2.2 不同利差與股市間的關係
3.1.1 希爾伯特黃轉換 (Hilbert-Huang transform, HHT)
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N a tio na
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3 研究方法
本文比較兩種不同的因果關係: (1) Yang et al. (2018) 提出因果拆解法，該法藉 由資料間的瞬時相位連貫性 (instantaneous phase coherence) 來推論資料間可能 存在的因果關係，(2) 文獻上常用於分析經濟和財務時間序列資料的 Granger 因 果關係 (Granger, 1969) 。
3.1
瞬時相位上的因果關係 (causality on instantaneous phase)
何謂瞬時相位上的因果關係? 我們假設存在 A、B 兩個變數，若從變數 B 的時 間序列資料中移除受變數 A 影響的某個內在成分序列，使 A 與 B 之瞬時相位 連貫性 (Coh) 比移除前小，則稱 A 與 B 存在因果關係，其變數 B 為果，而變 數 A 為因。對應的表現式如下:
Coh(A, B′) < Coh(A, B)∼ Coh(A′, B) , (3.1) A′ 和 B′ 分別表示從 A、B 移除自身某個內在成分序列後的時間序列資料。
(3.1) 式表示從變數 B 的時間序列資料中移除受變數 A 影響的某個內在成分序 列的 Coh 會小於不移除之 Coh，但若從變數 A 移除影響變數 B 的某個內在成 分序列，則其 Coh 會與移除前差異甚微，若兩個變數之間的 Coh 存在與上式相 同之關係，則其兩筆資料間存在因果關係。
3.1.1 希爾伯特黃轉換 (Hilbert-Huang transform, HHT)
希爾伯特黃轉換 (HHT) 是由黃鍔 (Norden E. Huang) 博士於 1998 年 (Huang et al., 1998) 提出，是一種拆解訊號的方法，適用於分析非線性與非定態的時間 序列資料。HHT 主要分成兩個部分: 經驗模態分解法 (EMD) 和希爾伯特轉換 (HT)。EMD 法可以將訊號拆解成有限個本質模態函數 (IMF) 和一個趨勢函數，
其中每個 IMF 皆為局部對稱於零平均值的分量。由於拆解出來的每個分量彼此 正交且皆由原本之訊號拆解而來，故 EMD 具完整性且自適應性等優點。希爾 伯特轉換的部分則是透過 EMD 法將拆解出的有限個 IMF 做希爾伯特轉換，以
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3.1.1.1 經驗模態分解法 (empirical mode decomposition, EMD)
本質模態函數 (IMF) 是一種內嵌於原始訊號的振盪模式 (oscillation mode) 的函 數，必須滿足下列兩個條件:
1. 訊號中的局部最大值 (local maxima) 以及局部最小值 (local minima) 的各 數總和必須與穿越 0 的點的個數相等或是最多只能差 1。
2. 在任何時間點，局部最大值所定義的上包絡線 (upper envelope line) 與局 部極小值所定義的下包絡線 (lower envelope line) ，兩條包絡線的平均要接 近為零。
此兩個條件之設立是為了得到有意義的瞬時頻率，避免在求得訊號每個時間點 上的瞬時頻率時受到非對稱波形 (asymmetric wave forms) 干擾。
EMD 法的分解過程是藉由不斷重複執行篩選 (shifting) 的步驟來逐步求出 IMF。以訊號 x(t) 為例，篩選步驟如下:
1. 首先找出 x(t) 中所有的局部最大值和局部最小值，接著利用 cubic spline 將局部最大值串連成上包絡線，至於局部最小值也利用 cubic spline 連接 構成下包絡線。求出上下包絡線之平均，而得到均值包絡線 m1(t)。
2. 將原始訊號減去均值包絡線，得到第一個分量 h1(t):
x(t)− m1(t) = h1(t) ,
3. 檢查 h1(t) 是否滿足 IMF 的兩個條件，若不滿足，則重複 1、2 步驟，直 至重複到第 k 次的分量滿足 IMF 的兩個條件，即 hk(t) 為第一個 IMF，
令 hk(t) = S1(t)，緊接著求出第一個殘留訊號 r1(t) : x(t)− S1(t) = r1(t) , 將 r1(t)當作一筆新的資料來求得第二個 IMF。
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3.1.1.2 總體經濟模態分解法 (emsemble empirical mode decomposition, EEMD)
因原始訊號中存在間斷性訊號 (intermittence)，使得 EMD 法無法正確分解出同 一尺度的訊號，此問題稱為混模問題 (mode mixing problem) 。當原本屬於前一 個 IMF 之振盪訊號被間斷性的微弱雜訊嵌入影響，最大值包絡線與最小值包絡 EMD，並重覆做以上兩個步驟若干次後得到若干組 IMF，最後將各自的 IMF 取平均來抵銷雜訊造成的影響，過程如下三條式所示:
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1. 可拆解性 (separability)
Yang et al. (2018) 定義可拆解性為在加入某個強度的白噪音後，經由 EEMD 法分解得到一組 IMF ，其兩兩的相關係數之平均平方根 (Root Square Mean , RMS)，RMS 愈小表示此組 IMFs 愈具可拆解性，因此加入 的該強度的白噪音是合適的。Yang et al. (2018) 在文中表示 RMS 需小於 0.05 才具可拆解性。
2. 正交遺漏值 (orthogonal leakage)
x2(t) = 義可以計算正交指數 (index of orthogonality , IO)，也就是正交遺漏值:
IO =
3.1.1.3 希爾伯特轉換 (Hilbert transform, HT) 藉由 HT 求得瞬時相位以計算 Coh，步驟如下: