7-1 前言
在現今印刷電路板或晶片製程裡位於不同層的信號線往往需要連通柱以提 供適當的連結路徑，如圖7.1 所示，此時兩層平行金屬板之間可看成ㄧ個共振腔，
而連通柱的貫穿恰好提供此共振腔一個良好的激發源，造成接地雜訊散佈在共振 腔內部，倘若信號連通柱貫穿的越多，接地雜訊的效應將越趨嚴重。在過去，吾 人已成功提出利用簡單之傳輸線理論與二維時域有限差分法(2D FDTD)處理如 圖7.1 之單根信號連通柱貫穿平板共振腔引發之接地雜訊問題[62]。
近幾年來，為了解決此接地雜訊的問題，由耦合傳輸線傳遞差模信號儼然已 經成為一個必然的趨勢，如圖7.2 所示，此時如果仍然沿用傳統二維時域有限差 分法去處理差模連通柱區域的格子分割，勢必會使得其他沒有連通柱貫穿區域也 必須分割的較細，如圖7.3 所示，而造成硬體資源與模擬時間的浪費。有鑒於此，
吾人於此章特利用二維時域有限元素法(2D FETD)有效地處理差模連通柱區域 之格子分割並結合時域有限差分法處理其他沒有連通柱貫穿區域之格子分割，與 商用套裝軟體之模擬結果比較後也發現此法在不失準確性的情況下同時大大地 提升了模擬效能，而時域有限元素法詳細之操作原理也將於下小節中介紹。
R L
R S
V SP
圖7.1 單根信號連通柱貫穿平板共振腔示意圖
R L
R S
V SP
V SN
圖7.2 差模信號連通柱貫穿平板共振腔示意圖
(a)單根信號連通柱 (b)差模信號連通柱 圖7.3 二維時域有限差分法處理平板共振腔之格子分割示意圖
7-2 時域有限元素法
時域有限元素法是在時域上將空間所有模擬區域採取有限元素法分割，作為 分析的基礎，此法又稱為Whitney 時域有限元素法。它由馬克斯威爾方程式中的 兩個旋度方程式出發，利用一些向量恆等式可將兩個方程式其中的磁場項消去，
並進而得到一個只有純電場項的方程式，如式(7-1)所示：
2
2 0
E J
E
µε ∂t
µ∂t
∇×∇× + + =
∂ ∂
uv uv
uv (7-1)
欲解出式(7-1)，必須對其採取全模擬區域積分，並取 weak-form formulation 之後，
可得
( )
22ˆ 0
r
E J
W E d W d W d
t t
W E n d
c t
µε µ
µ
∞
Ω Ω Ω
Γ
∂ ∂
∇× •∇× Ω + • Ω + • Ω
∂ ∂
⎛∂ ⎞ + •⎜⎝ ∂ × ⎟⎠ Γ =
∫ ∫ ∫
∫
uv uv
uuv uv uuv uuv
uuv uv
(7-2) 其中向量函數 W 是代表能任意取用的測試函數。
於式(7-2)中採有限元素法，將有限元素區域用三角形分割法分成許多小區 域，而其中每個元素可由數個基底所構成，在此吾人選擇的是線性基底，適當的 基底函數選擇妥當之後再利用Galerkin method 可將式(7-2)化簡成為二階常微分 方程式
[ ] C d E
22[ ] B dE
[ ]D E [ ] F dJ
0dt
+dt
+ +dt
= (7-3) 其中 E 與 J 分別代表的是有限元素區域內部待解電場與電流密度之係數向量，而 式(7-3)中矩陣[B]、[C]、[D]、[F]的元素為[ ] C ij
µεW W d i j
= ∫
Ωuuv uuv • Ω
(7-4)[ ] B ij r W i ( W j n d ˆ )
c
µΓ
∞
= ∫ uuv uuv • × Ω
(7-5)[ ] D ij W i W d j
= ∇× •∇×
∫
Ω uuv uuv Ω (7-6)[ ] F i
µW d i
= ∫
Ωuuv Ω
(7-7) 注意矩陣[C]中並非只有對角線元素，因此在更新下一時刻電場時，勢必要求解 聯立方程式，使得此時域有限元素法為隱式(implicit)計算方式；與時域有限差分 法的顯式(explicit)計算方式不需要求解任何聯立方程式不同，這也使得時域有限 元素法的計算效率比時域有限差分法差了許多。然而，如果採取的是混合時域有 限元素與有限差分法針對某些特別結構進行模擬的話則可同時保有兩者的優點 提升模擬效能。就以此章節所要討論的主題作為例子，如圖 7.4 所示，差模連通柱貫穿平板 共振腔的區域由原本二維時域有限差分法改為時域有限元素法做格子分割，其他
區域則仍沿用二維時域有限差分法做格子分割，此時由時域有限差分法所計算之 下ㄧ時刻電場在兩種區域交界處就變成了時域有限元素法區域的外部既定邊界 條件(Dirichlet boundary condition)，以資求解其內部待解電場係數向量。除此之 外，時域有限元素法所必須求解之矩陣聯立方程式倘若其係數向量以下列三式取 代的話，可得到無條件收斂[63]。
( )
( )
2
1 1
2 2
1 n 2 n n
E E E E
t t
+ −
∂ ≈ − ⋅ +
∂ ∆
(7-8)(
1 1)
1 2
4
n n n
E ≈ E
++ ⋅ E + E
− (7-9)( 1/ 2 1/ 2 )
1 n n
J J J
t t
+ −
∂ ≈ −
∂ ∆
(7-10)圖7.4 二維時域有限元素法於差模連通柱區域格子分割示意圖
7-3 Matlab 程式設計流程
整個程式設計流程可以參考圖7.5，其中計算部份可分為三大類：電路模擬、
二維平面問題以及兩者之間的連結三類，由於二維平面問題已於上小節說明過了 因此接下來將分別闡述第一類與第三類計算部份。
(1) 電路模擬：
參考如圖 7.2 的模擬結構，差模連通柱的等效電路可由前面章節所提出的方
法萃取，如圖7.6 所示，而其前後所接之耦合傳輸線等效電路可由準靜態的方法 快速求得，如此再配合中央差分形式之電報方程式即可疊代求得信號傳輸路徑上 每ㄧ點每ㄧ時刻之時域電壓電流波。
(2) 電路模擬與二維平面問題之連結：
由圖 7.6 可以發現差模連通柱的等效電路上有兩個分別標示為 Vp1 與 Vp2 的電壓源記號，其代表的是平行金屬板內傳播的接地雜訊對連通柱上電流的影 響，在經由電路模擬部份的計算可算出下一時刻差模連通柱上個別的電流，再引 入式(7-10)中配合有限元素法區域的外部既定邊界即可計算下一時刻有限元素法 區域內部的未知電場值，如此疊代運算直到模擬時間結束為止。