第四章 研究結果
第三節 選擇題及建構反應題題型之錯誤類型差異
本節將分別對建構題的施測結果、與建構題相同測驗概念的選擇題施測結
果、兩種題型的學生錯誤類型比較進行說明。
壹、建構題第1題與選擇題第23題的施測結果比較
一、建構題第1題的解題策略與錯誤類型
表4-5 建構題第建構題第建構題第建構題第1題題目題題目題題目 題題目 題目 1
建構題 第 1 題
下圖中，線段 1 是平行四邊形指定底邊上的高，角 2 是線段 1 和底邊的夾角，
請利用工具區的工具實際測量看看
【1】角 2 是大於、小於或等於 90°？（有實際測量才給分）
【2】量量看，這個平行四邊形的底和高各是幾公分？
作答區
【1】角 2 的角度（ ）90°
【2】底＝ 公分；高＝ 公分
（一）、建構題第1題的解題策略
受試者在本題的解題策略分為角度測量（a）和長度測量（b）二部分來討 論。角度測量部分可分為 8 種不同的解題策略（a1～a8）；長度測量部分可分為 18 種不同的解題策略（b1～b18），依照解題策略樹狀圖（見附錄 8），將角度
（a）和長度（b）二部分組合之後，所有可能的解題策略總共有 144 種（8×18），
但只有 75 種解題策略有作答反應出現，詳見表 4-6。本題的有效樣本人數為 352 人，學生出現最多的解題策略為 a1b1、a1b6、a3b1，各種解題策略所代表的錯 誤類型請參閱附錄 4。
表4-6 建構題第建構題第建構題第建構題第1題各題各題各解題策略題各解題策略解題策略人解題策略人人數統計表人數統計表數統計表 數統計表
表4-7 建構題第建構題第建構題第1題的單一錯誤類型人次統計建構題第 題的單一錯誤類型人次統計題的單一錯誤類型人次統計題的單一錯誤類型人次統計
錯誤類型 人次 百分比 錯誤類型 人次 百分比
全對 124 28.25% M08 22 5.01%
M39 65 14.81% M13 21 4.78%
M11 58 13.21% M06 12 2.73%
M36 43 9.80% M42 12 2.73%
M10 39 8.88% M43 4 0.91%
M37 35 7.97% M44 4 0.91%
3、本題的主要的解題策略錯誤類型如下：
學生在建構題第1題完整解題過程中的6種主要錯誤類型
表4-8 建構題第建構題第建構題第建構題第1題的主要錯誤類型統計表題的主要錯誤類型統計表題的主要錯誤類型統計表題的主要錯誤類型統計表
錯誤類型編碼 人數 說明 比例
M11 35 對平行四邊形中「高」的定義不清楚 10％
M39 32 對「平形四邊形的底和高的定義」不清楚 9％
M10 26 對平行四邊形中「底」的定義不清楚 7.4％
M36 19 對垂直=90°的概念不清楚 5.4％
M37+M39 16 複合錯誤類型，同時具有錯誤類型 M39 和 M37。 4.5％
M36+M39 13 複合錯誤類型，同時具有錯誤類型 M36 和 M39。 3.7％
二、與建構題第 1 題有相同測驗概念的選擇題
（一）、題目
圖圖
圖圖 4-1 選擇題第 23 題題目（與建構題第 1 題有相同測驗概念）
（二）、各選項所欲測量的錯誤類型
比較建構題與同測驗概念選擇題的全對和全錯人數時發現，全對的人 數相 當接近（122：147），誤差只有 7.1％。但全錯的人數差異卻相當大（35： 205），
誤差高達 48.3％。所以，大部分的受試者在解題時並不是對題目完全沒有概念，
2、以單一錯誤類型來比較
表4-14 建構題第建構題第建構題第2題題目建構題第 題題目題題目題題目 題目 3
建構題第 2 題
下圖的平行四邊形中，若 A 點是指定底邊上的一個點，請利用工具 畫出通過 A 點的高?
作答區
（一）、建構題第2題的解題策略
受試者在本題共可分為 14 種不同的解題策略，詳見附錄 9。各種解題 策略的作答人數與其所占比例如下表所示：
表4-15 建構題第建構題第建構題第建構題第2題各項題各項題各項題各項解題策略解題策略解題策略解題策略人數統計表人數統計表人數統計表人數統計表
分類 人數 百分比 分類 人數 百分比 分類 人數 百分比 分類 人數 百分比 a1 61 17.73％ a5 15 4.36％ a9 31 9.01％ a13 23 6.69％
a2 26 7.56％ a6 7 2.04％ a10 30 8.72％ a14 15 4.36％
a3 2 0.58％ a7 19 5.52％ a11 27 7.85％
a4 30 8.72％ a8 9 2.62％ a12 49 14.24％
（二）、建構題第 2 題的錯誤類型
本題的 14 種解題策略可歸納為 5 錯誤類型（含全對 1 種），與選擇題能 測量的 4 種類型（含全對 1 種）相近。以下分別就這幾種錯誤類型加以說明：
表4-16 建構題第建構題第建構題第建構題第2題的錯誤類型統計表題的錯誤類型統計表題的錯誤類型統計表 題的錯誤類型統計表
錯誤類型編碼 說明 人數 比例
全對 全對。 87 25.6％
M08 對「底和高必須垂直」的概念不清楚 130 37.8％
M11 對平行四邊形中「高」的定義不清楚 49 14.2％
M13 以為平行四邊形上只有水平的線段才能當作底邊 63 18.0％
M43 不解題意 15 4.4％
二、與建構題第 2 題有相同測驗概念的選擇題
選擇題的平均得分比建構題多 37.6％（2.6：1.89）。若只計算部份得分的 受試者（不含全對、全錯的受試者），選擇題比建構題的平均得分更多 41.3％
（2.6：1.84）。在建構題中，解題策略屬於 a1～a6 是有「底和高要互相垂直」
的概念而選用三角板來畫高的類別，計 6 類 141 人，占全部樣本 40.1％；a7～
（三）、選擇題各選項與建構題的錯誤類型比較
表4-21 建構題第建構題第建構題第2題的單一錯誤類型人次統計建構題第 題的單一錯誤類型人次統計題的單一錯誤類型人次統計題的單一錯誤類型人次統計
表4-22 建構題第建構題第建構題第3題題目建構題第 題題目題題目題題目
本題的36種不同的解題策略可歸納為25種錯誤類型。其中，全對、M34+M21、
M41、M39+M43、M10+M21、M39+M21、M44和M34+M21+M40這8種類型合計 308筆，占全部樣本的88.76％，以下分別就這幾種錯誤類型加以說明：
表4-24 建構題第建構題第建構題第建構題第3題的錯誤類型統計表題的錯誤類型統計表題的錯誤類型統計表題的錯誤類型統計表
錯誤類型編碼 說明 人數 比例
全對 全對。 222 63.98
％
M34+M21 複合錯誤類型，對平行四邊形的面積公式不清楚且數據輸入錯誤。 35 10.09
％ M41 將平行四邊形面積公式誤以為是三角形面積公式。 10 2.88％
M39+M43 複合錯誤類型，對「底」和「高」的定義不清楚，不解題意。 9 2.59％
M10+M21 複合錯誤類型，對平行四邊形中「底」的定義和面積公式不清楚 9 2.59％
M39+M21 複合錯誤類型，對「底」、「高」的定義和面積公式不清楚 8 2.31％
M44 任意猜測 8 2.31％
M34+M21+M40 複合錯誤類型，對面積公式不清楚，且數據輸入錯誤導致計算錯誤。 7 2.02％
二、與建構題第 3 題有相同測驗概念的選擇題
（一）、題目
圖 圖 圖
圖 4-6 選擇題第 25 題題目（與建構題第 3 題有相同測驗概念）
（二）、各選項所欲測量的錯誤類型
則只有約十四分之一的學生會全錯。
將第 3 題的單一錯誤類型人次統計比較會製成長條圖以利分析，見下圖：
表4-31 建構題第建構題第建構題第4題建構題第 題題題各項各項各項各項解題策略解題策略解題策略解題策略人人人人數統計表數統計表數統計表數統計表
分類 人數 百分比 分類 人數 百分比 分類 人數 百分比 分類 人數 百分比 a1 79 22.70％ a5 35 10.06％ a11 31 8.91％ a17 76 21.84％
a2 39 11.21％ a8 4 1.15％ a12 1 0.29％ a18 8 2.30％
a3 1 0.29％ a10 68 19.54％ a14 6 1.72％
（二）、本題主要的解題策略
解題策略累計人數超過有效樣本5％（本題為17.4人）的類別共有6種，占全
部樣本的94.2％，以下分別就這5種解題策略加以說明：
表4-32 建構題第建構題第建構題第4題建構題第 題題題主要主要主要主要解題策略解題策略解題策略解題策略統統統統計計計計表表表 表 解題策略 錯誤
類型 說明 比例
a1 全對 全對 22.70％
a2 全對 表示能夠選用三角板，並將其放到正確的位置，
但畫出的高不精準。 10.63％
a5 M26 對「三角形的高必須通過頂點」概念不清楚。 10.06％
a10 M24 沒有三角形中「高」和「底」需垂直的概念。 19.54％
a11 M24 沒有三角形中「高」和「底」需垂直的概念。 8.91％
a17 M24 沒有三角形中「高」和「底」需垂直的概念。 21.84％
二、與建構題第 4 題有相同測驗概念的選擇題
（一）、題目
圖圖
圖圖 4-9 選擇題第 26 題題目（與建構題第 4 題有相同出題概念）
（二）、各選項所欲測量的錯誤類型
人，占全部樣本 45.4％。沒有「底和高須互相垂直」概念而選用尺或不用工具
將建構題第 4 題的單一錯誤類型與選擇題各錯誤類型的人次統計後繪製成 錯誤類型比較長條圖以利進行分析，發現在錯誤類型的比較中選擇題仍然呈現
「全對」和是否具有「垂直」概念的人數多於建構題，原因仍然與建構題的畫 高成功率較低有關，此問題需要於程式中調整、放寬系統對於畫高條件的限制。
表4-37 建構題第建構題第建構題第建構題第4題的單一錯誤類型人次統計題的單一錯誤類型人次統計題的單一錯誤類型人次統計 題的單一錯誤類型人次統計
錯誤類型 建構題 選擇題
全對 33.90% 74.08%
M24 53.16% 6.20%
M26 10.06% 17.46%
M43 2.30% 2.25%
M22 0.06%
建構題第4題和選擇題第26題的錯誤類型比較
0.00%
20.00%
40.00%
60.00%
80.00%
全對 M24 M26 M43 M22
選擇題 建構題
圖 圖 圖
圖 4444----111111 建構題第 4 題與選擇題第 26 題各錯誤類型比較長條圖 11
伍、建構題第 5 題與選擇題第 27 題的施測結果比較
一、建構題第 5 題的解題策略與錯誤類型
表4-38 建構題第建構題第建構題第建構題第5題題目題題目題題目 題題目 題目 17
建構題 第 5 題
請利用工具測量三角形的底和高的長度後列出算式，並求出三角形的面積
作答區 【1】底＝（ ）公分；高＝（ ）公分
【2】利用量出的底和高的長度列式寫出三角形面積公式並求出答案：
（一）、本題的解題策略
受試者在本題的解題策略分為長度測量（a）和列式與面積計算（b）二部 分來討論。長度測量部分可分為 18 種不同的解題策略（a1～a18）；列式與面積 計算部分可分為 6 種不同的解題策略（b1～b6），依照解題策略樹狀圖，組合之 後所有可能的解題策略總共有 108 種（見附錄 6），但只有其中 29 種有作答反 應出現。
表4-39 建構題第建構題第建構題第5題各項建構題第 題各項題各項題各項解題策略解題策略解題策略解題策略人數統計表人數統計表人數統計表 人數統計表
分類 人數 百分比 分類 人數 百分比 分類 人數 百分比 分類 人數 百分比 a1b1 143 40.74％ a5b3 8 2.28％ a10b5 1 0.28％ a16b6 5 1.42％
a1b2 11 3.13％ a5b4 1 0.28％ a11b5 1 0.28％ a17b1 4 1.14％
a1b3 51 14.53％ a6b5 9 2.56％ a12b6 2 0.57％ a17b2 1 0.28％
a1b4 11 3.13％ a8b6 1 0.28％ a13b1 11 3.13％ a17b5 3 0.85％
a2b5 1 0.28％ a9b1 17 4.84％ a13b3 7 2.00％ a18b6 8 2.28％
a3b5 5 1.42％ a9b2 2 0.57％ a14b5 13 3.70％
a4b6 6 1.71％ a9b3 8 2.28％ a15b5 1 0.28％
a5b1 15 4.27％ a9b4 2 0.57％ a16b5 3 0.85％
（二）、本題的主要錯誤類型
本題的29種不同的解題策略可歸納為13種錯誤類型，本題的解題策略與錯誤 類型請見附錄12。其中，全對、M45、M40、M22+M25、M40+M41和M25+M34 這6種類型合計322筆，占全部樣本的91.74％，以下分別就這幾種錯誤類型加以說 明：
表4-40 建構題第建構題第建構題第建構題第5題的主要錯誤類型統計表題的主要錯誤類型統計表題的主要錯誤類型統計表題的主要錯誤類型統計表 錯誤類型
編碼 人數 說明 比例
全對 186 全對，無錯誤。 52.99％
M45 74 將平行四邊形面積公式誤以為是三角形面積公式。 21.08％
M45 74 將平行四邊形面積公式誤以為是三角形面積公式。 21.08％