GEE(generalized estimating equations)兩種統計分析方法觀察的兩組間差異是否顯著並分析作圖題使用的作圖方法總類。 (二)比較「平分線性質應用型問題試卷」之前測與後測：為了解兩種教學法對於中垂線性質與角平分線性質的學習成效是否提升，以實驗組的前測分數和後測分數為成對變數、對照組的前測分數與後測分數為成對變數，進行成對樣本 t 檢定，觀察實驗組和對照組在前後測驗中是否有顯著進步。為了解兩種教學法對於提升中垂線性質與角平分線性質的學習成效是否有所差異，進行獨立樣本 t 檢定與 GEE(generalized estimating equations)兩種統計分析方法，觀察兩組間是否有顯著差異。 (三) 比較「數學學習動機問卷」前測與後測：為了解兩種教學法對於數學學習動機是否提升，以實驗組的前測分數和後測分數為成對變數、對照組的前測分數與後測分數為成對變數，進行成對樣本 t 檢定，觀察實驗組和對照組在前後測驗中是否有顯著提升。為了解兩種教學法對於數學學習動機提升是否有所差異，進行獨立樣本 t 檢定與 GEE(generalized estimating equations)兩種統計分析方法，觀察兩組間是否有顯著差異。 (四) 分析「延後測考卷」：. 21.

(30) 段考中尺規作圖、中垂線性質以及角平分線性質相關題目作為「延後測考卷」。為了解實驗五週後的實驗組與對照組在尺規作圖與中垂線性質、角平分線性質的學習成效是否不同，進行獨立樣本 t 檢定與 GEE(generalized estimating equations)兩種統計分析方法，觀察兩組間是否有顯著差異。本研究之研究流程，如圖 2 所示。確定研究主題. 確定研究目的與研究問題. 文獻探討. 確定研究方法設計「中垂線與角平分線尺規作圖的臆測活動學習單」與教學內容. 確定研究對象與工具. 實施前測「數學學習動機問卷」前測. 「平分線性質應用型問題試卷」前測. 進行教學實驗. 實施後測「尺規作圖單元卷」測驗. 「平分線性質應用型問題試卷」後測. 實施延後測與訪談延後測. 學生訪談. 結果分析與討論圖2 研究流程圖. 22. 「數學學習動機問卷」後測.

(31) 第二節研究樣本本研究之研究樣本為研究者任教的台北市某國中八年級學生，該校學生每年畢業生中約有 75%能上台北市公立高中、約 5%能進入台北市第一志願，入學編班方式利用入學時國文科與數學科的測驗分數，採用 S 型常態編班。研究者任教的三個班級中，排除擔任導師的班級，挑選一班為實驗組，實施臆測活動融入教學；另一班為控制組，採取教師講述式教學。實驗組的班級有特教學生，但特教學生在七年級上學期第一次段考後會抽離至特教組上課，本研究之實驗組的數學課沒有已鑑定的特教學生。研究者的學校設有數理資優班，新生入學後會依據七年級上學期第一次段考前的表現進行數理資優生的鑑定，通過鑑定的數理資優生七年級全學年數學課都是原班上課，於放學後的時間進行外加的資優課程，但八年級上學期開始，數學課時資優學生會回到資優班進行數學課。其餘同學則在教室上課。所以本研究的實驗組與對照組中都沒有通過鑑定的數理資優生。實驗組與對照組自七年級入學以來皆由研究者擔任數學教師，上課方式主要以講述式教學為主，部分單元使用自製學習單搭配小組討論，每學期選定一個單元由各小組上台報告，每組人數控制在四位至五位，每次段考後皆以小組成績進行獎勵並且重新分組，分組方式採取異質性分組。從八年級上學期開始，實驗組扣除兩位資優學生、一位特教學生以及一位在家自學學生，實驗實施階段實際數學課上課應到人數為 20 位；對照組扣除兩位資優生以及一位病弱學生，實際數學課上課應到人數為 22 位。我們收集這 42 位來自實驗組與對照組的同學資料。實驗開始之前，進行由研究者擔任授課者的 30 分鐘尺規相關課程，內容為圓規基本操作與維修、直尺在尺規作圖中的功能以及等線段與等角兩種基本尺規作圖。教學實驗進行前，兩組對於圓規的操作都有基本認識和練習。為了解兩組在實驗前的起點行為，考慮到這四十二位同學是在八年級上學習開始組成實驗組的班級與對照組的班級，我們將八年級上學期以來到實驗前實驗組與對照組兩班總共四次的段考成績進行獨立樣本 t 檢定，如表 3 所示。由結果可以發現這四次段考成績中，兩組的平均數互有領先，並且平均數差異未達顯著水準。基於 t 檢定結果 p>.05，實驗組與對照組的同質性可以視為兩組之間有一致性。雖然兩組組成學生無法做到隨機分組，依然可以將實驗組與對照組視為具有相同的起點行為的兩組。. 23.

(32) 表5. 八年級四次數學科段考成績比較段考別. 八上第二次. 八上第三次. 八下第一次. 實驗組平均數 77.95 對照組平均數 82.18. 62.55. 65.20. 75.70. 61.32. 67.73. 73.73. 實驗組標準差 22.77 對照組標準差 18.89. 23.99. 28.39. 18.35. 24.81. 29.50. 23.81. t值. 八上第一次. −0.652. 0.164. −0.283. *p< .05. **p< .01. 24. 0.302.

(33) 第三節研究工具為回答研究問題，本研究所使用的研究工具有量化工具與質性工具兩種，在量化工具使用「尺規作圖單元卷」、「平分線性質應用型問題試卷」、「延後測考卷」以及「數學學習動機問卷」來評估學生在實驗後學習成就與學習動機的影響。質性工具有「中垂線與角平分線尺規作圖的臆測活動學習單」、「尺規作圖單元卷」學生解題過程紀錄以及非結構性訪談輔助了解學生作圖方式的多樣性與解題思考歷程。量化工具分別說明如下：一、「尺規作圖單元卷」本測驗工具主要用於釐清學生經過實驗處理後是否在尺規作圖的題目上取得較好的學習成效。本測驗一共 20 題，10 題選擇、4 題填充以及六題作圖題。本研究採用 Bloom(1956)提出的認知領域教育目標修訂版本的六個分類進行試題分析，分別是記憶、理解、應用、分析、評鑑和創作(Anderson & Krathwohl，2001)。試題分析結果如表 6。本研究所用到的每分試卷中各種面向題目所占比例並不相同，為了解學生對於應用五股數學能力中策略運用與適性推理的表現，我們著重於應用與分析兩種面向，在每份試卷選擇不同的配分方式以達到應用與分析兩種面向占整份試卷 60%以上，記憶和了解面向不超過 40%，讓不同試卷間透過配分調整比例後也有一致性。「尺規作圖單元卷」這份試卷的計分方式總分為 100 分，評分規則：選擇題答對得 5 分、空白或答錯得 0 分；填充題答對得 5 分、空白或答錯得 0 分；作圖題完成圖形得 5 分、依據所使用的基本作圖部份給分，給分範圍為 0 到 5 分。其中應用面向 25%以、分析面向 40%，合計占整份試卷 65%，讓試卷成績較能顯現學生經過實驗後，在這兩種認知面向上的變化。「尺規作圖單元卷」於該單元課本與習作練習都完成後進行施測，兩組同一天進行以避免學生間訊息的互相交流，施測時間為 45 分鐘。施測當天實驗組有效資料共 20 筆；對照組扣除請假者有效資料共 19 筆。以 SPSS 統計軟體進行內部一致性的信度分析，整份試卷的庫李信度 KR20 係數為.893，大於 .8 可進行量化分析(Gay,1992)。表6. 「尺規作圖單元卷」試題分析認知面向記憶. 測驗目標. 題號(題型). 配分. 合計. 能知道中垂線作圖中半徑大於. 1(選擇). 5分. 5分. 25.

(34) 線段的一半. 理解. 應用. 分析. 能辨別等分線數量. 3(選擇). 5分. 能理解敘述並轉換成圖形再判斷真偽. 5(選擇). 5分. 能利用中垂線性質找出線段長並應用在三角形兩邊長和. 12(填充). 5分. 能知道角平分線等分角並找出角的比例. 13(填充). 5分. 能利用中垂線等分線段找出作圖最佳策略. 10(填充). 5分. 能利用中垂線等分線段找出作圖最佳策略. 11(填充). 5分. 在情境下能完成過直線外一點垂線作圖. 15(作圖). 5分. 在情境下能完成等角作圖. 16(作圖). 5分. 在情境下能完成角平分線作圖. 17(作圖). 5分. 能辨別角平分線的尺規作圖痕跡並判斷各線段關係. 4(選擇). 5分. 能利用中垂線性質找出等長線段. 6(選擇). 5分. 能辨別箏形的尺規作圖痕跡並判斷各線段關係. 7(選擇). 5分. 能辨別等分比例. 9(選擇). 5分. 能辨別作圖痕跡的各項幾何性質. 14(選擇). 5分. 能結合數個基本作圖完成三等分特殊角. 18(作圖). 5分. 能結合數個基本作圖完成給定的三角形. 19(作圖). 5分. 20(作圖). 5分. 能辨別作圖的痕跡與作法是否符合等線段要求. 2(選擇). 5分. 能辨別作圖的痕跡與作法是否符合垂線要求. 8(選擇). 能結合數個基本作圖完成所給定的三角形. 評鑑. 26. 20 分. 25 分. 40 分. 10 分 5分.