灰色關聯分析法

三、CA 之應用程序【40】

在階層式集群分析法中，因用於小樣本之研究，所以使用華德法較 不易受到極端值的影響，較適合用於小樣本之研究，將以N 個樣本為例，

將華德法之分群步驟列舉如下：

步驟1：將各樣本視為一集群，開始時集群數為 N。

步驟2：計算 N 個集群中，兩兩成對之組合C 種情形之組內變數^N₂ S ，將_i 兩個集群合併後，造成組內總變異數S 增加最少，則將此兩群合併，_i 成為N-1 個集群。

n 2

i ij i

j 1 k

i i 1

S (X X ) ,i 1, 2,..., k S S

=

=

= − =

=

∑

∑

設X 為第 i 群中第 j 個樣本 _ij X 為第 i 群的樣本平均數 _i n 為第 i 群的樣本個數 _i k 為集群數目

步驟3：重複步驟 2，直到全部特性相似的樣本合併為同一集群為止。

的測度方法，數學模型說明如下所示：

假設有m+1 個序列(如：指標序列、時間序列…)

{ ( ) }

{ ( ) }

{ ( ) }

{ ( ) }

{ ( ) }

0 0 0 0 0 0

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

i i i i i i

m m m m m m

X x j j 1, 2, , k , , n ; X x j j 1, 2, , k , , n ; X x j j 1, 2, , k , , n ;

X x j j 1, 2, , k , , n ;

X x j j 1, 2, , k , , n

= =

= =

= =

= =

= =

K K K K

K K M M

K K M M

K K

其中X 稱為母序列，亦稱做參考序列，₀ X , X , , X_{1 2} K _m此m 個序列稱 為子序列，或比較序列。且n , n , n , , n , , n_{0 1 2} K _i K _m∈N。

若以指標項目

j p 0,1, 2, ,i, , m

p

( = K K )

所表示之意義為橫軸，指標值

( )

p p

x j 所表示之意義為縱軸，繪出X , X , X , , X_{0 1 2} K _m此m+1 個序列的二維 平面圖，則依據所繪出之圖形，為了判斷其間關聯度的高低，必需由各 比較序列與參考序列之折線幾何形狀相似程度。以圖 3.7 為例，X 為參₀ 考序列，X , X , X 為比較序列。由圖中各個序列所呈現出的折線，其幾_{1 2 3} 何形狀相似程度，可以判斷出各序列間的關聯度，而在三個比較序列中，

可以明顯的看出序列X 相較於序列₂ X 與₁ X ，與₃ X 的折線形狀較為類₀ 似，因此可以認定X 與₀ X 的關聯度較高。 ₂

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 指標項目

指 標 值

X0 X1 X2 X3

圖3.7 灰關聯度圖

資料來源：馮正民、邱裕鈞【33】

三、GRA 之應用程序

關於灰色關聯分析法的操作步驟如下所示【33】：

步驟1：將資料標準化(灰關聯生成)

利用灰色關聯分析法可以順利的進行，而序列具有可以比較的特 性，序列必需滿足下列三個條件：

1. 無因次性：不論因子

x k

i

( )

的測度單位為何，都需要經過處理，使 其為無因次性，也就是不同序列雖代不同之測度值，但必需將其 單位去除，才得以比較。

2. 同等級性：各序列Xⁱ中之值

x k

i

( )

均屬同等級或等級相差不大。

3. 同極性：指標序列中因子的描述狀態必需有相同的目標。

有關灰關聯生成的方法，常用的處理方式敘述如下：

1. 基本處理方法

(1)平方和之均方根處理：即以序列中所有元素平方和之均方根作為 參考值的數據處理。

[ ]

* i

i n

2 i k 1

x (k) x (k)

X (k)

=

=

∑

(3.12)

其中，

x k

i

( )

為原始序列；

x k

^*i

( )

為處理後之序列。

(2)初值處理：即以序列中的第一個元素

x 1

i

( )

來做為該序列元素之參 考值的數據處理。

* i

i

i

x (k) x (k)

x (1)

= (3.13)

(3)最大值處理：即以序列中的最大值做為參考值的數據處理。

* i

i

i

x (k) x (k)

max[x (k)]

= (3.14)

(4)最小值處理：即以序列中的最小值做為參考值的數據處理。

* i

i

i

min[x (k)]

x (k)

x (k)

= (3.15)

(5)區間值處理：即數據處理過後的值會落在 0~1 的區間內。

* i i

i

i i

x (k) min[x (k)]

x (k)

max[x (k)] min[x (k)]

= −

− (3.16)

2.效果測度方法

(1)效益目標處理：希望效果越大越好則是衡量數據偏離最大值的程 度。

* i i

i

x (k) x (k)

max[x (k)]

= (3.17)

(2)成本目標處理：希望成本越小越好，則是衡量數據偏離最小值的 程度。

* i

i

i

min[x (k)]

x (k)

x (k)

= (3.18)

(3)特定目標處理：希望其效果在某個指定目標或特定值附近。

* i

i

i

min[x (k), y]

x (k)

max{x (k), y}

= (3.19)

其中，y 為指定目標值。

3.線性處理方法

主要是效果測度方法之改良，可避免序列處理時發生失真的現 象，其方法有三：

(1) 望大：希望目標值越大越好。

* i i

i

i i

x (k) min[x (k)]

x (k)

max[x (k)] min[x (k)]

= −

− (3.20) (2) 望小：希望目標值越小越好。

* i i

i

i i

max[x (k)] x (k) x (k)

max[x (k)] min[x (k)]

= −

− (3.21) (3) 望目：以 OB 來表示此特定值，希望目標可以介於最大值或最小

值間之某特定值。

* i i

i i

x (k) OB x (k) 1

max{max[x (k)] OB,OB min[x (k)]}

= − −

− − (3.22)

圖3.8 灰關聯分析操作流程【33】

數據處理

x k

i

( ) = ( x ( ) ( ) ^{1 ,} x ^{2 ,...,} x k ( ) )

計算Δ =_ij

x k

_i

( )

−

x

_j

( ) k

, j=1,2,...,m k=1,2,...,n 計算 min

min min

_i

( )

_j

( )

j i k

x k x k

∀ ∈ ∀

Δ = −

以及 max

max max

_i

( )

_j

( )

j i k

x k x k

∀ ∈ ∀

Δ = −

計算

Δ =

ij

x k

i

( ) − x

j

( ) k

設定

ζ

值(依實際需要)

計算權重

β

_k值

求出灰關聯係數之值

( ( ) ( ) )

^min

_{( )}

^max

max

i

,

j

ij

x k x k

k

γ ζ

ζ

Δ + Δ

= Δ + Δ

1, 2,..., k=1,2,...,n

j

=

m

求灰關聯度

( ) ( ^{( ) ( )} )

1

, ⁿ ,

i j k i j

k

x x x k x k

γ β γ

=

=

∑

建立灰關聯矩陣

排列出灰關聯序

在文檔中 中 華 大 學 碩 士 論 文 (頁 55-61)