第二章 文獻探討
第四節 「平行四邊形和三角形的面積」概念分析
圖 圖
圖 2-11 電腦適性測驗系統診斷報告
圖圖
圖圖 2-12 電腦適性測驗系統教學動畫
第四節 「平行四邊形和三角形的面積」概念分析
壹、教材分析
本研究所選取之南一出版社五年級第9冊「平行四邊形和三角形的面積」單元
的能力指標範圍係指教育部92年發佈之「國民中小學九年一貫課程網要」中數學 學習領域第二學習階段。此單元需培養的能力指標為：
一、N-2-19 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。
二、A-2-04 能使用中文簡記式記錄常用的公式。
「面積」在九年一貫課程的數學領域中被歸類在「量與實測」部分。而「量」
的概念發展需經歷「量的初步概念」、「間接比較」、「個別單位」、「單位 化聚」、「公式化的概念」五個階段才能形成（教育部，2001）。
在圖形切割、拼湊的操作方面，王選發（2002）指出學生的面積概念是覆 蓋活動的抽象結果，有操作、點數、切割、比較與拼湊等活動的進行其發展才 能從具象到心象再進到抽象，最後為求效率，才有公式的使用。面積的學習不 能只靠記憶公式，而必須瞭解每個面積公式的意義和推算過程，如此才能有效 地應用公式來增進解題能力（譚寧君，1995a，民 1995b，1995c）。因此，在學 習平行四邊形、三角形面積的求法時，應讓學生主動思考，嘗試將平行四邊形 和三角形改變為其他圖形，例如將圖形切割後拼湊成長方形或正方形而引入長 方形或正方形面積求法的舊經驗，讓學生主動建構平行四邊形、三角形面積的 求法。
在面積公式的應用部分，兒童在面積測量問題時因為死記面積公式，解題 時受視覺影響甚鉅，常憑直覺解題，對題意不求甚解，如遇到有變化的題型通 過率未達兩成（高敬文，1989；王選發，2002）。譚寧君（1999）研究發現學 生常出現誤用公式的錯誤，甚至會遷就公式，自行改變題目中的已知條件（陳 鉪逸，1996）。三角形、平行四邊形、梯形的面積計算奠基在長方形面積的概 念上，平行四邊形可切割後拼成長方形；兩個全等的三角形則可組合成一個平 行四邊形；兩個全等的梯形可組合成一個平行四邊形，兩兩圖形之間都有關聯 存在。在各種圖形的面積公式若只靠機械式的記憶，不但難背且複雜，但如能 透過彼此間存在的關係則可找出彼此間的相關脈絡（許嵐婷，2003）。因此，
在本研究單元中，學童在學習平行四邊形、三角形面積前，須有正方形面積和
長方形面積的概念與應用正方形面積和長方形面積公式的能力。
對於底和高的定義方面，溫山明(2009)研究發現，學童在解決面積公式計 算的問題時，認為高是由水平底邊連到對應頂點的直線，對於非水平或垂直類 型的題目易受視覺影響而失敗。王選發（2002）研究指出六年級學童三角形及 平行四邊形的「畫高」能力則尚待加強。國內高年級學童約有 15﹪～23﹪的受 試者認為幾何圖形的底一定要在水平線上，高一定要在鉛直線上（陳鉪逸，
1996）。部分學生對高的定義不清楚，誤以為高一定要過頂點向頂邊所做的垂 直線才稱為高（陳鉪逸，1997）。平行四邊形、三角形的底並非唯一，因透過 幾何的旋轉，多邊形的每一個邊都可以變成水平的，都可以當作底，且每一底 都有其相對的高，代表著頂點到底的相對高度（黃金鐘，2009）。「高」可以 代表測量的長度也代表著一條垂直於底邊或其延長線的線段，以平行四邊形來 說，「高」指的是兩條平行線的其中一條到對邊的垂直線段及該線段的長度，
但根據此一定義，平行四邊形的高會有無限多條高，常讓學生無所適從，造成 學習困難。
在平行四邊形和三角形面積的錯誤類型部分，許嵐婷（2003）在研究中指出 學生解題的錯誤類型有：
一、三角形面積公式誤列式成平行四邊形面積公式或是該用平行四邊形面積公 式卻用成三角形面積公式。
二、對面積公式的定義不清楚，誤用無關的訊息進行面積計算。
Clements ＆ Battista（1989）、Fuys；Geddes ＆ Tischler（1988）的研究中 指出受試者會產生平行四邊形的高就是底邊的鄰邊之錯誤概念。Hildreth（1983）
發現五、七年級的學童有以周長代表面積、單位錯誤等一些不當的面積估測方式。
貳、兒童在面積的迷思概念
一、兒童在學習面積單元時的迷思概念
迷思概念（Arnaudin，1983；陳啟明，1991）是指學生所建構的知識概念與
專家、教師有所不同。在不同的研究領域，迷思概念的定義也不盡相同，例如 使用「前期概念」（Preconceptions，Ausubel；Novak & Hanesian，1978）；Driver (1981)則使用「另有架構」（Alternative frameworks），但均是指受試者有別於一 般專家所認同的知識架構。迷失概念是思考與判斷錯誤所造成的，也是造成學 習障礙最大的原因（陳鉪逸，1996）。
表2-6 國小學童在面積學習時的迷思概念國小學童在面積學習時的迷思概念國小學童在面積學習時的迷思概念 國小學童在面積學習時的迷思概念
類別 迷思概念
術語的迷思概念 1.對面積的定義不了解，無法區別面積與周長的不同（陳鉪逸，1996、1997）
單位的錯誤
1. 用邊長來測量面積（Dickson，1984，1989）
2. 無面積單位量的概念（高敬文，1989；陳鉪逸，1997；吳德邦，1997；
譚寧君，1998）
戴政吉，2001；Dembo、Levin & Siegler，1997；王選發，2002）
2. 面積與周長概念混淆（James， 1981）
二、兒童在選擇題和建構題的解題歷程與得分判定的差異
選擇題是最常見的測驗型式，其選項經過設計，可對應到相關的錯誤類型，
但受試者選擇錯誤選項的原因除了是犯此種錯誤類型外，也包含猜測的因素。以 下利用受試者解題歷程可能包含的幾種情形來說明建構反應題題型與選擇題題 型之差異：
（一）三角形或平行四邊形的底、高選擇正確，面積計算正確，答案正確。
（二）三角形或平行四邊形的底、高選擇正確，面積計算錯誤，答案錯誤。
（三）三角形或平行四邊形的底、高選擇錯誤，面積計算錯誤，答案正確。
（四）三角形或平行四邊形的底、高選擇正確，面積計算正確，答案錯誤。
（五）三角形或平行四邊形的底、高選擇錯誤，面積計算錯誤，答案錯誤。
（六）三角形或平行四邊形的底、高選擇錯誤，面積計算正確，答案錯誤。
（七）三角形或平行四邊形的底、高選擇錯誤，面積計算正確，答案正確。
（八）三角形或平行四邊形的底、高選擇正確，面積計算錯誤，答案正確。
選擇題型施測只以最後的答案作為學生是否具備某一能力的依據，（一）和
（三）的最後答案都是答對，但（三）應是猜測而答對，無法確定受試者是否具 有此能力；而（二）和（四）雖然答案是錯誤的，但（二）應該是學生的計算能 力有問題，而（四）極可能只是答案輸入錯誤，可部份給分。若以建構反應題進 行施測，不但可區分此四種情形，且能區辨學生是否進行猜題。學生的解題過程 及最後答案皆可藉由電腦的資料庫加以記錄，提供更多訊息，作為判讀其迷思概 念的參考。以下以「平行四邊形和三角形的面積」單元中的一個選擇題例題加以 說明。
表2-7 「「「「平行四邊形和三角形的面積平行四邊形和三角形的面積平行四邊形和三角形的面積平行四邊形和三角形的面積」」」」單元選擇題的錯誤類型範例單元選擇題的錯誤類型範例單元選擇題的錯誤類型範例單元選擇題的錯誤類型範例
在給分方面，若以選擇題型施測，受試者只有答對而拿到全部的分數或答錯 而沒有任何分數這兩種情形。若以建構反應題進行測驗，雖然其答案是錯的，但 從受試者的作答反應可以發現其「長度測量」、「計算能力」等部分是沒有問題 的，其能力與一個完全都不會的受試者是有所不同的，應該給予部份分數的回饋。
在實際狀況中，受試者的作答反應可能超出出題者的出題設計，若受試者的 反應模式不在出題者的預設之中，以選擇題型施測時，受試者在選項中找不到與 自己相符的答案，其作答反應可能就會用猜的，如此一來，所測得的受測者作答 反應就不是教師所想要的錯誤類型了。若能利用建構反應題，就能清楚掌握受試 者的猜測行為，而可以更仔細的知道受試者之迷思概念及學習狀況。
綜合以上文獻資料，從瞭解建構反應題題型種類的不同可以提供本研究在設 計建構題型時，可依據測量學生能力的要求而決定採用限制反應題型；從瞭解國 際評量測驗的建構反應題型可以提供本研究作為出題與評分的設計標準與依 據；從瞭解目前電腦化診斷測驗系統的優缺點可以提供本研究在診斷系統設計時 加入適性測驗系統與建構題型的優點且能避免建構題型人工閱卷耗時費力的缺 點；最後依據學生在本研究單元的迷思概念設計測驗試題，可以使本研究的測驗 能真實測量到學生的真正能力，利於補救教學的進行。