第三章 研究方法
3.1 層級分析法
3.1.3 層級分析法進行步驟與理論基礎
一、AHP的進行步驟
利用AHP進行決策問題時，主要包括以下三個階段：
第一階段：建立層級之結構
處理複雜問題時，利用層級結構加以分解，有關層級之建立，在前節中已詳述。
假若複雜的問題有n個要素，利用成對比較而獲得的比率尺度，總共需做n(n-1)/2 個判斷。
第二階段：各層級要素間權重的計算 此一階段可區分為三個步驟：
（1）建立對偶之比較矩陣
某一層級的要素，以上一層級某依要素作為評估基準下，進行要素間的成對 比較。若有ｎ個要素時，則需進行n (n－1) / 2個成對比較。成對比較時所使用的 數值，分別為1/9，1/8， … ，1/2，1，2，3， … ，8，9，將ｎ個要素比較結 果的橫樑，置於成對比較矩陣Ａ的上三角部份（主對角現為要素自身的比較，故 均為1），而下三角部份的數值，為上三角部份相對位置數值的倒數。有關成對 比較矩陣的元素，如式(3-1)所示：
26
=
nn n2
n1
2n 22
21
1n 12
11
a a
a
a a
a
a a
a A
aij = wi / wj =1/ aji > 0, i, j 式中：
aij 為第i要素與第j要素之相對重要 (貢獻) 程度的比值 wi 為第i要素對上一階層某要素之相對重要性 (貢獻度)
（2）計算特徵值與特徵向量
成對比較矩陣得到後，即可求取各層要素的權重。使用數值分析中常用的特 徵值（Eigen Value）解法，找出特徵向量或稱優勢向量（Priority Vector）。求解 特徵向量，如不要求絕對精確，可以利用標準化（Normalize）方式，從對偶比 較矩陣中求得，有下列四種方法：
A.將比較矩陣各列（Row）之值加總，再將各列加總值除以各列加總之總 和，即為特徵向量；以式(3-2)計算之：
∑∑
=
∑
ij ij
a a Wi
B.將比較矩陣各行（Column）之值加總，再求此加總值之倒數並予以標準 化（即除各行倒數之總和），即為特徵向量；式(3-3)為其計算式：
∑ ∑
=
∑
1 ) ( 1
ij ij
a a
Wi
i,j=1,2,3,…nC.先將矩陣之各行標準化，再將標準化後之各列元素加總，除以各列元素 之各數，即為特徵向量；式(3-4)、式(3-5)為其計算式：
(3-1)
(3-2)
(3-3)
27
=
∑
ij ij
ij
a
a a
i,j=1,2,3,…nn a Wi
∑
ij= i,j=1,2,3,…n
D.將矩陣之各列元素相乘，並開ｎ次方根，再將各開ｎ次方根後之各數值 予以標準化，即為特徵向量；式(3-6)為其計算式：
=
∑
) (
) (
ij ij
a Wi a
π
π i,j=1,2,3,…n
至於特徵值之計算，Saaty提出其求解方法：將所求得之特徵向量與對偶比 較矩陣相乘，得一向量W' ，再將W'中每一元素除以原向量W之每一元素，再將 其結果加總並除以元素個數，即為最大特徵值λmax；式(3-7)、式(3-8)為其計算 式：
′
′
′
=
m m
m m
m m
W W W
W W W
a a
a a
a a
2 1 2
1
2 1
2 21
1 12
* 1 1
1
而λmax=
( ) (
1m
*W
1′W
1+W
2′W
2+...+W
m′W
m)
（3）一致性檢定
若對偶比較矩陣A為正倒值矩陣，要求決策者在成對比較時，能達到前後一 貫性，這是相當困難的。因此需要進行一致性檢定，作成一致性指標（Consistency Index, CI），檢查決策者回答所構成的對偶比較矩陣，是否為一致性矩陣。一致 性的指標的提出，主要告訴決策者在評估過程中，所做的判斷的合理程度為何、
是否不太一致、或有矛盾之現象、及時修正等，避免造成不良的決策。一致性的 (3-4)
(3-5)
(3-6)
(3-7)
(3-8)
28
檢定，除用於評量決策者的判斷外，尚可用於整個層級結構。由於各層級間的重 要性不同，所以要測試整個層級結構是否具一致性。式(3-9)為其計算式：
A. 一致性指標（Consistence Index）：CI的計算如(3-9)式，當CI=0，表示 問卷填答者前後判斷完全一致，然而 Saaty (1986)也建議CI≦0.1 為可容許的偏 誤範圍。
B. 一致性比率（Consistency Ratio）：CR的計算如(3-10)式，其中RI為隨 機指標（Random Index, RI），根據 Dak ridge National Laboratory 與 Wharton School 的研究指出，在不同階數下（如表3-2），所產生的正倒值矩陣，會產生 不同的CI值(鄧振源、曾國雄，1989)。若CR≦0.1，則表示評估過程達到一致性。
C.R. = C.I./R.I.
若C.R.≦0.1，則檢定視為可接受。
C.整個層級的一致性，式(3-11)為其計算式：
C.I.H=ΣΣWijUi,j +1
其中，Wij 表示第j個層級中第i元素之總權數值，Ui,j 1 + 表示第ｊ＋1層級 所有元素對i元素之一致性指標。
第三階段：整體層級權重之計算
各層級要素間的權重計算後，再進行整體層級的權重計算。最後依各備選 方案的權重，以決定最終目標的最適方案。
在進行各因素間的兩兩比較時，AHP所使用的基本評估尺度是由文字敘述 評比 ( Verbal Judgments Ranking ) 而來，包括「同等重要」、「稍重要」、「頗 (3-9)
(3-10)
(3-11) 1
max
−
= − n CI λ n
29
重要」、「很重要」、「極為重要」；與其相對應產生數值尺度 ( Numerical Judgments ) 為 ( 1、3、5、7、9 )，和介於其中的折衷數值 ( 2、4、6、8 )，其關係如表3-1 所示。
表3-1 AHP評估尺度(鄧振源、曾國雄，1989)
尺度 定 義 說 明
1 Equal Importance 同等重要 等強（Equal Strong）
3 Moderate Importance 稍重要 稍強（Moderate Strong）
5 Essential or strong 頗重要 頗強（Strong）
7 Ver/strong Importance 極強 極強（Very Strong）
9 Extreme Importance 極為重要 絕強（Absolute Strong）
2,4,6,8 相鄰尺度間的折衷值 重要性介於上述相鄰尺度之中間值
表3-2 評估矩陣隨機指標值(鄧振源、曾國雄，1989)
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 RI 0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.48 1.56 1.57 1.58
將影響系統之要素加以分解成數個群體，每群體再區分成數個次群，逐級 建立全部之層級結構，其關係如圖 3-2 所示：
圖 3-2 AHP 層級架構示意(Saaty,1980) Goal
Objectines A Objectines B Objectines C Objectines D
Criteria A Criteria B Criteria C
Alternatives A Alternatives B Alternatives C Alternatives D
30