層級分析法

一、層級分析法簡介

層級分析法(Analytic Hierarchy Process，簡稱 AHP)為 1971 年 Thomas L. Saaty 所發展出來的一套決策方法，經由不斷應用以及修正，1980 年 後，AHP 的整個理論更為完備，主要應用在不確定的情況下及具有多數 個評估準則的決策問題上。對決策者而言，階層結構有助於對事物的了 解，但在面臨「選擇適當方案」時，必須根據某些基準進行各替代方案 的評估，以決定各替代方案的優勢順位（Priority），然後找出適當的方案。

基本上，AHP 法是將複雜且非結構的情況分割成數個組成成分，安排這 些成分或變數為階層次序，將每個變數的相關重要性利用主觀判斷給予 數值；綜合這些判斷來決定哪一個變數有最高優先權。而問題的每個變 數必須給予一個數值，以幫助決策者思考而得到結論。

AHP 可運用之領域，依 Saaty 的經驗，AHP 法可運用於下列十二種 類型之問題：

(一)評定優先順序（Setting Priorities）

(二)替選方案的產生（Generating Set of Alternatives）

(三)評選最佳方案（Choosing a Best Policy Alternatives）

(四)決定需求條件（Determining Requirements）

(五)分配資源（Allocating Resources）

(六)結果預測－風險評估（Predicting Outcomes－Risk Assessment）

(七)績效衡量（Measuring Performance）

(八)系統設計（Designing a System）

(九)確保系統穩定（Ensuring System Stability）

(十)最適化（Optimizing）

(十一)規劃（Planning）

(十二)衝突解決（Conflict Resolution）

而目前國內利用層級分析法的方向，大體而言，運用於選擇最佳方 案與評定優先順序者較為普遍。

二、AHP 之基本假設

AHP 之基本假設依據鄧振源、曾國雄【42】，【43】的研究，主要包 括下列九項：

(一) 一個系統可被分解成設多種類(classes)或成份(Components)，並形成 有向網路的層級結構。

(二) 層級結構中，每一層級的要素均假設具獨立性(Independence)。

(三) 每一層級內的要素，可以用上一層級內某些或所有要素作為評準，

進行評估。

(四) 比較評估時，可將絕對數值尺度轉換成比例尺度(Ratio Scale)。

( 五 ) 成 對 比 較 (Pairwise Comparison)後 ， 可 使 用 正 倒 值 矩 陣(Positive Reciprocal Matrix)處理。

(六) 偏好關係滿足遞移性(Transitivity)。不僅優劣關係滿足遞移性(A 優於 B，B 優於 C，則 A 優於 C)，同時強度關係也滿足遞移性(A 優於 B 二倍，B 優於 C 三倍，則對優於 C 六倍)。

(七) 完全具遞移性不容易，因此容許不具遞移性的存在，但需測試其一 致性(Consistency)的程度。

(八) 要素的優勢程度，經由加權法則(Weighting Principle)而求得。

(九) 任何要素只要出現在階層結構中，不論其優勢程度是如何小，均被 認為與整個評估結構有關，而並非檢核階層結構的獨立性。

三、AHP 的評估尺度

AHP 的評估尺度的基本項目分為五項，為同等重要、稍重要、頗重 要、極重要和絕對重要等，並賦予名目尺度為1、3、5、7、9 的衡量值；

另有四項介於五個基本尺度之間，並賦予 2、4、6、8 的衡量值。Saaty 建議將其分成九級如表3.2 所示。

四、應用AHP 之處理程序

利用AHP 方法進行決策評估問題時，可依序應用下列八項步驟，AHP 之計算流程圖如圖3.3 所示：

步驟1：確立評估問題

使用 AHP 時，先必需確認評估問題所在，而找出影響問題的因 素納入考量，如本研究的主題為幼兒音樂學習項目效能評估，旨在探 討各項幼兒音樂學習指標較為優先指導之重要性排序，及各項指標的 相對權重，並評估使用哪種指導順序可提升幼兒音樂學習效能。

步驟2：影響要素分析

根據相關文獻的整理，在專家及決策者意見之整合，藉由專業知 識整理影響幼兒學習音樂項目的評估準則要素。

表3.1 AHP 的評估尺度分級表

刻度 定義 說明

Aij=1 同等重要

(Equal Importance)

根據某項基準比較Ai 與 Aj 二事項具同等重要性 2 刻度1 與 3 之折衷值 -

3 稍重要

(Weak Importance)

事件Ai 較事件 Aj 稍重要

4 刻度3 與 5 之折衷值 -

5 頗重要

(Essential Importance)

事件Ai 較事件 Aj 重要

6 刻度5 與 7 之折衷值 -

7 極重要

(Very Strong Importance)

有某些實例顯示，事件Ai 較事件Aj 具重要性 8 刻度7 與 9 之折衷值 -

9 絕對重要

(Absolute Importance)

有足夠證據可以肯定，事件 Ai 較事件 Aj 具絕對重要性

圖3.3 AHP 之計算流程圖【19】

建立評估準則的層級結構 找出影響問題之評估準則

計算整體層級的權重

可行方案之選擇

計算比對矩陣A之最大特徵值 確立評估問題

建立成對比較矩陣A

計算一致性指標

檢查

比對矩陣A是否具一致性

（C.R. < 0.1)

求取各層級C.I.綜合值

計算整個層級的一致性比率

（ Consistency Ratio of Hierarchy, C.R.H .)

檢查

是否達到層級的一致性 (C.R.H.< 0.1)

是 否

是

否

步驟3：建立評估準則的層級結構

將主要的問題利用層級結構加以分解，每一層級的要素不宜超過 七個，若複雜的問題有n 個要素，利用成對比較而獲得的比率尺度，

總共需作(n2-n)/2 個判斷；最大要素在七個以下，再將每個準則分成 數個次評估準則，加以分解進而建立全部的層級架構，根據Saaty 之 定義結構是將所面對的問題所認定之要素組合，由目標、評估準則、

可行方案所組成，將問題的目標層級化，找出影響目標之各項評估準 則，每個準則再分成數個次評估準則以建立全部的層級架構圖，如圖 3.4 所示。

圖3.4 AHP 層級架構圖

步驟4：建立成對比較矩陣 A

建立成對比較矩陣，主要是在求取要素間相對的重要程度，而比 較之結果建立成對比較矩陣，是以每一層的評比要素作為基準，在同 一層級中各準則之兩兩比較，形成成對比較的評估值。在理想的比較 情況下，某層級內n 個準則為 A1、A2、A3、....、An，每一準則的權 重為W1、W2、W3、....、Wn，任兩準則 Ai 與 Aj 的相對重要性以 aij =Wi / Wj 表示，i,j=1,2,3,...,n，以建立成對矩陣 A=[ aij]，如 3.1 最終目標

（第一層）

評估項目

（第二層）

評估項目

（第三層）

替代方案

（第四層）

式所示：

1 1 1

1 2 n

2 2 2

1 2 n

n n n

1 2 n

W W W

W W W

W W W

W W W

A Aw w

W W W

W W W

(3.1)

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

=⎢ ⎥ = λ

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

K L M M L M

L

且

步驟5：計算比對矩陣 A 之最大特徵值

依據比對矩陣，求得各層級準則的權重，利用數值分析中所用的 特徵值(Eigenvalue)解法，找出特徵向量(Priority Vector)。將成對矩陣 A 成各準則所構成的向量 W，如 3.2 及 3.3 式所示：

1 1 1 2 1 n 1

2 1 2 2 2 n 2

n 1 n 2 n n n

W W W W W W W

W W W W W W W

AW

W W W W W W W

(3.2)

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

K L

M M L M M

L

1 1 1 2 1 n 1 1

2 1 2 2 2 n 2 2

n 1 n 2 n n n n

W W W W W W W W

W W W W W W W W

AW

W W W W W W W W

(3.3)

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

= = λ

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

K L

M M L M M M

L

由上式得知，λ為成對矩陣A 的特徵值，而 W 為成對矩陣 A 對 應於特徵值的特徵向量。成對比較矩陣A，具有以下的性質鄧振源、

曾國雄【42】，【43】：

1. 矩陣 A 的元素均為正值。依 Perron-Frobenius 定理，矩陣 A 具有正 的特徵值，其中最大的特徵值λmax，其所對應特徵向量的元素，

也都是正值。

2. 矩陣 A 對稱元素相互間為倒數關係，即 aij=1/aij。

3. 因矩陣的行向量(Column Vector)為(W1,W2,……,Wn)T 的常數倍，

故其秩(Rank)為 1，即 rank A=1。所以特徵值λ1(i =1,2,……,n)中，

只有一個為非零，其餘均為零，而非零的特徵值以λmax 表示。

即λ1=0, λmax≠0(λi≠λmax)。

4. 因 Aij =1，所以矩陣 A 的對角線和為 n，又從特徵值的特性知特徵 值的和也為n，再依據特性 3 可得知λmax= n，所以若決策判斷前 後具一致性(Consistency)，其特徵值必需等於 n。

步驟6：一致性檢定

一致性檢定為求得一致性比率(Consistency Ratio，簡稱 C.R.)，亦 即C.R.=

C I

R I

. .

. .。AHP 利用 C.R.值來衡量成對比較矩陣的整體一致 性， C.R.值小於或等於 0.1 時，表示成對比較矩陣的結果可被接受；

若C.R.值大於 0.1 時，則成對比較矩陣結果不具一致性，此時必須要 求決策者再重新修正或評估。

1. 一致性指標 C.I.：

在成對比較矩陣A 中，若且唯若

λ _max = n

_{，則正倒值矩陣A}

具一致性，即

λ

_max =

∑

= j

n ij

j i

a W

1

W

，當成對比較矩陣A 不具一致性時，

判斷是否具一致性，可以利用一致性指標來評量，定義此一矩陣之

一致性指標(consistency index，簡稱 C.I.)。

C.I.=

λ^max

−

− n

n 1

_C.I.值 等於0 表示前後判斷完全具一致性，而 C.I.值大於 0 則表示前後判 斷不一致，而Saaty 建議 C.I.值小於等於 0.1 為可容許的偏誤，即具 有一致性。

2. 隨機指標 R.I.：

根據Dak Ricige National Laboratory 與 Wharton School 進行的 研究，從評估尺度1-9 所產生的正倒數矩陣，在不同的階數(Order) 下，產生不同的C.I.值，稱為隨機指標(Random Index，簡稱 R.I.)，

如表3.2 所示。

表3.2 隨機指標表

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 R.I. 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.48 1.56 1.57 1.58

步驟7：計算整個層級的一致性比率

整體層級的一致性比率(Consistency Ration of Hierarchy，簡稱 C.R.H.)為整體層級一致性指標(Consistency Index of Hierarchy，簡稱 C.I.H.)除以整體層級隨機指標(Random Index of the Hierarchy，簡稱 R.I.H.)。C.R.H.值小於等於 0.1 則整體層級的一致性是可接受，若大 於0.1 則需要重新修訂或重新評估整個層級結構。

步驟8：可行方案之選擇

各層級皆達到一致性後再計算整體層級的權重，最後再依各個可 行方案的權重來決定最適合的可行方案。

在文檔中 中 華 大 學 碩 士 論 文 (頁 36-44)