資料包絡分析法

根據Dak Ricige National Laboratory 與 Wharton School 進行的 研究，從評估尺度1-9 所產生的正倒數矩陣，在不同的階數(Order) 下，產生不同的C.I.值，稱為隨機指標(Random Index，簡稱 R.I.)，

如表3.2 所示。

表3.2 隨機指標表

N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 R.I. 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.48 1.56 1.57 1.58

步驟7：計算整個層級的一致性比率

整體層級的一致性比率(Consistency Ration of Hierarchy，簡稱 C.R.H.)為整體層級一致性指標(Consistency Index of Hierarchy，簡稱 C.I.H.)除以整體層級隨機指標(Random Index of the Hierarchy，簡稱 R.I.H.)。C.R.H.值小於等於 0.1 則整體層級的一致性是可接受，若大 於0.1 則需要重新修訂或重新評估整個層級結構。

步驟8：可行方案之選擇

各層級皆達到一致性後再計算整體層級的權重，最後再依各個可 行方案的權重來決定最適合的可行方案。

只要是落在邊界內的 DMU，DEA 認為其投入、產出組合是無效率的。

一般計量經濟學均先假設設定包絡線的函數型態，在以此函數逼近，其 最邊點，但如何選定函數型態是非常困難的，DEA 並非事先假定一函數，

而是以折線方式將最邊點連接起來。

圖3.5 資料包絡分析法之包絡線原理 二、DEA 之基本模式

DEA 起源於 CCR 模式，而後有 BCC 模式修正 CCR 模式中之固定 規模報酬限制，所以本文分為兩種模式介紹：一為CCR 模式，二為 BCC 模式。

(一)CCR 模式

利用多項投入及多項產出效率衡量的概念，將 DMU 之各項產 出和投入因素分別加以線性組合，以兩線性組合之比值代表受評估者 之效率，各受評估單位之效率值界於零到一之間，而 CCR 模式分為 投入導向(Input-Oriented Model)和產出導向(Output-Oriented Model)，

說明如下所示：

s

r 1 m

i 1 s

r rj r 1

m i ij i 1

r i

r rk

i ij u y 1 v x

0 u

0 v

u y

k

v x

M ax h

s.t. j=1,...,n

i=1,...,m

r=1,...,s k=1,..

=

=

=

=

=

∑ ≤

∑

< ε ≤

< ε ≤

∑

∑

.,n (3.4)

h 表第 k 個被評估單位效率值 _k

y 表第 j 個 DMU 的第 r 個產出項的產出值 rj

u 表第 j 個 DMU 的第 r 個產出項的加權值 r

x 表第 j 個 DMU 的第 i 個投入項的投入值 ij

v 表第 j 個 DMU 的第 i 個投入項的加權值 i

由式 3.4 得知，為一分數的非線性規劃(Nonlinear Fractional Program)在求解上有困難，因此 Charnes、Cooper、Rhodes 將其轉換 為線性規劃形式，如下所示：

1. 產出面

s

r 1 m

i 1

r rk

i ij

u y

k

v x

M ax h

⁼

=

= ∑

∑

(3.5)

s.t.

s

r r j r 1

m

i i j i 1

u y 1 v x

=

=

∑ ≤

∑ j=1,...,n

0 < ε ≤ u_r i=1,...,m

0 < ε ≤ v_i r=1,...,s k=1,...,n

2.投入面

m i ik i 1 k V X Min h

=

=

∑

(3.6)

s.t. ^s _{r rj} ^m _{i ij}

r 1 i 1

u Y v x 0,

= =

− ≥

∑ ∑

j=1,...,n

^s _{i r k}

i 1

v X 1

=

∑ =

0 < ε ≤ u_r, r=1,...,s

0 < ε ≤ vi, i=1,...,m

式(3.5)是從產出面來看陳鼎誠【24】，在投入項加權組合值為 1 的情況下，極大化生產力的效率值h ；而式(3.6)是從投入面來看，_k 在產出的加權組合值為 1 的限制下，求其投入的最小效率值h ，而_k 生產效率值 _k

k

h 1

=h ' ，兩者呈現倒數關係。

就如式(3.5)和式(3.6)此線性規劃求得的解是一個最適投入及產 出權數(u ，_r v )的集合。針對第 K 個 DMU 來說，存在某一個最佳權_i 數解(u ，_k v )可使生產力效率_k h 的值最大，當權數代入所有的 DMUS_k 時，限制式仍被滿足。

式(3.5)、(3.6)雖轉換為線性規劃模式，但可從中發現到限制數共 有s+m+n+1 個，變數有 s+m 個。所以可進一步利用對偶理論來減少 限制式的個數，將其調整為極小化的線性規劃模式，所下所示，設θ_k 為DMU 之乘數，S_r⁺為產出項的差客變數(Slack Variable)，S_i⁻為投入 項的差額變數：

m s

k rk ik

i 1 r 1

S S

Min hk ^{+ −}

= =

⎛ ⎞

= θ −β⎜ + ⎟

⎝

∑ ∑

⎠ (3.7) s.t. _{k ik ik} ⁿ _{j rj}

j 1

X S

⁻

X

=

θ = + ∑ δ

_{rk rj} ⁿ _{j rj}

j 1

Y S

⁺

X

=

= − + ∑ δ

j

,S ,S

r⁺ i⁻

0

δ ≥

i=1,2,3,...,m j=1,2,3,...,n r=1,2,3,....,s

由式(3.5)與式(3.7)得知，目標函數所求得其最適解應為相等，式 (3.7)中的S_r⁺和S_i⁻為差額變數；而

δ

為式(3.5)隨變數的對偶價格(dual prices)，所以任一問題所求得之解都可以得到相同的資訊，並且得知 投入與產出還有多少改善的空間，以達到有效率的狀態，進而達到柏 拉圖最適，則可求出最適解h_k^* = 且1 S_r⁺=S_i⁻=0，但是若 DMU 未達到 有效率狀態，則需透過下列調整而達到有效率的狀態：

* *

ik k ik ik

X =h X −S ⁻

*

rk rk rk

Y = Y − S

⁺ 所 以 對 無 效 率 點 ( (X , Y ) 必 需 減 少 投 入 量_{ik rk}

*

ik ik ik

( XΔ =X −X )

，並且增加產出量( YΔ _rk =Y_rk^*−Y )_rk ，即可達到效 率前緣，則稱為差額變數分析。

(二)BCC 模式

BCC 模式為 1984 年由 Banker、Charnes 和 Cooper 導出用以衡 量純技術效率之模式，將CCR 模式中的效率分解為純技術效率(pure technical efficiency，簡稱 PTE)與規模效率(scale efficiency，簡稱 SE) 的乘積，因此得到「總效率=技術效率 x 規模效率=TE x SE」。而BCC 模式可分為投入型BCC 模式與產出型 BCC 模式，說明如下所示：

1.投入型 BCC 模式

r

r rk 0

r 1

u Y u Max hk

=

=

∑

− (3.8)

s.t. ^s _{r rj} ^m _{i ij 0}

r 1 i 1

u Y v X u 0

= =

− − ≤

∑ ∑

, j=1,...,n

^m _{i i k}

i 1

v X 1

=

∑ =

0 < ε ≤ u_r , r=1,...,s

0 < ε ≤ vi, i=1,...,m

為了解無效率受評估單位可改善方向將式(3.8)轉換成對偶模 式，如下：

m s

k i r

i 1 r 1

Min h s⁻ s⁺

= =

⎛ ⎞

= θ − ε⎜ + ⎟

⎝

∑ ∑

⎠ (3.9)

n

j ij ik i

j 1 n

j rj r rk

j 1 n

j j 1

j i r

s.t. X X s 0, i 1,..., m Y s Y , r 1,...,s

1

,s ,s 0, j 1,..., n i 1,..., m r 1,...,s

−

=

+

=

=

− +

λ − θ + = = λ − = =

λ =

λ ≥ = = =

∑

∑

∑

θ無正負限制

在式(3.8)中由u 來判斷其規模報酬，在式(3.9)中由₀ λ 判定，如_j

*

j 1

∑

λ = ^{，則表示此} DMU 處於固定規模報酬；如

∑

λ <^*_j 1^，則表 示此 DMU 處於規模報酬遞增；如

∑

λ >^*_j 1^{，則表示此 DMU 處於} 規模報酬遞減。

由BCC 之投入導向模式求的無效率的 DMU，欲達有效率之改 善方向是投入減少ΔX 或產出增加ΔY ：

( )

( )

* *

ik ik ik i

*

rk rk r rk

X X X s , i 1,..., m Y Y s Y , r 1,...,s

−

+

Δ = − θ − = Δ = + − =

2.產出型 BCC 模式

m

i ik 0

k i 1

Min 1 v X v

g

=

= ∑ + ^λ

^j

^{,s ,s}

^{i+ r−}

^{≥ 0}

(3.10)

s.t. ^m _{i ij} ^s _{r rj 0}

i 1 r 1

v X u Y v 0,

= =

− + ≥

∑ ∑

j=1,....,n

^s _{r rk}

r 1

u Y 1

=

∑

=

0 < ε ≤ u_r , r=1,...,s

0 < ε ≤ vi, i=1,...,m v 無正負限制 ₀

為了解無效率受評估單位可改善方向將式 轉換成對偶模 式，如下：

m s

k i r

i 1 r 1

k

Max 1 s s

g

+ −

= =

⎛ ⎞

= θ + ε⎜ + ⎟

⎝

∑ ∑

⎠ (3.11) s.t ⁿ _{j rj r rk}

j 1

Y s

⁻

Y ,

=

λ − = θ

∑

r=1,...,s

ⁿ _{j ij i ik}

j 1

X s ⁺ X ,

=

λ + =

∑

i=1,...,m

n j j 1

1

=

∑ λ =

j

,s ,s

i⁺ r⁻

0,

λ ≥

j=1,...,n i=1,...,m r=1,...,s

θ

無正負限制

由BCC 之產生導向模式求的無效率的 DMU，欲達有效率之改 善方向是投入減少△Xik或產生增加△Yik：

*

ik ik ik

X =X −s ,⁺ i=1,...,m

* *

rk rk rk

Y = θY +s ,⁻ r=1,...,s 三、DEA 方法之特性：【49】

(一) 能夠以一個單一值表示一個被評估單位其投入、產出間的關係(即效 率)。

(二) 能夠顯示出本身及其他 DMU 的相對效率。

(三) 能夠同時處理多個不同計算單位的投入因素及產出因素，且不依靠 先天加權值。

(四) 能夠處理非計量的因素。

(五) 在對每一個 DMU 做評估時，都平等一致。

(六) 由評估的結果，模式能告知無效率的 DMU 應減少哪些投入因素多 少?或增加哪些產出因素多少?才能由原先的無效率狀況達到有效率 的狀況。

(七) DEA 方法所做投入產出分析而產生的比例值是效率值，而非效能值。

(八) DEA 方法判斷任一 DMU 是否為無效率單位，是根據經濟學上 Pareto-Koopmans 最佳化觀念；產出的觀念：任一個 DMU 是無效率 單位，假如此 DMU 可以增加產出，而不增加任何資源投入或減少 其他產出。；資源投入的觀念：任一個 DMU 是無效率單位，如此 DMU 可以減少資源投入，而不加任何資產投入或減少產出。

(九) DEA 方法給予各 DMU 最高的效率值是 1，也就是 DMU 效率值為 1 時，代表該單位為最有效率單位，若小於 1 則表示該單位無效率，

效率值越小，表示效率越差。

(十) DEA 方法在評估單位的效率時，未存在一些理想的投入、產出組合，

表示事實上的理想組合是找不到的，所以所謂的效率只能用相對的 方法比較。

(十一) DEA 方法給予各 DMU 效率值是對各 DMU 最有利的效率值。

四、DEA 之應用程序：【15】

步驟1.確定受評估單位

DEA 主要是在比較各個 DMU 的相對效率，所以 DMU 的選擇必 需要有相同的比較基礎，而DMU 的個數為越多越好，Ali 在 1988 年 建立原則認為DMU 的個數至少需為投入產出項個數和之兩倍。

步驟2.投入項和產出項的選擇

進行 DEA 評估時，投入項和產出項資料必需符合等幅擴張性 (Isotonicity)，投入項的數量增加時產出項的數量不得減少。

步驟3.評估模式的選擇和計算

運用DEA 模式來進行評估加以運算，求出各項 DMU 之效率。

步驟4.結果分析

根據DEA 模式運算結果，可將其所得效率評估結果加以分析解 釋。

在文檔中 中 華 大 學 碩 士 論 文 (頁 44-52)