層級分析法之應用程序

層級分析法在處理複雜問題時係利用系統方式加以分析歸納，是多目標 或多準則決策領域中的一種簡單又實用方法。應用層級分析法進行決策問題 分析時，其主要包括下列三個階段【54】：

一、建立層級結構

處理複雜問題時，利用層級結構加以分解，每一層級的要素不宜超 過七個。

二、各層級要素間的權重計算

各層級要素間的權重計算，可分為三步驟：

（一） 要素間之成對比較

某一層級的要素，以上層級某一要素作為評估基準下，進行要 素間的成對比較。若有n 個要素時，則須進行 n ( n -1 ) / 2 個成對 比較；將 n 個要素比較結果的衡量於成對比較矩陣 A 的上三角形 部分（主對角線為要素自身的比較，故均為l ) , 而下三角形部分的

數值，為上三角形部分相對位置數值的倒數，即ａij＝1／ａji。成對 比較的時候，所使用的數值，分別為1/ 9 , 1 / 8 ，…，1 / 2 , l , 2 , 3 ，…，8 , 9，其意義見表 3.3。

表3.3 AHP 評估尺度彙整表

評估尺度 定義 說明

1 同重要（同不重要） 兩相比較要素之貢獻程度具同等重要性 3 ( l / 3 ) 稍重要（稍不重要） 經驗與判斷稍微傾向喜好某一要素 5 ( l / 5 ) 重要（不重要） 經驗與判斷強烈傾向喜好某一要素 7 ( 1 / 7 ) 很重要（很不重要） 實際顯示非常強烈傾向喜好某一要素 9 ( l / 9 ) 最重要（最不重要） 有足夠證據肯定絕對喜好某一要素 2 , 4 , 6 , 8 相鄰尺度之中間值 需要折衷值時

資料來源：【56】

（二） 計算特徵值與特徵向量

成對比較矩陣得到後，即可求得各層級要素之權重；首先求出 各因素之特向量( Eigenvector )，代表層級中某層次各因素間之優先 順序，所得之優先順序即代表各因素間之相對比重；計算各因素之 特徵向量後，再以極化特徵值（maximized eigenvalue）評估比對矩 陣的一致性之強弱，倘若一致性結果符合標準時，則可以根據所得 之優先順序作為決策參考，否則必須再評估；由於成對比較矩陣為 正例矩陣，而不是對稱矩陣，因此可用的特徵值解法主要有乘慕法 與House -holder 法，而後者的計算速度又比較前者快許多。

（三） 一致性檢定

若成對比較矩陣為正例矩陣，要求決策者在成對比較時，能達 到前後一貫性，這是有困難的，因此必需進行一致性檢定，將所有 比對矩陣之一致性程度以計算出整體決策層級之整體一致性指標

（consistency index .；C.I. ）與一致性比率（consistency Ratlo . ; C.

R.) ，藉以評估整體層級之一致性高低程度，檢查決策者回答所構 成的成對比較矩陣，是否為一致性矩陣。通常，決策層級是由兩個 以上層次所構成。將每個層次聯接逐級由上至下以計算最低層次的

各因素對整個層級的優先順位，繼而決定出可行決策的優劣，而為 實際決策的參考。一致性指標的提出，主要告訴決策者在評估過程 中，所作的判斷合理程度為何，是否不一致，或有矛盾現象，以及 時修正，避免作成錯誤決策。一致性的檢定，除用於評量決策者的 判斷外，尚可用於整個層級結構。由於各層級問的重要性不同，所 以要測試整個層級結構是否具一致性。一致性指標不論在決策者判 斷的評量或是整個層級結構的測試，皆建議在0.1 左右（一般採 C.R.<

0.1 )，如此一致性才能獲得保證。【56】

三、整體層級權重之計算

各層級要素間之權重計算後，再進行整體層級權重的計算。最後依 各替代方案的權重來決定最終目標的最適替代方案，數值愈大者代表優 先項目重要性愈高· 若為群體決策時，各替代方案的權重可加以整合，其 方法如前述。

本研究採取之層級分析法使用公式為成偶比對矩陣。成偶比對矩陣 之建立是以每一層的評比要素作為基準，並以其所屬之下一層的 n 個評 比要素，進行兩兩比較，形成成偶比對的評估值，其所產生的C（n，2）

＝n（n－1）/2 個評估值ａij即為成偶比對矩陣中，主對角線右上方的元 素值。將右上方之元素僅之倒數放置主對角線左下方相對位置中，並將 主對角線上的元素數值均設為l，則可得完整之成偶比對矩陣。

令ａij ＝ Wi / Wj ，此處 W1，W2，…………，Wn 代表層級中各要 素對於上一層級中某要素的相對權數。此時矩陣有兩個特點：

1.層級分析法的成偶對比矩陣為正轉置矩陣。

2.若專家評比時的判斷均非常完美精確，此時矩陣為一致性矩陣。亦即 所有比對值均滿足數學遞移律。

（一）計算各比對矩陣的優先向量（Priority Vector ）及最大特徵值

（Maximized Eigenvalue )

由於 A 為正倒值矩陣，所以 AW＝nW，A＝［ａij］ n×n，

W＝（W1，…，Wn)T，按矩陣理論而言，w 為一致性矩陣 A 的 特徵向量（Eigenvector )，在層級分析法中又稱為優先向量，代表 各要素間的相對權數，而其特徵值則為 n。成偶比對矩陣為一致 性矩陣且ａij＝1 時，只會有一個特徵值 n，其餘特徵值均為零，

因而其最大特徵值為 n。在主觀的比對過程中有稍許誤差存在，

則雖然特徵值亦將有微量變動，但只要ａij＝1 且矩陣 A 為一致性 矩陣，則其最大特徵值仍會趨近於 n。至於誤差在多少之內可以 不影響結果的正確性，則須由一致性指標及一致性比率加以檢 驗，此時相對於最大特徵值之特徵向量（亦即A 層級分析法所稱 之優先向量）W 可由矩陣 A 的 K 次乘方的極限矩陣標準化後再 將橫列予以加總的方式得出，因其計算不易，經由電腦計算較可 求得精確結果。至於最大特徵值 λmax的求法可經由電腦計算方能 有精確結果。

惟若對準確度要求不高時，可以由下法求其概略值：首先由 W’＝AW 求得 W’（W’ 即為將 w 標率化之結果），再將W ’ 的每 一個元素分別除以相對應的W 之元素，最後將所得之數值取算術 平均數即可得概略的λmax。

（二）一致性指標（Consistency Index；C.I.）與一致性比率（Consistency Ratio；C.R.)

在進行成偶評估比對時，專家對於評估指標間可能無法完全 一致時，會影響分析的正確性。因此必須檢驗誤差大小，視其是 否在可忍受的誤差範圍內，才不會影響決策之優先次序之結果。

Saaty 將最大特徵值 λmax 與 n 之間的差異值轉化為一致性指標，

以用來評量一致性的高低，作為是否接受比對矩陣的參考，其數 學式為：

C.I.＝（λmax) n / ( n －1 )

此外，隨機產生的正倒值矩陣的一致性指標稱為隨機指標 (Random index )R.I.，當評比項目為 n 時，利用一致性指標及下表 所示之隨機指標，便可求得比對矩陣之一致性比率，即C.R = C.I.

/ R.I.。

Saaty 認為，一致性比率在 0 .1 以下是合理的，若超過此水 準，則建議可以重新修正評估以改善一致性比率。

（三）計算整體層級的一致性指標與一致性比率

如果每一成對比較矩陣的一致性程度均符合規定，則尚需檢 定整個層級結構的一致性。如果整個層級結構的一致性程度不符 合要求，表示層級間的要素關聯有問題，須從頭進行要素及其關 聯的分析。

上一步驟係針對單一比對矩陣一致性程度之衡量，至於整體 層級之一致性亦應予以評量，C.R.H.＝C.I.H./R.I.H.

其中C .R .H.代表整體層級的一致性比率；C.I.H.，代表整體 層級的一致性指標；而 R.I.H.則代表整個體級的隨機指標。在 C.R.H. < 0.1 時，整個層級的一致性，即表示達到可接受的水準。