4.2 希爾伯特黃轉換應用於車型及懸吊系統之差異評估
4.2.1 希爾伯特黃轉換 HHT
前述於 2.3.3 節曾提及希爾伯特黃轉換之訊號解構方式，由於 Hilbert 轉換僅適 用於平均值為零之訊號，因此若分析訊號之平均值不為零，所得之瞬時頻率容易發 生不符合物理意義之情形，因此 Huang et al.[26、27]提出一經驗模態分解法，能夠
0 1 2 3 4 5 6 7
0 100 200 300 400 500 600 700
AARI
Distance (m)
Tierra Space Gear Veryca (manual) Prius Sienta Veruca (auto)
在進行 Hilbert 轉換前先將訊號分解成數個適合進行 Hilbert 轉換之分量，稱為內建 模態函數。該方法之主要特性為利用經驗模態分解進行以訊號本身為基底之解構，
因此相較於傅立葉轉換與小波轉換需要有基底函數之分析，HHT 較能夠適用於非 線性與非穩定之訊號，以下將針對 HHT 中之內建模態函數（Intrinsic Mode Function, IMF）、經驗模態分解（Empirical Mode Decomposition, EMD）及總體經驗模態分解
（Ensemble Empirical Mode Decomposition, EEMD）進行介紹。
(1) 內建模態函數（Intrinsic Mode Function, IMF）
內建模態函數於物理上之定義為函數相對局部零均值（local zero mean）具有 對稱性質，且極值（extremes）與跨零點（zero-crossing）之數目需要相同，基於以 上限制，定義 IMF 之條件如下，於整體資料中極值之數目需與跨零點之數目相等 或最多僅能差一個；且於任何時間內，極大值包絡線（maximum envelope）與極小 值包絡線（minimum envelope）所定義之均值包絡線（mean envelop）需等於零。
上述極大與極小值包絡線之定義為局部極大值或局部極小值所組合而成。理論上 來說，訊號之局部均值應為零，但實際應用甚為困難，因此 IMF 採極大值包絡線 與極小值包絡線來強迫訊號局部對稱，使其能夠適用於 Hilbert 轉換[73]。
(2) 經驗模態分解（Empirical Mode Decomposition, EMD）
經驗模態分解之目的為將一量測訊號拆解成數個內建模態函數 IMF 之疊加，
使每一個 IMF 均有良好之 Hilbert 轉換特性。EMD 之分解需符合下列三項假設：
訊號必須至少有兩個極值，包含極大值與極小值、訊號時間尺度定義為兩個極值時 間之差距、以及當訊號無極值而僅有反曲，則需將訊號進行微分得到極值，再將結
間間隔找出訊號之局部極大值與局部極小值，並利用 spline 曲線找出極大值包絡 線與極小值包絡線，隨後則將訊號減去及值包絡線之平均值，便完成一次之篩選步 驟。不斷重複此篩選步驟，將會使平均值包絡線愈來愈平緩，訊號之局部極值個數 也會逐漸等同於跨零點之個數，其目的為將訊號達到局部平均值為零。經過數次篩 選而得到之ℎ𝑘𝑘(𝑎𝑎)則為每一個之 IMF 分量，如下公式（4-1）所示。
（4-1）
經驗模態分解示意圖[27]
上述所得之 IMF 具有以下特性，局部訊號之極大與極小值包絡線之平均值趨 近於零；局部極值個數與交零點個數必須相等或相差一。篩選過程中會先分離出時 間間格較短之訊號，極為頻率最高之模態，在逐步篩選之過程中，頻率較低之訊號 會逐漸被排除。由於訊號為隨時間變化而改變，當訊號經過太多次數之篩選，會失 去部分所含之物理意義，因此為確保各 IMF 之振幅與頻率均具有足夠之物理意義，
對於篩選過程中需有適當之終止條件，如 Cauchy-type 與 S-number 法[63]，其中最 常見之停止準則為將轉移過程次數設置限制標準差（standard deviation, SD）的大 小來控制轉移次數，如下公式（4-2）所示。SD 值通常訂在 0.2 至 0.3 之間，當滿
足此條件時，則停止進行轉移過程。當停止準則決定後即可於篩選過程得到第一個 IMF，ℎ1(𝑎𝑎)，將原始訊號𝑥𝑥(𝑎𝑎)減去ℎ1(𝑎𝑎)即可得殘餘值，並將該殘於值作為新得原始 訊號，重複進行篩選過程即可獲得數個頻率由高至低之 IMF。下圖 4.5 為一範例訊 號經 EMD 拆解而得之 IMF，圖中最上方原始訊號，由三個不同基底函數所組合而 成，經經驗模態分解後可分別拆解出三個內建模態函數。
SD = ∑ [�ℎ𝑘𝑘−1ℎ(𝑓𝑓)−ℎ𝑘𝑘（𝑓𝑓）�2
𝑘𝑘−12 （𝑓𝑓） ]
𝑇𝑇𝑓𝑓=0 （4-2）
(3) 總體經驗模態分解（Ensemble Empirical Mode Decomposition, EEMD）
前述所介紹之經驗模態分解 EMD 能夠適用於解構非線性與非穩定之訊號，然 EMD 有時仍會出現模態混淆之現象。模態混淆為相近尺度之信號存在於不同之 IMF 分量中或一個內建模態函數中有不同尺度之訊號混雜，此現象係由信號之間 斷性（intermittence）所引起的，模態混淆會造成 IMF 失去物理意義。因此黃鍔院 士於 2005 年提出總體經驗模態分解法，修正前述 EMD 方法造成模態混淆之問題，
此法利用白噪音加速原始訊號後再進行 EMD 分解，隨後對其結果做平均處理，白 噪音則會平均分布於每個分量中，使原訊號被分解道適當之頻率上，以降低上述模 態混淆之問題[73、28]。
下圖 4.6 為一探討 EMD 與 EEMD 差異之範例訊號，該圖最下方之子圖為上兩 子圖所組合而成，並將此組合之訊號作為原始訊號並利用 EMD 與 EEMD 兩方法 進行分解，結果分別如圖 4.7(a)與圖 4.7(b)所示，由圖 4.7(a)之第一個內建模態函數 中可看出在此 IMF 中有不同尺度之訊號混雜，導致該 IMF 失去物理意義導致後續 無法進行準確之希爾伯特轉換；因此利用 EEMD 方法進行訊號之解構即可得圖 4.7(b)，該圖顯示能夠將不同尺度之訊號清楚的分離，以提升訊號解構之正確性。
間斷性訊號範例(c=a+b)[50]
(a) 間斷性訊號經 EMD 拆解 (b) 間斷性訊號經 EEMD 拆解[50]